Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)

Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN BÁ DƯƠNG

CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC

VÀ TIÊU CHUẨN BẤT KHẢ QUY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN BÁ DƯƠNG

CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC

VÀ TIÊU CHUẨN BẤT KHẢ QUY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 Chuỗi lũy thừa hình thức 3

1.1 Định nghĩa và một số tính chất cơ bản 3

1.2 Một số phép toán 9

1.3 Phép truy toán trong C[[x]] 16

1.4 Phương pháp đếm dùng hàm sinh thông thường 23

1.5 Phương pháp đếm bằng hàm sinh mũ 34

Chương 2 Tính bất khả quy của chuỗi lũy thừa hình thức 40 2.1 Tính phân tích duy nhất của vành Z[[x]] 40

2.2 Tiêu chuẩn về tính bất khả quy 45

KẾT LUẬN 50

Tài liệu tham khảo 50

MỞ ĐẦU

Chuỗi lũy thừa hình thức là một sự mở rộng của đa thức mà số các

số hạng có thể là vô hạn Chính vì vậy ta không thể thay biến bởi mộtgiá trị bất kỳ, điều mà ta có thể làm được với các đa thức Ta cũng có thểxem chuỗi lũy thừa hình thức là một dãy vô hạn sắp thứ tự các phần tử.Khi đó lũy thừa của biến được dùng để chỉ thứ tự các hệ số Trong tổ hợp,chuỗi lũy thừa hình thức dùng để chỉ dãy số hay đa tập (Một sự tụ tập cácvật có bản chất tùy ý, trong đó có thể có những vật không phân biệt đượcvới nhau (và có thể coi như là sự lặp lại của cùng một vật)) Chẳng hạn

ta có thể dùng để định nghĩa đệ quy một dãy số, còn được gọi là phươngpháp hàm sinh Phương pháp đếm dùng hàm sinh là các phương pháp đếmhữu hiệu và đang được phát triển Nhiều loại hàm sinh đã được định nghĩa

và được sử dụng trong các bài toán đếm khác nhau Tuy nhiên hàm sinhthông thường và hàm sinh mũ là hai loại hàm sinh đã được dùng rộng rãi

và hữu hiệu hơn cả Mục đích chính thứ nhất của luận văn là tìm hiểu vềvành các chuỗi lũy thừa hình thức và ứng dụng trong bài toán đếm

Cho R là một vành giao hoán, ta ký hiệu R[[x]] là tập các chuỗi lũythừa hình thức trên R Cùng với phép cộng và phép nhân R[[x]] là mộtvành giao hoán Giống như vành đa thức R[x] thì R[[x]] là một miền nguyênkhi R là một miền nguyên Tuy nhiên trong khi các phần tử khả nghịchcủa R[x] là các phần tử khả nghịch của R thì các phần tử khả nghịch củaR[[x]] là các chuỗi lũy thừa hình thức mà số hạng tự do khả nghịch Điềunày làm cho việc nghiên cứu tính chất số học của R[[x]] khi R là trường

"khá đơn giản", chẳng hạn các phần tử bất khả quy chỉ là x Tuy nhiênnghiên cứu tính bất khả quy của các phần tử trong Z[[x]] đã là bài toánkhó Cho đến nay có rất ít tiêu chuẩn bất khả quy cho các phần tử trong

Z[[x]] Mục đích chính thứ hai của luận văn là tìm hiểu một số tiêu chuẩnbất khả quy của các chuỗi lũy thừa hình thức hệ số nguyên

Tài liệu tham khảo chính cho mục đích thứ nhất là cuốn sách Ngô ĐắcTân (2004), Lý thuyết tổ hợp và đồ thị, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà

Nội và Qiaochu Yuan (2009), Topics in generating functions, MassachusettsInstitute of Technology, tài liệu cho mục đích thứ hai là bài báo của D.Birmajer and J B Gil (2008), "Arithmetic in the ring of formal powerseries with integer coefficients" American Mathematical Monthly, 115(6),541-549.

