Các nhóm con tự do trong vành chia

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN KIM NGỌC CÁC NHÓM CON TỰ DO TRONG VÀNH CHIA LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN KIM NGỌC CÁC NHÓM CON TỰ DO TRONG VÀNH CHIA Ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 Phản Phản Phản Phản Phản biện biện biện biện biện 1: 2: 3: độc lập 1: độc lập 2: GS TS Lê Văn Thuyết PGS TS Trần Tuấn Nam TS Bành Đức Dũng TS Bành Đức Dũng TS Nguyễn Phúc Sơn NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS BÙI XUÂN HẢI Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan luận án viết Các kết mà viết chung với tác giả khác đồng thuận để đưa vào luận án Các kết trung thực, đăng tạp chí khoa học quốc tế chưa đưa vào luận án khác Tác giả Nguyễn Kim Ngọc Lời cảm ơn Lời xin chân thành cảm ơn sâu sắc Giáo sư Tiến sĩ Bùi Xuân Hải Thầy tận tâm dẫn dắt suốt đường học toán, làm toán thầy hướng dẫn tơi làm nghiên cứu sinh hồn thành luận án Tôi xin cảm ơn Tiến sĩ Trần Ngọc Hội, Tiến sĩ Nguyễn Viết Đông dạy dỗ suốt từ lúc học viên cao học đến Các thầy đóng góp nhiều ý kiến q giá để tơi hồn thành luận án tốt Tơi xin cảm ơn Tiến sĩ Mai Hồng Biên với tơi thầy Bùi Xn Hải tích cực làm việc để tìm nhiều kết Tôi cảm ơn Tiến sĩ Trịnh Thanh Đèo cho tơi nhiều lời khun động viên tơi lúc khó khăn làm nghiên cứu sinh Cuối xin cảm ơn Tiến sĩ Lê Văn Hợp thầy, đồng nghiệp Bộ môn Đại số, xin cảm ơn gia đình tơi, bạn bè tơi tạo điều kiện để tơi có thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tiến sĩ Mục lục TỔNG QUAN Kiến thức chuẩn bị 10 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 10 1.1 Nhóm 10 1.2 Trường vành chia 13 1.3 Vành chia hữu hạn địa phương yếu 17 Nhóm tự nhóm chuẩn tắc vành chia hữu hạn địa phương yếu 2.1 Một số tính chất nhóm vành chia hữu hạn địa phương yếu 2.2 CZ-nhóm 2.3 Sự tồn nhóm tự nhóm chuẩn tắc vành chia hữu hạn địa phương yếu Nhóm tự nhóm gần chuẩn tắc nhóm tuyến tính tổng quát vành chia 3.1 Nhóm gần chuẩn tắc với đồng thức nhóm suy rộng 3.2 Nhóm gần chuẩn tắc GLn (D) nhóm chuẩn tắc 3.3 Nhóm tự nhóm gần chuẩn tắc GLn (D) 3.4 Một số hệ tồn nhóm tự không xyclic GLn (D) 3.5 Nhóm gần chuẩn tắc hữu hạn sinh GLn (D) 20 20 22 25 28 28 30 32 34 40 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN 44 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT CỦA LUẬN ÁN 46 Danh mục ký hiệu N, Z, Q, R, C - tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức H ≤ G - H nhóm G H G - H nhóm chuẩn tắc G H G - H nhóm chuẩn tắc G H asn G - H nhóm gần chuẩn tắc G H ⊆ G - H tập G H ⊂ G - H tập thực G H G - H không tập G y x = x−1 yx - phần tử liên hợp y x H x = x−1 Hx - nhóm liên hợp với nhóm H nhóm G phần tử x ∈ G CoreG (H) = ∩x∈G H x - lõi nhóm H nhóm G [a, b] = a−1 b−1 ab - giao hoán tử hai phần tử a b nhóm G G = [G, G] - nhóm giao hốn tử G G/H - nhóm thương G theo nhóm chuẩn tắc H G1 ∼ = G2 - G1 đẳng cấu với G2 Mn (R) - vành ma trận vuông cấp n R GLn (R) - nhóm tuyến tính tổng qt bậc n R [G : H] - số nhóm H nhóm G K/F - K trường mở rộng trường F [K : F ] - bậc mở rộng trường K/F F [S] - vành vành chia D tâm F sinh F ∪ S, S tập D F (S) - vành chia vành chia D tâm F sinh F ∪ S, S tập D R∗ = R\{0} - tập phần tử khác vành R U (R) - nhóm phần tử khả nghịch vành R Z(R) = {x ∈ R|xy = yx, với y ∈ R} - tâm R Sym(n) - nhóm đối xứng tập hợp gồm n phần tử sgn(σ) - dấu hoán vị σ Fq , q = pn - trường hữu hạn gồm q phần tử TỔNG QUAN Vấn đề tồn nhóm tự khơng xyclic vành chia nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu nói định lý Tits chứng minh vào năm 1972 đặt điểm bắt đầu cho nghiên cứu Định lý sau thường trích dẫn với tên Tits’ Alternative [38]: Đối với trường F bất kỳ, ta có khẳng định sau: (i) Nếu char F = nhóm GLn (F ) chứa nhóm chuẩn tắc giải có số hữu hạn chứa nhóm tự khơng xyclic (ii) Nếu char F = p > nhóm hữu