Về các nhóm con trong vành chia

1 Mục Lục Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10 1.1 Nhóm 10 1.2 Trường 14 1.3 Vành 17 Chương TÍNH CHUẨN TẮC CỦA NHÓM CON TRONG VÀNH CHIA 2.1 Đònh lý Cartan-Brauer-Hua đònh lý mở rộng liên quan 21 21 2.2 Các đònh lý giao hoán liên quan tính giải nhóm chuẩn tắc vành chia 25 2.3 Về giả thuyết Herstein 30 2.4 Tính chất hữu hạn nhóm chuẩn tắc vành chia 39 Chương NHÓM CON TỐI ĐẠI TRONG VÀNH CHIA 42 3.1 Tính lũy linh nhóm tối đại vành chia 42 3.2 Tính hữu hạn nhóm tối đại vành chia 52 Kết luận luận án 56 Đề xuất luận án 58 Danh mục công trình tác giả 59 Tài Liệu Tham Khảo 61 Danh Mục Các Ký Hiệu N, Z, Q, R, C - tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức H ≤ G- H nhóm G G - H nhóm chuẩn tắc G H H ⊆ G -H tập G H G - H không nằm G H G - H tập thực G |X| - số phần tử X |a| - cấp phần tử a Mn (R) - vành ma trận vuông cấp n R GLn (R) - nhóm tuyến tính tổng quát bậc n R S - nhóm sinh tập hợp S S G = g −1 sg : s ∈ S, g ∈ G S G = {g −1 sg : s ∈ S, g ∈ G} G1 ∼ = G2 - G1 đẳng cấu với G2 ker f - nhân đồng cấu f imf - ảnh đồng cấu f [G : H] - số H G [K : F ] - số chiều không gian vectơ K F xy = y −1xy - phần tử liên hợp x y H x = x−1 Hx CoreH = x∈G H x NG (H) - chuẩn hóa tử H G CG (X) = g ∈ G : gx = xg, ∀x ∈ X - tâm hóa tử X G [a, b] = a−1b−1 ab - hoán tử a b G = [G, G] - nhóm giao hoán tử G G/H - nhóm thương G theo H Aut(G) - nhóm tự đẳng cấu G G(i) - nhóm hoán tử bậc i G γi (G) - nhóm tâm giảm bậc i G Zi (G) - Nhóm tâm tăng bậc i G F [S] - vành sinh (F ∪ S) vành chia D F (S) - vành chia sinh (F ∪ S) vành chia D U (R) - nhóm phần tử khả nghòch vành R R∗ = R \ {0} - tập phần tử khác vành R Char(R) - đặc trưng vành R EndF (R) - tập tất F -tự đồng cấu R R[X] - vành đa thức với biến X lấy hệ số R deg(f ) - bậc đa thức f F/K - F trường mở rộng K A K B - A tenxơ B trường K Sym(n) - nhóm đối xứng tập hợp n phần tử sgn(σ) - dấu hoán vò σ MỞ ĐẦU Đề tài luận án nằm hướng nghiên cứu tính chất nhóm nhóm nhân vành chia Về mặt cấu trúc, vành chia có hầu hết tính chất trường, ngoại trừ việc không giao hoán Chính điều làm nên khác biệt đáng kể vành chia trường Nếu cấu trúc trường nghiên cứu kỹ đạt kết hoàn hảo đến nhiều điều cấu trúc vành chia chưa biết đến Thời gian gần có nhiều công trình nghiên cứu xoay quanh nhóm chuẩn tắc nhóm tối đại vành chia công bố ( [4]-[5]-[7]-[16]-[18]-[19]-[24]-[26]- ) Điều cho thấy tính thời vấn đề vừa nêu Mục tiêu luận án nhằm trình bày nghiên cứu tính giao hoán nhóm chuẩn tắc nhóm tối đại vành chia Cho D vành chia Ký hiệu D∗ := D\{0} Z(D) tâm D.D gọi hữu hạn chiều tâm D không gian véc tơ hữu hạn chiều Z(D) D gọi hữu hạn chiều đòa phương tâm với tập hữu hạn S D, vành chia sinh S Z(D) không gian véc tơ hữu hạn chiều Z(D) Nếu phần tử D∗ đại số Z(D) D gọi đại số tâm Một phần tử x ∈ D∗ gọi tâm Z(D) tồn số nguyên dương n(x) phụ thuộc vào x cho xn(x) ∈ Z(D) Một tập hợp ∅ = S ∈ D gọi tâm phần tử Z(D) Một số kết cổ điển nghiên cứu vành chia bắt nguồn từ Đònh lý Wedderburn: Mọi vành chia hữu hạn trường Các kết có điểm chung tìm cách thay tính chất hữu hạn Đònh lý Wedderburn tính chất khác mà làm cho vành chia giao hoán Chẳng hạn `` Nếu nhóm nhân vành chia nhóm lũy linh vành chia giao hoán" Một số kết khác theo dạng Kaplansky, Jacobson, L.K.Hua, Faith tham khảo [27] Từ kết nẩy sinh hướng nghiên cứu là: Nếu