Một số lớp ideal đặc biệt trong vành giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Đinh Thị Dĩnh MỘT SỐ LỚP IDEAL ĐẶC BIỆT TRONG VÀNH GIAO HOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Đinh Thị Dĩnh MỘT SỐ LỚP IDEAL ĐẶC BIỆT TRONG VÀNH GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Th.S Đỗ Văn Kiên Hà Nội – Năm 2016 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Đỗ Văn Kiên tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian thực đề tài thực tập Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô tổ đại số-khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành đề tài thực tập Em xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện thuân lợi cho em trình thực đề tài thực tập Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đinh Thị Dĩnh LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan, hướng dẫn Thầy Đỗ Văn Kiên đề tài "Một số lớp ideal đặc biệt vành giao hoán" hoàn thành không trùng với đề tài khác Trong trình hoàn thành đề tài, em thừa kế thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đinh Thị Dĩnh Mục lục Lời mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức vành ideal 1.2 Các phép toán ideal 1.2.1 Tổng ideal 1.2.2 Tích ideal 10 1.2.3 Tích họ ideal 13 1.2.4 Giao ideal 14 1.2.5 Căn ideal 15 1.2.6 Thương ideal 17 Một số lớp ideal đặc biệt 19 2.1 Ideal cực đại 19 2.2 Ideal nguyên tố 24 2.3 Ideal nguyên sơ 33 2.4 Mối liên hệ ideal cực đại, ideal nguyên tố ideal nguyên sơ i 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Dĩnh Địa phương hóa vành 41 3.1 Địa phương hóa vành 41 3.2 Một số ví dụ 48 3.3 Phổ vành R/I 49 3.4 Phổ vành S −1 R 50 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Dĩnh Lời mở đầu Lý chọn đề tài Đại số ngành quan trọng toán học Nó không sở cho nhiều ngành toán học khác mà có ứng dụng số ngành khoa học - kĩ thuật Kiến thức đại số phong phú trừu tượng, xây dựng phát triển từ kiến thức cấu trúc đại số như: nhóm, vành, môđun, Mặt khác khái niệm ideal nguyên tố, ideal cực đại, ideal nguyên sơ khái niệm trọng tâm cho việc ứng dụng lý thuyết vành giao hoán vào hình học đại số Có thể nói vần đề ideal phần quan trọng lý thuyết vành Tuy nhiên chương trình đại học, vần đề trình bày cách sơ lược Vì em chọn đề tài “Một số lớp ideal đặc biệt vành giao hoán” đề tài khóa luận Mục đích nghiên cứu -Cung cấp kiến thức số lớp ideal đặc biệt vành giao hoán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Dĩnh Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm ideal cực đại, nguyên tố, nguyên sơ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tương nghiên cứu: Các khái niệm lớp ideal đặc biệt vành giao hoán địa phương hóa vành Phạm vi nghiên cứu: Nội dung kiến thức phạm vi đại số giao hoán Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo đề tài bao gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số lớp ideal đặc biệt