MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN TRONG VÀNH CHIA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ VÀNH CHIA Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện ThS. PHẠM THỊ VUI HỒ NGỌC TRÂM MSSV: 1100075 Lớp: SP Toán K36 Cần Thơ, 2014 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, bên cạnh sự cố gắng của bản thân thì em cần phải được trang bị những kiến thức cần thiết và sự giúp đỡ của thầy cô và bạn bè trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô trong Khoa Sư Phạm Bộ môn Sư phạm Toán Trường Đại học Cần thơ đã tận tình dạy dỗ, trang bị cho em những kiến thức bổ ích trong suốt những năm đại học. Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô Phạm Thị Vui đã tận tình hướng dẫn, cung cấp tài liệu và giúp đỡ em hoàn thành luận văn này. Cảm ơn tất cả người thân và bạn bè đã động viên giúp đỡ em về mặt kiến thức lẫn tinh thần. Tuy đã cố gắng hết sức nhưng do kiến thức vẫn còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những sai sót. Mong quý thầy cô và các bạn đọc thông cảm và đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn! Cần Thơ, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện Hồ Ngọc Trâm MỤC LỤC A. PHẦN MỞ ĐẦU 1 B. PHẦN NỘI DUNG 3 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ…………………………………………………….3 1.1 NHÓM 3 1.2 VÀNH 6 1.3 MIỀN NGUYÊN VÀ TRƯỜNG 15 1.4 KHÔNG GIAN VECTƠ 17 1.5 MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ BẬC CỦA MỞ RỘNG TRƯỜNG 18 1.6 ĐẠI SỐ 22 1.7 ĐẠI SỐ ĐÓNG 23 2 VÀNH CHIA. 24 2.1 ĐỊNH NGHĨA 24 2.2 VÍ DỤ 25 2.3 ĐỊNH LÝ WEDDERBURN 28 2.4 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 33 2.5 HOÁN TỬ TRONG VÀNH CHIA 44 2.6 ĐẠI SỐ CHIA 51 2.7 NHÓM CON TỐI ĐẠI 54 2.8 ĐA THỨC TRÊN VÀNH CHIA 58 2.9 ĐỊNH LÝ KAPLANSKY 72 C. PHẦN KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO… 75 1 A. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong suốt thời gian học tập tại trường Đại học Cần thơ, em đã được tiếp thu những kiến thức về mảng đại số, đặc biệt là những tính chất về nhóm, vành, trường,… Tuy nhiên trong đó có một loại vành đặc biệt là Vành chia – vành mà có các tính chất giống như trường ngoại trừ tính giao hoán. Do không có tính giao hoán nên vành chia phát sinh nhiều tính chất đặc biệt thú vị, bản thân em thấy thích thú với những tính chất này. Tuy nhiên, tài liệu tiếng Việt về vành chia còn rất ít nên việc nghiên cứu của sinh viên còn gặp nhiều khó khăn. Vì vậy em quyết định chọn đề tài “Một số vấn đề cơ bản về vành chia” nhằm tìm hiểu và tổng hợp những tính chất cơ bản đối chiếu với những tính chất đã học về vành giao hoán, nâng cao kiến thức về đại số nói chung, và hơn nữa là đưa ra một tài liệu cơ bản hoàn chỉnh giúp ích cho việc đọc hiểu và nghiên cứu những tài liệu chuyên sâu sau này của sinh viên. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn này là trình bài các khái niệm và một số tính chất cơ bản của vành chia. Sau đó, so sánh với các kiến thức đã học, bên cạnh đó tạo tiền đề để nghiên cứu chuyên sâu hơn về những tài liệu Đại số liên quan. 3. Phạm vi nghiên cứu Trong khuôn khổ luận văn này chỉ nghiên cứu một số khái niệm và tính chất cơ bản về vành chia, nhóm con và đa thức trên vành chia. 4. Phương pháp nghiên cứu • •• • Sưu tầm tài liệu có liên quan đến đề tài của mình. • •• • Dịch ra tiếng Việt những tài liệu tiếng Anh. • •• • Đọc tài liệu và liên hệ với các kiến thức đã học, chọn lọc ra những khái niệm và tính chất cơ bản. • •• • Phân tích, tìm ra mối liên hệ, hệ thống hóa và sắp xếp các phần hợp lý hơn. 2 • •• • Đọc hiểu các chứng minh và trình bày lại ngắn gọn dễ hiểu hơn, chứng minh thêm một vài tính chất cơ bản. 3 B. PHẦN NỘI DUNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 NHÓM 1.1.1 Định nghĩa Cho tập G và một phép toán hai ngôi (kí hiệu là *) trong G lập thành một nhóm (kí hiệu là (G, *)), với phép toán * nếu: (G1) , , : *( * ) ( * )* a b c G a b c a b c ∀ ∈ = (tính kết hợp) (G2) , a G ∀ ∈ ∃ phần tử trung hòa θ sao cho: * * a a a θ θ = = (G3) a G ∀ ∈ , tồn tại phần tử đối xứng a’ sao cho * ' '* a a a a θ = = . G là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) nếu: (G4) , : * * a b G a b b a ∀ ∈ = . (tính giao hoán) 1.1.2 Tính chất Cho H , K là hai nhóm con của nhóm G . Nếu H K ∪ là một nhóm thì hoặc H K ⊆ hoặc K H ⊆ . Ch ứ ng minh : Giả sử ngược lại. Khi đó H K ⊄ và K H ⊄ . Lấy \ x H K ∈ và lấy \ y K H ∈ , từ H K ∪ là nhóm nên xy H K ∈ ∪ . Nếu xy H ∈ thì y H ∈ vô lý, còn nếu xy K ∈ thì x K ∈ điều này cũng vô lý. Do đó tính chất được chứng minh. 1.1.3 Định nghĩa (Nhóm con cyclic và nhóm cyclic) Nhóm con H của nhóm X được gọi là nhóm con cyclic nếu tồn tại phần tử x X ∈ sao cho x H = . Nhóm X được gọi là nhóm cyclic nếu tồn tại x X ∈ sao cho x X = . Lúc này phần tử x được gọi là phần tử sinh. 4 1.1.4 Định nghĩa Nhóm con H của nhóm G được gọi là nhóm con chu ẩ n t ắ c của G nếu , Hx xH x G = ∀ ∈ , hay tương đương 1 , , x hx H x G h H − ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ . (Với Hx và xH lần lượt là các lớp ghép phải và lớp ghép trái của H ). 1.1.5 Định nghĩa Cho S là một tập khác rỗng và X là một nhóm. Ánh xạ *: x X S S → ( , ) * x s x s ֏ được gọi là m ộ t tác độ ng c ủ a nhóm X lên t ậ p S nếu nó thỏa hai điều kiện sau: (i) * e s s = , với mọi s S ∈ . (ii) *( * ) ( )* x y s xy s = , với mọi , ; x y X s S ∈ ∈ . + Ta gọi { } | * s X x X x s s = ∈ = là nhóm con ổ n đị nh của s trong X . + Lớp tương đương { } { } ~ [ ] | : * * | s t S x X t x s x s x X = ∈ ∃ ∈ = = ∈ được gọi là qu ỹ đạ o c ủ a ph ầ n t ử s . Kí hiệu X*s hoặc orb( s ). Khi đó ta được ( ) s S orb s ∈Γ = ∪ , trong đó Γ là tập hợp đầy đủ các phần tử đại diện của quỹ đạo. + (s) [ : ] s orb X X = ; [ : ] s s S X X ∈Γ = ∑ (I) 1.1.6 Định nghĩa Cho X là nhóm, ta xét ánh xạ sau: *: x X X X → 1 ( , ) * x g x g xgx − = ֏ được gọi là tác động liên hợp trong nhóm X. + Nếu a X ∈ thì { } 1 | ( ) a X x X xax a C a − = ∈ = = . Hiển nhiên ( ) C a X = khi và chỉ khi ( ) a Z X ∈ . Do đó nếu X là nhóm hữu hạn thì công thức (I) trở thành [ ] ( ) : ( ) i i I X Z X X C x ∈ = + ∑ (II) 5 trong đó { } | i x i I ∈ là tập các phần tử thuộc X đôi một không liên hợp nhau và không nằm trong tâm Z ( X ). Công thức (II) được gọi là công th ứ c l ớ p . 