Tập lồi, đa giác lồi và một số dạng toán phủ đa giác lồi

1 Lời mở đầu Trong hình học nói chung hình học tổ hợp nói riêng bao lồi, đa giác lồi toán phủ đa giác lồi khái niệm quan trọng đà đợc trình bày nhiều giáo trình hình học tổ hợp Mc ích khóa luận tốt nghiệp trình bày vấn đề: Tập lồi, đa giác lồi số toán phủ đa giác lồi; cụ thể l trình by mt cách h thng định nghĩa, định lý chứng minh chi tiết số định lý bổ đề v tập lồi, bao lồi số dạng toán phủ đa giác lồi hình học tổ hợp Đặc biệt khóa luận trình bày số tính chất bao lồi toán phủ đa giác lồi, đa chứng minh đợc số ví dụ toán Cấu trúc khóa luận gồm hai chơng Chơng1 Cơ sở lý thuyết đà hệ thống lại chứng minh chi tiết số tính chất tập lồi, bao lồi, phần đại số bao đóng đại số, nhắc lại định lý Helly ®· ®a ®ỵc mét sè vÝ dơ, øng dơng tính chất định lý Chơng Một số dng toán ph đa giác lồi Trong chơng trình bày kiến thức dạng toán phủ đa giác lồi hình học tổ hợp, bao gồm khái niệm phủ đa giác lồi, định lý bổ đề toán phủ đa giác lồi, chơng nghiên cứu đến toán phủ đa giác lồi đa giác lồi đồng dạng vị tự với Chúng đà đa số toán để nói rõ dạng toán phủ đa giác lồi, bao gồm hình tròn phủ hữu hạn điểm đà cho phủ đa giác lồi Khóa luận đà đạt đợc kết sau 1) Trình bày có hệ thống khái niệm tập lồi, bao lồi, phần đại số bao đóng đại sè, phđ h×nh 2) Chøng minh mét sè tÝnh chÊt tập lồi, bao lồi, phần đại số bao đóng đại số, định lý dạng toán phủ đa giác lồi Những tính chất hầu hết đợc nêu tài liệu tham khảo khác dới dạng tóm tắt, ý tập Vinh, tháng nm 2009 Tác gi Chơng I Cơ sở lý thuyết Trong khóa luận xét không gian vectơ Ơclít n - chiều E n , tập số thực Ta kí hiệu: * lµ chuÈn E n * int A phần A * co A  bao lồi A * B  x, r  : y  R n : x y r hình cầu mở tâm x b¸n kÝnh r  *  B  x, r  : y  R n : x  y r * Giả sử x, y  E n , hình cầu đóng tâm x b¸n kÝnh r 0    x; y   x  1    y :  1  x; y   x  1    y :    1  x; y   x  1    y :   1  x; y   x  1    y :   1 ` 1.1 TËp låi, bao låi 1.1.1 Tập lồi 1.1.1.1 Định nghĩa - Gi s x y , x, y E n Đoạn thẳng x, y tập hợp x 1    y /  1 NÕu phÇn  x, y  cđa  x, y tập hợp x   y /    1 Tơng tự ta định nghĩa x, y  vµ  x, y  - Giả sử A E n Tập A đợc gọi låi nÕu  x, y   A víi mäi 1.1.1.2 VÝ dô x, y  A a) H  a lµ mét tËp låi b) H  a, b tập lồi Thật vậy, giả sử x, y   a, b  Ta lÊy bÊt kú z   x, y  ta cÇn chøng minh z   a, b  Do z   x, y  nªn z  x      y , v× x, y   a, b   x x a    x  b vµ y  y a     y  b ( x ,  y 1 )   z   x a    x  b        y a     y  b  x a     x  b       y a         y  b x a     x  b    y   y  a       y   y  b    x   y   y  a    x   y   y  b  x   y   y  a    x   y   y  b  a      b Trong ®ã,  x   y   y  z   a, b  ,   1 VËy H  a, b  lµ mét tËp låi c) B x, r , nửa