Đề Tài : Về sự tồn tại nhóm con chuẩn tắc tối đại trong vành chia doc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN o0o TRẦN THANH LỘC VỀ SỰ TỒN TẠI NHÓM CON CHUẨN TẮC TỐI ĐẠI TRONG VÀNH CHIA Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Bùi Xuân Hải TP. HỒ CHÍ MINH - 2011 LỜI CẢM ƠN Trong những dòng đầu tiên của luận văn này, tôi kính gửi những tình cảm tốt đẹp nh ất và lòng biết ơn chân thành của mình đến PGS. TS. Bùi Xuân Hải, trưởng bộ môn Đại Số, khoa Toán - T i n học, trường Đại học Kh o a Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia thành phố Hồ Chí M i n h , ngư ơ øi thầy đã dạy dỗ tôi trong những n ăm ở bậc Đại học, Cao học, và cũng là người đã hết lòng tận tụy hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Xin được kh ắc ghi công ơn g i ản g dạy của tất cả các thầy cô trong khoa Toán-Tin học của trườn g Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia thành phố Hồ Chí Minh. Các thầy cô đã dành cho tôi tất cả tấm lòng ``người thầy'' trong nhữn g năm học ở bậc Đại học và Cao học. Chính những kiến thức mà to âi tiếp th u được từ thầy cô trong suốt những năm qua là nền tảng hết sức quan trọng để tôi có thể hoàn thành được l u ận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô tron g Ban Giám Hiệu nhà trường, Ban C h u û Nhiệm khoa Toán - Tin h o ïc, Phòng Sau Đại ho ïc của trường Đại học Khoa Học T ư ï Nh i e ân , Đại Học Quốc Gia thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập Cao học. Xin cảm ơn tất cả các bạn trong lớp Cao học Toán Đại Số khóa 18 của trường Đại học Khoa Học Tư ï Nhiên. Cuối cùng, tôi xin dành tất cả những gì thân thương nhất, trong đó có lòn g b i e át ơn sâu lắng nhất cho gia đình và cũn g xin được dành tặng tất cả nh ư õn g cố gắng, thành công này như món quà tinh thần cho gia đình của tôi. Thành phố H o à Ch í Minh, tháng 5 năm 2011 Tác giả Trần Thanh Lộc MỤC LỤC 1 TỔNG QUAN 3 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN 6 2.1 Ánh xạ Valuati o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Đại số chia và vành chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Nhóm chia được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Nhóm Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 SỰ TỒN TẠI NHÓM CON CHUẨN TẮC TỐI Đ A ÏI TRONG V A ØN H CHIA 24 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 Chương 1 TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát sự tồn tại của các nhóm con tối đại chuẩn tắc trên vành ch i a và một số tính chất của các nhóm này qua các bươ ùc sau: Cho D là một đại số chia hữu hạn chiều có tâm F , D  là nhóm hoán tử của nhóm nhân D ∗ = D − {0}. Trong luận văn này chúng tôi sẽ chứng minh sự to àn tại của các nho ùm con tối đại trong F ∗ có li e ân hệ chặt chẽ đến sự tồn tại của chúng trong D ∗ . Bước đầu tiên của quá trình này là khảo sát sự tồn tại nhóm con tối đại trên các trường số học như Q, R và C. Cụ thể, ta được R ∗ là nhóm nhân của tập các số thực R chỉ có một nhóm con tối đại li e ân kết với phép tính trò tuyệt đối trên R. Trường hợp khả quan hơ n đối với trường hữu tỷ Q. Ta sẽ chứng min h rằng Q ∗ có nhiều nhóm con tối đại hữu hạn chiều với các