1.1.7 Định nghĩa Nhóm X được gọi là nhóm giải được nếu có một dãy hữu hạn các nhóm con 0 1 { } n X X X X e = ≥ ≥ ≥ = thỏa hai điều kiện sau: (i) 1 i i X X − ⊲ với mọi 1 i n ≤ ≤ . (ii) 1 / i i X X − là nhóm Abel v ớ i m ọ i i, 1 i n ≤ ≤ . 1.1.8 Định nghĩa M ộ t nhóm G đượ c g ọ i là l ũ y linh n ế u t ồ n t ạ i m ộ t s ố t ự nhiên m sao cho ( ) {1} m C G = . S ố t ự nhiên n nh ỏ nh ấ t sao cho ( ) {1} n C G = đượ c g ọ i là l ớ p l ũ y linh c ủ a nhóm G và kí hi ệ u là ( ) cl G n = . 1.1.9 Định nghĩa H là nhóm con t ố i đạ i c ủ a G n ế u không có m ộ t nhóm con th ự c s ự nào n ằ m gi ữ a H và G, (theo quan h ệ bao hàm). 1.1.10 Định nghĩa Cho G là nhóm và , x y G ∈ . Ph ầ n t ử 1 1 xyx y − − đượ c g ọ i là hoán t ử c ủ a x và y, kí hi ệ u [ ] , x y . Nhóm con c ủ a G sinh b ở i t ấ t c ả các hoán t ử đượ c g ọ i là nhóm con hoán t ử c ủ a G. Kí hi ệ u là [ ] , G G ho ặ c G’. 1.1.11 Định nghĩa Cho G là m ộ t nhóm. Hai ph ầ n t ử a và b c ủ a G đượ c g ọ i là liên h ợ p v ớ i nhau n ế u t ồ n t ạ i m ộ t ph ầ n t ử g G ∈ sao cho 1 gag b − = . Chú ý: Có th ể ch ứ ng minh đượ c r ằ ng quan h ệ liên h ợ p là m ộ t quan h ệ t ươ ng đươ ng, và do đ ó nó phân ho ạ ch G thành các l ớ p t ươ ng đươ ng. ( Đ i ề u này có ngh ĩ a là m ọ i ph ầ n t ử c ủ a m ộ t nhóm thu ộ c vào duy nh ấ t m ộ t l ớ p liên h ợ p, và hai l ớ p liên h ợ p ( ) Cl a và ( ) Cl b trùng nhau khi và ch ỉ khi a, b liên h ợ p, n ế u không, hai l ớ p này tách r ờ i nhau). L ớ p t ươ ng đươ ng ch ứ a ph ầ n t ử a G ∈ là { } 1 ( ) | Cl a gag g G − = ∈ 6 và nó đượ c g ọ i là l ớ p liên h ợ p c ủ a a. S ố liên h ợ p c ủ a G là s ố các l ớ p liên h ợ p phân bi ệ t. M ọ i ph ầ n t ử thu ộ c cùng m ộ t l ớ p liên h ợ p thì có cùng c ấ p. 1.1.12 Định nghĩa i) Cho H, K là hai nhóm con c ủ a G. K đượ c g ọ i là chu ẩ n hóa H ho ặ c H đượ c g ọ i là đượ c chu ẩ n hóa b ở i K n ế u v ớ i m ọ i 1 , x K x Hx H − ∈ ⊆ . ii) Cho G là m ộ t nhóm, ph ầ n t ử a G ∈ đượ c g ọ i là xo ắ n n ế u t ồ n t ạ i s ố nguyên d ươ ng n(a) sao cho a n(a) = 1. iii) G đượ c g ọ i là nhóm xo ắ n n ế u m ọ i ph ầ n t ử n ằ m trong G đề u là ph ầ n t ử xo ắ n. iv) Cho G là m ộ t nhóm. G đượ c g ọ i là h ữ u h ạ n đị a ph ươ ng n ế u m ọ i nhóm con h ữ u h ạ n sinh c ủ a G đề u là nhóm con h ữ u h ạ n. v) Cho G là m ộ t nhóm, ta đị nh ngh ĩ a [ ] 0 (1) ( 1) ( ) ( ) , ' , , , n n n G G G G G G G G G +   = = = =   . { } [ ] ( ) 1 0 1 ( ) 1 , / ( ) n n n Z G Z Z G Z G π − + = = Với : / ( ) n n G G Z G π → là đồng cấu tự nhiên. 1.2 VÀNH 1.2.1 Định nghĩa Vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán hai ngôi trên R gồm phép cộng (+) và phép nhân (.) thoả mãn các điều kiện sau: (1) (R, +) là một nhóm Abel; (2) Phép nhân có tính kết hợp Với mọi , , x y z X ∈ , ta có: ( ) ( ) x yz xy z = ; (3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: , , x y z X ∀ ∈ , ta có: ( ) x y z xy xz + = + ( ) y z x yx zx + = + . 