TÍNH CHUẨN TẮC CỦA NHĨM CON TRONG VÀNH CHIA
2.2. Các định lý giao hốn liên quan tính giải được của nhĩm con á chuẩn tắc trong vành chia
nhĩm con á chuẩn tắc trong vành chia
Trong vành chia, tính giải được của một nhĩm con rất gần gũi với tính giao hốn, đặc biệt là đối với nhĩm con á chuẩn tắc. Một kết quả cổ điển trong lý thuyết vành chia là``Nếu D là vành chia cĩ D∗ là nhĩm lũy linh thì D giao hốn". Sau đĩ Hua tổng quát hĩa kết quả trên bằng cách thay tính lũy linh bằng tính giải được (xem [27]). Hướng đi này được nhiều người tiếp tục quan tâm và nghiên cứu.
Trong tiết này, chúng tơi trình bày các kết quả của chúng tơi liên quan tới tính giải được của nhĩm con á chuẩn tắc. Để tiện trích đẫn, chúng tơi phát biểu lại một kết quả của Stuth.
Định lý 2.2.1 [[30], Định lý 14.4.4, trang 440]. Cho D là một vành chia và G là một nhĩm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu G là nhĩm giải được thì G nằm trong tâm củaD.
Trước khi trình bày các kết quả chính, ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.2. Cho D là vành chia và G là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗. Khi đĩ, nếu
x, y∈G,[x, y]6= 1 thì [x, y]∈/ Z(D).
Chứng minh. Từ giả thiết Gá chuẩn tắc trongD∗, tồn tại dãy nhĩm conG0, G1, . . . , Gn
của D∗ sao cho
G=G0 CG1 C. . .CGn =D∗
Giả sử x, y là hai phần tử trong G thỏa mãn
16= [x, y] :=b∈Z(D).
Đặt
x1 = [1 +x, y]; xi+1 = [xi, y] (i≥1).
Để ý rằng y∈Gt với mọi t= 0, . . . , n, nên
x1 = (1 +x)−1y−1(1 +x)y∈Gn−1.
Giả sử ta đã cĩ xk ∈Gn−k. Khi đĩ
Suy ra xn∈G.Mặt khác, Glà nhĩm lũy linh địa phương nên nhĩm con
xn, y
là nhĩm lũy linh. Vậy tồn tại số nguyên dương s sao cho xs = 1. Gọi P là trường nguyên tố của
D, theo Mệnh đề 2.1.4 tồn tại đa thức g ∈ P(b)[t] sao cho g(x) = 0. Nếu m ∈ Z thỏa mãn mx6= 0 thì [mx, y] =b.
Do Nhận xét 2.1.3 nên mx cũng là nghiệm của phương trình g(t) = 0. Mặt khác,
g chỉ cĩ hữu hạn nghiệm trên trường Z(D)(x). Suy ra đặc trưng của vành chia D là nguyên tố. Gọi f(t) = r X i=0 aiti.
là đa thức tối tiểu của x trên P(b). Khi đĩ
f(x) = r X i=0 aixi = 0 và y−1f(x)y = r X i=0 aibixi = 0
Trừ hai đẳng thức lại với nhau ta nhận được
a1(b−1) +. . .+ar(br−1)xr−1 = 0.
Do f là đa thức tối tiểu của x và ar 6= 0 nên br−1 = 0. Suy ra trường P(b) là trường hữu hạn và x là phần tử đại số trên P(b). Do đĩ P(b)(x)là trường hữu hạn. Đặt biệt x
là phần tử xoắn. Thay đổi vai trị của x vày trong lập luận trên ta nhận được y cũng là phần tử xoắn. Đặt K = X hh aijxiyj :aij ∈P(b) .
Rõ ràng K đĩng với phép cộng. Hơn nữa, [x, y] =b∈Z(D) vàx, y là hai phần tử xoắn nên K đĩng với phép nhân. VậyK là vành con hữu hạn của một vành chia cĩ đặc trưng nguyên tố. Theo Mệnh đề 1.3.7, K là một trường. Đặc biệt x và y giao hốn với nhau. dẫn tới b= [x, y] = 1. Đây là điều vơ lý và do đĩ [x, y]∈/ Z(D).
Định lý 2.2.3. Cho D là một vành chia và G là một nhĩm con á chuẩn tắc củaD∗. Nếu G lũy linh địa phương thì G nằm trong tâm của D.
Chứng minh. Từ giả thiết Gá chuẩn tắc trongD∗, tồn tại dãy nhĩm conG0, G1, . . . , Gn
của D∗ sao cho
G=Gn CGn−1 C. . .CG0 =D∗
Giả sử G khơng giao hốn. Khi đĩ, chọn x, y là hai phần tử khơng giao hốn trong G.
Đặt
H =H0 =
x, y
Do H là nhĩm lũy linh nên tồn tại số nguyên s sao cho
Hs+1 = 1, Hs 6= 1
Từ H khơng giao hốn, ta cĩ s≥1. Suy ra Hs−1 xác định. Mặt khác
Hs =
{[a, b] :a∈Hs−1, b∈H}
6
= 1.
