Một số lớp ideal đặc biệt trong vành giao hoán

KHOA TOÁNĐinh Thị Dĩnh MỘT SỐ LỚP IDEAL ĐẶC BIỆT TRONG VÀNH GIAO HOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016... Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của Thầy Đỗ Văn Kiên đề tài "Mộ

KHOA TOÁN

Đinh Thị Dĩnh

MỘT SỐ LỚP IDEAL ĐẶC BIỆT TRONG VÀNH GIAO HOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Th.S Đỗ Văn Kiên

Hà Nội – Năm 2016

Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Đỗ Văn Kiên đã tận tình hướng dẫn, giúp

đỡ em trong suốt thời gian thực hiện đề tài thực tập.

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ đại số-khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em hoàn thành đề tài thực tập này.

Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuân lợi cho

em trong quá trình thực hiện đề tài thực tập.

Em xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Đinh Thị Dĩnh

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của Thầy Đỗ Văn Kiên đề tài "Một số lớp ideal đặc biệt trong vành giao hoán" được hoàn thành không trùng với bất kỳ đề

Lời mở đầu 1

1.1 Một số kiến thức cơ bản về vành và ideal 3

1.2 Các phép toán trên ideal 9

1.2.1 Tổng các ideal 9

1.2.2 Tích các ideal 10

1.2.3 Tích một họ các ideal 13

1.2.4 Giao của các ideal 14

1.2.5 Căn của ideal 15

1.2.6 Thương các ideal 17

2 Một số lớp ideal đặc biệt 19 2.1 Ideal cực đại 19

2.2 Ideal nguyên tố 24

2.3 Ideal nguyên sơ 33

2.4 Mối liên hệ giữa ideal cực đại, ideal nguyên tố và ideal nguyên sơ 37

3 Địa phương hóa của vành 41

3.1 Địa phương hóa của vành 41

3.2 Một số ví dụ 48

3.3 Phổ của vành R/I 49

3.4 Phổ của vành S −1 R 50

Kết luận 58

Tài liệu tham khảo 59

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Đại số là một ngành rất quan trọng trong toán học Nó không chỉ là

cơ sở cho nhiều ngành toán học khác mà còn có ứng dụng trong một sốngành khoa học - kĩ thuật

Kiến thức của đại số rất phong phú và trừu tượng, nó được xây dựng

và phát triển từ những kiến thức cơ bản của cấu trúc đại số như: nhóm,vành, môđun, Mặt khác các khái niệm về ideal nguyên tố, ideal cựcđại, ideal nguyên sơ là những khái niệm trọng tâm cho việc ứng dụng lýthuyết vành giao hoán vào hình học đại số

Có thể nói vần đề ideal là một phần quan trọng trong lý thuyết vành.Tuy nhiên trong chương trình đại học, vần đề này mới chỉ trình bày mộtcách sơ lược Vì vậy em chọn đề tài

“Một số lớp ideal đặc biệt trong vành giao hoán” là đề tài khóa

luận

2 Mục đích nghiên cứu

-Cung cấp kiến thức về một số lớp ideal đặc biệt trong vành giao hoán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các khái niệm về ideal cực đại, nguyên tố, nguyên sơ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tương nghiên cứu: Các khái niệm về các lớp ideal đặc biệt trongvành giao hoán và địa phương hóa của vành

Phạm vi nghiên cứu: Nội dung kiến thức trong phạm vi của đại sốgiao hoán

5 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì đề tàibao gồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Một số lớp ideal đặc biệt

Chương 3: Địa phương hóa của vành

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này sẽ trình bày một số kiến thức về vành và các tính chất cơbản về vành, ideal, các phép toán trên ideal

Định nghĩa 1.1 Cho X là một tập tùy ý khác rỗng Trên X trang bị

hai phép toán hai ngôi, kí hiệu là (+) và (.) Khi đó X được gọi là vành nếu X cùng hai phép toán (+) và (.) thỏa mãn 3 tiên đề sau

i) X cùng phép cộng lập thành nhóm Abel.

ii) X cùng phép nhân là nửa nhóm.

iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với mọi x, y, z ∈ X

ta có

x(y + z) = xy + xz

(x + y)z = xz + yz

Hơn nữa, nếu phép nhân giao hoán thì X được gọi là vành giao hoán Nếu phép nhân có đơn vị thì X được gọi là vành có đơn vị Nếu phép nhân vừa giao hoán vừa có đơn vị thì X được gọi là vành giao hoán có

đơn vị

Ví dụ 1.1 Tập hợp Z, Q, R, C cùng với phép cộng và phép nhân thông

thường là một vành giao hoán có đơn vị

Ví dụ 1.2 Tập Zn (n ≥ 1) cùng với các phép cộng và phép nhân thông

iii) x ( −y) = (−x) y = −xy , (−x) (−y) = xy.

