NHĨM CON TỐI ĐẠI TRONG VÀNH CHIA
3.1. Tính lũy linh của nhĩm con tối đại trong vành chia
Tiết này trình bày các kết quả của chúng tơi về tính giao hốn của một nhĩm con tối đại lũy linh địa phương, giải được địa phương.
Để tiện cho việc trình bày, chúng tơi liệt kê các kết quả sau:
Định lý 3.1.1[[4], Định lý 5]. Cho D là vành chia hữu hạn chiều trên tâm F cĩ bình phương của Char D khác bậc của D trên F và M là nhĩm con tối đại của D∗. Nếu D là vành chia khơng giao hốn thì M khơng căn trên F. Hơn nữa, nếu D là vành chia khơng giao hốn đại số trên tâm và [D:F] = ∞thì D∗ khơng chứa nhĩm con tối đại xoắn.
Định lý 3.1.2[[5], Định lý 4]. Cho D là vành chia khơng giao hốn với tâm F và M là nhĩm con tối đại lũy linh của D∗. Nếu M chứa một phần tử đại số trên F khơng nằm
trong tâm của D thì M =M ∪ {0} là trường con tối đại của D.
Để đi tới các kết quả chính trong tiết này, trước tiên ta xét các kết quả sau.
Bổ đề 3.1.3. Cho G là một nhĩm và M là nhĩm con tối đại của G. Khi đĩ
Z(G)⊆ M hoặc [G, G] ⊆M.
Chứng minh. Giả sử Z(G) khơng nằm trong M. Do tính tối đại của M nên G =
Z(G).M. Suy ra
[G, G] = [Z(G)M, Z(G)M] = [M, M]⊆M.
Vậy bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 3.1.4. Cho G là một nhĩm. Nếu G/Z(G) hữu hạn địa phương thì G0 cũng hữu hạn địa phương.
Chứng minh. Trước tiên ta nhận xét rằng
``Nếu H là nhĩm con hữu hạn sinh củaG thì H0 := [H, H] là nhĩm hữu hạn."
Thật vậy, gọi {x1, x2, . . . , xn} là tập sinh củaH. Khi đĩ
HZ(G) = x1, x2, . . . , xn Z(G) = x1, x2, . . . , xn, Z(G) suy ra HZ(G)/Z(G) = x1Z(G), x2Z(G), . . . , xnZ(G) .
Do giả thiết của bổ đề nên HZ(G)/Z(G) là nhĩm hữu hạn. Mặt khác
HZ(G)/Z(G) ∼=H/ H ∩Z(G)
.
Suy ra H/ H ∩Z(G)
là nhĩm hữu hạn. Hơn nữa
H ∩Z(G)⊆Z(H)
Suy ra H/Z(H) là hữu hạn. Theo Định lý 1.1.6, ta cĩ H0 là nhĩm hữu hạn. Bây giờ, giả sử
N =
[a1, b1],[a2, b2], . . . ,[ak, bk]
là nhĩm con hữu hạn sinh của G0. Đặt
K =
theo nhận xét trên, ta cĩ K0 = [K, K] là nhĩm hữu hạn. Dễ thấy N ⊆ K0 và do đĩ N
cũng là nhĩm hữu hạn.
Bổ đề 3.1.5 [[5], Bổ đề 6]. Cho D là vành chia với tâm F
i) Nếu tồn tại trường K và số tự nhiên n ≥ 1 sao cho K là trường con của Mn(D)
và [Mn(D) :K]r <∞ thì D hữu hạn chiều trên F.
ii) Nếu tồn tại trường con K của D và nhĩm con tối đại M khơng giao hốn của
D∗ sao choK∗ ≤M và [M :K∗]<∞ thì D hữu hạn chiều trênF.
Bổ đề 3.1.6. Cho D là vành chia khơng giao hốn và M là nhĩm con tối đại của D∗. Nếu M giao hốn thì M ∪ {0} là trường con tối đại của D.
Chứng minh. Từ M giao hốn, vành chia F(M) sinh bởi F và M là một trường. Do tính tối đại của M trong D∗, ta cĩ F(M)∗ = M∗. Hiển nhiên F(M) = M ∪ {0} là trường con tối đại của D.
Bổ đề 3.1.7. Cho D là vành chia khơng giao hốn hữu hạn chiều trên tâm F và M là nhĩm con tối đại của D∗. Nếu M là nhĩm lũy linh địa phương thì M là nhĩm nhân của một trường con tối đại D∗.