Luận văn được chia làm hai chương Chương 1 trình bày về chuỗilũy thừa hình thức và ứng dụng trong các bài toán đếm Để đơn giản luậnvăn thống nhất tìm hiểu chuỗi lũy thừa hình thức trên C trong chươngnày Chương 2 tìm hiểu một số tiêu chuẩn bất khả quy của chuỗi lũy thừahình thức với hệ số nguyên Để việc tìm hiểu đó có ý nghĩa trước hết luậnvăn trình bày kết quả Z[[x]] là miền phân tích duy nhất Lưu ý thêm rằngnếu R là miền phân tích duy nhất thì R[x] cũng là miền phân tích duynhất tuy nhiên điều tương tự đã được Samuel [6] chỉ ra là không đúng choR[[x]]

Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi nhận được sự hướng dẫn vàgiúp đỡ tận tình của TS Trần Nguyên An Tôi xin được bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến thầy

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Caohọc toán khoá 9 đã truyền thụ đến cho tôi nhiều kiến thức và kinh nghiệmnghiên cứu khoa học

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017

Nguyễn Bá Dương

Chương 1

Chuỗi lũy thừa hình thức

Trong suốt chương này cho C là trường các số phức Ta tìm hiểuchuỗi lũy thừa hình thức với hệ số phức Chú ý rằng ta có thể định nghĩachuỗi lũy thừa hình thức với hệ số trên một vành giáo hoán bất kỳ

bjxj là hai chuỗi lũy thừa hình

thức bất kỳ Ta định nghĩa phép toán cộng, phép toán nhân trong C[[x]]

và phép nhân các phần tử của C[[x]] với một số z ∈C như sau:

Dễ kiểm tra thấy rằng C[[x]] lập thành một không gian véc tơ trên

C đối với phép toán cộng trong C[[x]] và phép nhân các phần tử của

C[[x]] với một số z ∈ C Đối với phép nhân, C[[x]] có phần tử đơn vị là

1(x) = 1 +

∞

X

j=0

0.xj mà ta sẽ đơn giản kí hiệu là 1 Ta cũng dễ kiểm tra

thấy rằng C[[x]] lập thành một vành giao hoán có đơn vị 1 đối với phépcộng và phép nhân trong C[[x]] Phép toán nhân và phép nhân mỗi phần

tử của C[[x]] với một số z ∈ C thỏa mãn hệ thức sau:

z[a(x)b(x)] = [za(x)]b(x) = a(x)[zb(x)]

Điều đó chứng tỏ rằng C[[x]] lập thành một đại số trên C

Nếu với n ∈ N, chuỗi lũy thừa hình thức a(x) có an 6= 0 và aj = 0cho mọi j > n, thì a(x) được gọi là đa thức bậc n và được đơn giản viết là

n

X

j=0

ajxj hay a0 + a1x + + anxn Hơn thế nữa, nếu ai = 0 cho một i nào

đó của tập 0, 1, 2, , n − 1, thì số hạng aixi cũng không cần viết; còn nếu

ai = 1 cho một i nào đó của tập {0, 1, 2, , n − 1} , thì aixi được đơn giảnviết là xi Phần tử 0(x) =

n

X

j=0

0xj, mà ta đơn giản kí hiệu là 0, là phần tử

0 của C[[x]] và được định nghĩa là có bậc là −1 Ta kí hiệu Cn[x] là tập tất

cả các đa thức bậc nhỏ hơn n Khi đó Cn[x] là không gian con số chiều n

Dễ thấy rằng ϕ :C1[x] → C, a(x) → a0 là đẳng cấu đại số Vì thế ta

có thể đồng nhất a0 với a(x) ∈ C1[x] và coi C như là một đại số con của

C[[x]] Khi đó phép nhân một phần tử của C[[x]] với một số z ∈ C có thểxem như là một trường hợp riêng của phép toán nhân trong C[[x]]

Mệnh đề 1.1.2 Chuỗi a(x) ∈ C[[x]] là khả nghịch khi và chỉ khi a0 6= 0

Chứng minh Giả sử b(x) =

∞

X

j=0

bjxj Khi đó a(x)b(x) = 1 khi và chỉ khi hệ

phương trình sau có nghiệm:

ở đây b0, b1, , bn là các ẩn số Dễ thấy rằng hệ này có nghiệm khi và chỉkhi a0 6= 0.

