nhóm con tối đại trong vành chia

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ TÀI: NHÓM CON TỐI ĐẠI TRONG VÀNH CHIA Giáo viên hướng dẫn : ThS.Trang Văn Dễ Sinh viên thực Nguyễn Thị Hồng Thắm MSSV : 1090116 Lớp:SP Toán-Tin K35 Năm 2013 LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình học tập trường Đại học vừa qua, em quý thầy cô cung cấp, truyền đạt tất kiến thức chuyên môn cần thiết quý giá Ngoài em rèn luyện tinh thần học tập, làm việc độc lập sáng tạo Đây điều cần thiết để thành công bắt tay vào nghề nghiệp tương lai Luận văn tốt nghiệp hội để em áp dụng, tổng kết lại kiến thức mà học Đồng thời, rút kinh nghiệm thực tế quý giá suốt trình thực đề tài Sau thời gian tập trung công sức cho đề tài làm việc tích cực, đặc biệt nhờ hướng dẫn tận tình thầy Trang Văn Dể giúp cho em hoàn thành đề tài cách thuận lợi gặt hái kết mong muốn Bên cạnh kết mà em đạt được, chắn không tránh khỏi thiếu sót thực luận văn tốt nghiệp Em mong nhận đóng góp ý quý thầy cô để nội dung luận văn em hoàn chỉnh Là sinh viên ngành Sư phạm Toán-Tin, em tự hào khoa mà theo học, tự hào tất thầy cô Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn công lao dạy dỗ quý thầy cô Kính chúc quý thầy cô mạnh khoẻ, tiếp tục đạt nhiều thắng lợi nghiên cứu khoa học nghiệp trồng người Trân trọng kính chào! Cần Thơ, ngày tháng năm 2013 Sinh viên thực Nguyễn Thị Hồng Thắm MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU BẢNG KÝ HIỆU Chương KIẾN THỨC BỔ SUNG 1.1 Nhóm liên hợp nhóm giải 1.2 Nhóm lũy linh 1.3 Nhóm thực nhóm tối đại 1.4 Mở rộng trường nhóm Galois 10 1.5 Vành chia 14 Chương NHÓM CON TỐI ĐẠI TRONG VÀNH CHIA 2.1 Một số tính chất nhóm tối đại vành chia 25 2.2 Giả thuyết trường hợp vành chia với tâm vô hạn 26 2.3 Trường tối tiểu chứa tâm nhóm tối đại 31 2.4 Nhóm tối đại vành chia quaternions…………………………35 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 i PHẦN MỞ ĐẦU Trong lý thuyết đại số nói chung lý thuyết vành nói riêng, vành chia có cấu trúc đại số đặc biệt Một vành chia thêm vào tính giao hoán trở thành trường, bị bỏ bớt phần tử trở thành nhóm phép nhân Vì vậy, thập niên gần vành chia nhóm tối đại vành chia nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu S Akbari, M Mahdavi – Hezavehi, M G Mahmudi, Ebrahimian, H Momenaee Kermani A Salehi Golsefidy, Bùi Xuân Hải, Lê Khắc Huỳnh,… Năm 1999 tác giả S Akbari, M Mahdavi – Hezavehi M G Mahmudi công bố công trình nghiên cứu họ nhóm tối đại GL1  D Trong nghiên cứu mình, tác giả có nêu giả thuyết sau: Giả thuyết Cho D vành chia với tâm F M nhóm tối đại D* Khi ta có Z  M   M  F với Z  M  tâm M Giả thuyết Cho D vành chia M nhóm tối đại lũy linh D* Khi D giao hoán Giả thuyết Cho D vành chia M nhóm tối đại giải D* Khi D giao hoán Năm 2003, nhóm tác giả S Akbari, R Ebrahimian, H Momenaee Kermani A Salehi Golsefidy nêu thêm giả thuyết thú vị công trình nghiên cứu Các nhóm tối đại GLn  D sau: Giả thuyết Cho D vành chia M nhóm tối đại Abel D* Khi D giao hoán Đến năm 2005, nhóm tác giả Bùi Xuân Hải Lê Khắc Huỳnh công bố kết nghiên cứu giả thuyết 1, Trong phạm vi luận văn này, em chủ yếu tham khảo kết [3], [4], [5] chứng minh lại cách rõ ràng chi tiết giả thuyết 1, Đồng thời từ kết có từ Giả thuyết dễ dàng suy kết Giả thuyết Điều thể 2.4.19 2.4.20 Trong trích dẫn kết quả, em dùng cách trích dẫn quen thuộc Ví dụ, [8, Định lý 13.11, trang 219] nghĩa Định lý 13.11 trang 219 tài liệu [8] Để tiện lợi cho người đọc, hầu hết định lý, tính chất, mệnh đề hệ luận văn chứng minh cách rõ ràng, chi tiết có hệ thống Một số định lý cuối chương nêu nội dung số định lý trích dẫn để sử dụng trình lập luận em mà phần chứng minh trình bày đầy đủ lời chứng minh đòi hỏi lượng lớn kiến thức không phù hợp với phạm vi đề tài Người đọc tham khảo chi tiết định lý tài liệu BẢNG KÝ HIỆU tập rỗng tập số tự nhiên khác tập số nguyên tập số nguyên không âm tập số hữu tỉ tập số thực tập số phức R* nhóm phần tử khả nghịch vành R charF đặc số trường F K /F K mở rộng trường trường F Gal(K / F ) nhóm Galois mở rộng trường K / F [K : F ] bậc mở rộng trường K / F G /H nhóm thương (vành thương) G theo H [G : H ] số nhóm H nhóm G min(F, a) đa thức tối tiểu phần tử a trường F D* tập phần tử khả nghịch vành chia (đại số) D CD (S ) C (S ) tâm hóa tử S D ND (S ) chuẩn hóa tử S D Z (D) F tâm vành chia D dimF D số chiều không gian véctơ D trường F EndK (D) vành tự đồng cấu tuyến tính không gian véctơ D trường F AutF (D) nhóm tự đẳng cấu tuyến tính không gian véctơ D trường F GLn (F ) nhóm ma trận vuông cấp n khả nghịch trường F H G H nhóm nhóm G H G H nhóm chuẩn tắc nhóm G G cấp nhóm G a cấp phần tử a nhóm G phần tử đơn vị vành (nhóm) idD đồng cấu đồng D x nghịch đảo phần tử x S nhóm (ideal) sinh S x 1Kx tập hợp {x kx | k x 1dx liên hợp phần tử d [G,G ] nhóm hoán tử nhóm G K} Chương KIẾN THỨC BỔ SUNG 1.1 Nhóm liên hợp nhóm giải Mệnh đề 1.1.1 Cho G nhóm M nhóm G Với x, y  G , ta kí hiệu x y  y 1 xy M x  m x m  M  Khi M x nhóm G Định nghĩa 1.1.2 Cho G nhóm M nhóm G Với x  G , nhóm M x G gọi nhóm liên hợp với M G Định nghĩa 1.1.3 Cho G nhóm M nhóm G Khi đó, tập hợp  NG  M   x  G M x  M  gọi chuẩn hóa tử M G Mệnh đề 1.1.4 [1, Mệnh đề 2.9, trang 19] Cho G nhóm M nhóm G Khi đó, NG  M   G M chuẩn tắc G Định nghĩa 1.1.5 Cho G nhóm M nhóm G Khi M gọi tự chuẩn hóa G NG  M   M Định nghĩa 1.1.6 Nhóm G gọi nhóm giải có dãy hữu hạn nhóm G  G0  G1  Gn  thỏa điều kiện sau: (1) i) Gi Gi 1 , i,  i  n ii) Gi 1 G nhóm Abel với i,  i  n i Dãy (1) định nghĩa gọi chuỗi giải Ví dụ 1.1.7 i) Mọi nhóm Abel G nhóm giải với chuỗi giải G  ii) S3 nhóm giải với chuỗi giải S3  A3  Định nghĩa 1.1.8 Cho G nhóm, đặt G  0  G; G i 1  G i  , G i   , i  Nhóm Gi  gọi nhóm hoán tử bậc i G Dãy nhóm hoán tử G  G 0  G1  G 2  gọi chuỗi dẫn xuất G Mệnh đề 1.1.9 Giả sử G  G0  G1   Gn  chuỗi giải Khi Gi  Gi  , i  Chứng minh Với i, nhóm thương Gi G giao hoán nên i 1  xi , yi   Gi1 , Do  xi , yi  Gi Gi , Gi   Gi1 (4) Rõ ràng G0  G  G0 Bằng quy nạp thep i, giả sử Gi  Gi  Khi Gi , Gi   Gi  , Gi    G i 1 (5) Từ (4) (5) suy Gi 1  Gi 1  Định lý 1.1.10 Cho G nhóm Khi đó, G giải tồn n  cho G  n  Chứng minh Giả sử G giải được, nghĩa có chuỗi giải được: G  G0  G1   Gn  Do Mệnh đề 1.1.9, ta có  Gn  G n nên