TÍNH CHUẨN TẮC CỦA NHĨM CON TRONG VÀNH CHIA
2.3. Về giả thuyết của Herstein
Năm 1978, Herstein [16] đưa ra giả thuyết: "Giả sử G là nhĩm con á chuẩn tắc của vành chia D. Nếu G căn trên tâm F của D thì G nằm trong F''. Cũng trong [16]
Herstein đã chứng minh được rằng, nếu G là nhĩm con á chuẩn tắc hữu hạn củaD thì
G nằm trong F. Từ đĩ tới nay đã cĩ một số kết quả ra đời xung quanh giả thuyết này, nhưng cho tới nay vẫn cịn chưa cĩ được câu trả lời cho trường hợp tổng quát. Tiết này trình bày một số kết quả của chúng tơi liên quan tới giả thuyết Herstein.
Để đi vào các kết quả chính của mục này, trước hết xin nhắc lại kết quả dưới đây của B. X. Hải và L. K. Huỳnh.
Định lý 2.3.1 [7]. Cho D là vành chia hữu hạn chiều trên tâm F và S là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu S căn trên F thì S nằm trong F.
Định lý nĩi trên chứng tỏ Giả thuyết Herstein là đúng cho lớp vành chia hữu hạn chiều trên tâm. Trong định lý dưới đây chúng tơi chỉ ra rằng giả thuyết này vẫn cịn đúng cho lớp vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm.
Định lý 2.3.2. Cho D là vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâmF vàGlà nhĩm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu G căn trên F thì G nằm trong F.
Chứng minh. . Lấya, blà hai phần tử bất kỳ của G. Từ giả thiết, ta cĩ
[F(a, b) :F] =n <∞.
Do G á chuẩn tắc trong D∗ nên N =G∩F(a, b)là á chuẩn tắc trong F(a, b). Hơn nữa
N căn trên tâm của F(a, b)bởi F ⊆Z(F(a, b)). Theo Định lý 2.3.1, ta cĩ
N ⊆Z(F(a, b)).
Đặc biệt a và bgiao hốn với nhau. Vậy G là nhĩm giao hốn. Theo Hệ quả 2.1.10 thì
G⊆F.
Hệ quả 2.3.3. Cho D là vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm F và G là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu SF∗/F∗ hữu hạn địa phương thìS nằm trong tâm.
Chứng minh. Lấy x∈ SF∗. Khi đĩ nhĩm con
x.F∗
Suy ra tồn tại số nguyên dương k sao cho
xkF∗ = 1.F∗.
Vậy x căn trên F dẫn tới SF∗ căn trên F. Hơn nữa,SF∗ cịn là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗ bởi giả thiếtS là nhĩm con á chuẩn tắc củaD∗. Theo Định lý 2.3.2 thìSF∗ nằm trong F∗. Suy ra S nằm trong F.
Phần tiếp theo trong tiết này là những kết quả nghiên cứu của chúng tơi xoay quanh giả thuyết của Herstein. Những kết quả này nhằm cung cấp một số thơng tin cần thiết mà chúng tơi hy vọng cĩ thể giúp ích trong việc tìm câu trả lới dứt khốt cho một giả thuyết đã tồn tại lâu như vậy. Trước tiên ta chứng minh định lý sau:
Định lý 2.3.4.Cho D là vành chia tâm F và N là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F. Khi đĩ với mọi phần tử a∈N, nhĩm Galois của mở rộngF(a)/F là tầm thường.
Chứng minh. Giả sử tồn tại a ∈N sao cho Gal F(a)/F
6
= 1. Do giả thiếta căn trên
F nên [F(a) :F]<∞. Suy ra, nhĩm Gal F(a)/F
là hữu hạn. Lấy
16=σ ∈Gal F(a)/F
.
Khi đĩ σt= 1 với một số nguyên dương t nào đĩ. Mặt khác theo Định lý 1.3.23, σ thác triển thành một tự đẳng cấu trong của D. Suy ra tồn tại x∈D∗, sao cho
σ(a) =x−1ax. Vậy a=σt(a) =x−taxt. tức là a giao hốn với xt. Đặt D1 =CD(xt)vàZ1 =Z CD(xt) .
Ta cĩ a vàxđều nằm trong D1. Hơn nữa,F(xt) nằm trongZ1 nên a vàx đều căn trên
Z1. Do σ(a)là phần tử trong F(a) nên σ(a) = m X i=0 αkak (αk ∈F, m∈N). Suy ra ax=x m X i=0 αkak = m X i=0 αkxak (∗)
Từ đẳng thức (∗) vàa, x căn trên Z1 ta cĩ vành chia D2 :=Z1(a, x) là hữu hạn chiều trên tâm Z(D2). Do N á chuẩn tắc trong D∗ nên tồn tại dãy chuẩn tắc
N =NnCNn−1 C . . .CN1 =D∗
Với k = 1, . . . , n đặt Hi =Ni ∩D2. Dễ dàng kiểm được
Hn CHn−1 C. . .CH1 =D∗2.