Định nghĩa 1.2 Cho X là một vành, A là một bộ phận ổn định với

hai phép toán trong X, nghĩa là x + y ∈ A và xy ∈ A, với mọi x, y ∈ A.

A được gọi là một vành con của vành X nếu A cùng hai phép toán cảm

sinh trên A là một vành.

Mệnh đề 1.2 Cho X là một vành, tập A là một bộ phận khác rỗng của

X Các khẳng định sau là tương đương

i) A là một vành con của X.

ii) Với mọi a, b ∈ A thì a + b ∈ A, ab ∈ A, −a ∈ A.

iii) Với mọi a, b ∈ A thì a − b ∈ A, ab ∈ A.

Ví dụ 1.3 Bộ phận mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên

m cho trước là một vành con của vành các số nguyên Z

Mệnh đề 1.3 Giao của một họ bất kì những vành con của một vành X

là một vành con của X.

Định nghĩa 1.3 Cho X là một vành, A là tập con của X I được gọi

là ideal của X khi đó nó thỏa mãn các điều kiện sau

i) A ̸= ∅.

ii) Với mọi a, b ∈ A thì a + b ∈ A.

iii) Với mọi a ∈ A, r ∈ X thì r.a ∈ A.

Ví dụ 1.4 Bộ phận {0} và bộ phận X là hai ideal của vành X.

Mệnh đề 1.4 Một bộ phận A khác rỗng của một vành X là một ideal

của X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn

i) a − b ∈ A với mọi a, b ∈ A.

ii) xa ∈ A và ax ∈ A với mọi a ∈ A và với mọi x ∈ X.

Mệnh đề 1.5 Giao của một họ bất kì những ideal của một vành X là

một ideal của X.

Định nghĩa 1.4 Cho A là ideal của vành X.

Tập X/A = {x + A | x ∈ X} cùng hai phép toán (+) và (.) xác định

như sau

(x + A) + (y + A) = x + y + A , với mọi x, y ∈ X.

(x + A)(y + A) = xy + A , với mọi x, y ∈ X.

lập thành một vành gọi vành thương của X theo ideal A.

Nhận xét 1.1 i) Nếu X là vành giao hoán thì X/A cũng là vành giao

hoán.

ii) Nếu X có đơn vị 1 thì X/A cũng là vành có đơn vị (1 + A).

Ví dụ 1.5 Trong vành Z , thì nZ là ideal của Z với mọi n ∈ N Khi đó

vành là vành thương Z/nZ = {x + n | Zx ∈ Z} với hai phép toán

(x + n Z) + (y + nZ) = x + y + nZ , với mọi x, y ∈ Z.

(x + n Z)(y + nZ) = xy + nZ , với mọi x, y ∈ Z.

Đặc biệt: {0} , X là hai ideal của X nên hai vành thương

X/ {0} = {x + 0 | x ∈ X} = X X/X = {x + X | x ∈ X} = {X} ∼= {0}

Định nghĩa 1.5 Cho X, Y là các vành, ánh xạ f : X −→ Y được gọi

là đồng cấu vành nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau: với mọi x, y ∈ X thì

f (x + y) = f (x) + f (y)

f (x.y) = f (x).f (y)

Hơn nữa:

Nếu f là đơn ánh thì f được gọi là đơn cấu vành.

Nếu f là toàn cấu thì f được gọi là toàn cấu vành.

Nếu f là song ánh thì f dược gọi là đẳng cấu vành.

Ví dụ 1.6 Giả sử A là một vành con của vành X Đơn ánh chính tắc

f : A → X

a 7→ a

là một đồng cấu gọi là đơn cấu chính tắc

Mệnh đề 1.6 (1) Tích của hai đồng cấu vành (nếu có) là một đồng

cấu vành.