7 1.2.2 Định nghĩa Vành R được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân của nó có tính giao hoán. Vành R được gọi là vành có đơn vị nếu trong R tồn tại phần tử đơn vị (kí hiệu là 1) đối với phép nhân. Tức là: : 1 1 a A a a a ∀ ∈ = = . 1.2.3 Định nghĩa Vành R giao hoán, có đơ n v ị đượ c g ọ i là mi ề n nguyên n ế u R không có ướ c c ủ a 0. Ngh ĩ a là, 0 ab = suy ra 0 a = ho ặ c 0 b = v ớ i m ọ i , a b R ∈ . 1.2.4 Định nghĩa M ộ t t ậ p con A khác r ỗ ng c ủ a vành R đượ c g ọ i là vành con c ủ a vành R n ế u A cùng v ớ i hai phép toán c ả m sinh trên A là m ộ t vành. T ứ c là , x y A ∀ ∈ , ta có , , x y A xy A x A + ∈ ∈ − ∈ . 1.2.5 Định nghĩa Cho R là m ộ t vành. (1) Vành con A c ủ a R đượ c g ọ i là ideal trái c ủ a R n ế u , và xa A x X a A ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ . (2) Vành con A c ủ a R đượ c g ọ i là ideal ph ả i c ủ a R n ế u , và ax A x X a A ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ . (3) Vành con A c ủ a R đượ c g ọ i là ideal c ủ a R n ế u A v ừ a là ideal trái v ừ a là ideal ph ả i c ủ a R. 1.2.6 Định nghĩa Cho R là m ộ t vành, X là vành con c ủ a R. Giao t ấ t c ả các ideal c ủ a R ch ứ a X là m ộ t ideal I c ủ a R. Khi đ ó I đượ c g ọ i là ideal sinh b ở i X. Tr ườ ng h ợ p { } X a = , ta g ọ i I là ideal sinh b ở i ph ầ n t ử a, hay còn g ọ i là ideal chính sinh b ở i a, kí hi ệ u a . Vành R đượ c g ọ i là vành chính n ế u R là mi ề n nguyên có m ọ i ideal c ủ a nó là ideal chính. [...]... nhóm nhân của vành chia D 2.1.2 Định nghĩa Một tập con K khác rỗng của vành chia D được gọi là vành chia con của D nếu K là một vành chia đối với phép toán cộng và nhân trong D, cảm sinh trên K 2.1.3 Định nghĩa Một vành chia con K của vành chia D được gọi là chuẩn tắc trong D nếu K* là nhóm con chuẩn tắc của nhóm nhân D* 2.1.4 Định nghĩa Cho F là một trường con của vành chia D và S là một tập con khác... là vành con hữu hạn của D, và do đó từ 2.3.5 nó là một trường Khi đó G là một nhóm con của K*, G cyclic 2.4 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 2.4.1 Tính chất Mỗi vành chia giao hoán là một trường Chứng minh Do vành chia giao hoán có đủ các tính chất của trường: vành giao hoán, có đơn vị, nhiều hơn một phần tử và mọi phần tử khác không đều khả nghịch Do đó vành chia giao hoán là một trường 2.4.2 Tính chất Trong. .. P = A[x] cũng là một miền nguyên 1.2.22 Định nghĩa Cho A là một vành con của vành B Một phần tử α ∈ B được gọi là nghiệm của đa thức f ( x) = a0 + a1 x + + an x n ∈ A[ x] nếu f (α ) = a0 + a1α + + anα n = 0 1.2.23 Định nghĩa Một số α được gọi là phần tử đại số nếu α là một nghiệm của một phương trình đại số Nói cách khác, một số đại số là một nghiệm của một đa thức với hệ số hệ số hữu tỉ Ngược lại... đảo trong R, nên R không là vành chia và từ đó R không là một trường ii) Phản ví dụ 2 a) » không là một vành chia b) Vành M 2 (» ) không là một vành chia Chứng minh a) Ta chọn một phần tử bất kỳ khác 1 và –1, giả sử chọn 2 ∈ » , 2−1 ∉ » , suy ra 2 không khả nghịch trong » nên » không là vành chia b) Ta chọn một ma trận A có det A = 0, chẳng hạn: 1 2 −1 A=  , không tồn tại A nên M 2 (» ) không là vành. .. 