G  n   Ngược lại, giả sử G  n  Khi đó,  G i  G với i, G i 1  G i  , G i   nên G i 1 i G i 1 giao hoán Do đó, dãy dẫn xuất G  G0  G1   G n  chuỗi giải được, nghĩa G giải  1.2 Nhóm lũy linh Định nghĩa 1.2.1 Cho G nhóm Họ nhóm  i  G  G định nghĩa quy nạp sau:  G   G ,  i 1  G    i  G  , G  với i Định lý 2.3.7 Cho D vành chia không giao hoán với tâm F, D đại số F M nhóm tối đại D* Khi ta có F  P  Z  M  Hơn nữa, tính chất sau thỏa : (i) Không tồn trường trung gian mở rộng trường F  P  Z  M  ; (ii)  P  Z  M   Gal   id P Z  M  F     Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.3.2 ta có F  P  Z  M   i  Bây ta cần chứng minh (ii) Đặt K : P  Z  M  giả sử K  F Lấy phần tử a tùy ý thuộc K \ F Vì F  a  thực chứa F F  a   P  Z  M  nên theo (i) ta có  F   id  Khi K  F  a  Từ suy  K : F    F  a  : F    Giả sử Gal K K tồn   Gal  K / F  cho   id P Z  M  Ta xây dựng đồng cấu F – đại số sau :  : K  D  : K  D với   x     x    x   x với x  K Khi đó, theo Định lý 1.5.19 tồn phần tử   D* cho   x     x   1, x  K Từ suy a    a  1 , tức a    a  Giả sử   M Vì a  K  CD  M  , a  a    a  nên   a   a Suy   id K (mâu thuẫn) Do   D* \ M Khi đó, theo Bổ đề 2.3.4 ta có  F  P  Z  M   P Z  M      P  Z  M   P  Z  M     P  Z  M   P  Z  M      K  K Mặt khác a    a   K  nên a  K  K   F Điều mâu thuẫn với việc ta   lấy a phần tử tùy ý thuộc K \ F 34 2.4 Nhóm tối đại vành chia quaternions Trong phần này, chứng minh Giả thuyết trường hợp D vành chia quaternions có đặc trưng khác Đồng thời, sử dụng vành chia quaternions có đặc trưng khác để chứng minh điều khẳng định giả thuyết D vành chia thỏa điều kiện  D : F   charD  , F tâm D Hơn nữa, xây dựng nhóm tối đại giải M H  *  * j nhóm nhân H * vành chia quaternions thực H từ đưa câu trả lời phủ định Giả thuyết Cuối cùng, chứng minh nhóm tối đại giải H * liên hợp với M H H * Định nghĩa 2.4.1 Cho D vành chia không giao hoán với tâm F Khi đó, ta nói D vành chia quaternions F  D : F   Bổ đề 2.4.2 Mọi mở rộng bậc hai mở rộng chuẩn tắc Chứng minh Giả sử  L : K   Khi L  K nên tồn a  L \ K Xét dãy mở rộng trường L  K  a   K ta có   L : K    L : K  a   K  a  : K  Vì a  K nên K  a   K Do  K  a  : K   Suy L  K  a   K  a  : K   Do  K  a  : K   nên tồn f  x   K  x đa thức bậc hai, bất khả quy K nhận a làm nghiệm Giả sử f  x   c  x  a  x  b   K  x Khi ta có c  K , c  a  b   K a  K  a  nên b  K  a  Do L  K  a  trường phân rả đa thức f  x  K Vậy mở rộng K  L mở rộng chuẩn tắc  Bổ đề 2.4.3 Cho K trường có đặc trưng p , L mở rộng hữu hạn K với bậc  L : K  nguyên tố với p Khi L mở rộng tách K 35 Chứng minh Giả sử u phần tử tùy ý thuộc L Nếu u  K hiển nhiên u tách Nếu u  K u nghiệm đa thức tối tiểu bậc n Từ suy n   K  u  : K  ước  L : K  Do  L : K  nguyên tố với p nên n nguyên tố với p Nếu f  x  không tách f  x  phải có dạng f  x     x p  với   x   K  x Điều chứng tỏ n  deg f bội p , mâu thuẫn với  n, p   Suy f  x  đa thức tách u phần tử tách K Vậy L mở rộng tách K  Bổ đề 2.4.4 Mở rộng hữu hạn L K mở rộng Galois  L : K   Gal  L K  Chứng minh Nếu L K mở rộng Galois theo Bổ đề 1.4.11 Bổ đề 1.4.12 ta   có K trường cố định G : Gal