hạn sinh GLn (F ) chứa nhóm chuẩn tắc giải có số hữu hạn chứa nhóm tự khơng xyclic Tại Hội nghị Quốc tế lần thứ Lý thuyết nhóm diễn năm 1973 Canberra, Úc, S Bachmuth [3, p 736] đặt câu hỏi liệu thay trường F vành chia khơng giao hốn D ta có nhận kết giống Định lý Tits không? Trong [29], A L Lichtman chứng minh điều không Cụ thể, ông chứng minh tồn vành chia D mà nhóm nhân D∗ chứa nhóm hữu hạn sinh thỏa mãn đồng thức nhóm khơng tầm thường khơng có nhóm chuẩn tắc giải số hữu hạn Tuy nhiên, Lichtman [29] nhấn mạnh câu hỏi liệu nhóm nhân vành chia có chứa nhóm tự khơng xyclic hay khơng cịn vấn đề mở Để thuận tiện, [13], J Z Gon¸calves A Mandel phát biểu lại câu hỏi Lichtman thành giả thuyết sau: Giả thuyết Nhóm nhân vành chia khơng giao hốn chứa nhóm tự khơng xyclic Hơn nữa, họ cịn đưa giả thuyết tổng quát hơn: Giả thuyết Mọi nhóm chuẩn tắc khơng nằm tâm nhóm nhân vành chia khơng giao hốn chứa nhóm tự khơng xyclic Giả thuyết chứng minh số trường hợp sau: • D vành chia hữu hạn tâm, nghĩa D không gian véctơ hữu hạn chiều chiều tâm ca nú : 1984, Gonácalves [13] ã D l vnh chia có tâm khơng đếm tồn phần tử D không nằm tâm mà đại số tâm: 1995, Reichstein Vonessen [34] • D vành chia có tâm khơng đếm được: 1996, Chiba [8] Đối với Giả thuyết 2, G nhóm chuẩn tắc khơng nằm tâm D∗ G chứa nhóm tự khơng xyclic số trường hợp sau: • G chứa phần tử x ∈ D\F đại số tâm F cho Gal(F (x)/F ) = p x ∈ F, với p = p = char(F ) > 0: 1986, Gonácalvez v Mandel [13] ã D l vành chia hữu hạn tâm: 1984, Gon¸calvez [12] Nếu câu trả lời cho giả thuyết 1, khẳng định hệ chúng, ta nhận lại số kết trước tác giả khác Jacobson, Kaplansky, Hua, Stuth, Herstein hay số kết gần Hải, Thìn, Biên, Đèo Hiện nay, Lý thuyết vành, kết thường gọi định lý giao hoán (commutativity theorems) Các định lý giao hốn kết nhận cố gắng tổng quát hóa định lý tiếng Wedderburn chứng minh năm 1905: “Mọi vành chia hữu hạn trường" Có thể kể vài định lý giao hoán tiêu biểu Lý thuyết vành chia Ở đây, D vành chia với tâm F , G nhóm chuẩn tắc nhóm nhân D∗ D • Nếu D đại số trường hữu hạn D trường: 1945, Jacobson • Nếu D∗ /F ∗ nhóm xoắn D trường: 1951, Kaplansky • Nếu D∗ giải D trường: 1949, Hua • Nếu G giải G ⊆ F : 1964, Stuth Ta kể thêm số kết gần • Nếu D∗ giải địa phương D trường: 2010, Hải-Hà • Nếu D đại số F G giải địa phương G ⊆ F : 2009, Hải-Thìn • Nếu D hữu hạn địa phương yếu G giải địa phương G ⊆ F : 2013, Hải-Thìn Đặc biệt, chúng tơi muốn nhấn mạnh đến giả thuyết Herstein [25] đặt từ năm 1978 đến chưa có câu trả lời trường hợp tổng quát số trường hợp riêng chứng minh [25], [16], [17], [19], [21] Giả thuyết ([25, Herstein]) Mọi nhóm chuẩn tắc D∗ tâm F D nằm F Nhắc lại phần tử x ∈ D tâm F D tồn số nguyên dương n(x) phụ thuộc vào x cho xn(x) ∈ F Một tập D gọi tâm phần tử tâm Rõ ràng, Giả thuyết suy Giả thuyết Như nói trên, Giả thuyết chứng minh số trường hợp riêng, trường hợp tổng quát vấn đề mở Kết tốt B X Hải, M H Biên T T Đèo [21] chứng minh Giả thuyết D vành chia hữu hạn địa phương yếu Vành chia D gọi hữu hạn địa phương yếu tập hữu hạn D sinh vành chia hữu hạn tâm Lớp vành chia hữu hạn địa phương yếu B X Hải, M H Biên T T Đèo chứng minh lớp vành chia rộng nhiều so với lớp vành chia hữu hạn tâm Cụ thể, [21], tác giả chứng minh tồn vô số vành chia hữu hạn địa phương yếu khơng đại số tâm, nghĩa là, nói riêng, khơng hữu hạn địa phương Mục đích khoa học luận án nghiên cứu để tìm câu trả lời cho giả thuyết nói Tuy nhiên, phạm vi nghiên cứu chúng tơi có phần mở rộng theo hai cách sau đây: Thứ nhất: chúng tơi mở rộng khảo sát từ nhóm tuyến tính tổng quát bậc GL1 (D) = D∗ sang nhóm tuyến tính tổng qt GLn (D) bậc n Thứ hai: mở rộng khảo sát từ nhóm chuẩn tắc GL1 (D) sang nhóm gần chuẩn tắc GLn (D) Các kết đạt luận án bao gồm: • Chứng minh (Định lý 2.3.5) Giả thuyết D vành chia hữu hạn địa phương yếu Kết mở