(2) Cho f : X −→ Y là một đồng cầu vành, A là vành con của X, B

là ideal của Y Khi đó f (A) là vành con của Y và f −1 (B) là ideal của X.

Đặc biệt: Cho f : X −→ Y là đồng cấu vành,

Hạt nhân của f, kí hiệu Kerf, được các định bởi

{0 Y } là ideal của Y nên Kerf cũng là ideal của X.

Mệnh đề 1.7 Cho đồng cấu vành f : X → Y

i) Nếu I là ideal của X thì f (I) chưa chắc là ideal của Y.

ii) Nếu Q là ideal của Y thì f −1 (Q) là ideal của X.

Mệnh đề 1.8 Cho đồng cấu vành f : X −→ Y

i) f là đơn cấu ⇔ Kerf = {0 X }.

ii) f là toàn cấu ⇔ Imf = Y

Định lý 1.1 (Định lí cơ bản tổng quát của đồng cấu vành)

Cho đồng cấu vành f : X −→ Y A, B tương ứng là ideal của X, Y sao cho f (A) ⊆ B Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành f : X/A −→ Y/B làm cho biểu đồ sau giao hoán

đó ta có biểu đồ sau giao hoán

p

$$I I I I I

f

zzuuuuuuuuuu

Y /Kerf

nghĩa là f p = f với p : X → X/Kerf là toàn cấu chính tắc.

Nếu f là toàn cấu vành thì X/Kerf ∼ = Y

Hệ quả 1.2 Cho A, B là hai ideal của vành R thỏa mãn B ⊇ A.

Khi đó R/B ∼=

(

R/ A)/(

B/ A)

Định nghĩa 1.6 U là tập con của vành X Giao của họ tất cả các ideal

của X chứa U là một ideal chứa U và được gọi là ideal sinh bởi tập U

Kí hiệu ⟨U⟩ hoặc XU

Nhận xét 1.2. ⟨U⟩ là ideal nhỏ nhất của X chứa U.

Nếu U là tập con hữu hạn của X thì ta nói I = ⟨U⟩ là ideal hữu hạn sinh của X.

Định nghĩa 1.7 Cho (I λ)λ ∈Λ là họ các ideal của vành giao hoán R Ta

định nghĩa tổng các ideal của họ đã cho, kí hiệu ∑

I λ là một ideal của

Định nghĩa 1.8 Cho R là vành giao hoán và I, J là hai ideal của R.

Tích của I và J , kí hiệu IJ , được định nghĩa là ideal của R sinh bởi tập

trong trường hợp này, h i = a i b i với a i ∈ I, b i ∈ J.

Do I, J đều là ideal của vành giao hoán R nên

(2) (IJ )K = I(J K) = ⟨H⟩ với H = {abc | a ∈ I, b ∈ J, c ∈ K}

Chứng minh (1) IJ = J I , dễ dàng chứng minh được do R là vành

IJ và J K đều là ideal của R và IJ =

Tương tự ta chứng minh được I(J K) = ⟨H⟩

Vậy I(J K) = (IJ )K =

Từ 2 tính chất (1) và (2) ta có thể đưa ra định nghĩa tích của một họ

các iđêan của R như sau:

1.2.3 Tích một họ các ideal

Định nghĩa 1.9 Cho I1, I2, , I n là một họ các ideal của vành giao

hoán R Khi đó tích các ideal đã cho, kí hiệu

Nhận xét 1.3 (1) Với I, J, K là các ideal của R ta có

I(J + K) = IJ + IK Thật vậy

Nếu m = 0 thì ta quy ước I o = R

1.2.4 Giao của các ideal

Định nghĩa 1.10 Cho (I λ)λ ∈Λ là họ các ideal của vành giao hoán R Giao của họ ideal đã cho là một ideal của R xác định như sau

∩

λ ∈Λ

I λ = {a | a ∈ I λ , λ ∈ Λ}

Ví dụ 1.9. Z là vành giao hoán, I = 2Z, J = 4Z là hai ideal của Z Khi đó I ∩ J = 4Z.

