NHĨM CON TỐI ĐẠI TRONG VÀNH CHIA
3.2.Tính hữu hạn của nhĩm con tối đại trong vành chia
Tiết này trình bày một số định lý của chúng tơi, mơ tả mối quan hệ giữa tính hữu hạn và tính giao hốn của một nhĩm con tối đại của vành chia.
Định lý 3.2.1. Cho D là một vành chia khơng giao hốn và giả sử M là nhĩm con tối đại của D∗. Nếu M hữu hạn địa phương thì M là nhĩm nhân của một trường tối đại của D.
Chứng minh. Giả sử M khơng giao hốn. Nếu F∗ khơng nằm trong M thì từ tính tối đại của M, ta cĩ D∗ =F∗M. Suy ra
D0 = (F∗M)0 =M0 ≤M.
Vậy D0 hữu hạn địa phương. Theo Định lý 2.4.3, ta cĩ D0 ⊆Z(D)∗. Suy ra D là nhĩm lũy linh. Theo Hệ quả 2.2.4, D là một trường. Điều vơ lý này cho ta F∗ ≤ M. Nếu
CharD = 0, ta cĩ thể coi Q là trường nguyên tố củaD. Nhưng
(1 + 1) = 2∈Q∗ ⊆F∗ ⊆M
là phần tử cĩ cấp vơ hạn và điều này mâu thuẫn với tính hữu hạn địa phương của M. Suy ra CharD =p >0. Lấya, blà hai phần tử của M thì
a, b
là nhĩm hữu hạn. Theo Mệnh đề 1.3.12, nhĩm
a.b
là nhĩm cyclic. Đặt biệt a giao hốn với b. Suy ra M là nhĩm giao hốn. Theo Bổ đề 3.1.6, ta cĩ điều cần chứng minh.
Thay tính hữu hạn địa phương trong Định lý 3.2.1 bằng tínhF C-nhĩm, ta cĩ kết quả sau:
Định lý 3.2.2. Cho D là vành chia khơng giao hốn với tâm F và giả sử M là nhĩm con tối đại của D∗. Nếu M là FC-nhĩm thì M là nhĩm nhân của một trường con tối đại nào đĩ của D.
Chứng minh. Giả sửM khơng giao hốn vàF∗ khơng nằm trongM, lý luận như trong Định lý 3.2.1, ta cĩ D0 nằm trong M. Suy ra D0 làF C−nhĩm. Theo Định lý 2.4.6, D0
nằm trong F, dẫn đến D là nhĩm lũy linh. Theo Hệ quả 2.2.4, ta cĩ D giao hốn. Điều vơ lý này cho ta F∗ nằm trong M và do đĩ F∗ nằm trong Z(M). Giả sử F∗ Z(M). Lấy a ∈Z(M)\F, khi đĩM ⊆CD∗(a). Từ tính tối đại củaM, ta cĩ
Nhưng a /∈F nên CD∗(a)6=D∗. VậyM =CD∗(a)và do đĩ CD∗(a) là F C−nhĩm.Theo Hệ quả 2.4.7, CD∗(a) = M là nhĩm giao hốn, điều này là mâu thuẫn. Suy ra F∗ =
Z(M). Lấyx ∈M \Z(M). Do M là F C−nhĩm nên [M :CM(x)]<∞.Đặt
H = \
y∈M
y−1CM(x)y.
Theo Định lý 1.1.8, ta cĩ H chuẩn tắc trong M và [M : H] < ∞. ĐặtK =F(H), khi đĩ M chuẩn hĩa K. Suy ra M ≤ND∗(K∗) và từ tính tối đại của M, ta cĩ
D∗ =ND∗ F(H)∗
hoặc M =ND∗(F(H)∗).
Ta xét hai trường hợp.
Trường hợp 1. D∗ = ND∗ F(H)∗
. Do F(H)∗ chuẩn tắc trong D∗ nên theo Định lý Cartan-Brauer-Hua ta cĩ
D =F(H) hoặc F(H)⊆F.
Giả sử D = F(H). Do H nằm trong CM(x) nên x giao hốn với mọi phần tử của
F(H) =D. Suy ra x∈F∗ =Z(M), mâu thuẫn với cách chọn x. Vậy ta cĩ F(H)⊆F. Suy ra H ⊆F. Do đĩ
[M : F∗]≤[M :H]<∞.
Gọi x1, x2, . . . , xn là tập hợp đầy đủ các phần tử đại diện của các lớp ghép theo F∗ trong
M. Đặt N =
x1, x2, . . . , xn
. Khi đĩ M =N F∗. Lấy x∈D∗ \M, đặt N1 =
N ∪x
.
Từ M =N.F∗ N1F∗ và tính tối đại của M, ta cĩD∗ =N1F∗. Suy ra
[D∗, D∗] = [N1F∗, N1F∗] = [N1, N1].
Vậy N1 là nhĩm con chuẩn tắc hữu hạn sinh của D∗. Nếu [D :F]<∞ thì theo Định lý 2.4.1 , N1 nằm trong F. Do đĩ
D∗ =N1F∗=F∗
và đây là điều vơ lý. Suy ra [D :F] =∞. Ta cĩ
M =x1F∗∪x2F∗∪. . .∪x1F∗.
Đặt A=n Pn
k=1αkxk : αk ∈F
o
. Với mọi i, j ∈ {1,2, . . . , n , tích xixj nằm trong M
đĩ nĩ cũng là vành chia bởi Bổ đề 2.4.2. Hiển nhiên M nằm trong A∗. Từ tính tối đại của M ta cĩ
M =A∗ hoặcA∗ =D.
Từ định nghĩa của A, ta cĩ [A:F]<∞. Vì vậy A6=D và do đĩ M ∪ {0} =A là vành chia. Theo Hệ quả 2.4.7, M là nhĩm giao hốn. Điều vơ lý này lại cho ta M giao hốn trong trường hợp này.
Trường hợp 2. M =ND∗(F(H)∗). Ta cĩ F(H)∗ nằm trong M. Hơn nữa
[M :F(H)∗]<[M :H]<∞.
Theo Bổ đề 3.1.5, ta cĩ [D : F]< ∞. Lấy x ∈ M, từ giả thiết M là F C−nhĩm ta cĩ
[M :CM(x)] =n <∞.Gọi x1, x2, . . . , xn là tập đầy đủ các phần tử đại diện của các lớp ghép theo CM(x) trong M. Đặt
N =CM(x1)∩CM(x2)∩. . .∩CM(xn)∩CM(x).
thì [M :N]<∞. Theo Định lý 1.1.8,
M :∩x∈Mx−1N x
<∞.Suy ra tồn tại số nguyên dương k sao cho
∀y∈M, yk ∈ \
x∈M
x−1N x≤N.
Đặc biệt ta cĩ xk ∈N. Lấy z ∈M, tồn tại chỉ số j và a∈CM(x) sao cho z =xja. Suy ra
xkz =xkxja=xjxka=xjaxk =zxk.
Tức là xk ∈Z(M) =F∗. Điều này cho thấy M căn trên F. Theo Định lý 3.1.1, ta cĩ
CharD =p >0 và [D :F] = p2.
ĐặtM1 =D0∩M. Lấyx∈M1, từM căn trên F nên tồn tại số nguyên dươngn(x)sao cho xn(x) =α∈F. Tác động chuẩn rút gọn lên hai phía, nhận được
1 = N rdD/F(x)n(x) =N rdD/F (x)n(x)
=N rdD/F(α) =αp.
Suy ra xpn(x) = 1. Vậy M1 là nhĩm xoắn. Bằng cách xét biểu diễn chính quy của D∗
trong GLp2(F), ta cĩ thể coi M1 là nhĩm con của GLp2(F). Theo Định lý 1.2.6, M1 là hữu hạn địa phương. Lấy x vàylà hai phần tử trong M, khi đĩ
x, y
là nhĩm hữu hạn và suy ra nĩ là nhĩm cyclic bởi Mệnh đề 1.3.12. Đặc biệt a, b giao hốn với nhau dẫn tới M1 giao hốn. Hiển nhiên [M, M]≤M1 và do đĩ M là nhĩm giải được. Theo Định
lý 1.3.14 (Suprunenko), tồn tại trường con K của D sao cho K/F là mở rộng Galois và
[M :K∗]<∞.
Nếu K ⊆F thì [M :K∗]<∞, lặp lại lý luận như ở trên ta nhận được sự vơ lý. Suy ra
F∗ K∗ ⊆M.
Do M căn trên F nên K∗ căn trên F. Theo Mệnh đề 1.2.12, hoặc K là mở rộng thuần túy khơng tách được trên F hoặc K đại số trên trường nguyên tố hữu hạn P. NhưngK
là mở rộng Galois trên F nên K khơng thể là mở rộng thuần túy khơng tách được. Suy ra K đại số trên P kéo theo F đại số trên P. Do [D :F]<∞ nên D đại số trên F và do đĩ D đại số trên P. Vì vậy D giao hốn bởi Định lý 1.3.8. Điều vơ lý này cho ta M