Một số vấn đề về iđêan chiều không trong vành đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ÁI TRINH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ IĐÊAN CHIỀU KHÔNG TRONG VÀNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ÁI TRINH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ IĐÊAN CHIỀU KHÔNG TRONG VÀNH ĐA THỨC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 46 01 04 Người hướng dẫn: TS NGÔ LÂM XUÂN CHÂU LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Ngơ Lâm Xn Châu người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn Đại học Quy Nhơn dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Toán K21 giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Trong trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong nhận thơng cảm ý kiến đóng góp Thầy Xin trân trọng cảm ơn Mục lục Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại số đa thức 1.2 Thứ tự đơn thức phép chia đa thức 1.3 C s Grăobner 10 1.4 Đa tạp afin 16 1.5 Cơ sở đại số tuyến tính 18 Chuyển i c s Gră obner 21 2.1 Cỏc i s hữu hạn chiều 22 2.2 Thut toỏn chuyn i c s Grăobner FGLM 25 2.2.1 Bước lặp 25 2.2.2 Bước kiểm tra tính dừng 26 2.2.3 Bước chọn đơn thức 26 Giải hệ phương trình dựa vào giá trị riêng 31 3.1 Ánh xạ tuyến tính xác định đa thức 31 3.2 Giá trị hàm đa thức điểm đa tạp 35 i Kết luận 41 ii Mở đầu Giải hệ phương trình đa thức f1 = f2 = · · · = fs = 0, fi đa thức n biến với hệ số trường số phức C vấn đề đại số đa thức hình học đại số tính tốn Một cách tiếp cận đại số để nghiên cứu tập nghiệm hệ phương trình đa thức xét iđêan I = f1 , f2 , , fs sinh đa thức xác định hệ phương trình Khi tập nghiệm hệ phương trình tập nghiệm iđêan I Dựa vào tính chất ta tìm hệ sinh khác iđêan I mà hệ sinh giúp ta giải hệ phương trình Cơ sở Grăobner ca I i vi th t t in l hệ sinh đáp ứng yêu cầu (Chú ý xem tổng quát hóa phương pháp khử Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính cho hệ phương trình đa thức) Tuy nhiờn, vic tớnh c s Grăobner ca I i vi thứ tự từ điển trường hợp iđêan I tùy ý vành đa thức với số biến lớn nói chung nhiều thời gian Đối với iđêan chiều khơng, tương ứng với trường hợp hệ phương trình có hữu hạn nghiệm việc tính sở Grăobner nh vy tr nờn n gin hn nh vo thuật toán chuyển đổi sở FGLM Mặt khác, iđêan I có chiều khơng đại số A = C[x1 , x2 , , xn ]/I không gian véctơ hữu hạn chiều trường C Khi nghiên cứu nghiệm I dựa vào ma trận biểu diễn số tốn tử tuyến tính khơng gian véctơ A sở định A Điều cho phép ta sử dụng công cụ đại số tuyến tính để nghiên cứu tập nghiệm I Vì chúng tơi chọn đề tài "Một số vấn đề iđêan chiều không vành đa thức” nhằm tìm hiểu thuật tốn chuyển đổi sở FGLM tìm nghiệm I trường hợp chiều I khơng Với mục đích nêu trên, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành chương Chương trình bày số kiến thức đại số đa thức n biến trường, thứ tự đơn thức phép