Iđêan nguyên tố và iđêan nguyên tố liên kết

Lời nói đầu Iđêan nguyên tố là một khái niệm mà chúng ta ít nhiều đã đợc làm quen trong môn học Môđun và đại số. Nhng chúng ta chỉ mới nhắc tới một cách rất sơ lợc và đơn giản mà cha đi sâu vào nghiên cứu một số tính chất, mệnh đề, hệ quả và định lý. Chính vì vậy mà chúng ta cũng cha thấy đợc ứng dụng rất lớn của nó trong sự phát triển của toán học. Trong khoá luận này chúng tôi cũng đã nghiên cứu một cách tổng quát khái niệm iđêan nguyên tố liên kết của một vành giao hoán. Từ đó xét các tính chất, mệnh đề, hệ quả, cùng với mối quan hệ giữa môđun và iđêan nguyên tố liên kết. Khoá luận đợc chia làm hai phần nh sau Đ1: Iđêan nguyên tố, ví dụ. Đ2: Iđêan nguyên tố liên kết. Khoá luận này đợc hoàn thành tại khoa toán trờng Đại Học Vinh. Trong quá trình viết khoá luận, tác giả đợc sự hớng dẫn nhiệt tình, sự góp ý xác đáng cho nội dung và thuật ngữ trình bày trong khoá luận của PGS TS.Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin trân trọng gửi đến PGS TS. Ngô Sỹ Tùng lời cảm ơn sâu sắc nhất. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng cảm ơi tới các thầy cô ở tổ Đại số và Khoa Toán đã giúp đỡ, dạy bảo tác giả trong suốt quá trình học tập dới mái trờng Đại Học Vinh thân yêu. Vinh, tháng 04 năm 2004 Nguyễn Thị Phơng 1 Mục lục Trang Lời nói đầu 1 Đ1: Iđêan nguyên tố 4 1.1. Định nghĩa 4 1.2. Ví dụ 4 1.3. Các tính chất của một iđêan nguyên tố 4 - Mệnh đề 1 5 - Mệnh đề 2 5 - Mệnh đề 3 5 - Mệnh đề 4 6 1.4. Bổ đề 6 1.5. Hệ quả 7 1.6. Định lý 8 1.7. Định lý 9 1.8. Định lý tránh nguyên tố 11 Đ2. Iđêan nguyên tố liên kết 12 - Mệnh đề 6 12 - Hệ quả 1 13 - Hệ quả 2 13 - Định nghĩa 14 - Bổ đề 15 - Mệnh đề 7 15 - Mệnh đề 8 16 2 - HÖ qu¶ 3 16 - HÖ qu¶ 4 17 - MÖnh ®Ò 9 17 - MÖnh ®Ò 10 18 - HÖ qu¶ 19 - MÖnh 11 20 3 Đ1. iđêan nguyên tố. Trong suốt tiết này ta luôn giả thiết A là vành giao hoán có đơn vị I.1. Định nghĩa: (i) Một iđêan thực sự a của một vành A đợc gọi là iđêan nguyên sơ nếu xy a và y a n N * : x n a . (ii) Iđêan thực sự P đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu. xy P và x P hoặc y P (iii) Iđêan m đợc gọi là iđêan cực đại nếu m là phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm) trong tập hợp các iđêan thực sự của A. (iv) Cho a là một iđêan của A. Tập hợp Rad( a ) xác định bởi Rad( a )={x A\ n N * : x n a } đợc gọi là căn của a . Dễ thấy Rad( a ) cũng là một iđêan của A. Đặc biệt căn của iđêan không {0} đợc gọi là căn luỹ linh của A và đợc ký hiệu là Rad(A). Tức là Rad(A) = {x A\ n N * : x n = 0} Một phần tử của Rad(A) đợc gọi là phần tử luỹ linh của A I.2. Ví dụ: Xét vành Z khi đó mọi iđêan có dạng nZ = {nk \ k Z} 1. Với n là một số nguyên tố thì nZ đều là iđêan nguyên tố Giả sử mọi xy Z sao cho xy nZ ta cần chứng minh x n hoặc y n Do xy nZ xy n. Giả sử x nZ x không phải là bội của n. Do n nguyên tố nên y là một bội của n y = nZ. Vậy n nguyên tố. 2. Cho p là một số nguyên tố và là một số tự nhiên tuỳ ý ta thấy ngay rằng Rad(p Z) = pZ là iđêan cực đại. Điều này chứng tỏ rằng p Z là một iđêan nguyên sơ của Z. Vậy nZ là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi n là luỹ thừa của một số nguyên tố. I.3. Các tính chất của một iđêan nguyên tố. Cho a là một iđêan của vành A. Ta có các kết quả sau 4 Mệnh đề 1: a là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi A/ a là một miền nguyên Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử a là một iđêan nguyên tố và x, y A là hai phần tử tuỳ ý của A mà. (x+ a )(y+ a ) = xy+ a = 0+ a . Từ đây ta suy ra xy a . Do a là iđêan nguyên tố nên một trong hai phần tử x, y phải nằm trong iđêan a . Chẳng hạn x a . Điều này chứng tỏ A/ a là một miền nguyên Điều kiện đủ: Giả sử x,y A sao cho xy a . Chứng minh x a hoặc y a ta có (x+ a )(y+ a )=xy+ a = 0 + a Từ đây ta suy ra x= 0 hoặc y = 0. Do A/ a nguyên tố nên một trong hai phần tử x a hoặc y a a nguyên tố Mệnh đề 2: a là iđêan cực đại khi và chỉ khi A/ a là một trờng Chứng minh: Điều kiện cần: vì a cực đại suy ra không tồn tại iđêan J A mà J a A\ a không có iđêan nào ngoài hai iđêan tầm thờng là và A\ a A\ a là một trờng. Điều kiện đủ: Vì A\ a là một trờng suy ra A\ a không có iđêan nào ngoài hai iđêan tầm thờng là và A\ a . Giả sử J a là iđêan mà J a J = a a cực đại. Mệnh đề 3: a là iđêan nguyên sơ khi đó Rad ( a ) là iđêan nguyên tố. Chứng minh: 5 Do a là một iđêan nguyên tố a là một iđêan của A. Theo định nghĩa 1.1 (iv) Rad( a )= { x A\ n N * : x n a }. Nghĩa là. xy a x A hoặc y A Vậy Rad( a ) là iđêan nguyên tố. Mệnh đề 4: Một iđêan cực đại luôn là iđêan nguyên tố, một iđêan nguyên tố luôn là iđêan nguyên sơ. Chứng minh: Giả sử m là một iđêan cực đại và giả sử x,y A sao cho xy m. Giả thiết rằng x m. Khi đó m + Ax là iđêan thực sự chứa m và do đó phải bằng A. Do đó ta có thể viết. 1= u + bx (1) Trong đó u m và b A. nhân hai vế của (1) với y ta đợc y = yu + bxy. Từ đó y m và nh vậy m là iđêan nguyên tố. Chứng minh một iđêan nguyên tố luôn là một iđêan nguyên sơ. Giả sử a là một iđêan nguyên tốcủa vành A. Do a là nguyên tố nên xy a ta có x a hoặc y a . Nếu y a x a và giả sử n là một số nguyên dơng x n a a nguyên sơ Nếu y a x a và cũng giả sử n là một số nguyên dơng y n a a nguyên sơ I.4. Bổ đề: Trong một vành giao hoán A luôn tồn tại ít nhất một iđêan cực đại. Chứng minh: Xét tập hợp tất cả các iđêan khác với A. khi đó với thứ tự bao hàm theo định nghĩa tập hợp sẽ lập thành một tập hợp sắp bộ phận. 6 Vì {o} nên Giả sử. a 1 a 2 a 3 là một xích tuỳ ý các iđêan trong .Rõ ràng. a = a i lại là một iđêan của A. Hơn nữa a . Vì nếu 1 a thì tồn tại một iđêan a n trong xích sao cho 1 a n , tức a n =A. Vậy mọi xích trong đều bị chặn khi đó theo bỗ đề Kuratowski- Zorn trong có ít nhất một phần tử cực đại m. Hiển nhiên khi đó m là một iđêan cực đại của A. I.5. Hệ quả: Mọi iđêan thực sự của một vành giao hoán luôn nằm trong một iđêan cực đại. Chứng minh: Cho a là một iđêan thực sự của vành giao hoán A và m là một iđêan cực đại nào đó. Xét vành A\ a , áp dụng bỗ đề (1.4) ta cũng xét tập hợp tất cả các iđêan khác với A. Khi đó với thứ tự bao hàm theo nghĩa tập hợp sẽ lập thành một tập đợc sắp bộ phận. Vì {o} nên . Giả sử a 1 a 2 a 3 là một xích tuỳ ý các iđêan trong . Rõ ràng a = a is lại là một iđêan của R. Hơn nữa a và 1 a i với mọi i thì do đó 1 không nằm trong iđêan a = a i là iđêan trội hơn mọi a i . Khi đó m A và m là iđêan tối đại. Một vành giao hoán đợc gọi là vành địa phơng nếu nó chỉ có một iđêan cực đại duy nhất. Khi đó theo hệ quả (3.5) thì mọi iđêan thực sự của một vành địa phơng đều nằm trong iđêan cực đại duy nhất của nó. Đây là lớp vành giao hoán rất quan trọng có nhiều ứng dụng trong đại số. 7 = 1i = 1i = 1i Bây giờ, ngoài giao của những iđêan ta xác định thêm một số phép toán trên iđêan . - Tổng của hai iđêan a và b trong một vành R là tập hợp xác định bỡi. a +b = { a +b\ a a , b b}. Rõ ràng a +b là một iđêan và nó chính là iđêan bé nhất chứa a và b. - Tích của hai iđêan a và b trong một vành R là iđêan xác định bỡi. a b = { a i b i \ a i a , b i b, phép lấy tổng