Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)

Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN BÁ DƯƠNG CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC VÀ TIÊU CHUẨN BẤT KHẢ QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN BÁ DƯƠNG CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC VÀ TIÊU CHUẨN BẤT KHẢ QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2017 Mục lục MỞ ĐẦU Chương Chuỗi lũy thừa hình thức 1.1 Định nghĩa số tính chất 1.2 Một số phép toán 1.3 Phép truy toán C[[x]] 16 1.4 Phương pháp đếm dùng hàm sinh thông thường 23 1.5 Phương pháp đếm hàm sinh mũ 34 Chương Tính bất khả quy chuỗi lũy thừa hình thức 40 2.1 Tính phân tích vành Z[[x]] 40 2.2 Tiêu chuẩn tính bất khả quy 45 KẾT LUẬN 50 Tài liệu tham khảo 50 i MỞ ĐẦU Chuỗi lũy thừa hình thức mở rộng đa thức mà số số hạng vô hạn Chính ta thay biến giá trị bất kỳ, điều mà ta làm với đa thức Ta xem chuỗi lũy thừa hình thức dãy vô hạn thứ tự phần tử Khi lũy thừa biến dùng để thứ tự hệ số Trong tổ hợp, chuỗi lũy thừa hình thức dùng để dãy số hay đa tập (Một tụ tập vật có chất tùy ý, có vật không phân biệt với (và coi lặp lại vật)) Chẳng hạn ta dùng để định nghĩa đệ quy dãy số, gọi phương pháp hàm sinh Phương pháp đếm dùng hàm sinh phương pháp đếm hữu hiệu phát triển Nhiều loại hàm sinh định nghĩa sử dụng toán đếm khác Tuy nhiên hàm sinh thông thường hàm sinh mũ hai loại hàm sinh dùng rộng rãi hữu hiệu Mục đích thứ luận văn tìm hiểu vành chuỗi lũy thừa hình thức ứng dụng toán đếm Cho R vành giao hoán, ta ký hiệu R[[x]] tập chuỗi lũy thừa hình thức R Cùng với phép cộng phép nhân R[[x]] vành giao hoán Giống vành đa thức R[x] R[[x]] miền nguyên R miền nguyên Tuy nhiên phần tử khả nghịch R[x] phần tử khả nghịch R phần tử khả nghịch R[[x]] chuỗi lũy thừa hình thức mà số hạng tự khả nghịch Điều làm cho việc nghiên cứu tính chất số học R[[x]] R trường "khá đơn giản", chẳng hạn phần tử bất khả quy x Tuy nhiên nghiên cứu tính bất khả quy phần tử Z[[x]] toán khó Cho đến có tiêu chuẩn bất khả quy cho phần tử Z[[x]] Mục đích thứ hai luận văn tìm hiểu số tiêu chuẩn bất khả quy chuỗi lũy thừa hình thức hệ số nguyên Tài liệu tham khảo cho mục đích thứ sách Ngô Đắc Tân (2004), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Qiaochu Yuan (2009), Topics in generating functions, Massachusetts Institute of Technology, tài liệu cho mục đích thứ hai báo D Birmajer and J B Gil (2008), "Arithmetic in the ring of formal power series with integer coefficients" American Mathematical Monthly, 115(6), 541-549 Luận văn chia làm hai chương Chương trình bày chuỗi lũy thừa hình thức ứng dụng toán đếm Để đơn giản luận văn thống tìm hiểu chuỗi lũy thừa hình thức C chương Chương tìm hiểu số tiêu chuẩn bất khả quy chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số nguyên Để việc tìm hiểu có ý nghĩa trước hết luận văn trình bày kết Z[[x]] miền phân tích Lưu ý thêm R miền phân