chia đa thc nhiu bin, c s Grăobner, thut toỏn Buchberger tỡm mt c s Grăobner, nh lý khụng im ca Hilbert (Nullstellensatz), định lý Cayley-Hamilton Các kết dùng cho phép chứng minh chương luận văn Chương trình bày đại số hữu hạn chiều tương ứng với iđêan chiều không thuật toán FGLM dùng để chuyển đổi sở Grăobner ca mt iờan chiu khụng Chng trỡnh by phương pháp giải hệ phương trình đa thức dựa vào giá trị riêng toán tử nhân Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức đại số đa thức n biến trường, thứ tự đơn thức phép chia đa thức nhiều biến, c s Grăobner, thut toỏn Buchberger tỡm mt c s Grăobner, nh lý khụng im ca Hilbert (Nullstellensatz), nh lý Cayley-Hamilton Các kết dùng cho phép chứng minh chương luận văn Các kết chương tham khảo từ tài liệu [CLO1], [NVTrung] 1.1 Đại số đa thức Cho R vành x1 , x2 , , xn (n ≥ 1) biến Ta gọi đơn thức biểu thức có dạng xa11 xa22 · · · xann ∈ N, i = 1, , n Nếu a1 = · · · = an = đơn thức kí hiệu Phép nhân tập đơn thức định nghĩa sau (xa11 · · · xann )(xb11 · · · xbnn ) = xa11 +b1 · · · xann +bn Từ biểu thức có dạng αxa11 · · · xann , α ∈ R gọi hệ số từ Hai từ khác không αxa11 xann βxa11 xann đồng dạng với Để cho tiện ta kí hiệu x = (x1 , , xn ), a = (a1 , , an ) ∈ Nn xa = xa11 · · · xann Đa thức n biến x1 , , xn vành R tổng hình thức từ: αa x a f (x) = có hữu hạn hệ số αa = Từ αa xa với αa = gọi từ đa thức f (x) xa đơn thức f (x) βa xa xem αa xa g(x) = Hai đa thức f (x) = a∈N n a∈N n n αa = βa với a ∈ N Phép cộng đa thức định nghĩa sau: αa x a βa xa + a∈Nn (αa + βa ) xa = a∈Nn a∈Nn Phép nhân đa thức định nghĩa sau: αa x a βa xa · a∈Nn a∈Nn γa = γa xa , = a∈Nn αb βc b,c∈Nn , b+c=a Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp tất đa thức n biến với hệ số vành R, ký hiệu R[x1 , , xn ], lập thành vành giao hốn, có đơn vị 1, gọi vành đa thức n biến vành R Mệnh đề 1.1.1 Cho R vành giao hốn, có đơn vị Các điều kiện sau tương đương: i) Mọi tập khác rỗng iđêan R có phần tử cực đại (đối với quan hệ bao hàm) ii) Mọi dãy tăng iđêan R I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ dừng, tức tồn k để Ik = Ik+1 = iii) Mọi iđêan R hữu hạn sinh, tức với iđêan I ⊆ R tồn f1 , f2 , , fs ∈ I cho I = (f1 , f2 , , fs ) Định nghĩa 1.1.2 Một vành giao hốn, có đơn vị, thỏa mãn ba điều kiện tương đương gọi vành Noether Định lý 1.1.1 (Định lý sở Hilbert) Cho R vành Noether x biến Khi vành R[x] vành Noether Hệ 1.1.1 Vành đa thức n biến K[x1 , , xn ], K trường, vành Noether Định lý 1.1.2 (Định lý chia đa thức biến) Cho K trường g(x) đa thức khác K[x] Khi đa thức f ∈ K[x] viết dạng f (x) = q(x).g(x) + r(x), q(x), r(x) ∈ K[x] r(x) = deg r(x) < deg g(x) Hơn nữa, q(x) r(x) xác định Hệ 1.1.2 Vành đa thức K[x] trường tùy ý vành iđêan chính, nghĩa iđêan sinh đa thức 1.2 Thứ tự đơn thức phép chia đa thức Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X tập hợp, S phận X × X, S