Chương 3: Địa phương hóa vành Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức vành tính chất vành, ideal, phép toán ideal 1.1 Một số kiến thức vành ideal Định nghĩa 1.1 Cho X tập tùy ý khác rỗng Trên X trang bị hai phép toán hai ngôi, kí hiệu (+) (.) Khi X gọi vành X hai phép toán (+) (.) thỏa mãn tiên đề sau i) X phép cộng lập thành nhóm Abel ii) X phép nhân nửa nhóm iii) Phép nhân phân phối phép cộng, tức với x, y, z ∈ X ta có x(y + z) = xy + xz (x + y)z = xz + yz Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Dĩnh Hơn nữa, phép nhân giao hoán X gọi vành giao hoán Nếu phép nhân có đơn vị X gọi vành có đơn vị Nếu phép nhân vừa giao hoán vừa có đơn vị X gọi vành giao hoán có đơn vị Ví dụ 1.1 Tập hợp Z, Q, R, C với phép cộng phép nhân thông thường vành giao hoán có đơn vị Ví dụ 1.2 Tập Zn (n ≥ 1) với phép cộng phép nhân thông thường a+b=a+b a.b = a.b vành lớp thặng dư môđun n Mệnh đề 1.1 Cho X vành Với x, y, z ∈ X ta có i) x (y − z) = xy − xz , (y − z) x = yx − zx ii) 0.x = x.0 = iii) x (−y) = (−x) y = −xy , (−x) (−y) = xy Định nghĩa 1.2 Cho X vành, A phận ổn định với hai phép toán X, nghĩa x + y ∈ A xy ∈ A, với x, y ∈ A A gọi vành vành X A hai phép toán cảm sinh A vành Mệnh đề 1.2 Cho X vành, tập A phận khác rỗng X Các khẳng định sau tương đương Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Dĩnh Hiển nhiên f đồng cấu vành Hơn giả sử f (a) = a =0= 1 tức tồn s ∈ S cho s (1.a − 1.0) = sa = Nhưng ∈ S tức S ̸= nên a = (vì R miền nguyên) Vậy f đơn cấu Nhận xét 3.2 Giả sử I ideal nguyên tố miền nguyên R Khi S = R\I tập nhân đóng không chứa phần tử I không khả nghịch S −1 R Chứng minh Thật I ideal nguyên tố nên theo định nghĩa ideal nguyên tố suy S tập nhân đóng không chứa Theo mệnh đề (3.1) f : R → S −1 R đơn cấu vành Ta giả sử a phản chứng phần tử a = I khả nghịch S −1 R a r ar Khi đó, có r ∈ R, s ∈ S cho = = Tức có t ∈ S để s s cho t (ar − s) = R Vì R miền nguyên t ̸= (do t ∈ S) nên ar − s = Suy s = ar ∈ I Do I ideal Điều vô lí s ∈ S = R\I Mâu thuẫn, bác bỏ giả thiết phản chứng Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 3.2 Cho S tập nhân đóng vành R f : R → S −1 R a a→ đồng cấu tự nhiên Hơn f có tính chất i) Mọi phần tử f (s) khả nghịch S −1 R 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Dĩnh ii) Với a ∈ R, f (a) = tồn t ∈ S cho t.a = iii) Mọi phần tử a S −1 R, (a ∈ R, s ∈ S) có dạng f (a) (f (s))−1 s Chứng minh Dễ thấy f đồng cấu vành, với x, y ∈ R f (x + y) = x+y x y = + = f (x) + f (y) 1 x.y x y = = f (x).f (y) 1 1 s 1 s i) Với s ∈ S, f (s) = tồn ∈ S −1 R thỏa mãn = s s s −1 Suy f (s) = khả nghịch S R a ii) Với a ∈ R, f (a) = = ⇔ (a, 1) ∼ (0, 1) 1 Suy tồn s ∈ S cho s (1.a − 1.0) = ⇔ sa = a a a a ( s )−1 −1 iii) Với ∈ S R suy = = = f (a) f (s)−1 s s s 1 f (x.y) = Định lý 3.3 (Tính phổ dụng địa phương hóa) Cho R, X vành, S tập nhân đóng R Cho đồng cấu vành g : R → X cho phần tử