Chứng minh. Từ tính tối đại của M, ta cĩ
D =F(M) hoặc F(M) =M ∪ {0}.
Trường hợp 1. D =F(M). Theo Bổ đề 2.4.2, M là nhĩm con bất khả quy tuyệt đối của
D. Áp dụng Định lý 1.3.22 với H là M, ta cĩ
M/CM(M) =M/Z(M)
là nhĩm xoắn. Lấy x ∈ M, khi đĩ
x
≤ M/Z(M) là nhĩm hữu hạn. Suy ra tồn tại số nguyên dương n(x) sao cho xn(x) ∈ Z(M), tức là M căn trên Z(M). Nếu F∗ khơng nằm trong M thì D∗ = F∗M, suy ra D0 = F∗M0
= M0 nằm trong M. Do đĩ D0 là nhĩm con chuẩn tắc lũy linh địa phương của D. Suy ra D0 giao hốn bởi Định lý 2.2.3 và do đĩ D∗ giải được, dẫn tới D giao hốn bởi Định lý 2.2.1 và đây là điều vơ lý. Vậy
F∗ ≤M. Nếu F∗ =M, lấy a∈D∗\M thì D∗ =F(a)∗ bởi M F(a)∗. Suy ra D giao hốn, dẫn tới mâu thuẫn. Do đĩ, F∗ M.
Từ giả thiết D = F(M), ta cĩ Z(M) = F∗. Vậy M căn trên F∗. Theo Định lý 3.1.4,
tại số nguyên dương n(x) sao cho α =xn(x)∈F. Tác động chuẩn rút gọn lên hai phía, ta cĩ
1 =N rdD/F(x)n(x) =N rdD/F xn(x)
=N rdD/F(α) =αp.
Suy ra xpn(x) = 1. Do đĩ H là nhĩm xoắn. Xét biểu diễn chính quy của D∗ trong
GLp2(F), ta cĩ thể coi H là nhĩm tuyến tính của GLp2(F). Theo định lý 1.2.6, H là nhĩm hữu hạn địa phương. Lấy x và y là hai phần tử nằm trong H. Nhĩm con
x, y
là nhĩm hữu hạn. Từ CharD=p >0, theo Mệnh đề 1.3.12,
x, y
là nhĩm cyclic. Đặc biệt x giao hốn vớiy. Suy ra H là nhĩm giao hốn. Mặt khác
M0 ⊆M ∩D0 =H.
Do đĩ M0 là nhĩm giao hốn, kéo theo M là nhĩm giải được. Theo Định lý Suprunenko 1.3.14, tồn tại trường con K của D sao cho
[M :K∗]<∞ và K/F là mở rộng Galois.
Nếu K ⊆ F thì [M : K∗]<[M :F∗]<∞. Gọi {x1, x2, . . . , xn} là tập hợp các phần tử đại diện của lớp ghép F∗ trong M. Đặt
H1 =
x1, x2, . . . , xn
,
khi đĩ M =F∗.H1. Lấy x ∈ D∗ \F. Đặt H =
x1, x2, . . . , xn, x
. Do tính tối đại của
M, ta cĩ D∗ =HF∗. Suy ra D0 =H0 ⊆ H. Vậy H chuẩn tắc trong D∗. Theo Định lý 2.4.1, ta cĩ H ⊆F. Suy ra
D∗ =H.F∗ =F∗.
Điều này mâu thuẫn với tính khơng giao hốn của D. Suy ra
F∗ K∗ ⊆M.
Do M căn trên F nên K căn trên F. Theo Mệnh đề 1.2.12 hoặc K là mở rộng thuần túy khơng tách được trên F hoặc K đại số trên trường nguyên tố P củaF. Từ K là mở rộng Galios trên F nên K khơng thể là mở rộng thuần túy khơng tách được trênF. Suy ra K đại số trên trường nguyên tố P.
Lấy a ∈D∗. Do [D :F]<∞ nên a đại số trên F. Suy ra a cũng đại số trên K. Từ K
đại số trên P, ta cĩ a đại số trên P. Suy ra D đại số trên P. Hơn nữa P là trường hữu hạn, theo Định lý 1.3.8, ta cĩ D giao hốn. Đây là điều mâu thuẫn.
Trường hợp 2. M =F(M)∗. Ta cĩ F(M)∗ là lũy linh địa phương, suy ra F(M)∗ giao hốn bởi Hệ quả 2.2.4. Dẫn tới M giao hốn và đây là điều mâu thuẫn.