L K Khi theo Định lý 1.4.10 ta có  L : K   G Ngược lại, giả sử  L : K   G Gọi K trường cố định G Khi đó, theo Định lý 1.4.10 ta có  L : K0   G Vì K  K nên K  K Từ suy L  mở rộng Galois K Định lý 2.4.5 Cho D vành chia quaternions tâm F char D  Khi Z  M   M  F với nhóm tối đại M D* Chứng minh Đặt K : P  Z  M  Vì D vành chia quaternions tâm F nên D không giao hoán  D : F   nên D mở rộng đại số F Mặt khác, M nhóm tối đại D* nên theo Định lý 2.3.7 ta có Gal  K / F   idK  Nếu F  K ta có Z  M   F Khi M  Z  M   M  F Mà Z  M   M nên Z  M   M  F Hiển nhiên M  F  Z  M  nên Z  M   M  F Còn F  K Khi đó, theo Định lý 1.5.18 ta có   D : F    K : F  CD  K  : F  36 Do  K : F   Theo Bổ đề 2.4.2 ta có K mở rộng chuẩn tắc F Hơn nữa, char F  nên theo Bổ đề 2.4.3 ta có K mở rộng tách F Từ suy K mở rộng Galois F Khi áp dụng Bổ đề 2.4.4 ta có  F   K : F   Gal K   Điều mâu thuẫn Gal K F  id K  Vậy Z  M   M  F với nhóm tối đại M D*  Sau đây, sử dụng vành chia quaternions có đặc trưng khác để chứng minh Giả thuyết trường hợp D vành chia thỏa điều kiện  D : F   charD  Định lý 2.4.6 Cho D vành chia quaternions tâm F char D  Khi D* không tồn nhóm tối đại lũy linh Chứng minh Giả sử M nhóm tối đại lũy linh D* Khi đó, theo Định lý 1.5.25 M nhóm nhân trường K D Tức M  K * Khi đó, theo Định lý 2.4.5 ta có Z  M   M  F nên Z  K   K  F  F Vì K trường nên K  Z  K  Do K  Z  K   K  F  F Từ suy D  F (mâu thuẫn  D : F   ) Vậy D* nhóm tối đại lũy linh  Mệnh đề 2.4.7 Cho D vành chia với tâm F cho  D : F   charD  Khi D* tồn nhóm tối đại lũy linh M D giao hoán Chứng minh Giả sử D vành chia không giao hoán Khi  D : F   nên D vành chia quaternions tâm F Mặt khác, ta lại có charD  nên theo Định lý 2.4.6 D* nhóm tối đại lũy linh Điều mâu  thuẫn với giả thiết Vậy D giao hoán 37 Bây giờ, chứng minh lại cách rõ ràng lời phủ định tác giả M Mahdavi-Hezavehi Giả thuyết Sau đó, chứng minh nhóm tối đại giải H * liên hợp với M H   * j H * Định nghĩa 2.4.8 Tập hợp   H  q0  iq1  jq2  kq3 i  j  k  ijk  1, qi  , i  1, 2,3 gọi tập quaternions thực Ta định nghĩa phép cộng phép nhân H sau :  Nếu a  a0  a1i  a2 j  a3k b  b0  b1i  b2 j  b3k thuộc H a  b   a0  b0    a1  b1  i   a2  b2  j   a3  b3  k  Nếu a  a0  a1i  a2 j  a3k b  b0  b1i  b2 j  b3k thuộc H ab   a0b0  a1b1  a2b2  a3b3    a0b1  a1b0  a2b3  a3b2  i   a0b2  a2b0  a1b3  a3b1  j   a0b3  a3b0  a1b2  a2b1  k Ta dễ dàng kiểm tra tập hợp quaternions H lập thành vành với phép cộng phép nhân định nghĩa Khi H gọi vành quaternions thực Định nghĩa 2.4.9 Cho H vành quaternions thực Trong H ta lấy phần tử q  q0  iq1  jq2  kq3 Khi đó, chuẩn q ký hiệu N  q  tính công thức N  q   q02  q12  q22  q32 Định nghĩa 2.4.10 Cho H vành quaternions thực Trong H ta lấy phần tử q  q0  iq1  jq2  kq3 Khi đó, phần tử liên hợp q ký hiệu q tính công thức q  q0  iq1  jq2  kq3 38 Lấy q  q0  iq1  jq  kq  H , ta có qq   q0 q0  q1 q1  q2 q2  q3 q3    q0 q1  q1 q0  q2 q3  q3 q2  i   q0 q2  q2 q0  q1 q3  q3 q1  j   q0 q3  q3 q0  q1 q2  q2 q1  k  q02  q12  q22  q32  N q Tương tự, ta có qq  N q  Tóm lại ta có kết sau qq  qq  N q   Do đó, q  N  q   Khi đó, ta có 1 1 q  