gọi quan hệ thứ tự (bộ phận) X điều kiện sau thỏa mãn: i) (Phản xạ) Với x ∈ X : xSx có G =1 xG = − y + z G x2 = z G x3 = − yz + z G x4 = z G x5 = z + 2yz − 2z + Đến bước ta có Glex = ∅ Blex = {1, x, x2 , x3 , x4 , x5 } Với đơn thức G x6 ta có x6 = z Vì x6 G G G G = x5 + 2x3 − nên ta thêm đa thức x6 − x5 − 2x3 + vào Glex Như kết thúc bước ta có Glex = {x6 − x5 − 2x3 + 1}, Blex = {1, x, x2 , x3 , x4 , x5 } Thực bước kiểm tra tính dừng, điều kiện dừng khơng thỏa mãn nên thuật tốn tìm đơn thức kế tiếp, y Ta có G y G = y = x2 − xG Ta thêm y − x2 + x vào Glex Kết thúc bước ta có Glex = {x6 − x5 − 2x3 + 1, y − x2 + x}, Blex = {1, x, x2 , x3 , x4 , x5 } Điều kiện dừng không thỏa mãn, đơn thức xét z Ta có G z G = z = x2 Ta thêm z − x2 vào Glex Kết thúc bước ta có Glex = {x6 − x5 − 2x3 + 1, y − x2 + x, z − x2 } Blex = {1, x, x2 , x3 , x4 , x5 } 28 Vì LTlex (z − x2 ) = z nên thuật toán dừng Glex = {x6 − x5 − 2x3 + 1, y − x2 + x, z x2 } l c s Grăobner cn tỡm Định lý 2.2.1 Thuật tốn mơ tả dng i vi mi c s Grăobner G ca mt iđêan chiều không I Glex sở Grăobner ca I theo th t t in lex, hn nữa, Blex sở đơn thức tương ứng vành thương A = k[x1 , , xn ]/I Chứng minh Trước tiên ta nhận xét đơn thức đầu vào tăng dần theo thứ tự lex nên Glex = {g1 , , gk } LT (g1 ) lex xn Ta chng minh Glex l mt c s Grăobner ca I theo thứ tự lex Giả sử trái 29 lại Glex khụng l mt c s Grăobner ca I Khi tồn g ∈ I cho LT (g) không bội LT (gi ) nào, i = 1, , k Bằng cách thay g g Glex , ta giả sử g rút gọn Glex Nếu LT (g) lớn LT (gk ) = xα1 LT (g) phải bội LT (gk ) (vì lex thứ tự từ điển x1 biến lớn nhất) Điều không xảy ra, nghĩa tồn i < k cho LT (gi ) < LT (g) ≤ LT (gi+1 ) Nhưng đơn thức Blex tăng nghiêm ngặt đơn thức LT (gi ) Tất đơn thức không dẫn đầu g phải nhỏ LT (g) theo thứ tự lex Những đơn thức không chia hết cho LT (gj ) với j ≤ i g rút gọn Vì đơn thức khơng dẫn đầu xuất g thêm vào Blex thời điểm mà LT (g) xét bước chọn đơn thức g đa thức gi thêm vào Glex , tức g = gi+1 Điều trái với giả thiết g Vy Glex l mt c s Grăobner ca I thứ tự lex Cuối ta chứng minh thuật toán dừng, Blex bao gồm tất đơn thức sở xác định s Grăobner Glex Tht vy, cỏc n thc Blex có phần dư chia cho G độc lập tuyến tính A Mặt khác, đơn thức không chia hết cho LT (gi ) với gi ∈ Glex có phần dư phụ thuộc tuyến tính với phần dư đơn thức Blex Vì Blex sở A Chỳ ý 2.2.1 C s Grăobner nhn c t thut toỏn chuyn c s l mt c s Grăobner rỳt gọn 30 Chương Giải hệ phương trình dựa vào giá trị riêng Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp giải hệ phương trình đa thức dựa vào giá trị riêng toán tử nhân không gian véctơ hữu hạn chiều xác định iđêan có chiều khơng Các kết chương tham khảo từ tài liệu [CLO2] 3.1 Ánh xạ tuyến tính xác định đa thức Xét k-khơng gian véctơ A = C[x1 , , xn ]/I, I iđêan chiều khơng Với đa thức f ∈ C[x1 , , xn ] ta định nghĩa ánh xạ nhân mf : A → A theo