Sự biểu diễn của tập lồi bị chặn bằng bao lồi hữu tỉ của các điểm gamma cực biến

mở đầu Lý thuyết về tập lồi và bao lồi của tập hợp là vấn đề Toán học khá lý thú và đ- ợc nhiều nhà toán học quan tâm, chẳng hạn trong [3, 4, 5, 7, 8, .]. Trong [7] H. Minkowski đã chỉ ra rằng: nếu C là một tập con Compact của không gian tuyến tính thực hữu hạn chiều thì C bằng bao lồi của tập các điểm cực biên của nó )convextCC( = . Ta thấy nếu C không phải tập là Compact thì kết quả convextCC = không còn đúng nữa, một ví dụ đơn giản hơn là: Nếu C là tập mở khác rỗng khi đó tập các điểm cực biên của C là tập rỗng, do đó ta không thể biểu diễn C qua tập các điểm cực biên đợc. Do đó, vấn đề đặt ra là trong trờng hợp tổng quát có thể thay tập các điểm cực biên bằng tập khác mà vẫn có sự biểu diễn tơng tự nh kết quả của H. Minkowski trong [7] hay không. Vấn đề đó đã đợc Gs Hoàng Xuân Phú nghiên cứu trong [9]. Trong luận văn này, trên cơ sở đọc, tìm hiểu các tài liệu tham khảo, chủ yếu là bài báo của Gs Hoàng Xuân Phú ([9] ) chúng tôi tìm hiểu đề tài "Sự biểu diễn của tập lồi bị chặn bằng bao lồi hữu tỉ của các điểm - cực biên". Khoá luận đợc chia làm 2 chơng. Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chơng này chúng tôi đa ra các định nghĩa, tính chất, ví dụ liên quan đến các khái niệm nh: Không gian mêtric, không gian định chuẩn, tập mở, tập đóng, tập lồi, tập bị chặn, điểm biên. Chơng 2. Sự biểu diễn của tập lồi bị chặn bởi bao lồi hữu tỉ các điểm - cực biên Mục đích của chơng này là tìm hiểu về điểm - cực biên, các tính chất liên quan đến khái niệm điểm - cực biên và sự biểu diễn của tập lồi bị chặn qua tập các điểm - cực biên của chúng. Khoá luận đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của Thạc sỹ Nguyễn Hữu Quang. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự nhiệt tình h- ớng dẫn đã dành cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành khoá luận. 1 Nhân dịp này, tôi xin cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trờng Đại học Vinh, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi đợc học tập và hoàn thành khoá luận. Trong quá trình hoàn thành luận văn, mặc dù đã rất cố gắng, song chắc luận văn còn nhiều sai sót, nên tôi rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp từ các thầy giáo, cô giáo, các bạn sinh viên cũng nh tất cả các bạn đọc khác để đề tài đợc hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 5 năm 2009 Tác giả 2 Chơng 1 kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian mêtric Định nghĩa 1.1 Không gian mêtric là một cặp ( ) , , trong đó: là một tập hợp R: ì là một hàm số xác định trên ì thoả mãn các điều kiện sau: 1) 0)y,x( , với mọi y,x , yx0)y,x( == . 2) )x,y()y,x( = với mọi y,x . 3) )z,y()y,x()z,x( + , với mọi z,y,x . Điều kiện: 1) gọi là tiên đề đồng nhất 2) gọi là tiên đề đối xứng 3) gọi là tiên đề tam giác gọi là không gian mêtric trong . Mỗi phần tử của gọi là một điểm của , )y,x( là khoảng cách giữa 2 điểm y,x . Ví dụ 1.1 1. Tập hợp các số thực R và tập hợp các số phức C là những không gian mêtric, với mêtric Ry,x,yx)y,x( = (hoặc C ). 2. Không gian Ơclit (Euclide) k R là không gian mêtric với mêtric xác định nh sau: Nếu )x, .,x(x k1 = và )y, .,y(y k1 = là hai phần tử của R k thì 2/1 k 1i 2 ii yx)y,x( = = . 3. Gọi [ ] b,aC là tập hợp các hàm số thực liên tục trong khoảng đóng hữu hạn [ ] b,a . Dễ dàng chứng minh đợc rằng [ ] b,aC là một không gian mêtric, với mêtric [ ] b,aCy,x,)t(y)t(xsup)y,x( bta = . Định nghĩa 1.2 3 Dãy }x{ n những phần tử của không gian mêtric ( ) , đợc gọi là hội tụ đến phần tử x 0 của nếu 0)x,x(lim 0n n = . Khi đó, ta viết 0n n xxlim = hoặc 0n xx . 