nhóm nhân vành chia có tính chất A làm cho vành chia giao hoán nhóm chuẩn tắc vành chia có tính chất A có nằêm tâm vành chia hay không? Trong hướng nghiên cứu này, Stuth (xem [[30], Đònh lý 14.4.4, trang 440]) chứng minh rằng: ``Trong vành chia D, nhóm chuẩn tắc giải D∗ nằm Z(D)" Tiếp tục với hướng chứng minh kết sau: ``Trong vành chia D, nhóm chuẩn tắc lũy linh đòa phương D∗ nằm Z(D)" ``Trong vành chia D đại số tâm, nhóm chuẩn tắc giải đòa phương D∗ nằm Z(D)" Việc khảo sát tính chất vành chia nghiên cứu nhiều Kaplansky ([27], Đònh lý 15.5) chứng minh rằng: ``Nếu D∗ Z(D) D giao hoán" Rõ ràng kết tổng quát hóa hay Đònh lý Wedderburn vành chia hữu hạn Năm 1978, L.N.Herstein [16] nêu giả thuyết: ``Nếu G nhóm chuẩn tắc D∗ G Z(D) G nằm Z(D)." Herstein chứng minh giả thuyết G nhóm hữu hạn chuẩn tắc D∗ Tuy nhiên chưa có câu trả lời cho trường hợp tổng quát Năm 2004, [7], B.X Hải L.K Huỳnh chứng minh giả thuyết Herstein lớp vành chia hữu hạn chiều tâm Trong luận án chứng minh giả thuyết lớp vành chia hữu hạn chiều đòa phương tâm Cũng hướng nghiên cứu này, kết Jacobson là: `` Nếu vành chia D đại số trường hữu hạn D giao hoán" tổng quát hóa thành kết quả: ``Nếu nhóm chuẩn tắc G vành chia D đại số trường hữu hạn D G nằm Z(D)." Ngoài mô tả đa thức tối tiểu phần tử a ∈ D nằm nhóm chuẩn tắc Z(D) có dạng xt − NF (a)/F (a) a3 ∈ Z(D) a ∈ Z(D) Đối với vành chia có đặc trưng p > 0, chứng minh được: ``Nếu a phần tử nằm nhóm chuẩn tắc n tâm vành chia D mà ap ∈ Z(D) a ∈ Z(D)." Một hướng nghiên cứu vành chia việc tổng quát hóa Đònh lý Wedderburn hình thức nhóm chuẩn tắc cách khai thác tính chất hữu hạn Trong [18] Mahdavi-Hezavehi, M.G Madmudi S.Yasamin chứng minh rằng: ``Trong vành chia D hữu hạn chiều tâm, nhóm chuẩn tắc hữu hạn sinh D∗ nằm Z(D)" Trong luận án tổng quát hóa Đònh lý Wedderburn hai hình thức: i) Nếu G nhóm chuẩn tắc D∗ G hữu hạn đòa phương G nằm Z(D) ii) Nếu G nhóm chuẩn tắc D∗ G F C−nhóm G nằm Z(D) Ởû nhóm G gọi F C−nhóm với phần tử G, số phần tử liên hợp G hữu hạn Việc nghiên cứu nhóm tối đại vành chia vấn đề thời lý thuyết nhóm tuyến tính vành chia nhiều nhà toán học giới quan tâm (có thể tham khảo số công trình 10 năm trở lại [4]-[5]-[19][13]-[26] để thấy điều ) Mặc dù có nhiều nghiên cứu nhóm tối đại vành chia nay, câu hỏi: Có tồn nhóm tối đại vành chia tổng quát hay không? chưa tìm câu trả lời Trong trường câu trả lời phủ đònh Chẳng hạn trường số phức C không tồn nhóm tối đại Trên sở nghiên cứu nhóm tối đại, câu hỏi nảy sinh là: Những nhóm tối đại xuất nhóm nhân trường tối đại Trong [4], tác giả chứng minh rằng: ``Nếu M nhóm tối đại lũy linh vành chia D chứa phần tử đại số tâm M nhóm nhân trường tối đại D" Tiếp tục với vấn đề này, chứng minh rằng: `` Nếu M nhóm tối đại lũy linh đòa phương vành chia đại số tâm M nhóm nhân trường tối đại D" Trong vành chia Quaternion H, nhóm C∗ ∪ C∗j nhóm tối đại giải H∗ Điều cho thấy kết mở rộng cho nhóm tối đại giải vành chia Tính hữu hạn nhóm nhân vành chia liên quan chặt chẽ với tính giao hoán Đối với nhóm tối đại vành chia điều thể rõ nét Trên sở chứng minh hai kết qủa sau: - Nếu M nhóm tối đại hữu hạn đòa phương vành chia D M nhóm nhân trường tối đại D - Nếu M nhóm tối đại vành chia D M F C-nhóm M nhóm nhân trường tối đại D Nội dung luận án chia làm ba chương Chương nêu khái niệm liệt kê số kết tác giả khác mà sử dụng