TÍNH CHUẨN TẮC CỦA NHĨM CON TRONG VÀNH CHIA
2.4. Tính chất hữu hạn của nhĩm con á chuẩn tắc trong vành chia
vành chia
Tính hữu hạn của một nhĩm con trong vành chia rất gần gũi với tính giao hốn. Chẳng hạn như định lý Wedderburn `` Một vành chia hữu hạn là một trường" hay một kết quả cổ điển ``Nhĩm con nhân hữu hạn của một vành chia cĩ đặc trưng nguyên tố thì giao hốn". Năm 1978, trong [16] Herstein đã chứng minh rằng``Nhĩm con á chuẩn tắc hữu hạn của nhĩm nhân trong vành chia thì nằm trong tâm của vành chia".
Tiết này chủ yếu trình bày hai định lý chính của chúng tơi liên quan tới tính chất hữu hạn của nhĩm nhân trong vành chia. Để phục vụ cho việc trình bày, xin được nêu ra một kết quả của Mahdavi-Hezavehi, M. G Madmudi và S. Ysamin.
Định lý 2.4.1[[18], Định lý 1]. Cho D là vành chia hữu hạn chiều trên tâmF và N là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu N là nhĩm hữu hạn sinh thì N nằm trongF.
Hai định lý tiếp theo của chúng tơi là tổng quát hĩa của định lý Wedderburn. Trước tiên ta xét bổ đề sau:
Bổ đề 2.4.2. ChoD là một vành chia tâmF vàL làF-đại số con của D. nếu Lđại số trên F thì L là vành chia.
Chứng minh. Lấyx∈L\F. Khi đĩ xlà phần tử đại số trên F. Suy ra
F(x) :F
<[L:F]<∞.
Do đĩ tồn tại số nguyên dương n sao cho tập hợp
1, x, xα, . . . , xn
là phụ thuộc tuyến tính trên F. Vậy tồn tại α1, α2, . . . , αn nằm trong F sao cho
1 =α1x+ααx2+· · ·+αnxn
=⇒ 1 =x(α1+α2x+· · ·+αnxn−1)
Suy ra x khả nghịch và do đĩL là vành chia.
Định lý 2.4.3. Cho D là vành chia với tâm F và G là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu G hữu hạn địa phương thìG nằm trongF.
giả thiết G á chuẩn tắc, tồn tại dãy chuẩn tắc
G=G0 CG1 CG2 C. . .CGn=D∗
Giả sử G khơng giao hốn. Lấy a, b là hai phần tử trong G sao cho ab6= ba. Gọi H là nhĩm con sinh bởi hai phần tử a vàb, theo giả thiếtH là nhĩm hữu hạn. Đặt
K = X
hh
αixi:αi ∈F, xi ∈H
Dễ thấyF ⊆K vàK là một đại số con hữu hạn chiều trên F của D. Theo Bổ đề 2.4.2,
K là vành chia con của D chứa F. Hơn nữa, do F nằm trong Z(K)nên
[K :Z(K)]<[K :F]<∞.
Với i= 0, n đặt Ni =Gi ∩K. Khi đĩ
N0 CN1 CN2 C. . .CNn =K∗
Vậy N0 á chuẩn tắc trong K∗ và hữu hạn địa phương, theo Hệ quả 2.3.3, N0 nằm trong
Z(K). Suy ra N0 giao hốn. Dễ thấy
H =
a, b
⊆G∩K∗ =N0
suy ra a vàbgiao hốn với nhau. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. VậyG phải giao hốn. Áp dụng Hệ quả 2.1.10, ta cĩ G nằm trong F.
Hệ quả 2.4.4. Cho D là một vành chia. NếuD∗ hữu hạn đia phương thì D giao hốn.
Ở hệ quả tiếp theo ta nhận lại được một kết quả đã cĩ trước của Herstein trong [16]
Hệ quả 2.4.5. Cho D là một vành chia và G là nhĩm con hữu hạn của D∗. Nếu G á chuẩn tắc trong D∗ thì G nằm trong tâm củaD.
Định lý tiếp theo là thay tính hữu hạn địa phương bằng tínhF C−nhĩm thì kết quả nhận được cũng tương tự như trong Định lý 2.4.3.
Định lý 2.4.6. Cho D là vành chia với tâm F và G là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu G là FC-nhĩm thì G nằm trong F.
Chứng minh. Theo Định lý 1.1.11 ta cĩ G0 = [G.G]là nhĩm xoắn. Trước tiên nhận xét rằng, với mọi x∈G0 nhĩm con
H =
là nhĩm hữu hạn. Thậy vậy, từ GlàF C−nhĩm nênx chỉ cĩ hữu hạn phần tử liên hợp. Do đĩ H là nhĩm sinh bởi tập hữu hạn x1, x2, . . . , xt. Với mọij = 1, t, ta cĩ xj là phần tử xoắn. Với y ∈H, y được viết dưới dạng.
y=xi1xi2. . . xik xik ∈ x1, x2, . . . , xt , k = 1, t .
Hơn nữa ta cịn cĩ thể biểu diễn y dưới dạng
y=xi1xi2. . . xik i1 ≤i2 ≤. . .≤xik
(1)
Thật vậy nếu (1) khơng tồn tại, ta lọc ra các biểu diễn của y cĩ chiều dài k các từ nhỏ nhất tính theo thứ tự từ điển. Trong các biểu diễn này ta chọn ra một biểu diễn mịn nhất theo định nghĩa
y =xi1xi2. . . xik i1 ≤i2≤. . .≤ij > ij+1 (2)
và nếu t≤j thì khơng tồn tạir nào sao cho .
it−1< ir < it.
Mặt khác
xijxij+1 =xij+1xj−+11 xijxij+1 =xij+1xis (3)
thế (3)vào(2), ta nhận được một biểu diễn củaycĩ cùng chiều dài k nhưng mâu thuẫn với tính mịn nhất của cách chọn. Vậy (1) được chứng tỏ.
Gọi n =|xi| với chú ý rằng cácxj(j = 1, t)đều cĩ cùng cấp. Khi đĩ
|H| ≤ |x1||x2|. . .|xt|=nt.
Suy ra H hữu hạn. Do định nghĩa nên H chuẩn tắc trong G0, kéo theo H là á chuẩn tắc trong D∗. Theo Hệ quả 2.4.5, ta cĩ H nằm trong F. Suy ra x ∈F, dẫn tới G0 nằm trong F và vì vậy G là nhĩm giải được. Theo Định lý 2.2.1 Gnằm trong F.
Chương 3