quy tắc mf ([g]) = [f ] · [g] = [f g] ∈ A với [g] ∈ A Khi mf có tính chất sau Mệnh đề 3.1.1 a) Ánh xạ mf ánh xạ tuyến tính từ A đến A b) Ta có mf = mg f − g ∈ I Do hai đa thức cho ánh xạ tuyến tính chúng sai khác phần 31 tử I Nói riêng, mf ánh xạ khơng f ∈ I Chứng minh a) Nếu [g], [h] ∈ A c ∈ C mf (c[g] + [h]) = [f ] · (c[g] + [h]) = c[f ] · [g] + [f ] · [h] = cmf ([g]) + mf ([h]) b) Vì [1] ∈ A đơn vị phép nhân nên mf = mg [f ] = [f ] · [1] = mf ([1]) = mg ([1]) = [g] · [1] = [g], f − g ∈ I Ngược lại, f − g ∈ I, [f ] = [g] A, mf = mg Vì A không gian véctơ hữu hạn chiều C nên ta biểu diễn mf ma trận theo sở A Trong phần này, ta dùng sở đơn thức B A để biểu diễn ma trận mf Ta dùng mf để ký hiệu cho ma trận ánh xạ tuyến tính Ví dụ 3.1.1 Cho G = {x2 +3/2xy+1/2y −3/2x−3/2y, xy −x, y −y} Sử dụng thứ tự từ điển ngược phân bậc grevlex với x > y, ta dễ dàng chứng minh rng G l mt c s Grăobner ca iờan I = G ⊂ C[x, y] Từ suy ra, LT (I) = x2 , xy , y Do đơn thức khơng thuộc LT (I) B = {1, x, y, xy, y }, B sở C-không gian véctơ A = C[x, y]/I Bằng cách tính trực tiếp phần dư tích đơn thức chia cho G, ta lập bảng nhân cho phần tử sở B Đó 32 · x y xy y 1 x y xy y x x α xy β x y y xy y x y xy xy β x α xy y2 x y xy y y2 α = −3/2xy − 1/2y + 3/2x + 3/2y, β = 3/2xy + 3/2y − 3/2x − 1/2y Chẳng hạn, với f = x ta có   0 0 0   1 3/2 −3/2 1      mx = 0 3/2 −1/2 0    0 −3/2 3/2 0     −1/2 3/2 Ta chứng minh tương ứng f → mf xác định đồng cấu vành từ C[x1 , , xn ] đến vành ma trận Md×d (C) cấp d, d chiều không gian véctơ A C hạt nhân đồng cấu iđêan I Cụ thể, ta có mệnh đề sau Mệnh đề 3.1.2 Cho f, g phần tử C[x1 , , xn ] Khi a) mf +g = mf + mg b) mf g = mf · mg (trong phép nhân bên phải hiểu hợp tốn tử tuyến tính phép nhân ma trận) 33 m i i=0 ci t Giả sử h(t) = h(f ) = m i i=0 ci f ∈ C[t] đa thức biến Ta ký hiệu ∈ C[x1 , , xn ] h(mf ) = m i i=0 ci (mf ) ∈ Md×d (C) Từ mệnh đề ta suy hệ sau Hệ 3.1.1 Cho h ∈ C[t] f ∈ C[x1 , , xn ] Khi mh(f ) = h(mf ) Hệ 3.1.2 Cho h ∈ C[t] f ∈ C[x1 , , xn ] Khi h(mf ) = ⇔ h([f ]) = [0] A Chứng minh Theo Hệ 3.1.1, h(mf ) = ⇔ mh(f ) = Theo Mệnh đề 3.1.1, mh(f ) = ⇔ h(f ) ∈ I Điều tương đương với h([f ]) = [0] A Vì A khơng gian véctơ hữu hạn chiều nên tập hợp {1, [f ], [f ]2 , } phụ thuộc tuyến tính A Do có tổ hợp tuyến tính không tầm thường m ci [f ]i = [0], i=0 ci ∈ C khơng đồng thời khơng Từ suy h(t) = m i i=0 ci f m i i=0 ci t m i i=0 ci f ∈I triệt tiêu tập V (I) Nói cách khác, ta đặt h(f ) ∈ I h(mf ) = mh(f ) = 34 3.2 Giá trị hàm đa thức điểm đa tạp Ta muốn tìm nghiệm hệ phương trình đa thức     f1 (x1 , x2 , , xn ) =       f2 (x1 , x2 , , xn ) =          fs (x1 , x2 , , xn ) = C Gọi I iđêan vành đa thức C[x1 , x2 , , xn ] sinh đa thức f1 , , fs Khi tập nghiệm hệ phương trình tập nghiệm I, V (I) = {(a1 , a2 , , an ) ∈ Cn | f (a1 , a2 , , an ) = 0, ∀f ∈ I} Khi hệ phương trình có hữu hạn nghiệm, tức V (I) tập