Các mâu thuẫn trên cho ta M là nhĩm giao hốn. Theo Bổ đề 3.1.6 ta cĩ điều cần chứng minh.
Định lý 3.1.8. Cho D là vành chia khơng giao hốn đại số trên tâm F và M là nhĩm con tối đại của D∗. Nếu M lũy linh địa phương thì M là nhĩm nhân của một trường con tối đại của D.
Chứng minh. Giả sử M khơng giao hốn, lập luận như trong chứng minh Bổ đề 3.1.7, ta cĩ F∗ ≤M. Gọi F(M) là vành chia con sinh bởi F và M. Từ tính tối đại của M ta cĩ
M =F(M)∗ hoặc F(M) =D.
Nếu M =F(M)∗ thì F(M)∗ là lũy linh địa phương. Theo Hệ quả 2.2.4, F(M) là trường kéo theo M giao hốn là điều vơ lý. Suy raD =F(M). Theo Bổ đề 2.4.2, M là bất khả quy tuyệt đối của D∗. Theo Định lý 1.3.19, tồn tại nhĩm conN chuẩn tắc giao hốn của
M sao cho M/N hữu hạn địa phương. Gọi F(N) là trường sinh bởi F vàN. Khi đĩ M
chuẩn hĩa F(N). Suy ra M ≤ ND∗ F(N)∗
. Do tính tối đại của M nên
D∗ =ND∗ F(N)∗
hoặc M =ND∗ F(N)∗
.
Nếu D∗ = ND∗ F(N)∗
thì F(N) là trường con chuẩn tắc của D. Từ D khơng giao hốn và theo định lý Cartan-Brauer-Hua ta cĩ F(N)⊆ F.Suy ra N ⊆F. Vậy
N ⊆F∗ ⊆Z(M).
DoM/N hữu hạn địa phương nênM/Z(M) cũng hữu hạn địa phương. Theo bổ đề 3.1.4
M0 là hữu hạn địa phương. Ta xét hai trường hợp.
Trường hợp 1. CharD = p > 0. Lấy a, b là hai phần tử nằm trong M0 khi đĩ
a, b
là nhĩm hữu hạn. Từ CharD 6= 0, theo Mệnh đề 1.3.12,
a, b
là nhĩm cyclic. Đặt biệt a
giao hốn với b. Suy ra M0 là nhĩm giao hốn. GọiF(M0) là trường con sinh bởiF và
M0. Khi đĩ M chuẩn hố F(M0) nghĩa là M ≤ ND∗ F(M0)∗
. Do tính tối đại của M
ta cĩ
D∗ =ND∗ F(M0)∗
hoặc M =ND∗ F(M0)∗
.
NếuD∗ =ND∗ F(M0)∗
, theo Định lý Cartan-Brauer-Hua, thìF(M0)nằm trongF nghĩa là M0 ≤ F∗. Suy ra M là nhĩm lũy linh. Theo Định lý 3.1.2, ta cĩ M giao hốn. Điều này là vơ lý. Vậy M =ND∗(F(M0)∗). Suy ra F(M0)∗ chuẩn tắc trong M. Do N nằm
trong F∗ và M/N hữu hạn địa phương, ta cĩ M/F∗ hữu hạn địa phương. Đặc biệt M
căn trên F, dẫn tới F(M0) căn trên F. Nếu M0 ≤F∗ thì F(M0) =F. Do đĩ
M =ND∗ F(M0)∗
=ND∗(F∗) =D∗,
đây là điều vơ lý. Vậy F(M0) là mở rộng trường thật sự của F. Theo Mệnh đề 1.2.12 hoặc F(M0)/F là mở rộng thuần túy khơng tách được hoặc F đại số trên trường nguyên tố P hữu hạn. Nhưng M0 là nhĩm xoắn nên trường hợp đầu khơng thể xảy ra. Vậy F
đại số trên P.
Lấy tập hữu hạn {a1, a2, . . . , an}nằm trong F∗. Khi đĩ P(a1, a2, . . . , an)là mở rộng hữu hạn trên P và do đĩP(a1, a2, . . . , an) là trường hữu hạn. Đặt biệt
a1, a2, . . . , an
là nhĩm hữu hạn. Suy ra F∗ là nhĩm hữu hạn địa phương. Bây giờ với M/F∗ vàF∗ cùng hữu hạn địa phương, ta cĩ M cũng hữu hạn địa phương bởi Định lý 1.1.12. Suy ra, nếu
a vàblà hai phần tử nằm trong M thì nhĩm
a, b
là hữu hạn và do đĩ
a, b
là nhĩm giao hốn bởi Mệnh đề 1.3.12, kéo theo M là nhĩm giao hốn và đây là điều vơ lý.