tích R[x] miền phân tích nhiên điều tương tự Samuel [6] không cho R[[x]] Trong suốt trình làm luận văn, nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Trần Nguyên An Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học toán khoá truyền thụ đến cho nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2017 Nguyễn Bá Dương Chương Chuỗi lũy thừa hình thức Trong suốt chương cho C trường số phức Ta tìm hiểu chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số phức Chú ý ta định nghĩa chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số vành giáo hoán 1.1 Định nghĩa số tính chất Định nghĩa 1.1.1 Một chuỗi lũy thừa hình thức C biểu thức ∞ ∞ ∞ j có dạng a = a(x) = j aj x , cho giả sử a(x) = j=0 bj xj aj x , b(x) = j=0 j=0 hai chuỗi lũy thừa hình thức a(x) = b(x) aj = bj với j Tập chuỗi lũy thừa hình thức C kí hiệu C[[x]] ∞ ∞ j Giả sử a(x) = bj xj hai chuỗi lũy thừa hình aj x b(x) = j=0 j=0 thức Ta định nghĩa phép toán cộng, phép toán nhân C[[x]] phép nhân phần tử C[[x]] với số z ∈ C sau: ∞ ∞ j a(x) + b(x) = aj x + j=0 j=0 ∞ j j=0 bj x ) = j=0 ( ak bj−k )xj , j=0 k=0 ∞ ∞ j za(x) = z( j ∞ j aj x )( (aj + bj )xj , bj x = j=0 ∞ a(x)b(x) = ( ∞ j (zaj )xj aj x ) = j=0 j=0 Dễ kiểm tra thấy C[[x]] lập thành không gian véc tơ C phép toán cộng C[[x]] phép nhân phần tử C[[x]] với số z ∈ C Đối với phép nhân, C[[x]] có phần tử đơn vị ∞ 0.xj mà ta đơn giản kí hiệu Ta dễ kiểm tra 1(x) = + j=0 thấy C[[x]] lập thành vành giao hoán có đơn vị phép cộng phép nhân C[[x]] Phép toán nhân phép nhân phần tử C[[x]] với số z ∈ C thỏa mãn hệ thức sau: z[a(x)b(x)] = [za(x)]b(x) = a(x)[zb(x)] Điều chứng tỏ C[[x]] lập thành đại số C Nếu với n ∈ N, chuỗi lũy thừa hình thức a(x) có an = aj = cho j > n, a(x) gọi đa thức bậc n đơn giản viết n aj xj hay a0 + a1 x + + an xn Hơn nữa, = cho i j=0 tập 0, 1, 2, , n − 1, số hạng xi không cần viết; = cho i tập {0, 1, 2, , n − 1} , xi đơn giản n 0xj , mà ta đơn giản kí hiệu 0, phần tử i viết x Phần tử 0(x) = j=0 C[[x]] định nghĩa có bậc −1 Ta kí hiệu Cn [x] tập tất đa thức bậc nhỏ n Khi Cn [x] không gian số chiều n Dễ thấy ϕ : C1 [x] → C, a(x) → a0 đẳng cấu đại số Vì ta đồng a0 với a(x) ∈ C1 [x] coi C đại số C[[x]] Khi phép nhân phần tử C[[x]] với số z ∈ C xem trường hợp riêng phép toán nhân C[[x]] Mệnh đề 1.1.2 Chuỗi a(x) ∈ C[[x]] khả nghịch a0 = ∞ bj xj Khi a(x)b(x) = hệ Chứng minh Giả sử b(x) = j=0 phương trình sau có nghiệm: a0 b0 = 1, a0 b1 + a1 b0 = 0, a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 = 0, a0 nb + a1 bn−1 + + an b0 = 0, , b0 , b1 , , bn ẩn số Dễ thấy hệ có nghiệm a0 = Chú ý 1.1.3 Chứng minh tương tự ta có g(x) ∈ R[[x]] với R vành giao hoán khả nghịch a0 khả nghịch Nếu a(x) phần tử khả nghịch C[[x]] phần tử nghịch đảo kí hiệu (a(x))−1 hay hay a−1 (x) Nếu a(x) b(x) a(x) đa thức với a0 = 0, phần tử b(x)a−1 (x) thường viết b(x) gọi hàm số hữu tỷ Với a(x) ∈ C[[x]] ta định nghĩa a(x) a0 (x) = 1, an (x) = a(x)a(x) a(x) n cho số nguyên dương n Nếu a(x) phần tử khả nghịch a−1 (x) phần tử nghịch đảo a(x), ta định nghĩa a−n (x) = a−1 (x)a−1 (x) a−1 (x) n cho số nguyên dương n Với z ∈ C = n, k ∈ N, đa thức (1 − zxn )k khả nghịch theo Mệnh đề 1.1.2 Ta có số tính chất sau đa thức Mệnh đề 1.1.4 Với z ∈ C = n, k ∈ N, ta có = (1) − zxn ∞ z j xnj , j=0 (2) = (1 − zxn )k ∞ k + j − j nj z x j j=0 ∞ ∞ j nj n Chứng minh Ta có (1 − zx )( z x )= j=0 ∞ j nj z x j=0 z j+1 xn(j+1) = − j=0 Vậy ta có đẳng thức (1) Ta chứng minh đẳng thức (2) quy nạp theo k Với k = 1, đẳng thức (2) đẳng thức (1) Giả sử đẳng thức (2) chứng minh cho k = t ≥ đó, 1 = n t+1 n t (1 − zx ) (1 − zx ) − zxn    ∞ ∞ t + j − j nj   =  z x z j xnj  j j=0 j=0 j ∞ = t + i − i j−i nj z z )x i ( j=0 i=0 j ∞ = t+i−1 )z j xnj i ( j=0 i=0 Áp dụng công thức tổng cho hệ số nhị thức ta có j i=0 t+i−1 i (t − 1) + j + j = = (t + 1) + j − j đẳng thức (2) chứng minh cho k = t + ∞ −1 Hệ 1.1.5 (1) (1 − x) xj , = j=0 ∞ (−1)j xj , (2) (1 + x)−1 = j=0 ∞ x2j , (3) (1 − x2 )−1 = j=0 ∞ (4) (1 − x)−3 = j=0 j+2 j x j ∞ aj xj có a0 = Khi với số Mệnh đề 1.1.6 Giả sử a(x) = j=0 ∞ cj xj có n nguyên dương n, chuỗi lũy thừa hình thức a (x) = c(x) = j=0 c0 = 1, c1 = na1 , cj = naj + fn,j (a1 , , aj−1 ) cho j ≥ 2, fn,j đa thức j − biến Chứng minh Ta chứng minh Mệnh đề 1.1.6 quy nạp theo n Với n = 1, mệnh đề hiển nhiên Giả sử mệnh đề chứng minh cho n = k Khi theo giả thiết quy nạp ta có   ∞ ak+1 (x) = ak (x)a(x) = 1 + ka1 x + cj xj   j=0  ∞ aj xj  j=0 Do đó, hệ số x0 cho ak+1 (x) a0 = 1, hệ số x1 cho ak+1 (x) 1.a1 + ka1 a0 = (k + 1)a1 , hệ số xj (j ≥ 2) cho ak+1 (x) ∞ ci aj−i = 1.aj + ka1 aj−1 + (ka2 + fk,2 (a1 ))aj−2 + + j=0 (kaj + fk,j (a1 , , aj−1 ))a0 = (aj + kaj ) + ka1 aj−1 + (ka2 + fk,2 (a1 ))aj−2 + + (kaj−1 + fk,j−1 (a1 , , aj−2 ))a1 + fk,j (a1 , , aj−1 ) = (k + 1)aj + fk+1,j−1 (a1 , , aj−1 ), fk+1,j−1 (a1 , , aj−1 ) = (ka1 aj−1 + + fk,j (a1 , , aj−1 )) ∞ aj xj với a0 = n số nguyên Mệnh đề 1.1.7 Giả sử a(x) = j=0 ∞ bj xj với b0 = dương Khi tồn b(x) = j=0 n cho b (x) = a(x) Chuỗi b(x) tồn Mệnh đề 1.1.7 kí hiệu a1/n (x) Chứng minh Theo Mệnh đề 1.1.6, b0 , b1 , b2 , , bk , xác định từ phương trình: b0 = 1, nb1 = a1 , nb2 + fn,2 (b1 ) = a2 , nbk + fn,k (b1 , , bk−1 ) = ak , ∞ aj xj với a0 = Theo Mệnh đề 1.1.2, a(x) có phần tử Giả sử a(x) = j=0 −1 nghịch đảo a (x) Xét hàm sinh mũ dãy tập (S([j]))∞ : s(x) = |S(φ)| + |S([1])| |S([2])| |S([3])| x+ x + x + 1! 2! 3! Khi đó, kí hiệu D(s(x)) s (x) tập vật đếm s (x) với giá [j] S ([j]), s (x) = |S([1])| + |S([2])| |S([3])| |S([4])| x+ x + x + 1! 2! 