không gian tập lồi 1.1.1.3 Định nghĩa (xem [4]) Tổ hợp lồi (hữu hạn) điểm x1 , x , , x n E n điểm cđa E n cã thĨ biĨu diƠn díi d¹ng : n x  i xi , ®ã i 0 i 1,2 , n  i 1 n  i 1 i 1 1.1.1.4 Mệnh đề (xem [4]) Giả sử A  E n Khi ®ã, A lµ tËp låi vµ chØ nã chøa mäi tổ hợp lồi phần tử Chứng minh Ta cần chứng minh rằng, A tập lồi chứa tổ hợp lồi n phần tử nó, nghĩa x i xi  A víi mäi xi  A, i 0 i 1,2, , n  i 1 n  i 1 ThËt vËy, ta sÏ chøng minh b»ng phơng pháp quy nạp theo n i Với n 2 , ta cã x 1 x1  2 x2  A víi mäi x1 , x  A , 1 ,  1  2 1 0 v (vì A tập lồi) Vậy kết luận với n k Giả sử kết luận víi n k 2 , nghÜa lµ x  i xi  A víi mäi i 1 k xi  A, i 0 i 1,2, , n   i 1 Ta chØ cÇn chøng tá kÕt luËn ®óng víi i 1 k 1 n k  Ta cã thĨ gi¶ thiÕt  k 1  , bëi v× nÕu  k 1 1  th× tõ i 1 i 1 i 0 (i 1,2, , k  1) ta cã ta suy   k 1 1      k  1 2   k 0 i   0 k 1 x x k A k (i 1,2, , k ) V× Khi ®ã, i 1  i 1 1 k 1 k nên theo phơng pháp quy nạp ta có i xi  A i 1   k 1 y  Do ®ã, x 1   k 1  y   k 1 x k 1  A 1.1.1.5 MƯnh ®Ị Giả sử A  E n Khi A tập lồi vµ chØ     A A  A víi mäi  0,  0 ,  ,    Trong ®ã :     A     .a / a  A  A   a / a  A  A   b / b  A Chøng minh +) Khi Mệnh đề ®óng +) Khi  ,  kh«ng ®ång thêi b»ng kh«ng A   A A A  1    A,  1    A tập lồi A A 1    A,     0 Khi Ta cần chứng minh rằng, ta cã:  A      A  .a      b / a, b  A , A  A  1    A, - Ta chøng minh: thËt vËy, lÊy a  A suy a a1  1    a  A  1    A  A  A  1    A, - Ta chøng minh: A  1    A  A , (1) ta còng lÊy a bÊt kú thuéc vµo A  1    A  a a1  1    a , a1 , a  A Do A låi a  A  A  1    A  A VËy, tõ (1) vµ (2) suy ra: (2) A A  1  A Ngợc lại, giả sử A A  1    A ta chøng minh cho A lµ tËp låi LÊy x, y  A , víi  1 ta cÇn chøng minh x  1    y  A Do x  1    y  A  1    A  A Suy A tập lồi Vậy mệnh đề đợc chứng minh 1.1.1.6 MƯnh ®Ị (xem [4]) i) Giao cđa mét hä tuỳ ý tập lồi tập lồi, (nghĩa là, gi¶ sư Ai  E n , i  I l tập lồi, với I tập số Khi đó, tập tập lồi ii) Tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) tập lồi tập lồi A Ai iI iii) ảnh nghịch ảnh tập lồi qua ánh xạ tuyÕn tÝnh lµ tËp låi Chøng minh A  Ai i) Gi s Ai iI họ tập lồi E n Đặt x, y A ta cã x, y  Ai , iI Khi ®ã, ta lÊy víi mäi i  I Do ®ã, víi  1 ta cã x  1    y  Ai víi mäi i I (vì Ai tập lồi) Từ suy ra, x  1    y  A VËy, A lµ tËp låi cđa E n ii) Gi s Đặt Ai E n , i  I lµ tËp låi vµ i   (i=1,2,…n) A 1 A1   A2    n An Khi ®ã, víi x 1 x1   x    n x n ; y 1 y1   y   n y n ; x, y A (gi s trongđó: xi , y i  Ai  i 1,2, , n  ) Ta cã: x  1    y   1 x1  2 x2   n x n   1    1 y1  2 y   n y n  1  x  1    y1   2  x  1    y    n  x n  1    y n A (vì A i tập låi nªn xi  1    y i  Ai ,  i  1,2, , n  ) Vậy, A tập lồi E n iii) Giả sử W không gian véctơ f : En W