0 x gọi là giới hạn của dãy }x{ n . Mệnh đề 1.1 a) Dãy hội tụ trong không gian mêtric có một giới hạn duy nhất. b) Trong không gian mêtric ( ) , nếu axlim n n = và bylim n n = thì )b,a()y,x(lim nn n = . Chứng minh a) Thật vậy, giả sử axlim n n = và bylim n n = trong . Khi đó )b,x()x,a()b,a( nn + , với mọi n . Vì 0)x,a(lim n n = và 0)b,x(lim n n = nên từ bất đẳng thức trên suy ra 0)b,a( = tức là .ba = b) Với mọi n, ta đều có ).b,y()y,x()x,a()b,a( nnnn ++ Từ đó ).b,y()x,a()y,x()b,a( nnnn + Chứng minh tơng tự, ta đợc ).b,y()x,a()b,a()y,x( nnnn + Từ hai bất đẳng thức trên suy ra ).b,y()x,a()b,a()y,x( nnnn + Vì 0)x,a(lim n n = và 0)b,y(lim n n = , nên từ bất đẳng thức trên suy ra ).b,a()y,x(lim nn n = Định nghĩa 1.3 Giả sử ( ) , là một không gian mêtric, 0 x và r là một số dơng. Tập hợp 4 { } r)x,x(:x)r,x(B 00 <= gọi là hình cầu mở tâm 0 x bán kính r. Tập hợp { } r)x,x(:x)r,x(B 00 = gọi là hình cầu đóng tâm 0 x bán kính r. Định nghĩa 1.4 Giả sử là một tập hợp con của không gian mêtric ( ) , . Điểm 0 x của gọi là một điểm trong của tập hợp nếu tồn tại hình cầu )r,x(B 0 tâm 0 x chứa trong . Tập G đợc gọi là tập mở nếu mỗi điểm của G đều là điểm trong của nó (hiển nhiên, không gian và đều là những tập mở). Mệnh đề 1.2 Hình cầu mở là một tập hợp mở. Chứng minh Thật vậy, giả sử x là một điểm bất kỳ của hình cầu mở )r,x(B 0 . Khi đó r)x,x( 0 < , do đó: 0)x,x(r 0 > . Gọi là một số dơng nhỏ hơn hoặc bằng )x,x(r 0 . Khi đó: )r,x(B),x(B 0 Thật vậy, nếu ),x(Bu thì )u,x()x,x()u,x( 0o + r)x,x( 0 <+< Từ đó )r,x(Bu 0 . Mệnh đề 1.3 a) Hợp của một họ tuỳ ý những tập hợp mở là một tập hợp mở. b) Giao của một số hữu hạn tập hợp mở là một tập hợp mở. Định nghĩa 1.5 Tập hợp con trong không gian mêtric gọi là đóng nếu phần bù = \C của nó là một tập hợp mở. 5 Nhận xét 1.1 - Không gian và là những tập hợp đóng. - Hình cầu đóng là một tập hợp đóng. Mệnh đề 1.4 a) Giao của một họ tuỳ ý những tập hợp đóng là một tập hợp đóng. b) Hợp của một họ hữu hạn tập đóng là tập hợp đóng. Mệnh đề 1.5 Tập hợp con F của không gian mêtric là đóng khi và chỉ khi với một dãy bất kì }x{ n những phần tử của F , nếu = 0n n xxlim thì Fx o . Định nghĩa 1.6 - Hợp của tất cả các tập hợp mở chứa trong gọi là phần trong của tập hợp , kí hiệu là Int hoặc là 0 . - Giao của tất cả các tập hợp đóng chứa gọi là bao đóng của tập hợp , kí hiệu là . Nhận xét 1.2 1) Phần trong của một tập hợp là một tập hợp mở, và đó là tập hợp mở lớn nhất chứa trong . 2) Tập hợp là mở khi và chỉ khi Int = . 3) Nếu thì IntInt . Giả sử là một tập hợp con của không gian mêtric . Nhận xét 1.3 - Vì là một tập hợp đóng chứa nên bao đóng của tập hợp luôn luôn tồn tại. - là một tập hợp đóng và đó là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa . - Một tập hợp là đóng khi và chỉ khi = . - Nếu thì . Mệnh đề 1.6 Giả sử là một tập hợp con của không gian mêtric và Xx . Khi đó x khi và chỉ khi mỗi lân cận U của x đều có điểm chung với . 