valuation trên Q và sau đó ta sẽ chứng minh đối với các trường đóng đại số mà cụ thể là trường số phức C sẽ không tồn tại nhóm con tối đại. Tiếp theo, ta chứng minh rằng nếu tồn tại một A là cyclic đại số trung tâm đơn trên trường F, nghóa là A cyclic và là một đại số Brauer trên F thì F ∗ sẽ chư ùa nh o ùm con tối đại. Từ đó, ta đi đến kết luận là nếu F là trườn g đòa phươn g hoặc trư ơ øn g toàn cục thì F ∗ sẽ có nhóm con tối đại vì các đại số Brauer của F trong trường hợp này đều cyclic. Sau đó, ta sẽ khảo sát tiếp các trường hợp tồn tại nhóm con tối đại trên trường F và thấy rằng nếu Br p (F ) không tầm thường, với p là số nguyên tố, thì khi F có đặc trưng 0, có đặc trưng p hay có đặc trưng khác p nhưng chứa tất cả các nghiệm cấp p của 1 thì F ∗ chứa nho ùm con t o ái đại. Mở rộng kết quả đạt được cho trường, ta sẽ thiết lập sự liên hệ nhóm con tối đại trên trường với nhóm con tối đại chuẩn tắc trên đại số chia D nhận F làm tâm. Mở đầu ta sẽ được kết quả, nếu D là vành chia type 2 và F có một valuation rời rạc thì trong D ∗ sẽ tồn tại nhóm con tối đại, từ đó ta suy ra rằng nếu D là F -đại số chia 3 Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 4 Chuyên ngành Toán Đại số hữu hạn chiều th ì D ∗ cũng có nhóm con tối đại. Sau đó, kết quả sẽ được phát trie ån thành F chỉ cần có Krull valuation và nhóm giá trò của nó có nhóm con tối đại , khi đó mo ïi đại số chia hữu hạn chiều D trên trường F đều có nhóm con chuẩn tắc tối đại. Từ tính chất này, ta có thể kết luận là trong mọi đại số chia D có tâm F với F là trường số học hay trường đòa phương đều tồn tại nhóm con chuẩn tắc tối đại. Tiếp theo, t a sẽ xét trường hợp cụ the å với D là vành chia quaternion thực. Khi đó trong D ∗ không tồn tại nhóm con chuẩn tắc tối đại. Tuy nhiên nếu D là vành chia kho ân g giao hoán t h ì D được xem là Z (D) đại số chia nên đươ ïc dự đoán là sẽ tồn tại nhóm con tối đại trong D ∗ . Cuối cùng ta se õ đi đến đònh lý, với D là vành chia hữu hạn chiều trên tâm F , nếu nhóm G (D) không cyclic thì mọi phần tử của D ∗ được chứa trong một nhóm con chuẩn tắc tối đại; còn ngược lại, nếu F ∗ tồn tại nhóm con tối đại chứa Z (D  ) thì mọi phần tử của D ∗ cũng đươ ïc chứa trong một nhóm con chuẩn tắc tối đại nào đó. Để thực hiện cụ thể các ý tưởng trên, phần còn lại của lu ận văn này được chia thành các phần cụ thể sau: Chương 2: Chúng tôi khảo sát một số kiến thức cơ bản sau: Phần 2.1: Phần này sẽ trình bày về các đònh nghóa và tính chất của ánh xạ valuation trên trường, cụ thể là về Krull valuation, valuation rời rạc, và p-adic valuation. Phần 2.2: Chún g tôi sẽ khảo sát về đại số chia và vành chia cùng một số tính chất có liên quan của các nhóm nhân hoán tử, cộng hoán tử của vành chia. Phần 2.3: C h u ùn g tôi sẽ tìm hiểu sơ lược về các n h o ùm chia được, nhóm torsion và sự tồn tại của nh o ùm co n to ái đại tr e ân nh o ùm chia được. Phần 2.4: Chúng tôi ở phần này sẽ tìm hiểu cụ thể về nhóm Brauer trên trường F và các tính chất của nó, mối liên hệ của các đại số Brauer với các F-đại số trung tâm đơn và thành lập các đại so á Brauer cho trường mở rộng E của F . Và sau đó, chúng t o âi sẽ tìm cách thành lập