3! Đẳng thức chứng tỏ S ([j]) = S([j + 1]) cho j ≥ Phần tử "thừa" j + cho tập S ([j]) có nhiều ưu việt mà ta sử dụng để thiết lập hệ thức mà s(x) cần phải thỏa mãn Ta minh họa điều phương pháp sử dụng hàm sinh mũ cho toán đếm hai ví dụ Ví dụ 1.5.4 Sắp xếp thành vòng tròn Có j vị trí vòng tròn Mỗi cách xếp j số tập [j] = {1, 2, , j} vào j vị trí gọi xếp thành vòng tròn tập [j] Hai xếp thành vòng tròn tập [j] coi xuất phát từ vị trí chứa số theo chiều quay kim đồng hồ ta gặp số tương ứng hai xếp Bài toán: Tính số xếp thành vòng tròn tập [j] theo j Giải: Ký hiệu tập cách xếp thành vòng tròn tập [j] C([j]) Giả sử c(x) hàm sinh mũ cho dãy (C([j]))∞ c (x) = D(c(x)) Khi đó, ta có nhận xét đạo hàm hàm sinh mũ, xếp thành vòng tròn tập [j + 1] đếm c (x) với giá [j] Mặt khác xếp thành vòng tròn tập [j + 1] đồng với xếp thành hàng ngang tập [j] cách "cắt" vị trí chứa số j + khỏi vòng tròn "căng" vị trí lại xếp "thành hàng ngang" với số số sau j + vòng tròn theo chiều kim đồng hồ Ví dụ, xếp thành vòng tròn 32154 tập [5] đồng với xếp thành hàng ngang 4321 tập [4] Vì vậy, nên ta kí hiệu P ([j]) tập xếp thành hàng ngang tập [j] p(x) 37 hàm sinh mũ cho dãy (P ([j]))∞ , c (x) = p(x) với S(c(x)) = (vì |C(φ)| = ) Hiển nhiên P ([j]) tập hoán vị [j] |P ([j])| = j! Do đó, ∞ p(x) = j=0 j! j x = j! ∞ xj = j=0 1−x Đẳng thức cuối có nhờ Mệnh đề 1.1.4 Vậy c (x) = , S(c(x)) = 1−x Sử dụng mệnh đề 1.2.7(1) ta suy c(x) = −L(1 − x) + c0 với c0 số Từ S(c(x)) = S(L(1 − x)) = suy c0 = ta nhận ∞ c(x) = − L(1 − x) = − ∞ = 1+ j=1 j x =1+ j j=1 ∞ j=1 (−1)j−1 (−x)j j (j − 1)! j x j! Vậy |C([j])| = (j − 1)! Ví dụ 1.5.5 Tìm số hạng tổng quát dãy số a0 = 1, an a0 + an−1 a1 + + a0 an = Giải: Xét hàm sinh A(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn + Biểu thức truy hồi gợi ta liên tưởng đến hệ số hai đa thức A(x).A(x) = a20 + (a0 a1 + a1 a0 )x + + (an a0 + an−1 a1 + + a0 an )xn + = + x + x2 + + xn = (1 − x)−1 Từ suy A(x) = (1 − x)−1/2 x2 n − xn = + ( )x + ( )( ) + + ( )( ) ( ) + 2 2 2 n! 38 Và n (2n − 1)! C2n an = = 2n 2n n! Ví dụ 1.5.6 (Bài toán chia kẹo Euler) Cho k, n số nguyên dương Tìm số nghiệm nguyên không âm phương trình x1 + x2 + + xn = k(∗) Gọi cn (k) số nghiệm (*) Xét tích tổng vô hạn (1 + x + x2 + )(1 + x + x2 + ) (1 + x + x2 + ) = (1 + x + x2 + )n Ta nhận xét khai triển tích thành chuỗi lũy thừa x (1 + x + x2 + )n = c0 + c1 x + + ck xk + ck = cn (k) Nhưng n −n (1 + x + x + ) = (1 − x) xk = + nx + + n(n + 1) (n + k − 1) + k! Suy cn (k) = n(n + 1) (n + k − 1) k = Cn+k−1 k! 39 Chương Tính bất khả quy chuỗi lũy thừa hình thức Trong chương ta tìm hiểu tính bất khả quy chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số nguyên 2.1 Tính phân tích vành Z[[x]] Trong phần lại mục ta chứng minh Z[[x]] miền phân tích Kết quan trọng phần Định lý 2.1.10 Trước hết ta đưa hai mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1.1 Nếu p số nguyên tố p phần tử nguyên tố Z[[x]] Chứng minh Giả sử c(x) = a(x)b(x), với a(x), b(x) ∈ Z[[x]], p(x) | c(x) p(x) b(x) Giả sử m lũy thừa nhỏ x cho p bm Vì m c m = a0 b m + aj bm−j , j=1 mà m p | cm , p | aj bm−j j=1 nên ta suy p | a0 Bằng quy nạp, giả sử p | aj với j < k Hệ số m+k cm+k = aj bm+k−j j=0 xếp lại là: 40 cm+k = ak bm + b j + bj i+j=m+k i+j=m+k i