là hữu hạn} 1.6. Định lý: Căn luỹ linh Rad(A) của một vành giao hoán A là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của A. Chứng minh: Ta gọi n là iđêan đợc xác định bỡi giao của tất cả các iđêan nguyên tố của R. Cho x Rad(A) và P là một iđêan nguyên tố tuỳ ý của R. Khi đó tồn tại một số tự nhiên n sao cho. x n = 0 P. Từ đây ta suy ra, dựa vào tính nguyên tố của P, x P. Tức ta đã chứng minh đợc. Rad(A) n Để chứng minh bao hàm thức ngợc lại ta cần chỉ ra rằng, với một phần tử 0 x R cho trớc. x Rad(A) x n Thật vậy xét tập hợp tất cả các iđêan a của R có tính chất x n a . Với mọi số tự nhiên n. Rõ ràng là một tập hợp đợc sắp xếp thứ tự với quan hệ bao hàm theo nghĩa tập hợp và vì {0} . Giả sử a 1 a 2 a 3 là một xích tuỳ ý các iđêan trong . Rõ ràng. 8 = 1i a = a i lại là một iđêan của A. Hơn nữa a . Vì nếu tồn tại một số tự nhiên n để x n a thì cũng tồn tại một số tự nhiên k sao cho x n a k . Vậy mọi xích trong đều bị chặn. Nên theo bổ đề Kuratowski Zorn phải tồn tại một phần tử cực đại P trong . Nếu P là iđêan nguyên tố thì ta suy ra x n và mệnh đề đ- ợc chứng minh xong. Giả sử ngợc lại rằng P không là iđêan nguyên tố khi đó tồn tại hai phần tử a , b P màm a b P. Điều này chứng tỏ P nằm thực sự trong các iđêan a A + P và bA +P, nghĩa là hai iđêan này không thuộc vào . Vậy tồn tại hai số tự nhiên n, m sao cho. x n a A + P và x m bA + P. Từ đây suy ra x nm ( a A + P)(bA + P) = a bA + P = P. Điều này mâu thuẫn với tính chất P . Định lý đợc chứng minh hoàn toàn. I.6. Định lý: Cho a 1 a n là nững iđêan trong một vành giao hoán. A thoã mãn tính chất a i + a j = A, i j khi đó các mệnh đề sau là đúng. i) a i = a i ii) Với mỗi họ tuỳ ý {x 1 ,,x n } các phần tử của A luôn tồn tại một phần tử x A sao cho x x i (mod a i ), i = 1,,n. Chứng minh: i) Ta chứng minh (i) bằng quy nạp theo n. Với n = 2. Ta dễ dàng chứng minh đợc rằng ( a 1 + a 2 )( a 1 a 2 ) a 1 a 2 Vì 9 n i 1 = = n i 1 x 0 (mod a 1 a n-1 ) x n (mod a i ) a 1 a 2 a 1 a 2 và a 1 + a 2 = A nên ta suy ra a 1 a 2 = a 1 a 2 . Giả sử ta đã chứng minh đợc cho trờng hợp n-1 iđêan a 1 ,, a n-1 Đặt b = a i = a i vì a i + a n = A, i = 1,, n-1 nên tồn tại những phần tử x i a i và y i a n sao cho x i +y i = 1. Từ đây ta suy ra x i = (1-y) 1 ( mod a n ) Điều nay chứng tỏ a n + b = a . áp dụng một lần nữa trờng hợp n =2 cho các iđêan a n và b ta đợc a i = b a n = b n = a i ii) Ta cũng chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo n. Với n = 2 do a 1 + a 2 = A. Nên tồn tại các phần tử a 1 a 1 và a 2 a 2 sao cho a 1 + a 2 = 1. Khi đó x = a 1 x 2 + a 2 x 1 chính là phần tử thoã mãn các đòi hỏi của mệnh đề. Bây giờ, giả sử mệnh đề đã đợc chứng minh cho n-1 iđêan a 1 ,, a n-1 tức tồn tại x 0 A để x 0 x i (mod a i ), i = 1, , n-1 Hoàn toàn tơng tự nh chứng minh ở phần (i) ta có a n + a 1 a n-1 = A Vậy theo giả thiết qui nạp với n = 2 cho các iđêan a n , và a 1 a n-1 , phải tồn tại phần tử x A sao cho x Vậy x chính là phần tử cần tìm. 1.8. Định lý tránh nguyên tố: Các mệnh đề sau là đúng cho một vành giao hoán A. (i) Cho P 1 ,,P n là những iđêan nguyên tố và a là iđêan của A. Giả sử a P i , i = 1,,n khi đó a P i 10 1 1 = n i = 1 1 n i = 1 1 n i = 1 1 n i n i 1 = = n i 1 n i 1 = . là iđêan nguyên tố liên kết với M. Mệnh đề 11: Giả sử N là môđun con của M. Mọi iđêan nguyên tố liên kết với N cũng liên kết với M. Một iđêan nguyên tố. là iđêan nguyên tố. Mệnh đề 4: Một iđêan cực đại luôn là iđêan nguyên tố, một iđêan nguyên tố luôn là iđêan nguyên sơ. Chứng minh: Giả sử m là một iđêan