Trường hợp 2 CharD = 0. Từ M0 hữu hạn địa phương và lũy linh địa phương, theo Định lý 1.3.20, M0 là nhĩm giải được kéo theo M là nhĩm giải được. Do M tối đại và chuẩn hĩa F(M0) nên
ND∗(F(M0)∗) =D∗ hoặc ND∗(F(M0)∗) =M.
Nếu M =ND∗(F(M0)∗)thì F(M0)∗ ≤M.Suy raF(M0)∗ là nhĩm giải được. Theo Định lý 2.2.1, F(M0) là trường. Hơn nữa, M/N hữu hạn địa phương và N nằm trong F∗
nên M/F∗ cũng hữu hạn địa phương. Đặc biệt F(M0)∗/F∗ hữu hạn địa phương suy ra
F(M0)∗ căn trên F. Theo Mệnh đề 1.2.12 thì CharD = p > 0 tạo ra mâu thuẫn. Vậy
ND∗ F(M0)∗
=D∗. Theo Định lý Cartan-Brauer-Hua
F(M0)∗ ⊆F hoặcF(M0) =D.
Nếu trường hợp đầu xảy ra thìM0 nằm trongF và do đĩM là nhĩm lũy linh. Theo Định lý 3.1.2, M là nhĩm giao hốn tạo nên mâu thuẫn. Vậy D = F(M0). Do Bổ đề 2.2.5 nên M0 là bất khả quy tuyệt đối. Do Định lý 1.3.21, tồn tại nhĩm con L chuẩn tắc giao hốn của M0 sao cho [M0 :L] =s <∞.
Gọi {c1, c2, . . . , cs} là tập hợp đầy đủ các phần tử đại diện của nhĩm thương M0/L. Khi đĩ M0 =Ss
rằng D=F(M0) =F [s i=1 ciL =K c1, c2, . . . , cs .
Thật vậy, theo Bổ đề 2.4.2 F(M0) =F[M0].Do đĩ với x∈D x= k X j=1 ajmj = k X j=1 ajcj(x)lj ∈K c1, c2, . . . , cs , ở đây aj ∈F, mj ∈M0, cj(x) ∈
c1, c2, . . . , cs và lj ∈L. Hơn nữa, với biểu diễn trên
D=c1K+c2K+· · ·+csK.
Suy ra [D :K]r <∞. Áp dụng Bổ đề 3.1.5, D hữu hạn chiều trên F. Theo Bổ đề 3.1.7,
M là giao hốn dẫn tới điều mâu thuẫn. Vậy
M =ND∗(F(N)∗).
Do đĩ F(N)∗ chuẩn tắc trong M. Suy ra M/F(N)∗ là nhĩm hữu hạn địa phương. Lấy
a ∈ F(N)\F. Khi đĩ với mọi b∈M, ta cĩ bab−1 ∈ F(N). Do đĩ nếu f(x)∈ F[x] là đa thức tối tiểu của a trên F thì bab−1 là nghiệm của phương trình f(x) = 0. Suy ra a
chỉ cĩ hữu hạn phần tử liên hợp trong M. Nghĩa là
[M :CM(a)]<∞.
Đặt N1 =T
x∈M x−1CM(x)x
, theo Định lý 1.1.8 N1 chuẩn tắc trongM và[M :N1]<
∞. Từ tính tối đại của M vàM chuẩn hĩa F(N1), ta cĩ
ND∗(F(N1)∗) =D∗ hoặcND∗(F(N1)∗) =M.
Trường hợp đầu xảy ra, theo Định lý Cartan-Brauer-Hua.
F(N1)⊆F hoặcF(N1) =D.