g(s) khả nghịch X với s ∈ S Khi tồn đồng cấu vành h : S −1 R → X làm cho biểu đồ sau giao hoán R FF g FF f FF FF F# /X x x x xx xx h x x{ S −1 R Tức h.f = g (a) Chứng minh Tính Do h.f = g nên h ( ) a ∈ R h = h.f (s)−1 = g(s)−1 với s ∈ S s 46 = g (a) với Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Dĩnh Suy h xác định g (a) Sự tồn Đặt h = g (a) (g (s))−1 Khi h định nghĩa tốt s a a′ = ′ ta suy tồn t ∈ S cho (a.s′ − a′ s) t = s s Ta suy (g (a) g (s′ ) − g (a′ ) g (s)) g (t) = Vì g(t) khả nghịch (theo giả thiết) nên g (a) g (s′ ) = g (a′ ) g (s) Vì g(s, ), g(s′ ) khả nghịch nên g (a) (g (s))−1 = g (a′ ) (g (s′ ))−1 Dễ thấy h.f = g Định lý 3.4 Cho g : R → X đồng cấu vành thỏa mãn i) g(s) khả nghịch với s ∈ S ii) Nếu g (a) = tồn s ∈ S cho as = iii) Với x ∈ X, a ∈ R, s ∈ S ta suy x = g (a) (g (s))−1 Khi tồn h : S −1 R ∼ = X thỏa mãn h.f = g Chứng minh Xét đồng cấu h : S −1 R → X a → g (a) (g (s))−1 s ta suy h.f = g Theo (iii) ta suy h toàn cấu (a) Nếu h = ta suy g (a) (g (s))−1 = Suy g (a) = s Từ (ii) suy tồn t ∈ S cho at = suy h đơn cấu Vậy ta có điều phải chứng minh 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2 Đinh Thị Dĩnh Một số ví dụ Ví dụ 3.1 Cho R vành giao hoán, S tập phần tử khả nghịch R S tập nhân đóng R S −1 R = R Ví dụ 3.2 Cho R miền nguyên, S = R\ {0} tập nhân đóng S −1 R trường gọi trường phân thức miền nguyên R Thật vậy, S −1 R vành giao hoán có hai phần tử 1 ( r )−1 r Ta phải với ̸= tồn s s r Vì ̸= ⇔ ∀ t ∈ S : rt ̸= ⇒ r ̸= s r s s Vì R miền nguyên ta suy r ∈ S suy ∈ S −1 R thỏa mãn = r s r s r −1 Suy nghịch đảo Vậy S R trường r s Ví dụ 3.3 Cho a ∈ R, S = {an | n ≥ 0}, kí hiệu {r } −1 Ra = S R = |r ∈ R, n ≥ an Ví dụ 3.4 Giả sử R = K [X] vành đa thức ẩn X với hệ số trường K Khi K (X) = (K [X] \ {0})−1 K [X] gọi trường phân thức ẩn X với hệ số K Mỗi phần tử K [X] P (X) gọi phần tử có dạng , P (X) , Q (X) ∈ K [X] Q (X) Q (X) ̸= Ví dụ 3.5 Với R = Z, S = Z\ {0} ta có } {m −1 ∗ ∼ S R= |m ∈ Z, n ∈ Z = Q n Như trường thương vành số nguyên Z trường số hữu tỉ 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Dĩnh Ví dụ 3.6 Cho R vành cho P ideal nguyên tố R S = R\P = {x | x ∈ R , x ∈ / P } tập nhân đóng R {r } −1 Kí hiệu S R = Rp Rp = | r ∈ R, s ∈ S s Nó vành tựa địa phương, gọi địa phương hóa R P với {a } ideal cực đại P Rp = |a ∈ P , s ∈ S s Quá trình từ R đến Rp gọi trình địa phương hóa 3.3 Phổ vành R/I Trong phần ta coi I ideal R Định lý 3.5 Cho vành R, I ideal R i) Nếu J ideal R cho J ⊇ I J/I ideal vành thương R/ với r ∈ R, ta có r + I ∈ J/ ⇔ r ∈ J I I ii) Mỗi ideal τ R/I có dạng J/I với I ideal R thỏa mãn J ⊇ I Chứng minh i) Ta có J/I = {a + I | a ∈ J} ⊆ {r + I | r ∈ R} = R/I Suy J/I nhóm nhóm cộng R/I Hơn nữa, ∀ r ∈ R a ∈ J ta có (r + I) (a + I) = + I ∈ J/I Suy J/I ideal R/I Mặt khác, r ∈ R cho r + I = j + I với j ∈ J r = (r − j) + j r − j ∈ I ⊆ J ii) Cho τ ideal R/I với R vành, I ideal R rõ ràng J ⊇ I, Vì với a ∈ I, a + I = I = + I ∈ τ 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Dĩnh với a, b ∈ J, r ∈ R ta có a + I, −b + I ∈ τ suy (a + I) + (−b + I) = a − b + I ∈ τ suy a − b ∈ J r + I ∈ R/I suy (r + I) (a + I) = + I ∈ nên ∈ J Do a − b, ∈ J suy J ideal R Theo định nghĩa tập J tập J/I = τ Định lý 3.6 Cho I, J ideal vành giao hoán R thỏa mãn J ⊇ I ideal J/I vành thương R/I ideal nguyên tố J ideal nguyên tố R Tức ( ) J/ ∈ Spec R/ ⇔ J ∈ Spec (R) I I Chứng minh J ideal nguyên tố R R/J miền nguyên / R/ Lại có: I J/ ∼ = R/J (theo hệ định lí tổng quát đồng I cấu vành) / R/ R Do J ideal nguyên tố nên /J miền nguyên nên I J/ I miền nguyên Vậy J/I ideal nguyên tố 3.4 Phổ vành S −1R Định lý 3.7 Cho đồng cấu tự nhiên f : R → S −1 R, I ideal R } {a −1 e −1 −1 | s ∈ I, s ∈ S Đặt S R = I = f (I) S R Khi S R = s ideal S −1 R Chứng minh Vì S −1 I ideal sinh f (I) S −1 R nên phần 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Dĩnh tử S −1 I có dạng n ∑ ri ri , với ∈ S −1 R , ∈ f (I) s s i i i=1 a1 r1 a2 r2 an rn + + + s1 s2 sn a1 r1 s2 sn an rn s1 sn−1 = + + s1 sn s1 sn a = s = s = s1 sn ∈ S, a = a1 r1 s2 sn + + an rn s1 sn−1 ∈ R {a } −1 Vì S I = | a ∈ I, s ∈ S ideal S −1 R s Định lý 3.8 Cho đồng cấu tự nhiên f : R → S −1 R, ideal S −1 R có dạng S −1 I với I ideal R Hơn S −1 I ideal thực I ∩ S = ∅ Chứng minh Xét đồng cấu tự nhiên f : R → S −1 R , gọi J ideal S −1 R Đặt I = J c = f −1 (J) suy f (I) ⊆ J I ideal R Ta có S −1 I = I e = f (I) S −1 R ⊆ J.S −1 R = J a a s s Ngược lại, ta có f (a) = = = x ∈ J suy a ∈ f −1 (J) = I s 1 a a suy x = = ∈ f (I) S −1 R = S −1 I s s −1 Vậy J ⊆ S I Do S −1 I = J Hơn nữa, S −1 I = S −1 R ∈ S −1 I tồn a a ∈ I, s ∈ S cho = ⇔ ∃ u ∈ S : u (a − s) = ⇔ au = su ∈ s I ∩S ⇔I ∩S =∅ 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Dĩnh Định lý 3.9 Cho S tập nhân đóng R f : R → S −1 R đồng cấu tự nhiên ( ) { } i) Spec S −1 R = S −1 P | P ∈ Spec (R) , P ∩ S = ∅ ii) Nếu Q ideal nguyên tố S −1 R P = f −1 Q = Qc ideal nguyên tố R với P ∩ S = ∅ S −1 P = Q Chứng minh Theo định lí (3.7) ta có S −1 P ideal S −1 R Nếu P ∩ S = ∅ theo định lí (3.7) ta có S −1 P ideal thực S −1 R a a′ Hơn nữa, tồn x = , y = ′ ∈ / S −1 P xy ∈ S −1 P ta có s′ s a.a a, a′ ∈ P ; a, s′ ∈ S ∈ S −1 P ′ s.s a.a′ b suy tồn b ∈ P , u ∈ S cho = suy tồn t ∈ S s.s′ u Suy ut ∈ P (vì aa′ ∈ / P) nên ut ∈ P ∩ S ⇒ P ∩ S ̸= ∅ (mâu thuẫn) Vậy S −1 P ideal nguyên tố S −1 R Ngược lại, P ideal nguyên tố S −1 R P phải có dạng P = S −1 P với P ideal R, P ∩ S = ∅ (vì P thực sự) Ta cần chứng minh P ∈ Spec(R) Theo cách chứng minh phần (i) rõ ràng P = P c = f −1 (P ) suy P ∈ Spec(R) (ii) Vì Q ideal nguyên tố nên P = f −1 Q ideal nguyên tố a a Giả sử ∈ S −1 P với a ∈ P , a ∈ S Khi đó, f (a) = ∈ Q s a a a s = · , suy ∈ Q s s s −1 Vậy S P ⊆ Q 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Ngược lại, giả sử Đinh Thị Dĩnh a a s a ∈ Q