Theo Định lý 2.3.1, Hn nằm trong Z(D2). Đặc biệt a nằm trong Z(D2)bởi
a∈N ∩D2 =Hn.
Suy ra a giao hốn với x, dẫn đến σ = 1, điều này vơ lý với giả thiết σ6= 1. Vậy định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.3.5. Cho D là vành chia khơng giao hốn với tâm F, N là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F và a là phần tử nằm trongN. Nếu a là phần tử xoắn thì a nằm trong F.
Chứng minh. Giả sử a khơng nằm trong F. Gọi t là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho at= 1. Suy ra a là nghiệm của phương tìnhxt = 1. Do đĩ trường F(a) là mở rộng chuẩn tắc, hữu hạn trên F. Vậy nhĩm Gal F(a)/F
là khơng tầm thường. Điều này mâu thuẫn với Định lý 2.3.4. Suy ra hệ quả được chứng minh.
Một kết quả cổ điển của Jacobson là `` ChoD là vành chia chứa một trường con hữu hạn F. Nếu D đại số trên F thì D giao hốn". Hệ quả sau chính là sự tổng quát của
định lý này.
Hệ quả 2.3.6. Cho D là vành chia và N là nhĩm con á chuẩn tắc của D. Nếu N đại số trên một trường con hữu hạn F nào đĩ của D thì N nằm trong tâm của D.
Chứng minh. Lấy a ∈ N, thì a là phần tử đại số trên F. Do giả thiết F hữu hạn nên
F(a) cũng hữu hạn. Suy ra a là phần tử xoắn dẫn tới N là một nhĩm xoắn. Theo Hệ quả 2.3.5 thì N nằm trong tâm của D.
Hệ quả 2.3.7. Cho D là vành chia tâm F vàN là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F. Giả sử a vàb−1ab là hai phần tử nằm trong N. Nếu a giao hốn vớib−1ab thì
a giao hốn với b.
Chứng minh. Giả sửavàbkhơng giao hốn với nhau. Khi đĩ tồn tại mộtk ∈Nsao cho
αk = (a−1b−1ab)k =a−kb−1akb= 1 ∈F.
Vậy α là phần tử xoắn. Theo Hệ quả 2.3.5, ta cĩ α∈F. Suy ra
a6=b−1ab=αa∈F(a).
Vậy đẳng cấu ϕ : F(a) −→ F(a) cho bởi ϕ(x) = b−1xb (∀x ∈ F(a)) là khơng tầm thường, dẫn tới Gal F(a)/F
6
= 1.Điều này mâu thuẫn với Định lý 2.3.4 . Do đĩ hệ quả được chứng minh.
Hệ quả 2.3.8. Cho D là vành chia tâm F. Giả sử N là nhĩm con chuẩn tắc củaD∗ căn F và a∈N Nếu a giao hốn vớib−1ab thì a giao hốn với b.
Chứng minh. Suy trực tiếp từ Hệ quả 2.3.7.
Định lý 2.3.9. Cho D là vành chia tâm F, N là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗ và a là một phần tử nằm trong N. Khi đĩ, nếu a2 ∈F thì a ∈F.
Chứng minh. Giả sử a khơng nằm trong Z(N). Lấyb∈N, sao cho
16=x=a−1b−1ab∈N.
Từ a2 ∈F,ta cĩ
a2 =b−1a2b= (b−1ab)2 = (ax)2 =axax
Suy ra
a =xax⇒x−1 =axa−1.
Nếu x=x−1 thì x2 = 1 dẫn tới x= 1 hoặc x=−1. Nhưng x6= 1 suy ra x=−1. Vậy
b−1ab=−a6=a.
Do đĩ đẳng cấu ψ :F(a) −→F(a)cho bởi ψ(c) = b−1c b là khơng tầm thường dẫn tới
Gal F(a)/F
6
= 1,điều này mâu thuẫn với Định lý 2.3.4. Vậyx−1 6=xtức làx6=axa−1. Lập luận tương tự, ta cĩ Gal F(x)/F
6
khác Z(N) là nhĩm con giao hốn á chuẩn tắc của D∗. Theo Hệ quả 2.1.10 thì Z(N)
nằm trong F, dẫn tới a∈F.
Để bắt đầu với định lý tiếp theo, ta xét bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.10. Cho D là vành chia tâm F cĩ đặc trưng p >0và a là phần tử nằm trong
D \F. Nếu tồn tại số nguyên dương n sao choapn
∈F thì tồn tạib∈D∗ sao cho
aba−1 = 1 +b.