N  q   q   N  q   qq  1 Từ suy q 1   N  q   q Mệnh đề 2.4.11 Cho H vành quaternions thực Khi đó, H vành chia ta gọi H vành chia quaternions thực Chứng minh Lấy phần tử a  a0  a1i  a2 j  a3k tùy ý thuộc H a  Khi đó, áp dụng kết Định nghĩa 2.4.10 a có phần tử nghịch đảo 1 a 1   N  a   a Như phần tử khác H khả nghịch nên H  vành chia Mệnh đề 2.4.12 Cho H vành chia quaternions thực Khi H *  Chứng minh Đặt G  * * , j 1 , j  Đầu tiên ta chứng minh w, z  với z  w z  j G w  j  G Thật vậy, z  điều rõ ràng Giả sử z  , z w nên tồn t   z  j t  t  w  j G Do t t cho wz 1  Khi đó, ta có w  j G Vì phần tử H có dạng z1  z2 j với z1 , z2  Do đó, để chứng minh Mệnh đề ta cần chứng minh với a  39 ta có a  j G Thậy vậy, lấy r  đặt u   r    r    1   i Khi ta có u  Vì  j  G nên theo 1 r  1 r      chứng minh ta lại có u  j  G Từ suy 1  j u  j   G Vì u 1 u  1 u 1  r Mà r lấy tùy ý nên với a  u 1  j  G Mặt khác, ta lại có có a  j  G  Định lý 2.4.13 Cho M nhóm thực H * chứa M *  * ta * Khi M  * j Vì H * có nhóm tối đại giải Chứng minh Với z0  * , ta đặt G * , z0  j z0  r0  Vì z0  j  G nên cách chứng minh tương tự Mệnh đề 2.4.12 ta có   r0 i  j  G   r0  j  G Do  Đặt z1  r0  j   r0 i  j   r0i  1   r0i  , ta có r0  r0 i z1  r02   z1  j  G 2r0 Tiếp tục đặt z1  r1  Tương tự ta có  r1  j   r1 i  j  G 40  r0  r0 i j  G Đặt z2  r1i  ta có r1  r1 i z2  j  G z2  r12   2r1 Tiếp tục trình ta nhận dãy rn  zn  thỏa điều kiện sau: rn  rn21  rn1i   1, zn  , zn  j  G, zn  rn 2rn1 rn1  rn1 i Vì dãy rn  giảm bị chặn n   rn hội tụ Từ suy tồn m  cho t zm  j  G  1 4t t t  zm Khi đó, cách đặt t u  1 4t   t  12   i  t   4t    ta có t  j u  j   G Từ suy tu  tu    j  G t u t u Do  j  G Khi theo Mệnh đề 2.4.12 ta có G  H * Như ta chứng minh H *  chứa * * , z0  j với z0  nên ta có M  chuẩn tắc *  * * M  j  *  có nhóm tối đại giải M H  * *  j : * * * *  Vì M nhóm thực H * * 41 j Mặt khác, * nhóm Abel   nên giải Vậy H *  j  Mệnh đề 2.4.14 Cho H vành chia quaternions thực M nhóm tối đại giải H * Khi tồn phần tử ,  H * cho : (i)     1,    ; (ii) M    *     , * trường số thực Chứng minh Giả sử M giao hoán Khi M lũy linh Mặt khác, ta lại có M nhóm tối đại H * nên M nhóm tối đại lũy linh H * Điều mâu thuẫn với Định lý 2.4.6 Do M không giao hoán Khi đó, H có tâm H :   , , M nhóm tối đại không giao hoán H * M giải nên theo Định lý 1.5.20 tồn trường tối đại K H cho K * chuẩn tắc M, K mở rộng Galois M K*   Từ suy  Gal K    K :  M : K *   M *  Gal K K   ,   id Khi tồn   Gal K K Suy    - tự đẳng cấu K Theo Định lý 1.5.19 ta có tồn phần tử a  H * cho   x   a x a1, x  K Nếu a  H * \ M a  N H *  K *  \ M Từ suy M nhóm thực N H *  K *  Vì M tối đại H * nên N H  K *   H * Suy K * * H * Ta lại có K trường nên K  H Theo Định lý 1.5.16 ta có K  Z  H  Mà Z  H    K :   Do a  M \ K * Rõ ràng ta viết K  nên K  Điều a  M Vì   id K nên suy a  K Do     1 Khi đó,      từ suy a  a Do a2  a  a   a  a     a  a    a  a  a2 từ ta có a2  CH       K Hơn nữa, a  a nên a2   a      Ta viết a2  s2 với s số nguyên dương Ta có  : a s 1  M \ K * ,     1    Vì  M :      nên * M   * 42     *  Mệnh đề 2.4.15 Cho         