chương sau Mục đích Chương tạo điều kiện dễ dàng cho người đọc theo dõi trích dẫn kết tác giả khác công bố nhiều báo sách chuyên khảo khác Mặt khác, người đọc truy tìm nguồn gốc trích dẫn cần thiết ghi rõ xuất xứ chúng Chương giới thiệu kết nghiên cứu đònh lý giao hoán nhóm chuẩn tắc vành chia kết đạt gần xoay quanh giả thuyết Herstein Chương 3, luận án trình bày vấn đề liên quan đến câu hỏi: Khi nhóm tối đại vành chia trở thành nhóm nhân trường tối đại? Nhằm giới thiệu khung cảnh chung đề tài nghiên cứu, mục liệt kê kết tác giả khác đan xen với trình bày kết Điều theo thiển ý giúp người đọc cảm nhận dễ dàng vấn đề nghiên cứu mà trình bày luận án Tuy nhiên, nơi rõ kết thuộc người đọc dễ dàng đối chiếu qua danh mục tài liệu tham khảo luận án Phần kết luận luận án nêu tóm tắt kết mà luận án thu đề xuất số hướng nghiên cứu 10 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận án này, vành R giả thiết vành kết hợp có đơn vò = ta ký hiệu R∗ = R \ {0} R gọi vành chia phần tử R∗ có phần tử nghòch đảo Tập phần tử nghòch đảo vành R ký hiệu U (R) Như R vành chia R∗ = U (R) Tập hợp ma trận vuông cấp n vành R ký hiệu Mn (R) ký hiệu GLn (R) thay cho U Mn (R) Nếu R vành chia G nhóm nhân R∗ ta qui ước nói G nhóm vành chia R Nếu R trường nhóm GLn (R) gọi nhóm tuyến tính, R vành chia nhóm GLn (R) gọi nhóm tuyến tính vành chia Nếu G nhóm Z(G) ký hiệu tâm G Nếu R vành tập hợp x ∈ R : xy = yx, ∀y ∈ R gọi tâm R ký hiệu Z(R) Có thể thấy tâm vành chia R trường 1.1 Nhóm Cho G nhóm nhân với phần tử đơn vò Nhóm H G gọi nhóm thực G H = G Nếu X tập khác rỗng G ký hiệu X nhóm G sinh X Nếu X tập hữu hạn G = X ta nói G nhóm hữu hạn sinh Nếu với tập hữu hạn S khác rỗng X, nhóm S nhóm hữu hạn G gọi nhóm hữu hạn đòa phương G gọi nhóm xoắn phần tử G có cấp hữu hạn Hiển nhiên G hữu hạn đòa phương G nhóm xoắn Cho H nhóm G X tập khác rỗng G Ta nói H chuẩn hóa X hay X chuẩn hóa H với x ∈ H, x−1 Xx ⊆ X Hiển nhiên X H = h−1 xh : h ∈ H, x ∈ X nhóm nhỏ G chứa X chuẩn hóa H X G gọi nhóm 49 dễ thấy A đóng với phép cộng Nếu xi xj phần tử đại diện lớp ghép F ∗ M xi xj ∈ M = n k=1 F ∗xk Suy tồn k cho xi xj = fk xk (fk ∈ F ) Vậy A đóng với phép nhân Suy A vành Theo Bổ đề 2.4.2, A vành chia Từ đònh nghóa A, ta có A hữu hạn chiều F Suy A = D Hiển nhiên M nằm A Bởi tính tối đại M, ta có M = A∗ Suy A∗ lũy linh đòa phương Theo Hệ 2.2.4, A∗ giao hoán điều vô lý Vậy M = ND∗ (F (N1)∗ ) Trong trường hợp F (N1)∗ nằm M Do phần ta chứng minh M nhóm giải nên F (N1)∗ nhóm giải được, theo Đònh lý 2.2.1 F (N1) trường Hơn [M : F (N1)∗ ] ≤ [M : N1 ] < ∞ Theo Bổ đề 3.1.5 ta có [D : F ] < ∞ Áp dụng Bổ đề 2.3.4, M giao hoán điều mâu thuẫn Tất mâu thuẫn cho ta M giao hoán từ Bổ đề 3.1.6, đònh lý chứng minh Kết mở rộng cách thay tính lũy linh đòa phương tính giải Để thấy điều này, ta xét ví dụ sau [5] Ví dụ: Xét H vành chia Quaternion thực Đặt G = C∗ , + j Trước tiên ta nhận xét rằng: ω, z ∈ C thỏa mãn |ω| = |z| z + j ∈ G ω + j ∈ G Thật vậy, z = nhận xét hiển nhiên Giả sử z = Từ |ω| = |z| , tồn phần tử t ∈ C cho ωz −1 = t(t)−1 với t phần tử liên hợp t C Khi (z + j)t = t(ω + j) ∈ G Suy (ω + j) ∈ G Với r > 0, đặt ur = 1−r + r+1 1− 1−r 1+r i Khi |ur | = Ta có + j ∈ G Theo nhận xét ur + j ∈ G Suy (ur ) + (ur + 1)j = ur − + ur j + j = ur − + jur + j = (1 + j)(ur + j) ∈ G Suy (ur + 1)(ur ) + j ∈ G 50 Mặt khác |(ur )(ur + 1)| = √ r với r > 0, ta suy với a ∈ C , a + j ∈ G Bây giờ, phần tử H có dạng x = z1 + z2j (z1, z2 ∈ C∗) Nếu z2 = x ∈ C ⊆ G ∗ Nếu z2 = theo x = z2−1 (z1, z2−1 + j) ∈ G Vậy H∗ = G = C∗ , + j Lấy z0 ∈ C, đặt G0 = C∗ , z0 + j Dùng cách lập luận cách chứng minh H∗ = C∗, + j , với z0 + j ∈ G0 ta có √ r0 i + j √ r0 + j nằm G0 ro = |z0|2 Suy √ r0 + j √ √ √ r0 i + j = (r0 j − 1) + ( r0 − r0 i)j ∈ G0 Đặt z1 = √ r0 i − √ r0 − r0 i Khi r1 = |z1 |2 = r02 + ≥1 2r0 |z1|2 = r1 z1 + j ∈ G0 √ √ Tương tự ( r1 + j)( r1 i + j) ∈ G Tiếp tục trình ta tạo thành hai dãy số {rn } {zn } có tính chất rn = rn−1 +1 rn−1 i − ; zn + j ∈ G0 |zn |2 = rn ≥ 1; zn = √ √ 2rn−1 rn−1 − rn−1 i Nếu a ≥ −a2 + a2 + −a = ≤ 2a 2a Suy {rn } dãy số giảm bò chặn Do đó, {rn } hội tụ Đặt α = lim rn = lim rn−1 ≥ n→∞ n→∞ Suy α2 + =⇒ α = 2α Vậy rn → Suy tồn số nguyên dương m cho α= zm + j ∈ G0 ; |zm| = t (t2 − 1)2 < t 4t Đặt u= (t2 − 1)2 + i t2 − 4t (t2 − 1)2 4t 51 Khi (t + j)(u + j) ∈ G Tương tự phần trên, ta có tu − tu − + j ∈ G0 = t+u t+u Vì + j ∈ G0 Suy G0 ≤ H∗ = G = C∗ , + j ≤ G0 Vậy H∗ = C, z + j với z ∈ C∗ Bây giờ, với M = C∗ ∪ C∗j kiểm tra đơn giản ta có M nhóm H∗ Hơn từ H∗ = C, z + j với z ∈ C∗ ta có M nhóm tối đại H∗ Mặt khác C∗ giao hoán [M : C∗ ] = 2, ta có M nhóm giải không giao hoán 52 3.2 Tính hữu hạn nhóm tối đại vành chia Tiết trình bày số đònh lý chúng tôi, mô tả mối quan hệ tính hữu hạn tính giao hoán nhóm tối đại vành chia Đònh lý 3.2.1 Cho D vành chia không giao hoán giả sử M nhóm tối đại D∗ Nếu M hữu hạn đòa phương M nhóm nhân trường tối đại D Chứng minh Giả sử M không giao hoán Nếu F ∗ không nằm M từ tính tối đại M, ta có D∗ = F ∗M Suy D = (F ∗M) = M ≤ M Vậy D hữu hạn đòa phương Theo Đònh lý 2.4.3, ta có D ⊆ Z(D)∗ Suy D nhóm lũy linh Theo Hệ 2.2.4, D trường Điều vô lý cho ta F ∗ ≤ M Nếu CharD = 0, ta coi Q trường nguyên tố D Nhưng (1 + 1) = ∈ Q∗ ⊆ F ∗ ⊆ M phần tử có cấp vô hạn điều mâu thuẫn với tính hữu hạn đòa phương M Suy CharD = p > Lấy a, b hai phần tử M a, b nhóm hữu hạn Theo Mệnh đề 1.3.12, nhóm a.b nhóm cyclic Đặt biệt a giao hoán với b Suy M nhóm giao hoán Theo Bổ đề 3.1.6, ta có điều cần chứng minh Thay tính hữu hạn đòa phương Đònh lý 3.2.1 tính F C-nhóm, ta có kết sau: Đònh lý 3.2.2 Cho D vành chia không giao hoán với tâm F giả sử M nhóm tối đại D∗ Nếu M FC-nhóm M nhóm nhân trường tối đại D Chứng minh Giả sử M không giao hoán F ∗ không nằm M, lý luận Đònh lý 3.2.1, ta có D nằm M Suy D F C−nhóm Theo Đònh lý 2.4.6, D nằm F , dẫn đến D nhóm lũy linh Theo Hệ 2.2.4, ta có D giao hoán Điều vô lý cho ta F ∗ nằm M F ∗ nằm Z(M) Giả sử F ∗ Lấy a ∈ Z(M) \ F, M ⊆ CD∗ (a) Từ tính tối đại M, ta có M = CD∗ (a) CD∗ (a) = D∗ Z(M) 53 Nhưng a ∈ / F nên CD∗ (a) = D∗ Vậy M = CD∗ (a) CD∗ (a) F C−nhóm.Theo Hệ 2.4.7, CD∗ (a) = M nhóm giao hoán, điều mâu thuẫn Suy F ∗ = Z(M) Lấy x ∈ M \ Z(M) Do M F C−nhóm nên [M : CM (x)] < ∞ Đặt y −1 CM (x)y H= y∈M Theo Đònh lý 1.1.8, ta có H chuẩn tắc M [M : H] < ∞ Đặt K = F (H), M chuẩn hóa K Suy M ≤ ND∗ (K ∗ ) từ tính tối đại M, ta có D∗ = ND∗ F (H)∗ M = ND∗ (F (H)∗) Ta xét hai trường hợp Trường hợp D∗ = ND∗ F (H)∗ Do F (H)∗ chuẩn tắc D∗ nên theo Đònh lý Cartan-Brauer-Hua ta có D = F (H) F (H) ⊆ F Giả sử D = F (H) Do H nằm CM (x) nên x giao hoán với phần tử F (H) = D Suy x ∈ F ∗ = Z(M), mâu thuẫn với cách chọn x Vậy ta có F (H) ⊆ F Suy H ⊆ F Do [M : F ∗] ≤ [M : H] < ∞ Gọi x1, x2, , xn tập hợp đầy đủ phần tử đại diện lớp ghép theo F ∗ M Đặt N = x1 , x2, , xn Khi M = NF ∗ Lấy x ∈ D∗ \ M, đặt N1 = N ∪ x Từ M = N.F ∗ N1F ∗ tính tối đại M, ta có D∗ = N1 F ∗ Suy [D∗ , D∗ ] = [N1F ∗, N1 F ∗] = [N1, N1 ] Vậy N1 nhóm chuẩn tắc hữu hạn sinh D∗ Nếu [D : F ] < ∞ theo Đònh lý 2.4.1 , N1 nằm F Do D∗ = N1 F ∗ = F ∗ điều vô lý Suy [D : F ] = ∞ Ta có M = x1 F ∗ ∪ x2 F ∗ ∪ ∪ x1 F ∗ Đặt A = n k=1 αk xk : αk ∈ F Với i, j ∈ {1, 2, , n , tích xixj nằm M nên tồn số t cho xi xj = αt xt (αt ∈ F ) Suy A vành D 54 vành chia Bổ đề 2.4.2 Hiển nhiên M nằm A∗ Từ tính tối đại M ta có M = A∗ A∗ = D Từ đònh nghóa A, ta có [A : F ] < ∞ Vì A = D M ∪ {0} = A vành chia Theo Hệ 2.4.7, M nhóm giao hoán Điều vô lý lại cho ta M giao hoán trường hợp Trường hợp M = ND∗ (F (H)∗) Ta có F (H)∗ nằm M Hơn [M : F (H)∗] < [M : H] < ∞ Theo Bổ đề 3.1.5, ta có [D : F ] < ∞ Lấy x ∈ M, từ giả thiết M F C−nhóm ta có [M : CM (x)] = n < ∞ Gọi x1, x2, , xn tập đầy đủ phần tử đại diện lớp ghép theo CM (x) M Đặt N = CM (x1) ∩ CM (x2) ∩ ∩ CM (xn ) ∩ CM (x) [M : N ] < ∞ Theo Đònh lý 1.1.8, M : ∩x∈M x−1 Nx < ∞ Suy tồn số nguyên dương k cho ∀y ∈ M, y k ∈ x−1 Nx ≤ N x∈M Đặc biệt ta có xk ∈ N Lấy z ∈ M, tồn số j a ∈ CM (x) cho z = xj a Suy xk z = xk xj a = xj xk a = xj axk = zxk Tức xk ∈ Z(M) = F ∗ Điều cho thấy M F Theo Đònh lý 3.1.1, ta có CharD = p > [D : F ] = p2 Đặt M1 = D ∩ M Lấy x ∈ M1 , từ M F nên tồn số nguyên dương n(x) cho xn(x) = α ∈ F Tác động chuẩn rút gọn lên hai phía, nhận = NrdD/F (x)n(x) = NrdD/F (x)n(x) = NrdD/F (α) = αp Suy xpn(x) = Vậy M1 nhóm xoắn Bằng cách xét biểu diễn quy D∗ GLp2 (F ), ta coi M1 nhóm GLp2 (F ) Theo Đònh lý 1.2.6, M1 hữu hạn đòa phương Lấy x y hai phần tử M, x, y nhóm hữu hạn suy nhóm cyclic Mệnh đề 1.3.12 Đặc biệt a, b giao hoán với dẫn tới M1 giao hoán Hiển nhiên [M, M ] ≤ M1 M nhóm giải Theo Đònh 55 lý 1.3.14 (Suprunenko), tồn trường K D cho K/F mở rộng Galois [M : K ∗ ] < ∞ Nếu K ⊆ F [M : K ∗ ] < ∞, lặp lại lý luận ta nhận vô lý Suy F∗ K ∗ ⊆ M Do M F nên K ∗ F Theo Mệnh đề 1.2.12, K mở rộng túy không tách F K đại số trường nguyên tố hữu hạn P Nhưng K mở rộng Galois F nên K mở rộng túy không tách Suy K đại số P kéo theo F đại số P Do [D : F ] < ∞ nên D đại số F D đại số P Vì D giao hoán Đònh lý 1.3.8 Điều vô lý cho ta M giao hoán Theo Bổ đề 3.1.6 ta có điều cần chứng minh 56 Kết luận luận án Dưới số kết nhận luận án Tất kết thành đạt trình nghiên cứu chung với người hướng dẫn khoa học A Một số nhóm nằm tâm vành chia: Nhóm chuẩn tắc lũy linh đòa phương vành chia nằm tâm vành chia Điều mở rộng kết cổ điển nói ``nếu nhóm nhân vành chia nhóm lũy linh vành chia giao hoán." Đối với vành chia đại số tâm kết nhận dạng sau: Mọi nhóm chuẩn tắc giải đòa phương vành chia đại số tâm nằm tâm vành chia Mọi nhóm chuẩn tắc tâm vành chia hữu hạn chiều đòa phương tâm nằm tâm vành chia Điều chứng tỏ Giả thuyết Herstein lớp vành chia hữu hạn chiều đòa phương tâm Mọi nhóm chuẩn tắc đại số trường hữu hạn vành chia nằm tâm vành chia Điều tổng quát hóa đònh lý Jacobson nói ``nếu vành chia đại số trường hữu hạn giao hoán" Mọi nhóm chuẩn tắc hữu hạn đòa phương vành chia nằm tâm vành chia Điều mở rộng Đònh lý Wedderburn nói ``mọi vành chia hữu hạn trường" Mọi nhóm chuẩn tắc thỏa mãn tính F C−nhóm vành chia nằm tâm vành chia Điều mở rộng khác Đònh lý Wedderburn nói 57 B