rộng đáng kể kết Gon¸calvez năm 1984 ơng chứng minh Giả thuyết lớp vành chia hữu hạn tâm • Chứng minh (Định lý 3.3.5) nhóm gần chuẩn tắc nhóm tuyến tính tổng qt GLn (D) khơng nằm tâm chứa nhóm tự khơng xyclic hai điều kiện sau xảy ra: n = D vành chia khơng giao hốn hữu hạn địa phương yếu n ≥ D không trường hữu hạn địa phương Khái niệm nhóm gần chuẩn tắc Hartley [15] đưa vào năm 1989 Nhóm H G gọi gần chuẩn tắc G, ký hiệu H asn G, tồn dãy nhóm H = Hr ≤ Hr−1 ≤ ≤ H1 = G cho với < i ≤ r, Hi chuẩn tắc có số hữu hạn Hi−1 Trong [22, Example 8], Harzat Wadsworth đưa ví dụ vành chia mà nhóm nhân chứa nhóm tối đại khơng chuẩn tắc có số hữu hạn Điều chứng tỏ nhóm nhân vành chia chứa nhóm gần chuẩn tắc không chuẩn tắc Như vậy, phần thứ Định lý 3.3.5 tổng quát Định lý 2.3.5 Phần hai Định lý 3.3.5 khảo sát nhóm nhóm tuyến tính tổng qt bậc ≥ Một kết bất ngờ mà nhận n ≥ 2, nhóm G nhóm tuyến tính tổng qt GLn (D) gần chuẩn tắc G chuẩn tắc (Định lý 3.2.3) Các nhóm chuẩn tắc khơng nằm tâm nhóm tuyến tính tổng qt GLn (D), với n ≥ chứng minh ln chứa nhóm tự khơng xyclic ngoại trừ trường hợp D trường hữu hạn địa phương (xem [37, 4.5.1]) Như vậy, vấn đề tồn nhóm tự khơng xyclic nhóm gần chuẩn tắc GLn (D), với n ≥ giải hoàn toàn Ngoài phần Tổng quan, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận án trình bày chương với nội dung tóm tắt sau: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi tóm tắt số kiến thức nhóm, vành, trường vành chia để tiện cho việc theo dõi chương sau Đặc biệt, chúng tơi trình bày khái niệm vành chia hữu hạn địa phương yếu [9] Đây lớp vành chia mà quan tâm nghiên cứu luận án Bên cạnh việc trình bày định nghĩa, chúng tơi nhấn mạnh lớp vành chia hữu hạn địa phương yếu thực chứa lớp vành chia hữu hạn địa phương phần mình, lớp vành chia hữu hạn địa phương lại thực chứa lớp vành chia hữu hạn tâm Điều cho thấy, việc tổng quát hóa kết từ lớp vành chia hữu hạn tâm sang lớp vành chia hữu hạn địa phương yếu (là việc làm luận án này) thực có ý nghĩa khoa học • Chương 2: Nhóm tự vành chia hữu hạn địa phương yếu Chương dành cho việc chứng minh Giả thuyết vành chia hữu hạn địa phương yếu Kết Chương mở rộng mạnh kết mà Gon¸calvez nhận năm 1984 ông chứng minh Giả thuyết vành chia hữu hạn tâm • Chương 3: Nhóm tự nhóm gần chuẩn tắc nhóm tuyến tính tổng qt vành chia Trong chương này, mở rộng việc nghiên cứu Giả thuyết sang nhóm gần chuẩn tắc nhóm tuyến tính tổng qt GLn (D) vành chia D Một kết bất ngờ mà nhận n ≥ 2, nhóm gần chuẩn tắc GLn (D) chuẩn tắc Trong đó, giới thiệu phía trên, nhóm D∗ = GL1 (D) tồn nhóm gần chuẩn tắc không chuẩn tắc Ở chương này, sử dụng phương pháp nghiên cứu khác với phương pháp dùng Chương Đó là, chúng tơi dùng đồng thức nhóm suy rộng cơng cụ để nghiên cứu cấu trúc nhóm tuyến tính vành chia Nhờ tính phổ quát khái niệm đồng thức nhóm suy rộng, chúng tơi nhận kết tổng quát kết nhận Chương Chương dành phần để mơ tả nhóm vơ hạn, gần chuẩn tắc, hữu hạn sinh nhóm tuyến tính vành chia Giả thuyết Mọi nhóm chuẩn tắc khơng nằm tâm nhóm nhân vành chia khơng giao hốn chứa nhóm tự không xyclic Trong luận án này, dành Chương để trình bày nghiên cứu Giả thuyết Kết thu chứng minh Giả thuyết vành chia hữu hạn địa phương yếu Chương mở rộng khảo sát vấn đề Giả thuyết nhóm gần chuẩn tắc nhóm tuyến tính tổng qt GLn (D) Kết nhận chương mở rộng kết Chương Từ gợi ý cho ta nghiên cứu vấn đề rộng vấn đề đặt Giả thuyết 2, là: nhóm gần chuẩn tắc không nằm tâm nhóm nhân vành chia khơng giao hốn chứa nhóm tự khơng xyclic Như giới thiệu phần Tổng quan, giả thuyết sau Herstein hệ Giả thuyết Giả thuyết ([25, Herstein]) Mọi nhóm chuẩn tắc D∗ tâm F D nằm F Nhắc lại Giả thuyết Herstein đưa năm 1978 đến kết tốt đạt chứng minh vành chia hữu hạn địa phương yếu Do Giả thuyết hệ Giả thuyết nên từ Định lý 3.3.4, suy ra: D vành chia hữu hạn địa phương yếu