Chú ý 1.1.3 Chứng minh tương tự ta có g(x) ∈ R[[x]] với R là vành giaohoán bất kỳ khả nghịch khi và chỉ khi a0 khả nghịch

Nếu a(x) là phần tử khả nghịch của C[[x]] thì phần tử nghịch đảocủa nó sẽ được kí hiệu là (a(x))−1 hay 1

cho mọi số nguyên dương n

Với z ∈ C và 0 6= n, k ∈ N, đa thức (1 − zxn)k là khả nghịch theoMệnh đề 1.1.2 Ta có một số tính chất sau của đa thức trên

là đúng cho k = t ≥ 1 khi đó,

1(1 − zxn)t+1 = 1

ajxj có a0 = 1 Khi đó với mọi số

nguyên dương n, chuỗi lũy thừa hình thức an(x) = c(x) =

Chứng minh Ta chứng minh Mệnh đề 1.1.6 bằng quy nạp theo n Với

n = 1, mệnh đề hiển nhiên là đúng Giả sử mệnh đề đã được chứng minh

là đúng cho n = k Khi đó theo giả thiết quy nạp ta có

b0 = 1,

nb1 = a1,

nb2 + fn,2(b1) = a2,

an(x)(a−1(x))n = (a(x))n(a−1(x))n = (a(x)a−1(x))n = 1n = 1.

bjxj với b0 = 1 sao cho bn(x) = am(x)

Chuỗi b(x) tồn tại duy nhất trong Mệnh đề 1.1.9 được kí hiệu là

am/n(x)

Chứng minh Nếu m = 0, thì theo định nghĩa a0(x) = 1 và do đó a0(x) có

hệ số của x0 bằng 1 theo Mệnh đề 1.1.6 Từ chứng minh Mệnh đề 1.1.2 tacũng thấy rằng a−1(x) có hệ số của x0 bằng 1 Nếu m là số nguyên âm, thì

−m là số nguyên dương Do đó, lại theo Mệnh đề 1.1.6, am(x) = (a−1(x))−mcũng có hệ số của x0 bằng 1

Như vậy, với m là số nguyên âm bất kì, am(x) có hệ số của x0 bằng

1 Vì n là một số nguyên dương, nên theo Mệnh đề 1.1.7 tồn tại duy nhấtmột

với b0 = 1 sao cho bn(x) = am(x)

Giả sử c1(x), c2(x), , ck(x), là một dãy các phần tử của C[[x]] với

Nếu c1(x), c2(x), , ck(x), , là một dãy khả tích, thì ta có thể địnhnghĩa tích Q∞

k=1(1 + ck(x)) =

∞

X

j=0

sjxj ∈ C[[x]], ở đây hệ số sj của xj trong

tích này chính là hệ số của xj trong tích Qn

k=1(1 + ck(x)) với n > N.Dãy a1(x), a2(x), , ak(x), các phần tử

được gọi là toán tử đạo hàm trong C[[x]] Ta cũng định nghĩa

D0(a(x)) = a(x),

Dn(a(x)) = D(Dn−1(a(x))),S(a(x)) = a0

cho mọi n nguyên dương

Ta chứng minh một số tính chất sau đây của toán tử đạo hàm trong

C[[x]]

Mệnh đề 1.2.2 (1) D(a(x) + b(x)) = D(a(x)) + D(b(x))

(2) D(a(x)b(x)) = D(a(x))b(x) + a(x)D(b(x))

(3) D(an(x)) = nan−1(x)D(a(x)) cho mọi n nguyên dương

(4) Nếu a(x) khả nghịch và a−1(x) là phần tử nghịch đảo của a(x),thì D(a−1(x)) = −a−2(x)D(a(x)), D(a−n(x)) = −na−n−1(x)D(a(x)) chomọi n nguyên dương

(5) Với mọi số hữu tỷ s = m/n (m nguyên, n nguyên dương) và mọia(x) ∈C[[x]] thỏa mãn S(a(x)) = 1 ta có

Tính chất (7) có thể xem như phân tích MacLaurin cho a(x)

Chứng minh (1) Hệ số của xj ở vế phải bằng (j + 1)(aj+1 + bj+1) Hệ sốcủa xj ở vế trái cũng như vậy Vì vậy ta có tính chất (1)

(2) Hệ số của xj trong vế phải bằng

D(ak+1(x)) = D(ak(x)a(x)) = D(ak(x))a(x) + ak(x)D(a(x))

Nhưng D(ak(x)) = kak−1(x)D(a(x)) theo giả thiết quy nạp Do đó, từ cácđẳng thức trên ta nhận được

D(ak+1(x)) = kak−1(x)D(a(x))a(x) + ak(x)D(a(x))

⇔ D(a−1(x)) = −a−1(x)D(a(x))a−1(x) = −a−2(x)D(a(x))

Đẳng thức thứ nhất của tính chất (4) được chứng minh Áp dụng đẳng

và đẳng thức thứ hai của tính chất (4) cũng được chứng minh.