1,    Khi M : H* phần tử * cho *    nhóm tối đại giải  H * Chứng minh Đặt a : , b :  c :  , ta có a2  b2  c2  1, ab  c, bc  a ca  b Từ suy 1, a, b, c sở H tự đẳng cấu Do ta xây dựng - đại số H sau f :H H với f 1  1, f i   a, f  j   b, f  k   c Khi ta có  f M H    f  x  H x  M H  f  x  H x  Vì x  *  * m, n, p, q  j nên x  * x  * *  * j  j Khi x  m  ni x  pj  qij , m2  n2  0, p  q   Nếu x  m  ni ta có f  x   m.1  na  m.1  n  Nếu x  pj  qij ta có f  x   pb  qc  p  q Do ta có f  M H     *     Suy * M  f  M H  Mà M H  *  * j nhóm tối đại giải H * nên M  f  M H  nhóm tối đại giải H *  Định lý 2.4.16 Cho H vành chia quaternions thực Khi nhóm tối đại giải H * liên hợp với M H  *  * j Chứng minh Gọi M nhóm tối đại giải H * Khi đó, theo Mệnh đề 2.4.14 tồn phần tử ,  H * cho     1,    43 M   *  *    Đặt a : , b :  c :  , ta có ab  c, bc  a ca  b Từ suy 1, a, b, c sở H thể xây dựng tự đẳng cấu a2  b2  c2  1, Do ta có - đại số H sau f :H H với f 1  1, f i   a, f  j   b, f  k   c Vì tâm H  H :   nên theo Định lý 1.5.19 tồn phần tử u  H * cho f  x   uidH  x  u 1, x  H * hay f  x   uxu 1, x  H * Mặt khác, theo Mệnh đề 2.4.15 ta có M  f  M H  Từ suy M  uM H u 1 Vậy M liên hợp với MH  *  *  j Cuối cùng, phát biểu số hệ đơn giản liên quan đến giả thuyết và từ chứng minh Giả thuyết D vành chia với tâm F ,  D : F   charD  Mệnh đề 2.4.17 Mọi p – nhóm hữu hạn lũy linh Chứng minh Nếu  i  G G i  G i  p – nhóm hữu hạn nên i 1  G  nên  i   i 1 Do G hữu hạn nên phải tồn số c Z  G i   Mà  i  Z i        cho  c  G Vậy G lũy linh  Hệ 2.4.18 Cho D vành chia với tâm F,  D : F   D có đặc trưng khác Khi D* tồn p – nhóm Sylow hữu hạn M D giao hoán Chứng minh Vì M p – nhóm hữu hạn D* nên theo Mệnh đề 2.4.17 ta có M lũy linh Mặt khác, M p – nhóm Sylow D* nên M tối đại D* Khi M nhóm tối đại lũy linh D* nên áp dụng Mệnh đề 2.4.7 ta có D giao  hoán 44 Mệnh đề 2.4.19 Mọi nhóm Abel nhóm lũy linh Chứng minh Giả sử G nhóm Abel Khi  G   G Vì G nhóm Abel nên   G     G  , G   G, G   Vậy G nhóm lũy linh lớp  Hệ 2.4.20 Cho D vành chia với tâm F,  D : F   D có đặc trưng khác Khi đó, D* tồn nhóm tối đại Abel M D giao hoán Chứng minh Vì M nhóm Abel nên theo Mệnh đề 2.4.19 ta có M lũy linh Khi M nhóm tối đại lũy linh D* nên theo Mệnh đề 2.4.7 ta có D giao hoán  45 PHẦN KẾT LUẬN Qua nội dung trình bày luận văn này, làm rõ kết nghiên cứu giả thuyết nêu phần mở đầu Cụ thể sau: Đối với Giả thuyết 2.1.4 chứng minh Giả thuyết F  M   M , 2.2.11 đưa điều kiện * tương đương cho Giả thuyết trường hợp vành chia D có tâm vô hạn F Z  M   M  F P  Z  M    F , 2.3.3 chứng minh Giả thuyết D vành chia không giao hoán M nhóm tối đại chuẩn tắc D* , 2.4.5 chứng minh Giả thuyết D vành chia quaternions có đặc trưng khác Đối với Giả thuyết 2.4.7 chứng minh Giả thuyết D vành chia với tâm F thỏa điều kiện  D : F   charD  Còn Giả thuyết 2.4.13 xây dựng nhóm tối đại giải M H vành chia quaternions thực H từ đưa lời phủ định Giả thuyết đồng thời chứng minh nhóm tối đại giải H * liên kết với M H H * Cuối cùng, phát biểu số hệ liên quan đến Giả thuyết chứng minh Giả thuyết D vành chia với tâm F thỏa điều