nhóm gần chuẩn tắc D∗ tâm F D nằm F Cũng Giả thuyết 2, ta mở rộng nghiên cứu Giả thuyết sang nhóm gần chuẩn tắc, cụ thể nghiên cứu giả thuyết: nhóm gần chuẩn tắc D∗ tâm F D nằm F Cuối cùng, nhận xét rằng, Giả thuyết hệ Giả thuyết 2, việc nghiên cứu cần tiến hành song song hai giả thuyết Chúng ta ngồi chờ nghiên cứu Giả thuyết để nhận kết Giả thuyết Đơn giản hồn tồn xảy tình Giả thuyết Giả thuyết sai Thậm chí hai giả thuyết khơng nên chờ đợi kết nghiên cứu Giả thuyết gác lại nghiên cứu Giả thuyết 3, khơng biết trước điều xảy ra: Giả thuyết hay Giả thuyết giải trước Đối với nhóm gần chuẩn tắc nhóm tuyến tính tổng qt GLn (D), từ kết đạt Định lý 3.3.5, suy kết nhóm tâm nhóm giải GLn (D) Định lý 3.4.7 Cho D vành chia tâm F Giả sử G nhóm gần chuẩn tắc GLn (D), n ≥ G F G giải Khi đó, G nằm F điều sau thỏa mãn: (1) D vành chia hữu hạn địa phương yếu khơng giao hốn 38 (2) n ≥ D không trường hữu hạn địa phương Chứng minh Được suy từ Định lý 3.3.5 Cuối cùng, áp dụng Định lý 3.3.5, ta nhận kết Định lý 3.4.8 Giả sử D vành chia hữu hạn địa phương yếu thỏa mãn điều kiện sau đây: (1) D khơng giao hốn (2) n ≥ D không trường hữu hạn địa phương Khi đó, nhóm gần chuẩn tắc G GLn (D) chứa nhóm giải hữu hạn gần chuẩn tắc tối đại F ∩ G Chứng minh Giả sử H nhóm gần chuẩn tắc, giải hữu hạn G Khi đó, H nhóm gần chuẩn tắc, giải hữu hạn GLn (D) Gọi T nhóm chuẩn tắc, giải H cho H/T hữu hạn Theo Định lý 3.4.7, T ⊆ F Vì vậy, xl ∈ F với x ∈ H l số T H Do đó, H thỏa mãn đồng thức nhóm xl y l x−l y −l = Nếu H khơng nằm tâm từ Bổ để 3.1.5, GLn (D) thỏa mãn đồng thức nhóm suy rộng GLn (D) w(x1 , x2 , , xm ) = a1 xαi11 a2 xαi22 at xαitt at+1 = Giả sử ta xây dựng vành chia hữu hạn tâm D1 D chứa tất hệ số ma trận , ≤ i ≤ t + 1, với tâm vô hạn F1 = Z(D1 ) Khi đó, GLn (D1 ) thỏa mãn đồng thức nhóm suy rộng GLn (D1 ) w(x1 , x2 , , xm ) = Theo Định lý 3.1.6, H ⊆ F1 H khơng chứa nhóm tự khơng xyclic Áp dụng Định lý 3.3.5, H nằm tâm F , điều vơ lý Do H ⊆ F ∩ G Vậy, định lý chứng minh ta xây dựng vành chia D1 Gọi S tập tất hệ số ma trận a1 , a2 , , at+1 Ta xét trường hợp sau (1) D vành chia hữu hạn địa phương yếu khơng giao hốn: Lấy phần tử x, y ∈ D cho xy = yx gọi D1 vành chia D sinh S ∪ {x, y} Ta có D1 vành chia cần xây dựng (2) D trường có đặc trưng 0: Lấy D1 = D (3) D trường có đặc trưng p > D khơng trường hữu hạn địa phương: Khi đó, D không đại số trường nguyên tố Fp Gọi u ∈ D cho u không đại số Fp Ta thấy D vô hạn cần chọn D1 = D 39 3.5 Nhóm gần chuẩn tắc hữu hạn sinh GLn(D) Trong mục này, chúng tơi nghiên cứu nhóm hữu hạn sinh GLn (D) với số điều kiện kèm theo Nếu D = F trường theo Tits’Alternative, nhóm hữu hạn sinh GLn (F ) chứa nhóm tự khơng xyclic giải hữu hạn Bây giờ, giả sử G nhóm hữu hạn sinh GLn (D), D vành chia khơng giao hốn Trong [31], tác giả chứng minh D vành vành chia vô hạn, hữu hạn tâm G nhóm chuẩn tắc GLn (D), n ≥ G nằm tâm F Nếu n = D vành chia khơng giao hốn kiểu khơng có nhóm hữu hạn sinh D∗ chứa tâm D Nhắc lại D vành chia kiểu vành chia F (x, y) sinh F hai phần tử x, y ∈ D không gian vector hữu hạn chiều F Trong mục này, mở rộng kết với D vành chia hữu hạn địa phương yếu G nhóm gần chuẩn tắc GLn (D) Tuy Định lý 3.2.3 chúng tơi chứng minh nhóm gần chuẩn tắc GLn (D) chuẩn tắc n ≥ kết sử dụng "gần chuẩn tắc" thay cho "chuẩn tắc" nhóm GLn (D), n ≥ để tiện cho việc kết hợp với kết trường hợp n = Định lý 3.5.1 Cho D vành chia hữu hạn địa phương yếu giả sử G nhóm gần chuẩn tắc D∗ Nếu G hữu hạn G ⊆ F Chứng minh Đặt D1 = F (G) vành chia D sinh G F Khi đó, G nhóm gần chuẩn tắc D1∗ Nếu F hữu hạn D1 hữu hạn nên G giao hốn G nằm tâm Nếu F vơ hạn tâm D1 vơ hạn theo Định lý 3.1.6, G nằm tâm Chú ý 3.5.2 Đặt H =< a1 , a2 , , am > nhóm hữu hạn sinh GLn (D) với D vành chia Ký hiệu S tập tất hệ số ma trận , a−1 i gọi D1 vành chia D sinh S Khi đó, H ⊆ GLn (D1 ) Cho G