hữu hạn, theo Định lý hữu hạn 2.1.1 ta có I iđêan chiều khơng đại số A = C[x1 , , xn ]/I hữu hạn chiều Để xác định điểm V (I) ta xác định thành phần tọa độ điểm Trong phần ta xác định giá trị hàm đa thức điểm V (I) Nói riêng, ta áp dụng điều cho hàm tọa độ f = xi ta tọa độ điểm V (I) Ký hiệu hf đa thức cực tiểu toán tử nhân mf A Định lý 3.2.1 Cho I ⊂ C[x1 , , xn ] iđêan có chiều khơng, cho f ∈ C[x1 , , xn ] giả sử hf đa thức cực tiểu mf A = C[x1 , , xn ]/I Khi đó, với λ ∈ C, điều sau tương đương: 35 a) λ nghiệm phương trình hf (t) = 0, b) λ giá trị riêng ma trận mf , c) λ giá trị hàm f V (I) Chứng minh (a) ⇒ (b) Vì hf chia hết đa thức đặc trưng mf nên nghiệm λ hf nghiệm đa thức đặc trưng mf , tức λ giá trị riêng ma trận mf (b) ⇒ (c) Giả sử λ giá trị riêng mf Khi có véctơ riêng tương ứng [z] = [0] ∈ A cho [f −λ][z] = [0] Giả sử λ giá trị f V (I) Nghĩa là, giả sử V (I) = {p1 , , pm } f (pi ) = λ với i = 1, , m Đặt g = f − λ, ta có g(pi ) = với i Bằng cách xây dựng tương tự công thức nội suy Lagrange ta tồn đa thức gi cho gi (pj ) = i = j gi (pi ) = Xét đa thức m g = i=1 gi g(pi ) Ta có g (pi )g(pi ) = với i − g g ∈ I(V (I)) Theo định lý không điểm Hilbert dạng mạnh (Định lý 1.4.2), tồn số nguyên l ≥ cho (1 − g g)l ∈ I Bằng cách khai triển theo định lý nhị thức tập hợp số hạng chứa nhân tử g, ta − g˜g ∈ I với g˜ ∈ C[x1 , , xn ] Điều suy [1] = [˜ g ][g] A Mặt khác, ta có [g][z] = [f − λ][z] = [0] A Nhân hai vế với [˜ g ], ta [z] = [0], mâu thuẫn Do λ phải giá trị f V (I) (c) ⇒ (a) Đặt λ = f (p) với p ∈ V (I) Theo Hệ 3.1.2, hf (mf ) = nên hf ([f ]) = [0] A Điều suy hf (f ) ∈ I Nghĩa hf (f ) 36 triệt tiêu điểm V (I), hf (λ) = hf (f (p)) = (hf (f ))(p) = Áp dụng định lý với f = xi ta có hệ sau Hệ 3.2.1 Cho I ⊂ C[x1 , , xn ] iđêan chiều khơng Khi giá trị riêng toán tử nhân mxi A trùng với tọa độ thứ i điểm V (I) Hơn nữa, thay t = xi đa thức cực tiểu hxi ta nhận phần tử sinh đơn iđêan khử I ∩ C[xi ] Ví dụ 3.2.1 Xét hệ phương trình  3   xy + y − x − y x +    2 2  xy − x      y − y =0 =0 = Vì phương trình hệ đơn giản nên ta giải trực tiếp thấy hệ có nghiệm sau (0, 0), (1, 1), (−1, 1), (1, −1), (2, −1) Trong ví dụ ta muốn tìm lại nghiệm cách sử dụng Hệ 3.2.1 Xét iđêan sinh đa thức xác định hệ phương trình 3 I = x2 + xy + y − x − y, xy − x, y − y 2 2 Như ta xét Ví dụ 3.1.1, sở đơn thức C-không gian véctơ A = C[x, y]/I B = {1, x, y, xy, y } 37 Đối với sở này, ta tìm ma trận  0  1 3/2   mx =  0 3/2  0 −3/2   −1/2 toán tử nhân mx ,  0 0  −3/2 1   −1/2 0   3/2 0   3/2 Sử dụng lệnh MinimalPolynomial Maple (gói LinearAlgebra), ta đa thức cực tiểu ma trận mx hx (t) = t4 − 2t3 − t2 + 2t Các nghiệm đa thức 0, −1, 1, Đây tọa độ thứ điểm V (I) Tương tự, ta tìm ma trận toán tử nhân my ta   0 0 0   0 0 0      my =  0     0 0 0     0 0 Chú ý tính my lệnh MultiplicationMatrix gói Groebner Đa thức cực tiểu ma trận my hy (t) = t3 − t Các nghiệm đa thức 0, 1, −1 Đây tọa độ thứ hai điểm V (I) Bằng cách thử hữu hạn cặp giá trị (x, y) ta tìm nghiệm hệ phương trình 38 Ví dụ 3.2.2 Xét hệ phương trình     x2 − 2xz + =    xy + yz + =      3y − 8xz = Đầu tiên, tính sở Grăobner xỏc nh c s n thc cho i số thương Ta sử dụng thứ tự đơn thức grevlex: Polylist:=[x^2-2*x*z+5, x*y^2+y*z+1, 3*y^2-8*x*z]; G:=Basis(Polylist, tdeg(x,y,z)); B:=NormalSet(G, tdeg(x,y,z))[1]; Ta B = {1, y, z, x, z , yz, xz, xy} Ma trận toán tử nhân mx sở   −3/8  0 0 −5 −3/16   0 0  5/2 0     0 0  0 −5     1 0  0 0   mx =   0 0  −1 −2     0 0 −3/16 −3/20 −3/8 −3/10       0 0  0   0 0 3/40 3/20 Đa thức cực tiểu mx hx (t) = − 375 27 15 355 157 − t + t + t + t + t + t8 16 2 16 16 39 Tương tự, ta có đa thức cực tiểu my mz 80 400 20 157 − t + t − t − t + t7 + t8 , 9 12 27 45 3991 157093 77 1263 hz (t) = − + t− t2 + t − t − t − t +t 20480 128 32 320 3840 16 320 hy (t) = Đây đa thức bậc cao Việc tìm nghiệm xác đa thức khó Trong trường hợp ta áp dụng phương pháp số để tìm nghiệm xấp xỉ phương trình đa thức phương pháp số để tìm giá trị riêng xấp xỉ ma trận Chú ý ma trận mx , my , mz đa thức cực tiểu chúng độc lập Vì ta tìm nghiệm xấp xỉ (x, y, z) hệ phương trình phương pháp sai số của thành phần tọa độ không ảnh hưởng đến sai số thành phần tọa độ khác 40 Kết luận Luận văn thực cơng việc sau Trình bày khỏi nim c bn lý thuyt c s Grăobner đại số tuyến tính Trình bày thuật tốn chuyn i c s Grăobner ca mt iờan chiu khụng thứ tự cho trước để tìm s Grăobner ca iờan ú i vi th t t điển Kết ứng dụng để giải hệ phương trình đa thức phương pháp khử Trình bày phương pháp giải hệ phương trình đa thức dựa vào giá trị riêng toán tử nhân không gian véctơ hữu hạn chiều tương ứng với iđêan chiều không 41 Tài liệu tham khảo [CLO1] D Cox, J Little, D O’Shea Ideals, Varieties, and Algorithms, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1997 [CLO2] D Cox, J Little, D O’Shea Using algebraic geometry Springer (2005) [FGLM] J Faugère, P Gianni, D Lazard and T Mora Efficient computation of zero-dimensional Grăobner bases by change of ordering, J Symbolic Comput 16 (1993), 329-344 [NVTrung] Ngô Việt Trung Giáo trình Đại số tuyến tính NXB ĐHQG Hà Nội (2001) 42 ... ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN ÁI TRINH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ IĐÊAN CHIỀU KHÔNG TRONG VÀNH ĐA THỨC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 46 01 04 Người hướng dẫn: TS NGÔ LÂM XUÂN CHÂU... Giải hệ phương trình đa thức f1 = f2 = · · · = fs = 0, fi đa thức n biến với hệ số trường số phức C vấn đề đại số đa thức hình học đại số tính tốn Một cách tiếp cận đại số để nghiên cứu tập nghiệm... cụ đại số tuyến tính để nghiên cứu tập nghiệm I Vì chúng tơi chọn đề tài "Một số vấn đề iđêan chiều không vành đa thức? ?? nhằm tìm hiểu thuật tốn chuyển đổi sở FGLM tìm nghiệm I trường hợp chiều