kiện  D : F   charD  46 Tuy nhiên, vấn đề tồn xoay quanh đề tài Chẳng hạn việc giải giả thuyết dừng lại phạm vi Chúng ta chứng minh giả thuyết vành chia D thỏa điều kiện  D : F   charD  Nhưng vành chia có  D : F   vành chia có đặc trưng sao? Khi đó, giả thuyết có không? Điều gợi nhiều hướng mở liên quan đến nội dung đề tài mà cần phải nghiên cứu thêm Do hạn chế thời gian, khả thân, nguồn tài liệu…nên phạm vi nghiên cứu luận văn dừng lại mức độ định Tác giả hy vọng tương lai có hội để tiếp tục nghiên cứu sâu vấn đề tồn mà tác giả phía 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Xuân Hải: Đại số đại, Nhà xuất Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2002 [2] Bùi Xuân Hải: Lý thuyết trường Galois, Nhà xuất Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2007 [3] Bui Xuan Hai and Le Khac Huynh: On maximal subgroups in division rings, Acta Math Vietnam 30, (2005) 35 - 43 [4] S Akbari, M Mahdavi-Hezavehi, M.G Mahmudi: Maximal subgroups of GL1  D , J of Algebra 217 (1999), 422-433 [5] S Akbari, R Ebrahimian, H Momenaee Kermani, A Salehi Golsefidy: Maximal subgroups of GLn  D , J Algebra 259 (2003) 201-225 [6] S Akbari, M Mahdavi-Hezavehi: On the existence of normal maximal subgroups in division rings, J Algebra 171 (2002) 123-131 [7] P K Draxl: Skew Fields, Cambridge University Press, 1983 [8] T Y Lam: A First course in Noncommutative Rings, GMT 131, SpingerVerlag, 1991 [9] M Mahdavi – Hezavehi: Free subgroups in maximal subgroups of GL1  D , J of Algebra 241, No2(2001) 720 - 730 48 [...]... Cho D là vành chia và M là nhóm con tối đại lũy linh của D* Khi đó D giao hoán Giả thuyết 3 Cho D là vành chia và M là nhóm con tối đại giải được của D* Khi đó D giao hoán Giả thuyết 4 Cho D là vành chia và M là nhóm con tối đại Abel của D* Khi đó D giao hoán 2.1 Một số tính chất cơ bản của nhóm con tối đại trong vành chia Cho D là vành chia với tâm F và M là nhóm con tối đại của D* Trong phần này,...  1  1.3 Nhóm con thực sự và nhóm con tối đại Định nghĩa 1.3.0 Cho G là nhóm và M là nhóm con của G M là nhóm con thực sự của G nếu M  G 8 Định nghĩa 1.3.1 Cho G là nhóm và M là một nhóm con thực sự của G Khi đó, M được gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại nhóm con N của G sao cho M  N G Ví dụ 1.3.2 i) Nếu (G,.) là nhóm không có nhóm con thực sự nào thì 1 là nhóm con tối đại của G ii)... giao của các vành con của vành D nên D0 là một vành con của D Ngoài ra, x Di , i I Suy ra x 1 Di , i I Do đó x 1 x D0* ta có D0 Vậy D0 là một vành chia  con của D Tính chất 1.5.10 Cho S là một tập con của vành chia D Khi đó, giao của tất cả các vành chia con của D chứa S là một vành chia con của D Nó là vành chia con nhỏ 16 nhất của D chứa S (theo quan hệ bao hàm) và được gọi là vành chia con của D...  