(5) Theo định nghĩa của as(x) (xem Mệnh đề 1.1.9), (as(x))n =

am(x) Do đó theo tính chất (3) và (4),

D((as(x))n) = D(am(x)) = mam−1(x)D(a(x))

Nhưng cũng theo tính chất (3), D((as(x))n) = n(as(x))n−1D(as(x)) Suyra,

n(as(x))n−1D(as(x)) = mam−1(x)D(a(x)),

⇔ n(as(x))n(as(x))−1D(as(x)) = mam(x)a−1(x)D(a(x)),

⇔ nam(x)(as(x))−1D(as(x)) = mam(x)a−1(x)D(a(x)),

Suy ra as(x)a−1(x) = a(m−n)/m(x) = amn −1(x) = as−1(x) Vậy D(as(x)) =

sas−1(x)D(a(x)) và tính chất (5) được chứng minh

(6) Ta chứng minh tính chất này bằng quy nạp theo n Với n = 0,tính chất này hiển nhiên đúng vì theo định nghĩa D0(a(x)) = a(x) Giả sửtính chất (6) đã được chứng minh cho n = k Khi đó,

Vì thế, hệ số của xj ở vế phải trong tính chất (7) là aj.

(8) Dễ dàng suy ra từ định nghĩa của dãy khả tổng và các tính chấttrước đây của toán tử đạo hàm D

Mệnh đề 1.2.3 Giả sử a(x) ∈ C[[x]] và 2 ≤ n ∈ N Khi đó tồn tạib(x) ∈ C[[x]] thỏa mãn bn(x) = a(x) khi và chỉ khi số k nhỏ nhất với

ak 6= 0 là bội số nguyên của n

Chứng minh Giả sử tồn tại b(x) ∈ C[[x]] sao cho bn(x) = a(x) Ta cũnggiả sử rằng t là số nguyên nhỏ nhất sao cho bt 6= 0 Từ bn(x) = a(x) ta suy

ra rằng số nguyên k nhỏ nhất sao cho ak 6= 0 bằng nt, tức là k là bội sốnguyên của n

Ngược lại, giả sử số k nhỏ nhất với ak 6= 0 là bội số nguyên của n,chẳng hạn k = nt Khi đó

được gọi là toán tử tích phân trong C[[x]].

Ta có một số tính chất sau của toán tử tích phân (xem [1])

Mệnh đề 1.2.5 Nếu z1, z2 ∈ C, còn a(x), b(x) ∈ C[[x]] thỏa mãn S(a(x)) =S(b(x)) = 0, thì

(1) D∗(D(a(x))) = D(D∗(a(x))) = a(x);

(3) Với mọi số hữu tỷ r, ta có L(ar(x)) = rL(a(x));

(4) Nếu L(a(x)) = L(b(x)), thì a(x) = b(x);

(5) Nếu b(x) ∈C[[x]] thỏa mãn S(b(x)) = 0, thì với mọi số hữu tỷ r

ở đây i là đơn vị ảo, tức là i2 = −1 và a0(x) = 1.

Ta có một số tính chất sau

Mệnh đề 1.2.11 (1) sin2(a(x)) + cos2(a(x)) = 1;

(2) sec2(a(x)) = 1 + tan2(a(x));

(3) D(sin(a(x))) = (cos(a(x))D(a(x));

(4) D(cos(a(x))) = (−sin(a(x)))D(a(x));

(5) D(tan(a(x))) = (sec2(a(x)))D(a(x));

(6) D(sec(a(x))) = (sec(a(x)))(tan(a(x)))D(a(x))

1.3 Phép truy toán trong C[[x]]

Một phép truy toán cho C[[x]] được định nghĩa như là một ánh xạ

f :N×C[[x]] → C Để trực quan ta coi f như là một hàm của vô hạn cácbiến là n, a0, a1, a2, với n nhận giá trị trong N, còn a0, a1, a2, nhận giátrị trong C và

đó, a(x) được gọi là một lời giải của phép truy toán này Nói chung, nếuphép truy toán có lời giải với bậc truy toán k, thì lời giải đó không nhấtthiết phải là duy nhất.

Người ta phân các phép truy toán cho C[[x]] ra các loại chính như ởHình 1.1

Hình 1.1: Các loại truy toán.

