TOÀN VĂN Toán về các nhóm con trong vành chia

[...]... cấu trong ϕ trên D sao cho ϕ|K = ϕ 21 Chương 2 TÍNH CHUẨN TẮC CỦA NHÓM CON TRONG VÀNH CHIA 2.1 Đònh lý Cartan-Brauer-Hua và các đònh lý mở rộng liên quan Đònh lý Cartan-Brauer-Hua là một trong những đònh lý quan trọng nhất trong lý thuyết vành chia Nó đặt nền tảng cho việc khảo sát tính chuẩn tắc của nhóm con nhân trong vành chia Hầu hết các kết quả nghiên cứu về tính chuẩn tắc của nhóm con trong vành. .. hiệu GLn (R) thay cho U Mn (R) Nếu R là vành chia và G là nhóm con nhân của R∗ thì ta qui ước nói G là nhóm con của vành chia R Nếu R là một trường thì một nhóm con của GLn (R) được gọi là nhóm tuyến tính, còn nếu R là vành chia thì nhóm con của GLn (R) được gọi là nhóm tuyến tính trên vành chia Nếu G là một nhóm thì Z(G) được ký hiệu là tâm của G Nếu R là vành thì tập hợp x ∈ R : xy = yx, ∀y ∈ R... ⊆ D = Z(D) 25 2.2 Các đònh lý giao hoán liên quan tính giải được của nhóm con á chuẩn tắc trong vành chia Trong vành chia, tính giải được của một nhóm con rất gần gũi với tính giao hoán, đặc biệt là đối với nhóm con á chuẩn tắc Một kết quả cổ điển trong lý thuyết vành chia là ``Nếu D là vành chia có D∗ là nhóm lũy linh thì D giao hoán" Sau đó Hua tổng quát hóa kết quả trên bằng cách thay tính lũy... thấy rằng tâm của vành chia R là một trường 1.1 Nhóm Cho G là một nhóm nhân với phần tử đơn vò 1 Nhóm con H của G được gọi là nhóm con thực sự của G nếu H = G Nếu X là tập con khác rỗng của G thì ký hiệu X là nhóm con của G sinh bởi X Nếu X là tập hữu hạn và G = X thì ta nói G là nhóm hữu hạn sinh Nếu với mọi tập con hữu hạn S khác rỗng của X, nhóm con S là nhóm hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn đòa... Cho D là vành chia và G là nhóm con bất khả quy tuyệt đối của D và H là nhóm con chuẩn tắc lũy linh đòa phương của G Khi đó tồn tại nhóm con N nằm trong tâm H sao cho H/N là nhóm hữu hạn đòa phương và G/CG (H) là nhóm xoắn Đònh lý 1.3.23 [[12], Hệ quả 2, trang 162] Cho D là vành chia tâm F, K là vành chia con của D chứa F và hữu hạn chiều trên F Khi đó mọi đơn cấu ϕ đi từ K vào D cố đònh các phần tử... 1.3.3 Cho D là vành chia , F là một trường con của D và S là một tập con khác rỗng của D i) Ký hiệu F [S] là giao tất cả các vành con của D chứa (F ∪ S) và gọi nó là vành con của D sinh ra bởi S trên F ii) Ký hiệu F (S) là giao tất cả các vành chia con của D chứa (F ∪ S) và gọi nó là vành chia con của D sinh ra bởi S trên F Đònh nghóa 1.3.4 Cho D là vành chia tâm F i) D được gọi là hữu hạn chiều... tập con S hữu hạn khác rỗng của G, nhóm con S là nhóm giải được thì G được gọi là nhóm giải được đòa phương Ta có G(i) chuẩn tắc trong G với mọi i ≥ 1 Nếu G là nhóm giải được và H là nhóm con chuẩn tắc của G thì H và G/H là những nhóm giải được của G Hiển nhiên nếu G là nhóm giải được thì nó là nhóm giải được đòa phương Đònh nghóa 1.1.2 Cho G là một nhóm i) Họ các nhóm con γi (G) của G được đònh nghóa... G là nhóm lũy linh thì nhóm con và nhóm thương của G là những nhóm lũy linh iv) Nếu G là nhóm lũy linh thì G là nhóm giải được v) Nếu G là nhóm lũy linh thì H là nhóm con á chuẩn tắc của G vi) Nếu G/Z(G) là nhóm lũy linh thì G là nhóm lũy linh vii) Nếu G là nhóm lũy linh và H là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G 13 thì H ∩ Z(G) = {1} Đònh nghóa 1.1.4 Cho G là một nhóm G được gọi là thỏa mãn... đối nếu F [G] = D iii) Với K là vành chia con của D Nếu K ∗ là nhóm con chuẩn tắc của D∗ thì ta nói K chuẩn tắc trong D Dưới đây là các kết quả căn bản để sử dụng trong những chương sau của luận án Đònh lý 1.3.6 (Wedderburn) [[30], Đònh lý 14.13, trang 427] Mọi vành chia hữu hạn đều là một trường Mệnh đề 1.3.7 [[27], Hệ quả 13.2, trang 215] Cho D là vành chia và K là vành con hữu hạn của D Khi đó K là... là vành chia hữu hạn chiều trên tâm và G là nhóm con giải được của D∗ Khi đó G chứa một nhóm con chuẩn tắc giao hoán có chỉ số hữu hạn Đònh lý 1.3.19 [[29], Hệ quả 1.5] Cho D là vành chia và G là nhóm con bất khả quy tuyệt đối giải được đòa phương của D∗ Khi đó G chứa một nhóm con chuẩn tắc giao hoán H sao cho G/H là hữu hạn đòa phương Đònh lý 1.3.20 [[25], Đònh lý 2.5.4, trang 74] Cho D là vành chia . 30 2.4. Tính chất hữu hạn của nhóm con á chuẩn tắc trong vành chia . . . 39 Chương 3. NHÓM CON TỐI ĐẠI TRONG VÀNH CHIA 42 3.1. Tính lũy linh của nhóm con tối đại trong vành chia . . . . . . . . . 42 3.2 - nhóm tâm giảm bậc i của G. Z i (G) - Nhóm tâm tăng bậc i của G. F [S] - vành con sinh bởi (F ∪ S) trong vành chia D . F (S) - vành chia con sinh bởi (F ∪ S) trong vành chia D. U( R) - nhóm các. khảo trong [27]. Từ các kết quả này nẩy sinh ra một hướng nghiên cứu mới đó là: Nếu nhóm nhân trong vành chia có tính chất A làm cho vành chia giao hoán thì một nhóm con á chuẩn tắc trong vành chia