F  2.3 Trường con tối tiểu chứa tâm của nhóm con tối đại Cho D là vành chia với tâm F và M là nhóm con tối đại của D* Trong phần này chúng ta nghiên cứu sâu hơn về mở rộng trường F  P  Z  M  trong trường hợp D là vành chia không giao hoán và đại số trên tâm F của nó Đồng thời chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu cho D là vành chia không giao hoán với tâm F và M là nhóm con tối đại chuẩn tắc của... 1.5.4 Một tập con K khác rỗng của vành chia D được gọi là một vành chia con của D nếu K là một vành chia đối với các phép toán cộng và nhân trong D, cảm sinh trên K Định nghĩa 1.5.5 Một vành chia con K của vành chia D được gọi là chuẩn tắc trong * * D nếu K là nhóm con chuẩn tắc của D Tính chất 1.5.6 Mỗi vành chia giao hoán là một trường Tính chất 1.5.7 Với mỗi tập con S khác rỗng của vành chia D, CD... một vành chia có ít nhất 4 phần tử với tâm F và M là một nhóm con tối đại giải được của D Khi đó M là nhóm Abel hoặc Z  M   F * 24 Chương 2 NHÓM CON TỐI ĐẠI TRONG VÀNH CHIA Trong chương này, tác giả tập trung vào việc giải quyết 4 giả thuyết sau : Giả thuyết 1 Cho D là vành chia với tâm F và M là nhóm con tối đại của D* Khi đó ta có Z  M   M  F với Z  M  là tâm của M Giả thuyết 2 Cho D là vành. .. đó, nếu M là nhóm con tối đại chuẩn tắc của G thì G M là nhóm Abel 9 Chứng minh Vì M là nhóm con tối đại của G nên G M không có nhóm con thật sự Do đó tồn tại số nguyên tố p sao cho G  p Vì mọi nhóm cấp nguyên tố đều là M nhóm xyclic nên G M là nhóm xyclic Mà mọi nhóm xyclic đều là nhóm Abel nên G M  là nhóm Abel Mệnh đề 1.3.5 Cho là trường các số thực Khi đó, * chỉ có một nhóm con tối đại Chứng minh... nói A là một đại số chia trên trường F Nhận xét Nếu A là một đại số có đơn vị khác 0 trên trường F thì A là một F -đại số Mỗi đại số chia A trên trường F là một vành chia có tâm chứa F Do đó, đại số A kế thừa các tính chất của cấu trúc vành chia A Hơn nữa, các khái niệm đại số con (chia) trên trường và đại số con (chia) trên trường sinh bởi một tập hợp được định nghĩa tương tự như trong vành chia Định...  là vành chia sinh bởi M và F, đồng thời M là nhóm con tối đại của D* nên F  M   D* hoặc F  M   M Nếu F  M   D* thì ta có * * * D  F  M  Còn nếu F  M   M thì ta có M  0 là vành chia *  Mệnh đề 2.1.4 Cho D là một vành chia với tâm F và M là nhóm con tối đại của D* Khi đó nếu F  M   M thì Z  M   M  F * Chứng minh Vì D là một vành chia với tâm F, M là nhóm con tối đại của... là nhóm con tối đại của nhóm ( , +) với p là số nguyên tố Thật vậy, không là nhóm con tối đại của nhóm ( , +) Khi đó, tồn tại số tự nhiên n  1 sao cho p < n Từ đó suy ra n phải là ước của p Nhưng p là số nguyên tố nên n = 1 hoặc n = p (mâu thuẫn) Mệnh đề 1.3.3 Nếu G là nhóm hữu hạn thì trong G luôn tồn tại nhóm con tối đại Chứng minh Vì G là nhóm hữu hạn nên G có hữu hạn nhóm con thật sự N Giả sử trong ... TRONG VÀNH CHIA 2.1 Một số tính chất nhóm tối đại vành chia 25 2.2 Giả thuyết trường hợp vành chia với tâm vô hạn 26 2.3 Trường tối tiểu chứa tâm nhóm tối đại 31 2.4 Nhóm tối đại vành. .. Cho D vành chia M nhóm tối đại Abel D* Khi D giao hoán 2.1 Một số tính chất nhóm tối đại vành chia Cho D vành chia với tâm F M nhóm tối đại D* Trong phần này, dựa vào số tính chất vành chia để... vành chia với tâm F M nhóm tối đại D* Khi ta có Z  M   M  F với Z  M  tâm M Giả thuyết Cho D vành chia M nhóm tối đại lũy linh D* Khi D giao hoán Giả thuyết Cho D vành chia M nhóm tối đại