ánh xạ tuyến tÝnh tõ E n vµo W Giả sử A E n tập lồi Khi đó, với x  f  a , y  f  b  , ®ã a, b  A ), ta có: x, y f Aá 1 (giả sử x  1    y f  a   1    f  b   f  a   f  1   b   f  a  1   b   f  A (vì f ánh xạ tuyến tính nên f a   1    f  b   f  a   f  1   b   f  a  1 b A tập lồi nªn a  1   b  A ) VËy, f  A lµ tËp låi cđa W Gi s B W tập lồi Khi đó, víi x, y  f 1  B  , ta cã ®ã, víi  1 ta cã f  x  1    y  f  x   1    f  y B (vì tính B tập lồi) Từ suy ra, Vây, f B  lµ tËp låi cđa E n x  1    y  f 1 f f  x , f  y   B Do ánh xạ tuyến B 1.1.2 Bao lồi 1.1.2.1 Định nghĩa (xem [6]) Cho A E n - Giao tất tập lồi chứa A đợc gọi bao lồi A KÝ hiƯu lµ : co(A) - Giao cđa tất tập lồi đóng chứa A đợc gọi bao lồi đóng A Kí hiệu : co  A  1.1.2.2 NhËn xÐt (xem [6]) i) co(A) lµ tËp låi nhá nhÊt chøa A ii) A lµ tËp låi vµ chØ A co A iii) co  A  lµ tËp låi ®ãng nhá nhÊt chøa A 1.1.2.3 MƯnh đề (xem [4]) Nếu A tập lồi bao ®ãng Chøng minh co(A) cđa A cịng lµ tËp låi Lấy x1 , x co A Đặt x x1  1    x ),  Gi s U lân cËn låi cđa ®iĨm Do x1 , x  co A nªn x ' i   xi  U   A,  i 1,2 Ta đặt xi U A ,  i 1,2 Suy tån t¹i x ' x '1  1    x ' ),   1 dÔ thÊy x'  A Do ' ' x1 , x  A nªn ta cã: x '    x1  U   1   . x  U   x  U Do ®ã,  x  U   A  suy VËy, co(A) x  co A cịng lµ tËp låi 1.1.2.4 MƯnh ®Ị (xem [4]) Bao låi ®ãng cđa A trïng víi bao ®ãng cđa bao låi A : co A co A Chøng minh Do co(A) lµ tËp låi nên co A tập lồi theo nhận xét 1.1.2.2 co A tập lồi đóng chứa A Suy co A  co A (3) MỈt khác, A nên co(A) giao tất tập lồi (không cần đóng) chứa co A co A (4) Tõ (3) vµ (4) ta suy ra: co A co A 1.1.2.5 MƯnh ®Ị (xem [6]) Do ®ã co A  co A i) Nếu A, B E n tập lồi th× co A  B    A  1    B  1 x  co A ii) Gi¶ sư A  E n tập lồi Nếu Chứng minh i) Đặt C th× co A  x  co A  A  1    B §Ĩ chøng minh co A  B  C ,  1 vµ C  co A  B  Víi mäi a  A, b  B vµ  1 th× VËy, C  co A  B  ta chøng minh co A  B   C a  1   b  co A  B  (v× a, b  A  B ) (5) Ngợc lại, ta chứng minh co A B   C , nghÜa lµ ta lÊy mét phần tử thuộc vào co A B  co A  B  , chøng minh cho nã thuéc C ThËt vËy, lÊy x bÊt kú thuéc n m i 1 j 1 nªn x cã d¹ng x  i    j b j n (trong ®ã  A, b j  B; i 1,2, , n; j 1,2, , m ) víi i ,  j cho m  i    j 1 i 1 j 1 n m i 1 j 1  Giả sử  i 0 , víi mäi i 0 th× x   j b j ; b j  B m j b j ,  s 1 nªn x j b j tổ hợp phần tử j j s n Đặt m  j 1 j s  x s  thuéc B Vì B tập lồi nên x B  Giả sử n m i 1 j 1   i 0 , víi mäi  i 0 th× x  i ; ai  A n Đặt m i p x  p  i 1 j 1 j p m ,  p 1 nªn suy x  i tổ hợp phần i tử thuộc A Vì B tập lồi nên x  A m n  Giả sử  i , Khi i 1 Do ®ã j 1  m j   n   x    i   1   .  