các F -đại số chia cyclic và một số t í n h chất của chúng. Chương 3: Dựa vào các kết quả đạt được ở những phần trên, chúng tôi sẽ tiến hành khảo sát sự tồn tại của các nhóm con chuẩn tắc tối đại trên trường F và các đại số chia tâm F như ý tưởng đã đề ra. Cuối cùng là phần kết luận cho luận văn và danh mục các tài liệu tham khảo. Luận văn này được thực hiện dựa trên bài báo [1], nhưng các kết quả trong [1] lại được trì n h b ày khá vắn tắt. Do đó, trong luận văn này, chúng tôi sẽ chứng minh Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 5 Chuyên ngành Toán Đại số và kiểm tra mọi thứ một cách chi tiết, rõ ràng và hợp lý nhất. Chương 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN 2.1 Ánh xạ Valuation Đònh ngh ó a 2.1.1. Cho G là m o ät nhóm có thứ tự, ta gọi G ∪ {∞} là một nhóm xạ ảnh với kí tự ∞ nếu nó thõa điều kiện sau: a) ∀a ∈ G, a < ∞; b) ∀a ∈ G, a + ∞ = ∞ + a = ∞. Đònh nghóa 2.1.2 . Cho F là m o ät trườn g và G ∪ {∞} l à một nhóm thứ tự xạ ảnh . Ánh xạ υ : F → G ∪ {∞} được gọi là Krull valuation nếu nó thõa các điều kiện: a) υ (x) = ∞ nếu và chỉ nếu x = 0; b) υ (xy) = υ (x) + υ (y), với mọi x, y ∈ F; c) υ (x + y)  mi n (υ (x) , υ (y)), với mọi x, y ∈ F . Im (υ) được gọi là nhóm giá trò. Hệ quả 2.1.3. Cho υ : F → G ∪ {∞} là một Kru ll valuation, khi đó ta có các tính chất sa u : a) υ (1) = 0; b) υ  a −1  = −υ (a), với mọi a ∈ F ; c) υ (−a) = υ (a) ; 6 Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 7 Chuyên ngành Toán Đại số d) Nếu υ (a) = υ (b) thì υ (a + b) = min (υ (a) , υ (b)) với mọi a, b ∈ F . Chứng minh. (a) Ta có υ (1) = υ (1.1) = υ (1) + υ (1) , suy ra υ (1) = 0. (b) Vì a.a −1 = 1 nên υ  a.a −1  = υ (a) + υ  a −1  = υ (1) = 0, và vì vậy υ  a −1  = −υ (a) . (c) Do υ (1) = 0 nên υ (1) = υ ((−1) . (−1)) = υ (−1) + υ (−1) = 0. Thành thử υ (−1) = 0 và do đó υ (−a) = υ (−1) + υ (a) = υ (a) . (d) Giả sử a, b ∈ F sao cho υ (a) = υ (b). Không mất tính tổng quát, giả sử υ (a) < υ (b). Nếu υ (a + b) = min (υ (a) , υ (b)), nghóa l à υ (a + b) > min (υ (a) , υ (b)), thì υ (a + b) > min (υ (a) , υ (b)) > υ (a). Suy ra υ (a) = υ (a + b − b)  min {υ (a + b) , υ (b)} > υ (a) . Điều này là vô lý nên υ (a + b) = min (υ (a) , υ (b)) . Đònh nghóa 2.1.4. Cho υ : F → G ∪ {∞}, U được gọi là nhóm chứa tất cả các phần tử đơn vò của valuati o n υ nếu nó có dạng U = {a ∈ F, υ (a) = 0} . Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 8 Chuyên ngành Toán Đại số Đònh nghóa 2.1.5 . Giá trò tuyệt đối trên trường F là một ánh xạ x → |x| từ F vào tập các số thực, sao cho với mọi x, y ∈ F, a) |x|  0, đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x = 0; b) |xy| = |x| |y|; c) |x + y|  |x| + |y|. Giá trò tuyệt đối được gọi là phi Archimed nếu c được thay bằng đie àu ki e än mạnh hơn, c') |x + y|  max (|x| , |y|) Ngược lại t a go ïi F là Archimed Đònh ngh ó a 2.1.6 . Valuation rời rạc của F là một ánh xạ υ : F → Z ∪ {∞}, sao cho với mọi x, y ∈ F , ta có: a) υ (x) = ∞ nếu và chỉ nếu x = 0; b) υ (xy) = υ (x) + υ (y), với mọi x, y ∈ F; c) υ (x + y)  mi n (υ (x) , υ (y)), với mọi x, y ∈ F . Một valu at i o n rời rạc sẽ cảm sinh một giá trò tuyệt đối phi archimed bởi công thức |x| = c υ(x) với c là hằng số và 0 < c < 1. Đònh nghóa 2.1.7. F là trường đầy đủ và có valuation rời rạc được gọi là trường đòa phương nếu và ch ỉ nếu trường của các lớp thặng dư của nó là hữu hạn. Đònh nghóa 2.1.8. Cho A là một vành có đơn vò. Ánh xạï ω : A → R + = {r ∈ R : r  0} được gọi là chuẩn nếu nó thỏa các điều kiện sau: a) ω (x) = 0 nếu và chỉ nếu x = 0, b) ω (xy) = ω (x) ω (y) , ∀x, y ∈ A, c) ω (x + y)  ω (x) + ω (y) , ∀x, y ∈ A. Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 9 Chuyên ngành Toán Đại số Điều kiện (c) được gọi là bất đẳng thức tam giác. • ω được gọi là nư ûa chu ẩn ne áu điều kiện (a) và (b) được thay thế bằng các điều kiện sau: a') ω (1) = 1, b') ω (xy)  ω (x) ω (y) , ∀x, y ∈ A. • ω được gọi là non-Archimedian nếu điều kiện (c) được thay thế bằng điều kiện c') ω (x + y)  max {ω (x) , ω (y)} , ∀x, y ∈ R. Đònh nghóa 2.1.9. C h o 0 = x ∈ Z, p-adic valuation của x được đònh ngh ó a bởi công thức υ p (x) = m ax {r : p r |x}  0. Đặc biệt υ p (0) = ∞. Đònh nghóa 2.1.10. Cho a/b ∈ Q. Khi đó, p-adic valuation của a/b được cho bởi υ p  a b  = υ p (a) − υ p (b) . Đònh nghóa nêu trên là đònh nghóa tốt, nghóa l à nếu a  b  = a b thì υ p  a b  = υ p  a  b   . Chứng minh. Ta có a b = k 1 p r k 2 p t = a  b  = l 1 p r  l 2 p t  với r, t, r  , t  là số mũ cao nhất của p trong a, b, a  , b  . Suy ra gcd(k 1 , p) = gcd(k 2 , p) = gcd(l 1 , p) = gcd(l 2 , p) = 1. Từ đó dẫn đến k 1 k 2 = l 1 l 2 và p r p t = p r  p t  hay p r−t = p r  −t  . Từ đó ta được υ p (a/b) = υ p (a  /b  ). [...]... đoán rất có ý nghóa l : Nếu D là một vành chia không giao hoán thì D ∗ chứa một nhóm con tối đại Trong trường hợp tổng quát, mọi phần tử a ∈ F không nhất đònh phải được chứa trong nhóm con tối đại Cụ thể là những số âm trong R không được chứa trong nhóm con tối đại nào của R do R chỉ có một nhóm con tối đại là R + (bổ đề 3.1) Tuy nhiên, đối với các đại số chia hữu hạn chiều trên F , trong một số điều kiện... (x) , ) là đẳng cấu nhóm Do đó tồn tại quan hệ 1 - 1 giữa các nhóm con tối đại củaQ ∗ và G Cho M là nhóm con tối đại của Q∗ và nhóm con tối đại tương ứng với nó trên G là GM Do đó, tồn tại số nguyên tố q sao cho G/GM ∼ Zq và ta có qG ⊆ GM Ta xét = các trường hợp sau: Trường hợp 1: q GM /Z2 ⊕ ⊕+∞ qZ(i) i=1 3, từ qG ⊆ GM ta được Z2 ⊕ ⊕+∞ Z(i) ⊆ GM Do đó, nhóm i=1 (i) là nhóm con tối đại của G/Z 2 ⊕ ⊕+∞qZ(i)... dụng Bổ đề 3.14, ta được điều cần chứng minh Đònh lý 3.18 Nếu D là một đại số chia quaternion thực thì D ∗ không chứa nhóm con tối đại chuẩn tắc Chứng minh M là nhóm con tối đại của D ∗ và chuẩn tắc trong D ∗ Vì M là nhóm con tối đại nên theo Bổ đề 2.2.13, D∗ /M ∼ Zp , với p là số nguyên tố Lấy = x ∈ M , ta xét 2 trường hợp sau: / Trường hợp 1: x ∈ R thì phương trình x = y p luôn có nghiệm trong C,... nguyên tố q và không −1 gian con tối đại W của Gq , fq (W ) là nhóm con tối đại của Q∗ b) R∗ chỉ có một nhóm con tối đại c) Nếu F là một trường đóng đại số thì F* không có nhóm con tối đại Đặc biệt, C∗ không có nhóm con tối đại Chứng minh : (a) Ta có ánh xạ θ từ Q ∗ vào G với G := Z2 ⊕ ⊕Z(i) và Z(i) ∼ Z, = 24 Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 25 Chuyên ngành Toán Đại số là vành các số nguyên với mỗi i... không chia được (nên có nhóm con tối đại) Chứng minh.