2.9.1 Mệnh đề
Cho F K
≠
⊂ là một mở rộng trường trong đó K là căn trên F, và cho P là
trường nguyên tố của F. Khi đó charP= p>0, và ta có, hoặc K thuần túy không
tách được trên F, hoặc K là đại số trên P. (Ngược lại, nếu các kết luận này đúng, thì
K là căn trên F.)
Chứng minh
Chúng ta có thể giả sử mở rộng đại số đó K F/ không thuần túy không tách
được (chiều ngược lại ta đã có). Do đó tồn tại phần tử a K F∈ \ là tách được trên
F.
Cho E là một mở rộng thông thường hữu hạn của F chứa a. Vì a F∉ , có một phép tựđẳng cấu ϕ của E trên F sao cho b:=ϕ( )a ≠a. Cốđịnh một số nguyên n > 0 sao cho an∈F. Khi đó bn =ϕ( )a n =ϕ( )an =an. Có nghĩa là b=ωa trong đó
1
ω ≠ là một nghiệm thứn của đơn vị trong E.
Tương tự, vì ϕ(a+1)= +b 1 và (a+1)m∈F với m > 0, có một nghiệm thứm
của đơn vị 'ω ∈E sao cho b+ =1 ω'(a+1).
Nếu ω =ω' thì b+ =1 ω(a+1)= +b ω, mâu thuẫn với ω ≠1. Với ω ≠ω', ta có ' 1 1 '( 1) 1 ' ' ' b ω a ωa ω a ω a ω ω ω − + = + ⇒ + = + ⇒ = − . Do ω ω, ' là các nghiệm của đơn vị, điều này chứng tỏ rằng a là đại số trên trường nguyên tốP.
Bây giờ ta xét phần tử tùy ý r F∈ . Nhắc lại lập luận trên với a r+ thay vì a, ta thấy rằng a r+ là đại số trên P, và do đó r cũng đại số trên P. Nói ngắn gọn, F là
đại số trên P và do đó K cũng đại số trên P.
Còn lại chỉ chứng tỏ rằng charP>0. Với số nguyên tùy ý, lập luận của ta áp dụng cho a r+ chứng tỏ rằng có một phương trình
( r ' 1 /) ( r r ')
73
Trong đó '
r r
ω ≠ω là các nghiệm của đơn vị. Ta thấy rằng ω ωr, r' đều được tìm thấy trong trường E0:=P a b( , ). Do [E P0: ]< ∞, E0 chứa chỉ một số hữu hạn
các nghiệm của đơn vị. Do đó charP phải khác không, ngược lại chúng ta sẽ không
thể tính đến vô hạn các phần tử trong (*). CM xong.
2.9.2 Định lý Kaplansky
Cho D là một vành chia là căn trên tâm F của nó. Khi đó D = F.
Chứng minh
Giả sử D≠ F. Vì D là một đại số đại số trên F, theo định lý Noether – Jacobson 2.6.7 thấy rằng tồn tại một phần tử c D F∈ \ là tách được trên F. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trường K:= F c( ) là căn trên F, do đó ta có thể áp dụng 2.9.1 cho K F
≠
⊃ . Vì
K là tách được trên F, kết luận rằng K là đại số trên trường nguyên tố của nó, đó là một trường hữu hạn Fp.
Lấy tùy ý d∈D là đại số trên F do đó d cũng là đại số trên Fp. Điều này chứng tỏ rằng vành chia D là đại số đại số trên Fp. Nhưng khi đó theo định lý
74