Các kết nhóm tối đại: Mọi nhóm tối đại lũy linh đòa phương vành chia không giao hoán đại số tâm nhóm nhân trường tối đại vành chia Mọi nhóm tối đại hữu hạn đòa phương vành chia không giao hoán nhóm nhân trường tối đại vành chia Mọi nhóm tối đại thỏa mãn tính F C-nhóm vành chia không giao hoán nhóm nhân trường tối đại vành chia 58 Đề xuất luận án Luận án trình bày số kết tính chất nhóm nhân vành chia Những kết tổng quát hóa số kết trước tác giả khác Wedderburn, Herstein, Jacobson, Hua, Stuth, Các kết ứng dụng Lý thuyết vành Lý thuyết nhóm tuyến tính vành chia Một số kết có khả mở rộng cho lớp vành chia rộng Chẳng hạn, nói Giả thuyết Herstein, luận án dừng lại việc chứng minh giả thuyết cho lớp vành chia hữu hạn chiều đòa phương tâm Trong tương lai cần chứng minh bác bỏ giả thuyết cho lớp vành chia rộng hơn, ví dụ cho lớp vành chia đại số tâm chẳng hạn Tương tự kết cổ điển Hua :``Nếu nhóm nhân vành chia nhóm giải vành chia giao hoán" Kết Stuth mở rộng sau: Mọi nhóm chuẩn tắc vành chia giải nằm tâm" Trong luận án chứng minh vành chia đại số tâm nhóm chuẩn tắc giải đòa phương nằm tâm Nếu khẳng đònh vừa bỏ điều kiện ``đại số tâm" nhận kết tổng quát kết Stuth Ngoài vấn đề thực đáng quan tâm liệu có tồn vành chia không giao hoán không chứa nhóm tối đại hay không? Nhắc lại trường câu trả lời khẳng đònh ta dễ dàng chứng minh trường số phức không chứa nhóm tối đại Tuy nhiên vành chia không giao hoán người ta chưa tìm ví dụ 59 Danh mục công trình tác giả [1] Nguyễn Văn Thìn Bùi Xuân Hải, Về giả thuyết Herstein, Tạp chí Phát triển Khoa học công nghệ/ J of Science and Technology Development (đã nhận đăng) (Tạp chí Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh, ISSN: 1859-0128) [2] Bui Xuan Hai and Nguyen Van Thin, On subnormal and Maximal Subgroups in Division Rings, Southeast Asian Bulletin of Mathematics (2008) 32: 931-937 [3] Bui Xuan Hai and Nguyen Van Thin, On Locally Nilpotent Subgroups of GL1 (D), Communications in Algebra, Vol.37 712-718 (2009) 60 Các kết luận án báo cáo hội nghò khoa học seminar sau đây: The Second International Congress in Algebra and Combinatorics, 6-11 July 2007, Beijing, China Hội nghò Khoa học lần thứ trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, tháng 11/2008 Seminar Đại số, Khoa Toán - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Bùi Xuân Hải (Chủ biên), Trònh Thanh Đèo, Đại số đại, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh, (2002) [2] Bùi Xuân Hải, Lý thuyết Trường Galois, Nhà xuất Đại Học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2007) [3] Nguyễn Văn Thìn Bùi Xuân Hải, Về giả thuyết Herstein, Tạp chí Phát triển Khoa học công nghệ/ J of Science and Technology Development (đã nhận đăng) (Tạp chí Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh, ISSN: 1859-0128) Tiếng Anh [4] Akbari, S Mahdavi-Hezavehi, M., Madmudi, M.G., Maximal Subgroups of GL1 (D), J Algebra,Vol 217 (1999), 222-233 [5] Akbari, S., Ebrabimian, R., Momenaee Kermani, H and Salehi Golsefidy, A., Maximal Subgroups of GLn (D), J Algebra 259, no.1, (2003) 201-225 [6] Artin E., Galois Theory, Notre Dame Mathematical Lecture, No.2 (1940) [7] Bui Xuan Hai and Le Khac Huynh, On Subgroups of the Multiplicative Groups of a Division Ring Vietnam Journal of Mathematics 32 (2), (2004) 21-24 [8] Bui Xuan Hai and Nguyen Van Thin, On