Chứng minh. XétD như là khơng gian véctơ trên F. Định nghĩa
ψ:D −→ D
x 7−→ ax−xa.
Hiển nhiên ψ là ánh xạ tuyến tính trênF. Hơn nữa∀x∈D.
ψpn =apnx−xapn = 0.
Vậy ψpn = 0. Chọn số tự nhiên t sao cho ψt 6= 0 và ψt+1 = 0. Lấy x là phần tử thỏa mãn ψt(x)6= 0. Đặt b=ψt−1(x)ψt(x)−1a. Khi đĩ ψ(b) = aψt−1(x)ψt(x)−1a−aψt−1(x)ψt(x)−1a2 = [(aψt−1(x)ψt(x)−1a)ψt(x)−1 −ψt−1(x)ψt(x)−1(aψt(x)−ψt(x)a)ψt(x)−1]a = [ψ(ψt−1(x)).ψt(x)−1−ψt−1(x)ψt(x)−1ψt+1(x)ψt(x)−1]a = (1−0).a = a tức là ab−ba=a⇒aba−1 = 1 +b.
Định lý 2.3.11. Cho D là vành chia với tâm F cĩ đặc trưngp >0 và N là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F. Nếu a ∈N và apt ∈F với một số tự nhiên t nào đĩ thì
a∈F.
Chứng minh. Xét trường hợp t = 1. Giả sử ta cĩ ap ∈ F nhưng a /∈ F. Theo Bổ đề 2.3.10 tồn tại b∈D∗ sao cho
Khi đĩ, với mọi số nguyên dương k ta cĩ akba−k =b+k. Đặt c= p−1 Y k=0 (b+k); D1 =CD(c); F1 =Z(D1).
Dễ thấy a vàb giao hốn vớic nên chúng đều nằm trong D1. Hơn nữa,
ap ∈F ⊆F1 và
p−1
Y
k=0
(k+b)−c= 0.
Do đĩ a và b đại số trên F1. Hơn nữa từ mối quan hệ aba−1 = 1 +b ta cĩ F1(a, b) là vành chia hữu hạn chiều trên tâm của nĩ. Đặt
N1 =N∩F1(a, b).
Khi đĩ N1 là á chuẩn tắc trong F1(a, b)∗ vàa ∈ N. Theo Định lý 2.3.1, N1 nằm trong
Z F1(a, b)
.Đặt biệt agiao hốn với b. Điều này mâu thuẫn với quan hệ aba−1= 1 +b. Vậy a nằm trong F.
Trong trường hợp t >1, dùng quy nạp và chứng minh tương tự như trên ta cĩ điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.3.12. Cho D là vành chia tâm F cĩ CharD =p > 0và N là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F. Nếu a ∈N và k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ak ∈ F
thì p khơng là ước của k.
Chứng minh. Nếu a ∈ F thì kết quả là hiển nhiên. Giả sử a khơng nằm trong F và p
là ước của k. Khi đĩ
k=prs; (s, p) = 1; s < k.
Suy ra
ak =apr.s = (as)pr ∈F
Theo Định lý 2.3.11 thì as ∈F. Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của k. Suy ra p
khơng là ước của k.
Hệ quả 2.3.13. Cho D là vành chia tâm F và N là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗ căn trên F. Khi mọi phần tử của N đều tách được trên F.
hợp CharD =p >0. Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho ak ∈F. Theo Hệ quả 2.3.12 thì k khơng là ước của p. Suy ra a tách được trên F.
Định lý 2.3.14. Cho D là vành chia tâm F và N là nhĩm con chuẩn tắc củaD∗ căn trên F. Khi đĩ với mọi a ∈ N, đa thức tối tiểu của a trên F cĩ dạng xt−NF(a)/F(a). Hơn nữa, t là số lẻ.
Chứng minh. Nếu N là nhĩm con chuẩn tắc căn trên F thì N.F∗ cũng là nhĩm con chuẩn tắc căn trên F. Do đĩ khơng mất tính tổng quát ta cĩ thể xem F∗ nằm trong N. Lấy a ∈N, gọi
f(x) =xt−trF(a)/F(a)xn−1+· · ·+ (1)nNF(a)/F(a) (1)
là đa thức tối tiểu của a trên F. Theo Định lý 1.3.6, tồn tạig1, . . . , gt∈D∗ sao cho
f(x) = (x−ag1)(x−ag2). . .(x−agt) (2)
Cân bằng hệ số của (1) và(2), ta nhận được.
NF(a)/F(a) =ag1ag2. . . agt Đơn thuần tính tốn ta cĩ. ag1ag2. . . agt =at[a, g1]at−1[a, g2]at−2. . .[a, gt]. Đặt da= [a, g1]at−1[a, g2]at−2. . .[a, gt]. Khi đĩ NF(a)/F(a) =atda (3) =⇒ da=NF(a)/F(a)a−t ∈N ∩F(a)
Tác động NF(a)/F lên hai vế của(3), ta cĩ.