Nếu F(N1) = D thì từ N1 ≤ CM(a) ta cĩ a giao hốn N1, dẫn tới a giao hốn với mọi phần tử của F(N1) =D. Suy ra a ∈F và đây là điều mâu thuẫn. Cịn nếu F(N1)≤ F
thì N1 ≤ F∗ dẫn tới M/F∗ là nhĩm hữu hạn. Gọi {x1, x2, . . . , xn} là tập đầy đủ các phần tử đại diện của lớp ghép F∗ trong M. Đặt
A= Xn i=1 fixi :fi∈ F .
dễ thấy A đĩng với phép cộng. Nếu xi vàxj là phần tử đại diện của lớp ghép F∗ trong
M thì xixj ∈ M =Sn
k=1F∗xk. Suy ra tồn tại k sao cho xixj = fkxk (fk ∈ F). Vậy A
đĩng với phép nhân. Suy ra A là vành. Theo Bổ đề 2.4.2, Alà vành chia. Từ định nghĩa của A, ta cĩ A hữu hạn chiều trên F. Suy ra A6=D. Hiển nhiênM nằm trong A. Bởi tính tối đại của M, ta cĩ M =A∗. Suy ra A∗ là lũy linh địa phương. Theo Hệ quả 2.2.4,
A∗ giao hốn điều này là vơ lý. VậyM =ND∗(F(N1)∗).
Trong trường hợp này F(N1)∗ nằm trong M. Do phần trên ta đã chứng minh M là nhĩm giải được nên F(N1)∗ là nhĩm giải được, theo Định lý 2.2.1 thì F(N1) là trường. Hơn nữa.
[M :F(N1)∗]≤[M :N1]<∞.
Theo Bổ đề 3.1.5 ta cĩ [D :F]<∞.Áp dụng Bổ đề 2.3.4, M là giao hốn và đây là điều mâu thuẫn.
Tất cả các mâu thuẫn trên cho ta M là giao hốn và từ Bổ đề 3.1.6, định lý được chứng minh.
Kết quả này khơng thể mở rộng bằng cách thay tính lũy linh địa phương bằng tính giải được. Để thấy điều này, ta xét ví dụ sau trong [5].
Ví dụ: Xét Hlà vành chia Quaternion thực. Đặt
G=
C∗,1 +j
.
Trước tiên ta nhận xét rằng: nếuω, z ∈Cthỏa mãn|ω|=|z|vàz+j ∈Gthìω+j ∈G. Thật vậy, nếu z = 0 thì nhận xét là hiển nhiên. Giả sử z6= 0. Từ|ω|=|z|, tồn tại phần tử t ∈Csao cho ωz−1 =t(t)−1 vớit là phần tử liên hợp của t trong C. Khi đĩ
(z+j)t=t(ω+j)∈G.
Suy ra (ω+j)∈ G. Với mọi r >0, đặt
ur = 1−r r+ 1 + r 1− 1−r 1 +r 2 i
Khi đĩ |ur| = 1. Ta cĩ 1 +j ∈G. Theo nhận xét trên ur+j ∈G. Suy ra
(ur) + (ur+ 1)j =ur−1 +urj+j =ur−1 +jur+j = (1 +j)(ur+j)∈G.
Suy ra
Mặt khác|(ur)(ur+ 1)|= rvới mọir >0, ta suy ra với mọia∈C,a+j ∈G. Bây giờ, mỗi phần tử trong H∗ cĩ dạng x = z1+z2j (z1, z2 ∈ C∗). Nếu z2 = 0 thì x∈ C ⊆ G.
Nếu z2 6= 0 thì theo trên
x=z2−1(z1, z2−1+j)∈G. Vậy H∗ =G = C∗,1 +j . Lấy z0 ∈C, đặt G0 = C∗, z0+j . Dùng cách lập luận như trong cách chứng minh H∗ = C∗,1 +j , vớiz0+j ∈G0 ta cĩ √ r0 i+j và√r0+j nằm trong G0 ro=|z0|2 . Suy ra √ r0+j √ r0 i+j = (r0j −1) + (√r0−√r0 i)j ∈G0. Đặt z1 = √ r0i−1 r0−√r0 i và |z1|2 =r1 Khi đĩ r1 =|z1|2 = r 2 0 + 1 2r0 ≥1 và z1+j ∈G0.
Tương tự như trên (√r1 +j)(√r1 i+j) ∈ G. Tiếp tục quá trình này ta tạo thành hai dãy số {rn}và {zn} cĩ tính chất. rn= r 2 n−1+ 1 2rn−1 ≥1; zn = √ rn−1i−1 rn−1 −√rn−1 i; zn+j ∈G0 và|zn|2 =rn. Nếu a ≥1 thì a2+ 1 2a −a= −a2+ 1 2a ≤0.
Suy ra {rn} là dãy số giảm bị chặn bởi 1. Do đĩ, {rn} hội tụ. Đặt
α= lim n→∞rn = lim n→∞rn−1 ≥1. Suy ra α= α 2+ 1 2α =⇒α = 1.