1.2.5 Căn của ideal

Định nghĩa 1.11 Cho I là ideal của vành giao hoán R, căn của I, kí

hiệu là Rad(I) hoặc √

I, xác định bởi Rad(I) = {x ∈ R | ∃ n ∈ N : x n ∈ I}

và cũng là một ideal của R.

{0} là ideal của R, Rad ({0}) = {x ∈ R | ∃ n ∈ N : x n = 0} được gọi

là căn lũy linh của R và kí hiệu là N ilrad(R)

Ví dụ 1.10 Với R = Z và I = (n) , với n là nguyên dương nào đó, thì

√

I = (d) , trong đó d là ước lớn nhất không chứa chính phương của n.

Mệnh đề 1.12 Cho I1, I2, , I n là các ideal của R, ta có

vuu

Chứng minh Chứng minh quy nạp theo n.

Như vậy tồn tại k ∈ N : b k ∈ I1 ∩ I2 ⇒ b ∈ √ I1 ∩ I2

√

n∩−1 i=1

I i =

n∩−1 i=1

tn∩−1

i=1

I i ∩ I n =

vuu

Và xaJ = axJ ∈ I nên xa ∈ (I : J).

Vậy (I : J ) là ideal của R.

(2) Với x ∈ IJ, có thể biểu diễn x dưới dạng x = ∑n

Một số lớp ideal đặc biệt

Chương này trình bày về một số lớp ideal đặc biệt như ideal cực đại,ideal nguyên tố, ideal nguyên sơ trong vành giao hoán

Định nghĩa 2.1 Ideal A của vành giao hoán R được gọi là ideal cực

đại nếu thỏa mãn 2 điều kiên sau

i) A ̸= R.

ii) Không tồn tại ideal B của R chứa A mà B ̸= A, B ̸= R hay nói một cách khác: A là ideal cực đại theo quan hệ bao hàm trong tập các ideal thực sự của R.

Ví dụ 2.1 Trong vành giao hoán Z các ideal pZ là ideal cực đại với p

là số nguyên tố

Định lý 2.1 Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là ideal cực đại của

R nếu và chỉ nếu R/I là trường.

Chứng minh. ⇒] I là ideal cực đại của R nên R/I là vành giao hoán

⇒ 1 = a.x với x ∈ R/I Do đó a khả nghịch.

Vậy R/I là trường.

⇐] Có R/I là trường nên R/I ̸= ∅ kéo theo I ̸= R suy ra I là ideal thực

Định lý 2.2 Cho R là vành giao hoán không tầm thường thì R luôn có

ít nhất một ideal cực đại.

Chứng minh Gọi Ω là tập tất cả các ideal thực sự của R Do R không

tầm thường nên {0} là ideal thực sự của R suy ra Ω ̸= ∅

Quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự bộ phận trên Ω và ideal cực

đại của R chính là phần tử cực đại của tập sắp thứ tự bộ phận (Ω, ⊆)

Cho ∆ là tập con sắp thứ tự toàn phần của Ω

Đặt J = ∪

I ∈∆

I, rõ ràng J ̸= ∅ vì 0 ∈ J.

Với mọi a ∈ J, r ∈ R thì ra ∈ J.

Với a, b ∈ J luôn tồn tại I1 , I2 ∈ ∆ sao cho a ∈ I1 , b ∈ I2

Do (Ω, ⊆) sắp thứ tự toàn phần nên ta luôn có I1 ⊆ I2 hoặc I2 ⊆ I1

Không mất tính tổng quát ta giả sử I1 ⊆ I2 , khi đó a − b ∈ I2 ⊆ J

Do vậy J là ideal của R và là ideal thực sự ( vì với mọi I ∈ Ω sao cho

1 / ∈ I suy ra 1 /∈ J ).

Suy ra J ∈ Ω, vì vậy J là cận trên của ∆ trong Ω.

Áp dụng bổ đề Zorn ta có tập sắp thứ tự bộ phận (Ω, ⊆) luôn có phần

tử cực đại nên R luôn có ít nhất một ideal cực đại. 

Hệ quả 2.1 Cho R là vành giao hoán I là ideal thực sự của R, luôn

tồn tại một ideal cực đại M của R sao cho M ⊇ I.