NF(a)/F[NF(a)/F(a)] =NF(a)/F(atda) =⇒ NF(a)/F(a)t
=NF(a)/F(a)t.NF(a)/F(da) =⇒ NF(a)/F(da) = 1.
Gọi k là số nguyên nhỏ nhất sao cho ak ∈F. Khi đĩ
NF(a)/F(a)k =atkdka
Hơn nữa.
1 = 1k =NF(a)/F(da)k =NF(a)/F(dka) =dtka .
Vậy da là phần tử xoắn. Theo Hệ quả 2.3.5 thì da∈F. Do (3) nên đa thức
xt−NF(a)/F(a)d−a1 = 0 (4)
nhận alà nghiệm. Do tính duy nhất của đa thức tối tiểu ta cĩda = 1 vàxt−NF(a)/F(a)
chính là đa thức tối tiểu của a. Bây giờ nếu t là số chẵn thì t= 2r (r∈N). Khi đĩ
at = (ar)2 =NF(a)/F(a)∈F.
Theo Định lý 2.3.9 thì ar ∈F. Điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của t. Suy ra t là số lẻ.
Hệ quả 2.3.15. Cho D là vành chia tâm F và N là nhĩm con chuẩn tắc của D∗ căn trên F. Khi đĩ
∀a∈N \F, ∀α∈F∗, α+a /∈N.
Chứng minh. Giả sử tồn tại a∈N \F vàα∈F∗ sao cho
a+α∈N.
Do F(a) =F(a+α), ta cĩ bậc của đa thức tối tiểu của a trên F bằng bậc của đa thức tối tiểu của a+α trên F. Ta ký hiệu bậc của đa thức tối tiểu của a trên F làk.
Theo Định lý 2.3.14, ta cĩ
ak−NF(a)/F(a) = 0và(a+α)k −NF(a)/F(a+α) = 0.
Suy ra
(a+α)k −NF(a)/F(a+α)−ak+NF(a)/F(a) = kαak−1+βk−2ak−2+· · ·+β0 = 0
Ở đây βj ∈F (j = 0, k−2). Vậy a là nghiệm của đa thức
Đa thức trong (5) cĩ bậc nhỏ hơn k. Điều này chỉ xảy ra khi CharD = p > 0 và p là ước của k. Nhưng theo Hệ quả 2.3.12 thì p khơng thể là ước của k. Điều mâu thuẫn này cho ta điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.3.16. Cho D là vành chia với tâm F, N là nhĩm con chuẩn tắc của D∗ căn trên F và a, b là hai phần tử của N. Nếu a+b∈N thì tồn tạiα∈F sao choa =αb.
Chứng minh. Nếu a ∈ F thì b∈ F bởi Hệ quả 2.3.15. Trong trường hợp này ta chọn
α =ab−1. Xét trường hợp a∈N \F.Ta cĩ
a+b= (ab−1+ 1)b∈N =⇒(ab−1+ 1)∈N.
Áp dụng Hệ quả 2.3.15 thì ab−1 ∈F. Lấyα=ab−1 ta cĩ điều cần chứng minh.
Định lý 2.3.17. Cho D là vành chia tâm F và N là nhĩm con chuẩn tắc củaD∗ căn trên F. Nếu a∈ N mà a3 ∈F thì a∈F.
Chứng minh. Khơng mất tính tổng quát ta cĩ thể xem F∗ ⊆ N. Nếu a2 ∈F thì theo Định lý 2.3.10 thì a∈F. Giả sử a /∈F, a2 ∈/ F vàa3 ∈F. Theo Định lý 2.3.14 đa thức tối tiểu của a trên F cĩ dạng
f(x) =x3−α ∈F[x].
Theo Định lý 1.3.16, tồn tại d1, d2 ∈D∗ sao cho
x3−α= (x−ad1)(x−ad2)(x−a)
Suy ra
a+ad1 +ad2 = 0 =⇒ad1 +a=−ad2 ∈N.
theo Hệ quả 2.3.16 , tồn tại β ∈F sao cho a =βad1. Suy ra a giao hốn với ad1. Theo Hệ quả 2.3.8 a giao hốn với d1. Tương tự, a giao hốn với d2 suy ra 3a = 0. Vậy
CharD = 3. Áp dụng Định lý 2.3.11 ta cĩ a ∈ F. Đây là điều mâu thuẫn, vậy định lý được chứng minh.
Từ định lý này nối kết với Định lý 2.3.9 ta cĩ
Hệ quả 2.3.18. Cho D là vành chia tâm F và N là nhĩm con chuẩn tắc củaD∗ căn trên F. Nếu a∈ N mà a2n.3k