1.6.2 Ví dụ (1) Mọi trường F đều là một F – đại số với dim F F = 1 (2) » là một » - đại số với cơ sở {1,i} , dim » » = 2 (3) H là một » - đại số với cơ sở {1, i, j , k} , dim » H = 4 1.7 ĐẠI SỐ ĐÓNG 1.7.1 Định nghĩa Một trường F được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức (không là đa thức hằng) một biến trên F có một nghiệm trong F 1.7.2 Ví dụ • Trường số thực không là đóng đại số vì đa thức x 2 + 1 = 0... (q ) = q − 1 , và do đó n = 1 Do n là số chiều của D là một không gian vectơ có tâm F, vì vậy D = F, và D là một trường 2.3.5 Hệ quả Bất kỳ vành con hữu hạn R của một vành chia D là một trường Chứng minh 32 Ta thấy rằng R là một vành chia, vì vậy áp dụng định lý Wedderburn, suy ra điều phải chứng minh 2.3.6 Hệ quả Cho D là một vành chia với đặc số p > 0 , và G là một nhóm con hữu hạn của D* Thì G cyclic... khả nghịch trong R; đó là nhóm nhân của R (với đơn vị là 1) 1.2.10 Định nghĩa Giả sử X là một vành Nếu tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho na = 0 (∀a ∈ X ) , thì ta nói vành X có đặc số n Nếu không tồn tại số n như vậy thì vành X có đặc số 0 Đặc số của vành X được kí hiệu là CharX Nếu X là trường thì ta hiểu đặc số của trường X chính là đặc số của vành X 1.2.11 Định nghĩa Trong vành giao hoán... không là vành chia  2 4 Tổng quát: Vành M n (» ) (n ∈ », n ≥ 2) không là một vành chia 27 2.3 ĐỊNH LÝ WEDDERBURN 2.3.1 Định lý Wedderburn Mọi vành chia hữu hạn đều là trường Để chứng minh định lý Wedderburn ta xét một số bổ để quan trọng sau đây : 2.3.2 Bổ đề Nếu V là một không gian vectơ n chiều trên trường F hữu hạn, với F = q, (q ≥ 2) ⇒ V ≅ F n ⇒ V = q n Đặc biệt, nếu D là một vành hữu hạn chứa... → Y gọi là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu ánh xạ f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) Một tự đồng cấu song ánh gọi là một tự đẳng cấu Nếu tồn tại một đẳng cấu f : X → Y thì ta nói X đẳng cấu với Y, kí hiệu là X ≅Y 1.2.16 Định lý Giả sử f : X → Y là một đồng cấu vành, A là một vành con của vành X và B là một Ideal của vành Y Khi đó: (i) f ( A) là một vành con của Y (ii) f −1 ( B) là một Ideal của... − a = 0 có nghiệm trong F Điều ngược lại không đúng • Theo bổ đề Zorn, mọi trường F có bao đóng đại số duy nhất, đó là trường đóng đại số nhỏ nhất chứa F như một trường con 2 VÀNH CHIA 2.1 ĐỊNH NGHĨA 2.1.1 Định nghĩa Một vành R được gọi là một vành chia nếu thoả các điều kiện sau: + R là vành có đơn vị, có nhiều hơn 1 phần tử (∀x ∈ X ,1x = x = x1) ; + mọi phần tử khác không của R đều khả nghịch (∀x . về nhóm, vành, trường,… Tuy nhiên trong đó có một loại vành đặc biệt là Vành chia – vành mà có các tính chất giống như trường ngoại trừ tính giao hoán. Do không có tính giao hoán nên vành chia. Gi ả s ử : f X Y → là m ộ t đồ ng c ấ u vành, A là m ộ t vành con c ủ a vành X và B là m ộ t Ideal c ủ a vành Y. Khi đ ó: (i) ( ) f A là m ộ t vành con c ủ a Y. (ii) 1 ( ) f B − là. nghĩa M ộ t t ậ p con A khác r ỗ ng c ủ a vành R đượ c g ọ i là vành con c ủ a vành R n ế u A cùng v ớ i hai phép toán c ả m sinh trên A là m ộ t vành. T ứ c là , x y A ∀ ∈ , ta có , ,