6 Chứng minh Nếu Ax thì = \U là một lân cận của x không có điểm chung với . Đảo lại, nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho = U thì U\X là một tập hợp đóng chứa . Do đó U\ . Vậy x . Định lí 1.1 Giả sử là một tập hợp con của không gian mêtric và x . Khi đó x khi và chỉ khi tồn tại một dãy }x{ n những phần tử của sao cho xxlim n n = . Chứng minh Nếu }x{ n và xxlim n n = , thì mệnh đề 1.5 suy ra x . Đảo lại, giả sử x . Theo mệnh đề 1.6, với mỗi ) n 1 ,x(S,n . Gọi n x là một điểm của nằm trong }x{), n 1 ,x(S n là một dãy điểm của và xxlim n n = . Định nghĩa 1.7 - Giả sử ( , T) là một không gian tôpô, X . Tập hợp _______ A\X = gọi là biên của tập hợp . - Giả sử là một tập hợp con của không gian tôpô . Điểm x gọi là một điểm tụ của tập hợp nếu { } __________ x\x . Nhận xét 1.4 - Điểm x thuộc khi và chỉ khi một lân cận bất kì U của điểm x ta đều có: U và \U . 7 - Điểm x là một điểm tụ của tập hợp khi và chỉ khi một lân cận bất kì U của x đều chứa ít nhất một điểm y của khác điểm x . Mệnh đề 1.7 Giả sử và là những tập hợp con của một không gian tôpô . Khi đó a) = \Int . b) = . c) )( . d) )( . e) )\( = . 1.2. Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.8 Cho là một - không gian vectơ. Một chuẩn trên là hàm xx từ vào R thoả mãn các điều kiện sau với mọi Xy,x , mọi 1) 0x,0x = nếu và chỉ nếu 0x = ; 2) = x x ; 3) yxyx ++ . Không gian định chuẩn là không gian vectơ cùng với một chuẩn trên nó. Ví dụ 1.2 a) Hàm RR: xx)x(x == là chuẩn trên R. b) Hàm RR: n n,1i,xmax)x(x i == cũng là một chuẩn trên R . c) Xét không gian vectơ . n Với mỗi )x, .,x(x n1 = đặt: ,xx 2/1 n 1i 2 i = = ;xx n 1i i 1 = = .xsupx i ni0 2 = 8 Ta nhận đợc ba chuẩn khác nhau trên . n Các chuẩn này tơng đơng với nhau. Mệnh đề 1.8 Chuẩn xx là một hàm liên tục đều từ vào R . Mệnh đề 1.9 Giả sử là một không gian định chuẩn. Khi đó ánh xạ yx)y,x( + từ X ì vào và x)x,( từ X ì vào là liên tục. Mệnh đề 1.10 Giả sử là không gian định chuẩn. Khi đó với mọi Xa ánh xạ xax + là phép đồng phôi đẳng cự ( tức là bảo tồn khoảng cách) từ lên và với mọi 0,K ánh xạ xx là phép đồng phôi đều lên . Từ các tính chất trên ta rút ra hệ quả. Hệ quả1.1 Giả sử là không gian định chuẩn. Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng. a) U là lân cận của điểm .0 b) U là lân cận của điểm 0 với mọi .0 c) Ua + là lân cận của a với mọi .a 1.3. Mêtric sinh bởi chuẩn Định lí 1.2 Nếu xx là một chuẩn trên thì yx)y,x(d = là một mêtric trên . Mêtric này thoả mãn )y,x(d)zy,zx(d =++ và )y,x(d)y,x(d = với mọi .,z,y,x Chứng minh Giả sử hàm R: ( ) xxx = là một chuẩn trên . Hàm ( ) yxyx)y,x(d == , y,x là một mêtric trên . Thật vậy, từ điều kiện đầu tiên của chuẩn ta có: ( ) ,0yx y,x và ( ) 0yx = 0yx = yx = (1) ( ) yxyx)y,x(d == = ( ) ( ) x,ydxy = . (2) Với bất kì z,y,x ta có: 9 ( ) ( ) ( ) ( ) yzzxyzzxyxyx)y,x(d ++=== ( ) ( ) y,zdz,xd += . (3) Từ (1), (2), (3) suy ra yx)y,x(d = là một mêtric trên . Mặt khác ( ) ( ) ).y,x(dyx)zy()zx()zy,zx(d ==++=++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y,xdyx)yx(yxy,xd ==== . Với mọi .,z,y,x Định nghĩa 1.9 - Cho C bất kỳ lồi khác rổng của , khi đó: { } = y,x:)y,x(dsup:diamC đợc gọi là đờng kính của C . C đợc gọi là bị chặn nếu < diamC . - Tập hợp con của một không gian vectơ đợc gọi là lồi nếu mọi vectơ y,x và mọi số thực [ ] 1,0 đều có ( ) .y1x + - Tập ( ) [ ] { } 1,0:y1x + và tập ( ) ( ){ } 1,0:y1x + đợc gọi là các đoạn và khoảng nối x và .y - Cho tập trong không gian , khi đó giao của tất cả các tập lồi chứa đợc gọi là bao lồi của và ký hiệu là conv(A). Mệnh đề 1.11 Nếu là một tập lồi, đóng và bị chặn trong không gian định chuẩn X thì )(conv = , trong đó A là tập các điểm biên của . Chứng minh Dễ thấy do A đóng nên AA nên )(conv . Ngợc lại mỗi intx , ta chứng minh )A conv(x . Qua x vẽ đờng thẳng d bất kỳ, do đóng, lồi và bị chặn nên d phải cắt biên của tại 2 điểm Q,P sao cho [ ] Q,Px . Từ đó suy ra )A(convx . Vậy )(conv = . 10