Subnormal and Maximal Subgroups in Division Rings, Southeast Asian Bulletin of Mathematics (2008) 32: 931-937 62 [9] Bui Xuan Hai and Nguyen Van Thin, On Locally Nilpotent Subgroups of GL1 (D), Communications in Algebra, Vol.37 712-718 (2009) [10] Berson Frad and R Keith Dennis, Noncommutative Algebra, Graduate Text in Mathematics: 144, Springer-Verlag (1991) [11] J Goncalves, Free group in subnormal subgroups and the residual nilpotence of the group units of group rings, Can Math Bull 27(1982), 365-370 [12] Jacobson, N., Structure of Rings, Coll, Pub., Vol 137, Amer Math Soc, Providence, R.I, (1956) [13] J.Tits, Free subgroups in Linear Groups, J Algebra 20, (1972) 250-272 [14] Kostrikin, A.I , Shafarevich, I.R., (Ed) Algebra IV, part II, (Linear Groups, by A.E Zalesskii) , Encyc of Math Science, Springer-Verlag (1993) [15] I.N.Herstein, Noncommutative Rings, The Carus Mathematical Monographs, Published by The Mathematical Association of America (1968) [16] I.N Herstein, Multiplicative commutators in division ring, Israel J Math 31, (1978) 180-188 [17] Louis-H.Rowen, Ring Theory, Vol.III, Cambrige University Press, (1986) [18] Mahdavi-Hezavehi, M.G Madmudi and S.Yasamin, Finitety generated subnormal subgroups of GLn (D) are central, J Algebra 225 (2000) 517-512 [19] Mahdavi-Hezavehi, Free subgroups in Maximal subgroup of GL1 (D), J Algebra 24, (2000) 720-730 [20] M.I Kargapolov and ju I Mezliakov, Fundamentals of the Theory of Groups, Springer-Verlag, New York (1974) [21] Patrik Morandi, Field and Galois Theory, Springer-Verlag (1996) [22] P.K.Draxl, Skew Fields, London Mathematical Society, Lecture Note series 81 (1993) [23] Robinson, Derek J.S, A course in the Theory of groups, Second Edition, SpringerVerlag, (1995) 63 [24] Roozbeh-Hazrat, On the central series of the multiplicative Groups, Proc Amer Math Soc (1997) [25] Shivani, M., and Wehrfritz, B.A.F, Skew Linear Groups, Cambridge University Press, (1986) [26] Suprunenko, D.A, Soluble Subgroups of the Multiplicative Group of a Field, English Transl., Amer Math Soc.Transl 46(2), (1995) 153-161 [27] T.Y Lam, The First Course in Noncommutative Rings, Gruaduate Text in Mathematics, Vol.13 , Springer-Verlag (1996) [28] Wehrfrit B.A.F, Infinite Linear groups, An account of the group- theoretic properties of infinite groups of matrices, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973 [29] Wehrfritz B.A.F, Crossed product criteria and skew linear groups, J Algebra, Vol 141 No 2, (1991) 321-353 [30] W.R Scott, Group Theory, Dover Publication, INC, (1987) [...]... cấu trong ϕ trên D sao cho ϕ|K = ϕ 21 Chương 2 TÍNH CHUẨN TẮC CỦA NHÓM CON TRONG VÀNH CHIA 2.1 Đònh lý Cartan-Brauer-Hua và các đònh lý mở rộng liên quan Đònh lý Cartan-Brauer-Hua là một trong những đònh lý quan trọng nhất trong lý thuyết vành chia Nó đặt nền tảng cho việc khảo sát tính chuẩn tắc của nhóm con nhân trong vành chia Hầu hết các kết quả nghiên cứu về tính chuẩn tắc của nhóm con trong vành. .. ⊆ D = Z(D) 25 2.2 Các đònh lý giao hoán liên quan tính giải được của nhóm con á chuẩn tắc trong vành chia Trong vành chia, tính giải được của một nhóm con rất gần gũi với tính giao hoán, đặc biệt là đối với nhóm con á chuẩn tắc Một kết quả cổ điển trong lý thuyết vành chia là ``Nếu D là vành chia có D∗ là nhóm lũy linh thì D giao hoán" Sau