với a ∈ R , s ∈ S Do = ∈ Q suy s s a∈P a suy ∈ S −1 P suy Q ⊆ S −1 P Vậy Q = S −1 P s Kết hợp với định lí (3.7) ta nhận P ∩ S = ∅ Định lý 3.10 ( Phổ S −1 R ) Cho S tập nhân đóng vành R Khi có song ánh, bảo toàn thứ tự tập ideal nguyên tố S −1 R tập ideal nguyên tố rời S R cho ánh xạ ( ) Spec S −1 R → {P ∈ SpecR , P ∩ S = ∅} Q → Qc ( ) {P ∈ SpecR , P ∩ S = ∅} → Spec S −1 R P → S −1 P Chứng minh Do ảnh ngược ideal nguyên tố qua đồng cấu ( ) vành nguyên tố nên Q ∈ Spec S −1 P Qc ∈ Spec (R) Hơn Qc ∩ S = ∅ Vì không theo (3.6) Q = Qce = S −1 Qc = S −1 R (vô lí) Ngược lại, giả sử P ideal nguyên tố rời S R Gọi S ảnh S R/P Như vậy, S tập nhân đóng R/P Ta dễ dàng kiểm tra ( ) / S −1 R −1 ≃ S −1 R/ S P P s s′ Thật = s.s′ ∈ S , (do s.s′ ∈ S) ∈ S ⇒ S tập nhân 1 R đóng /P 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Dĩnh Xét ánh xạ −1 φ:S R→S −1 ( R/ P ) a a → s s Khi φ toàn cấu Kerφ = S −1 P a a Vì ∈ Kerφ suy = suy tồn u ∈ S cho au = suy s s u a ua ∈ P suy = ∈ S −1 P s su ( ) −1 R R Do P nguyên tố, /P miền nguyên S /P = 0, vành trường phân thức R/P Và miền nguyên , tức S −1 P ideal nguyên tố S −1 R Nhưng theo định lí (2.6) ( ) / −1 R S −1 R −1 ∼ /P = ⇔ S −1 P = S −1 R ⇔ P ∩ S = ∅, S P =S mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Định lý 3.11 Cho S tập nhân đóng vành R, cho f : R → S −1 R đồng cấu tắc i) Nếu P ∈ Spec(R) P ∩ S = ∅ P e = S −1 R ( ) ii) Nếu P ∈ Spec(R) P ∩ S = ∅ P e ∈ Spec S −1 R ( ) iii) Nếu P ∈ Spec S −1 R P c ⊂ Spec (R) P ∩ S = ∅, có P ce = P iv) Ideal nguyên tố S −1 R ideal P e , P ideal nguyên tố R, cho P ∩ S = ∅ Thực chất ideal nguyên tố S −1 R có dạng P ′ P ∈ Spec(R) cho P ∩ S = ∅ 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Dĩnh { } a −1 Chứng minh i) Có P = x ∈ S R : x = | a ∈ P , s ∈ S s s −1 Giả sử s ∈ P ∩ S S R ta có = ∈ P e ⇒ P e = S −1 R s e −1 (Áp dụng bổ đề: I = S R ⇔ I ∩ S = ∅), I ideal R) e ii) Cho P ∈ Spec(R) với P ∩S = ∅, ta có P ec = P P e ⊂ S −1 R, ( )c không ta phải có P ec = S −1 R = R ̸= P a b Cho x = , y = ∈ S −1 R , với a, b ∈ R; s, t ∈ S cho xy ∈ P e suy s t ab ∈ P , mà P ideal nguyên tố nên a ∈ P b ∈ P , ( ) a b có x = ∈ P e y = ∈ P e Do P e ∈ Spec S −1 R s t ) ( −1 iii) Cho P ∈ Spec S R , hiển nhiên P c ∈ Spec (R) có P ideal mở rộng P ce = P suy P c ∩ S = ∅ Khác với i ta thấy P = P ce = S −1 R, mâu thuẫn iv) Chúng ta vừa chứng minh ideal nguyên tố S −1 R có dạng P e ideal nguyên tố P R mà không liên quan tới S Vậy tương tự, P, P ′ ideal nguyên tố R với P ∩S = P ′ ∩S = ∅ Vậy P e = P ′e P = P ce = P ′ce = P ′ Định lý 3.12 Cho A, B ideal R S tập nhân đóng R Ta có ( ) ( ) 1) S −1 (A ∩ B) = S −1 A ∩ S −1 B ( ) ( ) 2) S −1 (A + B) = S −1 A + S −1 B ( ) ( ) 3) S −1 AB = S −1 A S −1 B √ √ 4) S −1 A = S −1 A Chứng minh ( ) ( ) 1) Theo định nghĩa rõ ràng S −1 (A ∩ B) ⊂ S −1 A ∩ S −1 B 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Dĩnh ( ) ( ) a b Ngược lại, giả