Chứng minh Do I là ideal thực sự nên vành thương R/I không tầm

thường Theo định lí trên thì R/I có ideal cực đại và ideal cực đại đó phải có dạng M/I với đúng một ideal M của R thỏa mãn M ⊇ I (theo

Hệ quả 2.2 Cho R là vành giao hoán và a ∈ R Khi đó a là một đơn

vị của R nếu và chỉ nếu với mỗi ideal cực đại M của R thì a / ∈ M.

Chứng minh. ⇒] Giả sử a là đơn vị của vành giao hoán R thì ⟨a⟩ = R Nếu a ∈ M với M là ideal cực đại nào đó của R suy ra M = R.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết M là ideal cực đại.

Vậy a không thuộc ideal cực đại nào của R.

⇐] a /∈ M với mọi M là ideal cực đại của R.

Giả sử a không là đơn vị của R, khi đó ⟨a⟩ là ideal thực sự của R Theo hệ quả (2.1) thì tồn tại ideal cực đại M của R sao cho ⟨a⟩ ⊆ M.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết đã cho nên điều giả sử là sai

Định nghĩa 2.2 (Vành địa phương)

Một vành giao hoán R có đúng một ideal cực đại được gọi là vành địa

phương

Nếu M là ideal cực đại duy nhất của vành địa phương R thì R/M là trường và được gọi là trường thương của R.

Ví dụ 2.2 Trường R là một vành địa phương vì trường có đúng hai

ideal là {0} và {R} nên R có duy nhất ideal cực đại là {0}.

Bổ đề 2.1 Cho R là vành giao hoán thì R là vành địa phương nếu và

chỉ nếu tập các phần tử khác đơn vị của R là một ideal.

Chứng minh. ⇒] Giả sử R là vành địa phương với ideal cực đại duy nhất M

Theo hệ quả (2.2) thì M là tập chứa các phần tử khác đơn vị của R.

⇐] Giả thiết rằng tập các phần tử khác đơn vị của R là I và I là ideal của R Gọi đơn vị của R là 1.

Do 0 ∈ I nên 0 ̸= 1 suy ra R không tầm thường Theo định lí (2.2) thì

R có ít nhất một ideal cực đại.

Theo hệ quả (2.2) thì M không chứa đơn vị của R nên

M ⊆ I ⊂ R ( 1 /∈ I vì 1 là đơn vị của R ).

Do M là ideal cực đại của R nên I = M

Như vậy, R có ít nhất một ideal cực đại và ideal cực đại nào cũng bằng

I nghĩa là R có duy nhất một ideal cực đại.

Định nghĩa 2.3 Cho R là vành giao hoán, căn Jacobson của R, kí hiệu

là J ac(R) là giao của tất cả các ideal cực đại của R.

Nhận xét 2.1 J ac(R) là ideal của R.

Nếu R là vành giao hoán tầm thường, ta quy ước: J ac ( {0}) = {0} Khi R là vành địa phương thì J ac(R) chính là ideal cực đại duy nhất

của R.

Ví dụ 2.3 R là trường thì J ac (R) = {0}

Bổ đề 2.2 Cho R là vành giao hoán và r ∈ R, r ∈ Jac (R) nếu và chỉ nếu với mọi a ∈ R thì (1 − ra) là một đơn vị của R.

Chứng minh. ⇒] Giả thiết r ∈ Jac(R) Giả sử tồn tại a ∈ R sao cho

(1− ra) không là đơn vị của R Theo hệ quả (2.1) (2.2) sẽ tồn tại một ideal cực đại M nào đó của R sao cho ra ∈ M

Lại có r ∈ M do r ∈ Jac(R) suy ra (1 − ra) ∈ M.

Do đó 1 = (1 − ra) + ra ∈ M hay 1 ∈ M ⇒ M = R , điều này mâu thuẫn với giả thiết M là ideal cực đại nên điều giả sử là sai.

Vậy với mọi a ∈ R, r ∈ Jac(R) thì (1 − ra) là một đơn vị của R.

⇐] Giả thiết với mỗi a ∈ R thì (1 − ra) là đơn vị của R, M là ideal cực

Điều này mâu thuẫn với giả thiết, suy ra điều giả sử r / ∈ M là sai.