nhóm GLn (F ), F trường a ∈ GLn (F ) Dễ dàng thấy a + xIn không khả nghịch với hữu hạn giá trị x ∈ F Nếu a + xIn khơng khả nghịch định thức |a + xIn | a + xIn đa thức bậc n theo biến x có hữu hạn x ∈ F để |a + xIn | = Giả sử H nhóm gần chuẩn tắc G H = Hr ≤ Hr−1 ≤ ≤ H1 = G dãy gần chuẩn tắc G Với a, b ∈ H x ∈ F cho b + xIn khả nghịch, đặt c1 (a, b, x) := (b + xIn )a(b + xIn )−1 ; với < i ≤ r, ta định nghĩa ci theo cách quy nạp sau: Hi chuẩn tắc Hi−1 ci (a, b, x) := ci−1 bc−1 i−1 , trường li hợp lại, đặt ci (a, b, x) := ci−1 , với li = ri ! ri số Hi Hi−1 40 Bổ đề 3.5.3 Với ci (a, b, x) Khi đó, ci = (b+xIn )wi (a, b)(b+xIn )−1 , wi (a, b) từ rút gọn gồm phần tử a, b, a−1 , b−1 bắt đầu, kết thúc a a−1 Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo ≤ i ≤ r Nếu i = 1, w1 (a, b) = (b + xIn )−1 c1 (b + xIn ) = a Giả sử ci = (b + xIn )wi (a, b)(b + xIn )−1 , với wi (a, b) từ rút gọn bắt đầu kết thúc a a−1 , với ≤ i < r Ta chứng minh ci+1 (a, b, x) = (b + xIn )wi+1 (a, b)(b + xIn )−1 , với wi+1 (a, b) từ rút gọn bắt đầu kết thúc a a−1 Xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu Hi+1 chuẩn tắc Hi , ta có ci+1 (a, b, x) = ci bc−1 i = ((b + xIn )wi (a, b)(b + xIn )−1 )b((b + xIn )wi (a, b)(b + xIn )−1 )−1 = (b + xIn )wi (a, b)bwi (a, b)−1 (b + xIn )−1 = (b + xIn )wi+1 (a, b)(b + xIn )−1 , với wi+1 = wi (a, b)bwi (a, b)−1 Trường hợp 2: Nếu Hi+1 có số hữu hạn ri+1 Hi , ta có ci+1 (a, b, x) = ci (a, b, x) i+1 = ((b + xIn )wi (a, b)(b + xIn )−1 ) i+1 = (b + xIn )wi (a, b) i+1 (b + xIn )−1 = (b + xIn )wi+1 (a, b)(b + xIn )−1 , với wi+1 = wi (a, b) i+1 Định lý 3.5.4 Cho D vành chia hữu hạn địa phương yếu giả sử G nhóm gần chuẩn tắc vô hạn GLn (D) Nếu G hữu hạn sinh G ⊆ F Chứng minh Giả sử G nhóm hữu hạn sinh khơng nằm tâm GLn (D) Bởi Chú ý 3.5.2, không tính tổng qt, ta xem D vành chia hữu hạn tâm với D : F ] = t < ∞ Trước tiên, ta chứng minh G chứa nhóm tự khơng xyclic cách D G thỏa điều kiện Định lý 3.3.5 Thật vậy, char(F ) = p > D = F trường đại số trường nguyên tố Fp thì, với ma trận a = (aij ) ∈ GLn (F ), trường K F sinh Fp tất hệ số aij trường hữu hạn, kéo theo a ∈ GLn (K) phần tử xoắn Theo Định lý 1.2.3, G nhóm hữu hạn, mâu thuẫn Vậy, D G thỏa điều kiện Định lý 3.3.5, đó, G chứa nhóm tự khơng xyclic Từ nhận xét đầu chứng minh, ta xem G nhóm GLnt (F ) Hơn nữa, từ Chú ý 3.5.2, suy G xem nhóm GLnt (P (S)), với P trường nguyên tố F S tập hữu hạn F Vì G vơ hạn nên P (S) vơ hạn Ta có hai trường hợp sau: Trường hợp 1: char(P ) > 41 Đặt S = {α1 , α2 , , αh } Vì P (S) khơng hữu hạn nên tồn số i0 lớn cho α := αi0 không đại số P (α1 , α2 , , αi0 −1 ) Nếu đặt K = P (α1 , α2 , , αi0 −1 ) L = K(α), [P (S) : L] = s < ∞ Vì vậy, G xem nhóm GLnts (L) Vì α khơng đại số K, nên L trường thương K[α] Khi đó, tồn tập hữu hạn u1 (α) u2 (α) um (α) T = , ,··· , v1 (α) v2 (α) vm (α) L cho GLnts (K[α][T ]) chứa G Lưu ý v1 (α), u1 (α), · · · , vm (α), um (α) phần tử K[α] cho vi (α) ui (α) nguyên tố với i Lấy phần tử a, b ∈ G cho a, b nhóm tự khơng xyclic G Ma trận b + xInts không khả nghịch với hữu hạn phần tử x ∈ K[α][T ] Lấy x ∈ K[α][T ] cho b + xInt khả nghịch Theo 3.5.3, cr (a, b, x) = (b + xInts )wr (a, b)(b + xInts )−1 ∈ GLnts (K[α][T ]) Ta khẳng định tất phần tử cr (a, b, x) không phụ thuộc vào x Thật vậy, giả sử tồn phần tử vị trí (i, j) cr (a, b, x) phụ thuộc vào x Khơng tính tổng qt, ta giả sử (i, j) = (1, 1) Định thức b + xInts đa thức f (x) biến x có bậc q = nts, vị trí (1, 1) có dạng g(x) bq xq + bq−1 xq−1 + · · · + b0 = q ∈ K[α][T ] f (x) x + cq−1 xq−1 + · · · + c0 Giả sử bq = um+1 (α) vm+1 (α) Khi g(x) um+1 (α) − bq ∈ K[α][T ∪ { }] f (x) vm+1 (α) Dễ thấy bậc fg(x) − bq nhỏ q Vì vậy, khơng tính tổng qt, ta (x) giả sử bq = 0, nghĩa là, g(x) bq−1 xq−1 + · · · + b0 ∈ K[α][T ] = q f (x) x + cq−1 xq−1 + · · · + c0 Ta có c0 định thức b khả nghịch