Vậy tồn tại a0 ∈ Hs−1, b0 ∈ H sao cho c = [a0, b0] 6= 1, c giao hốn với x và y. Đặt
D1 =CD(c), khi đĩxvàynằm trongD1. Suy raH ⊆D1. GọiNi =Gi∩D1, i= 0, . . . , n, ta cĩ N =N0 CN1 C. . .CNn =D∗1. Hơn nữa, H ⊆ G0∩D∗ 1 =N0. Suy ra, a0, b0 ∈N0 và16= [a0, b0] =c∈Z D1 . Nhưng điều này mâu thuẫn với Bổ đề 2.2.2. Suy ra Glà nhĩm giao hốn, theo Hệ quả 2.1.10 ta cĩ điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.2.4. Cho D là một vành chia. NếuD∗ là lũy linh địa phương thì D giao hốn.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 2.2.3 vớiG làD∗.
Nếu thay tính giải được bằng tính giải được địa phương của nhĩm con á chuẩn tắc thì kết quả vẫn cịn đúng, nhưng trong trường hợp này lớp vành chia của chúng ta bị hạn chế xuống là lớp vành chia đại số trên tâm.
Để đi tới kết quả này, trước tiên ta xét bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.5. Cho D là vành chia khơng giao hốn đại số trên tâm F và G là một nhĩm con của D∗. Nếu G bất khả quy thì G bất khả quy tuyệt đối.
Chứng minh. Gọi F[G] là vành con của D sinh ra bởi Gtrên F. Khi đĩ
F[G] = X
hh
aigj : ai ∈F, gi ∈G
.
Với mọi d∈F[G], gọi
f(x) =
n
X
i=0
aixi ∈F[x]
là đa thức tối tiểu của d trên F. Khi đĩ
n X i=0 aidi = 0 =⇒d (−a0)−1 n X i=1 aidi−1 = 1.
Vậy d khả nghịch với d−1 = (−a0)−1 n X i=1 aidi−1 ∈F[G].
Suy ra F[G] là vành chia và vì vậy nếu Gbất khả quy thì G là bất khả quy tuyệt đối.
Định lý 2.2.6. Cho D là một vành chia đại số trên tâm F và G là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu G giải được địa phương thì G nằm trong F.
Chứng minh. Giả sử G khơng giao hốn. Xét vành chia con F(G)sinh bởi F vàG. Dễ thấy G chuẩn hĩa F(G).Theo Định lý 2.1.6, ta cĩ
F(G)⊆F hoặcF(G) =D.
Trường hợp đầu khơng xảy ra bởi G khơng nằm trong F. Do đĩ F(G) = D nghĩa là G
bất khả quy. Suy ra, G là bất khả quy tuyệt đối bởi Bổ đề 2.2.5 . Theo Định lý 1.3.19, tồn tại nhĩm con giao hốn chuẩn tắc của Gsao cho G/H là hữu hạn địa phương. Hơn nữa, H cịn là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗ bởi G là á chuẩn tắc trong D∗. Áp dụng Hệ quả 2.1.10, ta cĩ H nằm trong F. Suy ra
H =H ∩F∗ ≤G∩F∗ =Z(G).
DoG/H hữu hạn địa phương nênG/Z(G)cũng hữu hạn địa phương. Giả sử{g1, g2, . . . , gn}
là một tập con hữu hạn của G0 = [G, G]. Khi đĩ với mỗi j = 1, . . . , n, gj cĩ biểu diễn
gj = [a1j, b1j][a2j, b2j]. . .[amj, bmj] (∗)
Gọi N là nhĩm con sinh bởi tất cả các ark, brk trong sự biểu diễn của tất cả các gj
ở dạng (∗). Khi đĩ (N Z(G))/Z(G) là nhĩm con hữu hạn sinh của G/Z(G). Do đĩ
(N Z(G))/Z(G) là nhĩm hữu hạn. Mặt khác
N Z(G)/Z(G)∼=N/N ∩Z(G) và N ∩Z(G)⊆Z(N)
nên N/Z(N) là nhĩm hữu hạn. Suy ra N0= [N, N] là nhĩm hữu hạn bởi Định lý 1.1.6. Hơn nữa, từ định nghĩa của N, ta cĩ
g1, g2, . . . , gn
⊆N0.
Vậy
g1, g2, . . . , gn
cũng là nhĩm hữu hạn. Do đĩ G0 là nhĩm hữu hạn địa phương Tới đây ta xét hai trường hợp.
(1) CharD=p >0. Lấya, b∈G0, khi đĩ
a, b
là nhĩm hữu hạn. Hơn nữa,
a, b
cịn là nhĩm cyclic bởi CharD =p > 0 và Mệnh đề 1.3.12. Đặc biệt a và b giao hốn với
nhau. Suy ra, G0 là nhĩm giao hốn và vì vậy G là nhĩm giải được.
Áp dụng Định lý 2.2.1 thì Gnằm trong F. Điều này mâu thuẫn với giả thiết G khơng giao hốn.
(2) Char D = 0. Ta cĩ G0 là giải đươc địa phương và hữu hạn địa phương. Theo Định lý 1.3.20, G0 là giải được tức là Ggiải được. Suy ra G giao hốn bởi Định lý 2.2.1. Điều này là vơ lý với giả thiết ban đầu của chúng ta.
Suy ra G phải giao hốn. Theo Hệ quả 2.1.10, ta cĩ điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.2.7. Cho D là vành chia đại số trên tâm của nĩ. Nếu D giải được địa phương thì D giao hốn.
Hệ quả 2.2.8. Cho D là vành chia và G là nhĩm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu G thỏa mãn điều kiện chuẩn hĩa thì G nằm trong tâm của D.
Chứng minh. Theo Định lý 1.1.5, Glà lũy linh địa phương. Áp dụng Định lý 2.2.3 ta cĩ điều cần chứng minh.