Do đó r ∈ M M là ideal cực đại bất kì nên r ∈ Jac(R) 

Định nghĩa 2.4 Cho R là vành giao hoán Ideal A của R được gọi là

ideal nguyên tố nếu

i) A ̸= R.

ii) Nếu xy ∈ A thì x ∈ A hoặc y ∈ A.

Ví dụ 2.4 (Z, +, ) là vành giao hoán các ideal nZ là ideal nguyên tố

của Z khi và chỉ khi n là số nguyên tố.

Tổng quát: n Z là ideal nguyên tố của Z khi và chỉ khi n là số nguyên tố.

Định lý 2.3 Cho R là vành giao hoán có đơn vị I là ideal nguyên tố

của R nếu và chỉ nếu R/I là một miền nguyên.

Chứng minh. ⇒] I là ideal nguyên tố của R thì R/I là vành giao hoán

có đơn vị

Đặt x = x + I

Giả sử xy = 0 hay (x + I) (y + I) = I ⇔ xy + I = I ⇔ xy ∈ I

⇐] R/I là miền nguyên, I là ideal của R.

Nếu có xy ∈ I thì xy = x.y = 0 Do R/I là miền nguyên nên x = 0 hoặc

y = 0 hay là x ∈ I hoặc y ∈ I.

Định lý 2.4 Cho I, J là hai ideal của vành giao hoán R thỏa mãn

J ⊇ I Khi đó J là ideal nguyên tố của R nếu và chỉ nếu ideal J/I là ideal nguyên tố của vành thương R/I.

Chứng minh J là ideal nguyên tố của R khi và chỉ khi R/J là miền

Định nghĩa 2.5 Cho R là vành giao hoán Phổ nguyên tố (hay gọi tắt

là phổ) của R là tập tất cả các ideal nguyên tố của R Kí hiệu Spec(R).

Định lý 2.5 Cho I là ideal của vành giao hoán có đơn vị R và S là tập

con nhân đóng của R sao cho I ∩ S = ∅

Khi đó tập Ψ = {

J là ideal của R : J ⊇ I, J ∩ S = ∅} có ít nhất một phần tử cực đại và các phần tử cực đại của Ψ là ideal nguyên tố của R.

Chứng minh Ψ = {

J là ideal của R : J ⊇ I, J ∩ S = ∅} là tập sắpthứ tự bộ phận cùng với quan hệ bao hàm

Rõ ràng I ∈ Ψ nên Ψ ̸= ∅.

Cho (∂, ⊆) là tập sắp thứ tự toàn phần khác rỗng của Ψ.

Khi đó ta đặt Q = ∪

J ∈∂

J là một ideal của R thỏa mãn Q ⊇ I, Q ∩ S = ∅.

Do ∂ là tập sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm nên với mọi

J1, J2 ∈ ∂ ta luôn có hoặc J1 ⊆ J2 hoặc J2 ⊆ J1

Suy ra Q là cận trên của ∂ trong Ψ.

Áp dụng bổ đề Zorn, ∂ có ít nhất một phần tử cực đại.

Gọi P là phần tử cực đại bất kì của Ψ.

Do P ∩ S = ∅ , 1 ∈ S nên 1 /∈ P và P ̸= R Với a, a ′ ∈ R\P ta phải chỉ

ra a, a ′ ∈ P Thật vậy a /∈ P ⇒ I ⊆ P ⊂ P + ⟨a⟩ /

Do P là phần tử cực đại của Ψ nên (P + ⟨a⟩) ∩ S ̸= ∅ Suy ra tồn tại

s ∈ S, r ∈ R và u ∈ P sao cho s = u + ra.

Tương tự, ta có tồn tại s ′ ∈ S, s ̸= s ′ , r ′ ∈ R và u ′ ∈ P sao cho s ′ = u ′+

r ′ a ′ Nhưng ss ′ = (u + r.a) (u ′ + r ′ a ′ ) = (uu ′ + rau ′ + ur ′ a ′ ) + (rar ′ a ′)

Vì S là tập con nhân đóng của R nên ss ′ ∈ S.

Lại có: uu ′ + rau ′ + u.r ′ a ′ ∈ P

P ∩ S = ∅ ⇒ ss ′ ∈ P ⇒ rr / ′ aa ′ ∈ P , P là ideal của R nên aa / ′ ∈ P /