đó Hua tổng quát hóa kết quả trên bằng cách thay tính lũy... Cho D là vành chia và G là nhóm con bất khả quy tuyệt đối của D và H là nhóm con chuẩn tắc lũy linh đòa phương của G Khi đó tồn tại nhóm con N nằm trong tâm H sao cho H/N là nhóm hữu hạn đòa phương và G/CG (H) là nhóm xoắn Đònh lý 1.3.23 [[12], Hệ quả 2, trang 162] Cho D là vành chia tâm F, K là vành chia con của D chứa F và hữu hạn chiều trên F Khi đó mọi đơn cấu ϕ đi từ K vào D cố đònh các phần tử... 1.3.3 Cho D là vành chia , F là một trường con của D và S là một tập con khác rỗng của D i) Ký hiệu F [S] là giao tất cả các vành con của D chứa (F ∪ S) và gọi nó là vành con của D sinh ra bởi S trên F ii) Ký hiệu F (S) là giao tất cả các vành chia con của D chứa (F ∪ S) và gọi nó là vành chia con của D sinh ra bởi S trên F Đònh nghóa 1.3.4 Cho D là vành chia tâm F i) D được gọi là hữu hạn chiều... tập con S hữu hạn khác rỗng của G, nhóm con S là nhóm giải được thì G được gọi là nhóm giải được đòa phương Ta có G(i) chuẩn tắc trong G với mọi i ≥ 1 Nếu G là nhóm giải được và H là nhóm con chuẩn tắc của G thì H và G/H là những nhóm giải được của G Hiển nhiên nếu G là nhóm giải được thì nó là nhóm giải được đòa phương Đònh nghóa 1.1.2 Cho G là một nhóm i) Họ các nhóm con γi (G) của G được đònh nghóa... G là nhóm lũy linh thì nhóm con và nhóm thương của G là những nhóm lũy linh iv) Nếu G là nhóm lũy linh thì G là nhóm giải được v) Nếu G là nhóm lũy linh thì H là nhóm con á chuẩn tắc của G vi) Nếu G/Z(G) là nhóm lũy linh thì G là nhóm lũy linh vii) Nếu G là nhóm lũy linh và H là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G 13 thì H ∩ Z(G) = {1} Đònh nghóa 1.1.4 Cho G là một nhóm G được gọi là thỏa mãn... đối nếu F [G] = D iii) Với K là vành chia con của D Nếu K ∗ là nhóm con chuẩn tắc của D∗ thì ta nói K chuẩn tắc trong D Dưới đây là các kết quả căn bản để sử dụng trong những chương sau của luận án Đònh lý 1.3.6 (Wedderburn) [[30], Đònh lý 14.13, trang 427] Mọi vành chia hữu hạn đều là một trường Mệnh đề 1.3.7 [[27], Hệ quả 13.2, trang 215] Cho D là vành chia và K là vành con hữu hạn của D Khi đó K là... là vành chia hữu hạn chiều trên tâm và G là nhóm con giải được của D∗ Khi đó G chứa một nhóm con chuẩn tắc giao hoán có chỉ số hữu hạn Đònh lý 1.3.19 [[29], Hệ quả 1.5] Cho D là vành chia và G là nhóm con bất khả quy tuyệt đối giải được đòa phương của D∗ Khi đó G chứa một nhóm con chuẩn tắc giao hoán H sao cho G/H là hữu hạn đòa phương Đònh lý 1.3.20 [[25], Đònh lý 2.5.4, trang 74] Cho D là vành chia. .. 219] Cho D là vành chia và F là trường con hữu hạn của D Nếu D đại số trên F thì D là trường Đònh lý 1.3.9 (Kaplansky) [[27], Đònh lý 15.15 trang 253] Cho D là vành chia tâm F Nếu D căn trên F thì D giao hoán Đònh lý 1.3.10 (Hua) [[27], trang 223] Cho D là vành chia Nếu D∗ là nhóm giải được thì D giao hoán Đònh lý 1.3.11 (Faith) [[27], trang 223] Cho D là vành chia và K là vành chia con của D∗ Nếu... đòa phương của nhóm con á chuẩn tắc thì kết quả vẫn còn đúng, nhưng trong trường hợp này lớp vành chia của chúng ta bò hạn chế xuống là lớp vành chia đại số trên tâm Để đi tới kết quả này, trước tiên ta xét bổ đề sau: Bổ đề 2.2.5 Cho D là vành chia không giao hoán đại số trên tâm F và G là một nhóm con của D∗ Nếu G bất khả quy thì G bất khả quy tuyệt đối Chứng minh Gọi F [G] là vành con của D sinh