sử x ∈ S −1 A ∩ S −1 B , ta có x = = với a ∈ A, b ∈ s t bs c at B, s, t ∈ S ta viết x = = = với c = at = bs ∈ st st r −1 A ∩ B, r = st ∈ S , x ∈ S (A ∩ B) 2) Mọi phần tử A + B có dạng a + b với a ∈ A, b ∈ B nên theo định nghĩa rõ ràng S −1 (A + B) ⊂ S −1 A + S −1 B a b Ngược lại, giả sử x ∈ S −1 A + S −1 B Thế x = + với a ∈ A, b ∈ s t at + bs c B, s, t ∈ S Nhưng x = = với c = at + bs ∈ A + B st r −1 r = st ∈ S Do x ∈ S (A + B) 3) Mọi phần tử A.B có dạng a.b với a ∈ A, b ∈ B Hiển nhiên ( ) ( ) S −1 AB ⊂ S −1 A S −1 B ( ) ( ) a b Ngược lại , giả sử x ∈ S −1 A S −1 B Thế x = với a ∈ A, b ∈ s t ab c B, s, t ∈ S Khi x = = với c = ab ∈ A, B r = st ∈ S st r −1 x ∈ S AB √ √ y 4) Giả sử x ∈ S −1 A Khi ta có x = với y ∈ A, s ∈ S s √ yn n n lại có y ∈ A với n bất kì, suy x = n ∈ S −1 A x ∈ S −1 A s y yn −1 n Ngược lại, giả sử x = ∈ S A, x = n ∈ S −1 A s s √ ryt n n n −1 r y t ∈ A Ta có ∈S A rst { } Mệnh đề 3.2 Với X = Spec(R) := P ⊂ R | P nguyên tố Đặt V (I) = {P ∈ X\I ⊂ P } , D (I) = X − V (I) Khi a) Nếu I ⊆ J V (I) ⊇ V (J) b) V (I) ∪ V (J) = V (I ∩ J) ( ) ∩ ∑ V (Iα ) = V Iα c) α∈Λ α∈Λ 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Dĩnh d) V (0) = X V (R) = ∅ Chứng minh a) P ∈ V (J) ⇒ J ⊆ P ⇒ I ⊆ J ⊆ P ⇒ P ∈ V (I) b) Theo a) ta có V (I ∩ J) ⊇ V (I) ∪ V (J) Ngược lại, với P ∈ V (I ∩ J) I ∩ J ⊆ P Do P nguyên tố nên phản chứng ta có I ⊆ P J ⊆ P Do đó, P ∈ V (J), suy P ∈ V (I) ∪ V (J) ( ) ∑ ∑ c) Ta có Iα ⊇ Iα với α ∈ Λ suy V Iα ⊆ V (Iα ) với Λ Λ ( ) ∑ α ∈ Λ suy V Iα ⊆ ∩V (Iα ) Ngược lại với P ∈ ∩V (Iα ) Λ suy (với ) α ∈ Λ, P ∈ V (In )suy α ∈ Λ, In ⊆ P suy ∑ In P ∈V Λ d) Ta có, V (0) = X, V (R) = ∅ 57 Kết luận Qua đề tài nêu lên cách cụ thể lớp ideal đặc biệt như: ideal nguyên tố, cực đại nguyên sơ Bên cạnh đề cập phần tới phổ vành R/I, phổ vành S −1 R qua ứng dụng vào số môn khác giải tích, học, hóa học lượng tử Do kiến thức hạn hẹp, thực tập chuyên nghành khó tránh khỏi sai sót, em mong nhận đóng góp tận tình thầy, cô bạn đọc để thực tập chuyên nghành cuả em hoàn chỉnh 58 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tự cường (2003), Giáo trình đạ số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, nhà xuất giáo dục [3] M F Atiyah and I.G Macdonald (1969), Introduction to commuatative Algebra, Addsion-Wesly Publishing compan 59 ... Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số lớp ideal đặc biệt Chương 3: Địa phương hóa vành Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức vành tính chất vành, ideal, phép... 3Z hai ideal Z Khi I : J = 2Z : 3Z = {x ∈ Z | x.3Z ⊂ 2Z} { } { } = x ∈ Z | 3x = x ∈ Z | x = 2Z 18 Chương Một số lớp ideal đặc biệt Chương trình bày số lớp ideal đặc biệt ideal cực đại, ideal. .. thương X theo ideal A Nhận xét 1.1 i) Nếu X vành giao hoán X/A vành giao hoán ii) Nếu X có đơn vị X/A vành có đơn vị (1 + A) Ví dụ 1.5 Trong vành Z , nZ ideal Z với n ∈ N Khi vành vành thương Z/nZ