GLnts (K[α][T ]), c0 = Đặt g1 (x) c−1 g(x) = −1 , f1 (x) c0 f (x) −1 q −1 q−1 q−1 Khi đó, g1 (x) = c−1 +· · ·+c−1 +· · ·+1 Gọi bq−1 x b0 f1 (x) = c0 x +c0 cq−1 x w1 (α), · · · , w (α) tất nhân tử nguyên tố v1 (α), u1 (α), · · · , vm (α), um (α) đặt x(α) = (w1 (α)w2 (α) · · · wl (α))p Vì bậc g1 (x) nhỏ bậc f1 (x) p đủ lớn, bậc mẫu số f1 (x(α)) theo α lớn bậc tử số g1 (x(α)) nên tồn i cho f1 (x(α)) bội wi (α) Vì vậy, bội wi (α), ta có mâu thuẫn Vậy, cr (a, b, x) khơng phụ thuộc 42 vào x Khi đó, cr (a, b, 0) = cr (a, b, y), với y ∈ K[α]\{0} cho b + yIq khả nghịch Vì vậy, bwr (a, b)b−1 = (b + yIq )wr (a, b)(b + yIq ), kéo theo bwr (a, b)b−1 = wr (a, b), mà điều mâu thuẫn a, b hai phần tử sinh nhóm tự không xyclic Trường hợp 2: char(P ) = Nếu P (S) khơng đại số Q tương tự trên, ta có P (S) chứa trường L1 = K1 (β) cho [P (S) : L1 ] = s1 < ∞, với K1 trường P (S) β không đại số K1 Lặp lại chứng minh thay K(α) K1 (β), ta có điều mâu thuẫn Nếu P (S) đại số Q G xem nhóm GLr (Q) Vì G hữu hạn sinh nên tồn T = a1 a2 am , ,··· , b1 b2 bm ⊆Q cho , bi nguyên tố G ≤ GLr (Z[T ]) Chứng minh tương tự Trường hợp 1, ta có điều mâu thuẫn, từ định lý chứng minh 43 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN Dưới đây, liệt kê kết trình bày luận án Những kết cơng bố tạp chí quốc tế (Định lý 2.1.2) Cho D vành chia hữu hạn địa phương yếu tâm F G nhóm D∗ Khi đó, phát biểu sau tương đương: i) G khơng chứa nhóm tự không xyclic ii) G (giải hữu hạn) địa phương iii) G (giao hoán hữu hạn) địa phương iv) Mọi nhóm hữu hạn sinh G thỏa mãn đồng thức nhóm (Bổ đề 2.1.4) Cho D vành chia đại số tâm F Nếu G nhóm chuẩn tắc giải địa phương hữu hạn địa phương D∗ G ⊆ F (Bổ đề 2.1.5) Cho D vành chia hữu hạn địa phương yếu tâm F Nếu G nhóm chuẩn tắc giải địa phương hữu hạn địa phương D∗ G ⊆ F Hai kết mở rộng Định lý Stuth (Định lý 2.3.5) Cho D vành chia hữu hạn địa phương yếu tâm F Nếu G nhóm chuẩn tắc khơng nằm tâm F G chứa nhóm tự không xyclic Đây trường hợp cho Giả thuyết Gon¸calves - Mandel: Mọi nhóm chuẩn tắc khơng nằm tâm nhóm nhân vành chia khơng giao hốn chứa nhóm tự không xyclic (Định lý 3.1.6) Cho D vành chia với tâm F vô hạn giả sử G nhóm gần chuẩn tắc GLn (D) Nếu G thỏa mãn đồng thức nhóm suy rộng GLn (D) G nằm tâm F (Định lý 3.2.3) Cho D vành chia vô hạn tâm F n ≥ Giả sử N nhóm GLn (D) khơng nằm tâm F Khi đó, phát biểu sau tương đương: 44 (1) N nhóm gần chuẩn tắc GLn (D) (2) N nhóm chuẩn tắc GLn (D) (3) N nhóm chuẩn tắc GLn (D) (4) N chứa SLn (D) (Định lý 3.3.5) Cho D vành chia giả sử N nhóm gần chuẩn tắc GLn (D) khơng nằm tâm Khi đó, N chứa nhóm tự khơng xyclic điều kiện sau thỏa mãn: (1) D vành chia hữu hạn địa phương yếu khơng giao hốn (2) n ≥ D khơng trường hữu hạn địa phương (Mệnh đề 3.4.1) Cho D vành chia tâm F giả sử G nhóm gần chuẩn tắc D∗ Nếu G\F chứa phần tử xoắn G chứa nhóm tự khơng xyclic (Định lý 3.4.4) Cho D vành chia đại số tâm F giả sử G nhóm gần chuẩn tắc D∗ Nếu G chứa nhóm lũy linh hữu hạn khơng giao hốn G chứa nhóm tự khơng xyclic 10 (Định lý 3.5.1) Cho D vành chia hữu hạn địa phương yếu tâm F giả sử G nhóm gần chuẩn tắc D∗ Nếu G hữu hạn G ⊆ F 11 (Định lý 3.5.4) Cho D vành chia hữu hạn địa phương yếu giả sử G nhóm gần chuẩn tắc vơ hạn GLn (D) Nếu G hữu hạn sinh G ⊆ F 45 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT CỦA LUẬN ÁN Luận án trình bày số kết xoay quanh giả thuyết Gon¸calves Mandel tồn nhóm tự khơng xyclic nhóm chuẩn tắc vành chia Giả thuyết nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu từ năm 1984, nhiên chưa giải trọn vẹn Trong luận án này, mạnh kết đạt trước đó, chúng tơi làm việc sau đây: • Đưa câu trả lời xác định cho Giả thuyết Gon¸calves - Mandel nhóm chuẩn tắc vành chia hữu hạn địa phương yếu (Định lý 2.3.5) • Mở rộng Giả thuyết Gon¸calves - Mandel cho nhóm gần chuẩn tắc nhóm tuyến tính vành chia: chứng