Định nghĩa 1.3.1 Ta nói rằng a(x) =

cjan−j là tuyến tính đối với aj nên phép truy toán này được gọi là tuyến

tính Vì các số hạng trong biểu thức trên đều có dạng giống nhau nên phéptruy toán này được gọi là thuần nhất Cuối cùng, từ hệ thức truy hồi trên

ta thấy mỗi an với n ≥ k biểu diễn được qua k số aj trước đó Vì thế, phéptruy toán được gọi là có bậc bằng k

Ví dụ 1.3.2 Xét F (x) = F0 + F1x + F2x2 + F3x3 + với F0 = 0, F1 = 1

và Fn = Fn−1+ Fn−2 với mọi n ≥ 2 Khi đó F (x) thỏa mãn phép truy toántuyến tính thuần nhất bậc 2 với hệ thức truy hồi Fn − Fn−1 − Fn−2 = 0cho mọi n ≥ 2 Số Fj trên được gọi là số Fibonacci thứ j

Định nghĩa 1.3.3 Ta nói rằng a(x) =

k

X

j=0

ajxj ∈ C[[x]] hay dãy số

a0, a1, a2, thỏa mãn một phép truy toán tuyến tính không thuần nhất bậc

k nếu tồn tại các hằng số c0, c1, , ck ∈ C và hàm g : N → C sao cho vớimọi n 6= k ta có

k2 cho mọi j ∈ N Khi

đó a(x) thỏa mãn phép truy toán tuyến tính không thuần nhất bậc 1 với

hệ thức truy hồi an − an−1 − n2 = 0 cho mọi n ≥ 1(k = 1, c0 = 1, c1 =

−1, g(n) = −n2)

Định nghĩa 1.3.5 Phép truy toán mà không là tuyến tính thuần nhất

và cũng không là tuyến tính không thuần nhất được gọi là phép truy toánkhông tuyến tính Nếu a(x) =

∞

X

j=0

ajxj hay dãy số a0, a1, a2, thỏa mãn

phép truy toán không tuyến tính f bậc k, tức là

f (n, a0, a1, , an, 0, 0, ) = 0

cho mọi n ≥ k, thì đẳng thức này cũng được gọi là hệ thức truy hồi cho f

Ví dụ 1.3.6 Ta định nghĩa số Catalan thứ n, kí hiệu là cn, là số cách chèn

n cặp ngoặc tròn vào tích x1x2 xn của n + 1 số sao cho mỗi lần nhân chỉ

có đúng hai thừa số Chẳng hạn, ta có các cách chèn các cặp ngoặc trònsau đây vào tích x1x2x3x4 :

(x1(x2(x3x4))), ((x1x2)(x3x4)), (((x1x2)x3)x4),

((x1(x2x3))x4), (x1((x2x3)x4))

Như vậy c3 = 5 Dễ thấy rằng, c1 = 1, c2 = 2 Để cho tiện sử dụng, ta địnhnghĩa c0 = 1

Ta nhận xét rằng mỗi cách chèn n cặp ngoặc tròn vào tích x1x2 xn+1,

ở đây k có thể là 0, 1, , n − 1 Số cách chèn các cặp ngoặc tròn vào tích

x1x2 xk+1là ck, còn số cách chèn các cặp ngoặc tròn vào tích xk+2xk+3 xn+1

cn = c0cn−1+ c1cn−2+ c2cn−3+ + cn−1c0.Đây là hệ thức truy hồi không tuyến tính

Các kết quả dưới đây cho phép ta tìm lời giải của một số phép truytoán tuyến tính thuần nhất

Định lý 1.3.7 Giả sử c1, c2, ck ∈ C là các số sao cho phương trình

an = α1r1n+ α2rn2 + + αkrkncho mọi n = 0, 1, 2, ở đây α1, α2, , αk là nghiệm của hệ phương trìnhtuyến tính

r1k−1x1 + rk−12 x2 + + rkk−1xk = ak−1.Nhận xét 1.3.8 Hệ phương trình tuyến tính trên có định thức

D =

1 1 1

r1 r2 rk

r12 r22 r2k

r1k−1 r2k−1 rk−1k

... 0, 1, 2, quy nạp theo n Nếu n = 0, 1, , k − 1,

đẳng thức hiển nhiên α1, , αk nghiệm hệ phương

trình tuyến tính nói tới định lý 1.1.15 Giả sử đẳng thức

chứng... (aj)∞j=0 Như vậy, hàm sinh thông thườngcho dãy (aj)∞j=0 chuỗi hình thức a(x) =

 ...

j=0

ajxj lời giải

phép truy tốn tuyến tính bậc với hệ thức truy hồi

an − c1an−1− c2an−2