(i) Nếu G có nhóm con tối đại M , thì G/M không có nhóm con thật sự Vì vậy, |G/M | = p, với p là số nguyên tố Từ đó, Gp ⊆ M ⊂ G , nên G là p -chia được Ngược lại, Nếu G = Gp , nghóa là G/Gp là không gian vector không tầm thường trên trường Z/pZ; vì thế G/Gp là không gian vector tối đại thực sự Từ đó, ta suy ra tồn tại một nhóm con tối đại thực sự trên... Tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu các nhóm con tối đại của D ∗ nhưng không chứa F ∗, và ta sẽ phát triển các nhóm con tối đại của D ∗ từ các nhóm con tối đại của F ∗ Bổ đề 3.12 Cho D là vành chia có Z(D) = F , M là nhóm con tối đại của D∗ không chứa F thì Z (M) = F ∗ ∩ M Chứng minh Trước hết ta có F ∗ ∩ M ⊂ Z (M) Lấy m ∈ Z(M) ta sẽ chứng minh m ∈ F ∗ DoM là nhóm con tối đại của D ∗ nên D∗ = F ∗ M Suy ra... G chia được, nghóa là G = G p , từ đó G sẽ có phần tử cấp p m với mỗi số dương m, do Gn = 1 nên điều này là vô lý, vậy G không chia được Bổ đề 2.3.4 Cho G là nhóm nhân abelian và M là nhóm con tối đại của G Nếu M chia được thì M là nhóm con tối đại duy nhất của G Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 17 Chuyên ngành Toán Đại số Chứng minh Giả sử tồn tại M1 = M là nhóm con tối đại của G Do M, M1 là các nhóm. .. các nhóm cyclic Z ri với ri là ước của chỉ số n với mọi i Từ đây, ta có thể thiết lập nhóm con chuẩn tắc N của D∗ chứa mD Bổ đề 3.15 Cho F là trường với Krull valuation mà nhóm giá trò của nó chứa một nhóm con tối đại D là đại số chia hữu hạn chiều trên tâm F, khi đó D ∗ chứa một nhóm con tối đại M chuẩn tắc trên D∗ Chứng minh Cho υ là một Krull valuation trên F với nhóm giá trò Γ = G ∪ {∞} chứa nhóm. .. nghiệm của đơn vò, theo Bổ đề 3.7 và 3.2 ta được điều cần chứng minh Bây giờ, ta sẽ nghiên cứu các nhóm con tối đại của D ∗ và xem xét mối liên hệ của các nhóm con chuẩn tắc tối đại của D ∗ với các nhóm con tối đại của F ∗ và các valuation trên F Kí hiệu G(D) là nhóm D ∗ /F ∗ D Khi D là một đại số chia trên tâm F thì G(D) là torsion (Bổ đề 2.2.16) Đònh nghóa 3.9 Nếu D là vành chia tâm F , D được gọi... là không chia được nên Im(w) có nhóm con tối đại, suy ra D ∗ có nhóm con tối đại Luận Văn Thạc Só Toán Học trang 30 Chuyên ngành Toán Đại số Bổ đề 3.11 Cho D là đại số chia hữu hạn chiều trên tâm F Nếu F có một valuation rời rạc thì D∗ có nhóm con tối đại Chứng minh Do D hữu hạn chiều trên F nên với mọi a, b ∈ D, F (a, b) cũng có số chiều hữ hạn, Vậy D là type 2, suy ra D có nhóm con tối đại Tiếp . 17 3 SỰ TỒN TẠI NHÓM CON CHUẨN TẮC TỐI Đ A ÏI TRONG V A ØN H CHIA 24 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 Chương 1 TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát sự tồn tại của các nhóm con tối đại. đều có nhóm con chuẩn tắc tối đại. Từ tính chất này, ta có thể kết luận là trong mọi đại số chia D có tâm F với F là trường số học hay trường đòa phương đều tồn tại nhóm con chuẩn tắc tối đại. . chứa trong một nhóm con chuẩn tắc tối đại; còn ngược lại, nếu F ∗ tồn tại nhóm con tối đại chứa Z (D  ) thì mọi phần tử của D ∗ cũng đươ ïc chứa trong một nhóm con chuẩn tắc tối đại nào đó. Để thực