minh tồn nhóm tự khơng xyclic nhóm gần chuẩn tắc nhóm tuyến tính vành chia hữu hạn địa phương yếu (Định lý 3.3.5) Lớp vành chia hữu hạn địa phương yếu chứng minh mở rộng thực lớp vành chia hữu hạn địa phương [21] không trùng với lớp vành chia đại số tâm Do đó, tiếp sau luận án này, nghiên cứu sau có ý nghĩa thực quan trọng: • Nghiên cứu Giả thuyết Gon¸calves - Mandel cho lớp vành chia đại số trờn tõm ã M rng Gi thuyt Gonácalves - Mandel cho nhóm gần chuẩn tắc nhóm tuyến tính vành chia đại số tâm • Nghiên cứu khả đưa câu trả lời xác định cho Giả thuyết Gon¸calves Mandel trường hợp tổng quát Ngoài vấn đề nêu trên, khả mở rộng nghiên cứu toán tương tự sang cấu trúc đại số khác điều tự nhiên Trước mắt, chúng tơi nghĩ đến tốn sau đây: • Nghiên cứu vấn đề tương tự Giả thuyết Gon¸calves - Mandel đại số nhóm F G trường F , G nhóm • Trong chương cịn có kết quả: Cho D vành chia với tâm F vơ hạn Giả sử G nhóm gần chuẩn tắc GLn (D) Nếu G thỏa mãn đồng thức nhóm suy rộng GLn (D) G nằm tâm F Như vậy, liệu có 46 thể mơ tả nhóm thỏa mãn đồng thức suy rộng GLn (D), D vành chia khơng? Đó đề tài nghiên cứu chúng tơi 47 Danh mục cơng trình tác giả Hai B X., Ngoc N K., A note on the existence of non-cyclic free subgroups in division rings, Arch Math (Basel) 101 (2013), 437-443 N K Ngoc, M H Bien, B X Hai, Free subgroups in almost subnormal subgroups of general skew linear groups, Algebra i Analiz, 28:5 (2016), 220-235; St Petersburg Math J., Vol 28 (2017), No 5, pages 707-717, http://dx.doi.org/10.1090/spmj/1468 48 Các kết luận án báo cáo Hội nghị Khoa học Seminar Hội nghị ĐẠI SỐ-HÌNH HỌC-TƠ PƠ 2014, Tuần Châu 18-21/12/2014 Hội nghị "Nhóm, biểu diễn nhóm vấn đề liên quan", Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh, 27-28/11/2013 Hội nghị Khoa học lần thứ 10, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh, 11/11/2016 The 2017 International Conference on Algebra and Geometry (ICAG 2017), Bangkok, Thailand, May 31, 2017 - June 1, 2017 49 Tài liệu tham khảo [1] A S Amitsur and J Levitzki, Minimal identities for algebras, Proc Amer Math Soc., 1:4 (1950), 449-463 [2] E Artin, Geometric Algebra, Inc., New York, Interscience Publishers Lmd, London, 1957 [3] Proceedings of the Second International Conference on the Theory of Groups (Canberra, Australia, 1973), Lecture Notes in Math., Vol 372, Springer-Verlag, Berlin and New York (1974) MR # 9054 [4] J P Bell, V Drensky, Y Sharifi, Shirshov’s theorem and division rings that are left algebraic over a subfield, J Pure Appl Algebra, 217, (2013), 9, 1605-1610 [5] M H Bien, D H Dung, On normal subgroups of division rings which are radical over a proper division subring, Studia Sci Math Hungar., 51, (2014), No 2, 231– 242 [6] M H Bien, On some subgroups of D∗ which satisfy a generalized group identity, Bull Korean Math Soc., 52, (2015), No 4, 1353-1363 [7] M H Bien, D Kiani, M Ramezan-Nasad, Some skew linear groups satisfying generalized group identities, Comm in Algebra, 44, (2016), 2362-2367 [8] K Chiba, Free subgroups and free subsemigroups in division rings J Algebra, 184, (1996) 570-574 [9] T T Deo, M H Bien, B X Hai, On radicality of maximal subgroups in GL( n, D), J Algebra 365 (2012) 42-49 [10] P K Draxl, Skew Fields, Cambridge University Press, 1983 [11] I Z Golubchik and A V Mikhalev, Generalized group identities in the classical groups, Zap Nauch Semin LOMI AN SSSR, 114, (1982) 96–119 [12] J Z Gon¸calves, Free groups in subnormal subgroups and the residual nilpotence of the group of units of group rings Canad Math Bull., 27, (1984) 365-370 50 [13] J Z Gon¸calves, A Mandel, Are the free groups in division rings? Israel J Math., 53, (1986), 69-80 [14] J Z Gon¸calves, M Shirvani, Algebraic elements as free factors in simple Artinian rings, Contemp Math., 499, (2009), 121–125 [15] B Hartley, Free subgroups in normal subgroups of units and arithmetic groups, Contemp Math., 93, (1989) 173-177 [16] B X Hai and L K Huynh, On subnormal subgroups of the multiplicative group of a division ring, Vietnam J.of Math., Vol 32, No 1, 21-24 (2004) [17] On subnormal and maximal subgroups in division rings, Southeast Asian Bull of Math., Vol 32, No 5, 931-937 (2008) [18] B X Hai and N V Thin, On Locally Nilpotent Subgroups of GL1 (D), Comm in Algebra, 37, (2009), 712-718 [19] B X Hai, T T Deo and M H Bien, On subgroups of division rings of type 2, Studia Sci Math Hungar., 49, (2012), No 4, 549–557 [20] Hai B X., Ngoc N K., A note on the existence of non-cyclic free subgroups in division rings, Arch Math (Basel) 101 (2013), 437-443 [21] B X Hai, M H Bien, T T Deo, On the Gelfand-Kirillov dimension of weakly locally finite division rings, arXiv: 1510.08711 v1 [math.RA], 29 Oct 2015 [22] R Harzat and A R Wadsworth, On maximal subgroups of the multiplicative group of a division algebra, J Algebra, 322, (2009), 2528-2543 [23] R Hazrat, M Mahdavi-Hezavehi, M Motiee, Multiplicative groups of division rings, Math Proc R Ir Acad., 114A, (2014), 37–114 [24] I N Herstein, C Procesi and M Schacher, Algebraic valued functions on noncommutative rings, J Algebra, 36, (1975), No 1, 128–150 [25] I N Herstein, Multiplicative Commutators in Division Rings, Israel J Math., 31, (1978), No 2, 180–188 [26] L K Hua, On the multiplicative group of a field, Acad Sinica Science, Vol (1950), 1–6 [27] I Kaplansky, Rings with a polynomial identity, Bull Amer Math Soc., 54, (1948), 575-580 [28] T Y Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1991 51 [29] A I Lichtman, On the subgroups of the multiplicative group of skew fields, Proceeding A M S., 63, (1977), 15-16 [30] A I Lichtman, Free subgroups of normal subgroups of the multiplicative group of skew fields, Proc Amer Math Soc., 71, (1978), No 2, 174–178 [31] M Mahdavi-Hezavehi, M G Mahmudi, M G, S Yasamin, Finitely generated subnormal subgroups of GLn (D) are central, J Algebra, 225, (2000), No 2, 517– 521 [32] M Mahdavi-Hezavehi, Free Subgroups in Maximal Subgroups of GL1 (D), J Algebra, 241, 720-730, (2001) [33] N K Ngoc, M H Bien, B X Hai, Free subgroups in almost subnormal subgroups of general skew linear groups, Algebra i Analiz, 28:5 (2016), 220-235 [34] R Reichstein and N Vonessen, Free subgroups of division algebras, Comm in Algebra, 23, (1995), 2181-2185 [35] [41] C J Stuth, A generalization of the Cartan-Brauer-Hua Theorem, Proc Amer Math Soc., Vol 15 (1964), No 2, 211-217 [36] W R Scott, Group Theory, Dover Pulications, INC, NewYork, 1964 [37] M Shirvani and B A F Wehrfritz, Skew Linear groups, Cambridge Univ Press, Cambridge, 1986 [38] J Tits, Free subgroups in linear groups, J Algebra, 20, (1972), 250-270 [39] G M Tomanov, Generalized group identities in linear groups, Math Sbornik, 51, (1985), 33–46 [40] B A F Wehrfritz, 2-generator conditions in linear groups, Arch Math., 22, (1971), 237–240 [41] B A F Wehrfritz, Infinite linear groups, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1973 [42] B A F Wehrfritz, A note on almost subnormal subgroups of linear groups, Proc Amer Math Soc., 117, (1993), No 1, 17–21 52 ... Nhóm tự nhóm gần chuẩn tắc nhóm tuyến tính tổng quát vành chia 3.1 Nhóm gần chuẩn tắc với đồng thức nhóm suy rộng 3.2 Nhóm gần chuẩn tắc GLn (D) nhóm chuẩn tắc 3.3 Nhóm tự nhóm gần... vành chia vành chia hữu hạn tâm vành chia hữu hạn tâm Chứng minh Giả sử D vành chia hữu hạn tâm, nghĩa [D : F ] = n < ∞ Xem D vành vành ma trận Mn (F ) áp dụng Định lý 1.3.4, ta thấy D vành chia. .. Giả sử D vành chia hữu hạn địa phương tâm F Gọi K vành chia sinh tập hữu hạn ∅ = S ⊆ D Khi đó, K vành chia vành chia F (S) Vì F (S) vành chia hữu hạn tâm nên theo Định lý 1.3.6, K vành chia hữu