b j   i 1    j 1    a  1   b  A  1    B m m   j 1   ,   j 0,   j 1 víi  1 j 1 j 1 VËy x  C hay Tõ (5) vµ (6) suy x  A  1    B suy  1 co A  B    A  1    B  1 ii) Gi¶ sử A E n , A tổ hợp, theo gi¶ thiÕt x  A  co A  co A suy (6) co A  B   C x  co A vµ A  co A nên Do co x A   co  co  A   co A Ngợc lại, A x A nªn VËy, co x  A co A co A  co x  A 1.1.2.6 Bỉ ®Ị (xem [4]) Nếu A tập lồi A , int A cịng lµ tËp låi Chøng minh  A tập lồi Giả sử x, y A , ta chøng minh z x  1    y  A , víi  1 Ta cã tån t¹i hai d·y  x n  ;  y n   A cho x n  x; y n  y z n x n  1    y n  x  1    y  z VËy n , Vì A tập lồi nên zn A Suy z A tập lồi int A tập lồi Cách 1: Lấy x, y A Khi tồn l©n cËn U cđa x cho U  A Do A tập lồi nên x, y đợc biĨu díi d¹ng z x  1    y víi  1 Ta cã U  y lân cận z vµo U  1    y  A Suy x, y  int A Do int A tập lồi Cách 2: Với mäi x, y  int A , ta chøng minh z x  1    y  int A víi (*)  1 Gi¶ sư tån hình cầu mở B tâm O cho x  B  A, y  B  A Khi ®ã z  B x  1    y  B  1    B A   x  B   1    y  B   A z  int A (vì A tập lồi theo (*)) Suy VËy int A lµ tËp låi 1.1.2.7 Mệnh đề (xem [6]) Cho A tập mở, ®ã bao låi cđa tËp më A lµ tËp më Chøng minh Gi¶ sư int A  int  co A   A lµ mét tËp më ®ã V× vËy A  int  co A  A int A mà A co A nên Tõ bỉ ®Ị 1.1.2.6 suy int  co A  lµ tËp låi mµ nã chøa A , v× thÕ co A  int  co A  (7) Mà ta có: int co A  co A (8) Tõ (7) vµ ( 8) ta cã co A int  co A  VËy co A tập mở 1.1.3 Phần đại số bao đóng đại số 1.1.3.1 Định nghĩa Giả sử A E n a) Phần đại số A i A tập tất điểm x A cho đờng thẳng m qua x E n , giao cđa m vµ A chứa đờng thẳng mà x thuộc phần đoạn thẳng b) Bao đóng đại số A a A tập hợp A tập hợp tất điểm x E n cho tån t¹i a  A cho  a, x A c) Tập A đợc gọi tập mở đại số A i A Chó ý Víi mäi x  A , ta cã: x  A i  y  E n  z   x, y   x, z   A    y  E .    x, x  y   A  y  E n     x  y, x  y   A n 1.1.3.2 Định lý (xem [5]) Nếu C E n tập lồi C i , C a cịng lµ tËp låi Chøng minh a) Víi x, y C i ta cần chøng tá z x  1    y  C i ThËt vËy, víi u  E n , v× x, y  C i  y, y C Giả sử nên tồn x x, u y0   y, u  x x  1   u , y   y u , đặt max ,   ®ã, c a  1   b  C a x  1   u, b  y  1   u cho x, x0 C , Khi đó, ta có a   x, x0  , b   y, y Do c    x      u         y      u    .x      y       u  z      u   z, u  Tõ ®ã suy ra,  z, c  C  z Ci V©y, C i lµ tËp låi 10 b) Víi x, y  C a ta cần chứng tỏ  a, x   C vµ  b, y C Đặt c a  b  C z x  1    y  C a ThËt vËy, th× ta cã  c, z   C th× ta cã  c, z   C (v×  1 nªn ta cã:  c      z    a      b         x      y    a  1    x   1    b  1    y   C Suy z  C a VËy, C a lµ tËp låi 1.1.3.3 Định lý (xem [5]) Giả sử C E n tập lồi Khi đó, ta có i) int C  C i ii) C a  co C  iii) nÕu x  int C vµ Chøng minh i) int C  C i Víi x  int C ta cÇn chøng tá tån lân cận U x y   y  co C  x0 th×  x, y   int C x0  C i ThËt vËy, víi Tõ ®ã suy ra,  x0 ; x0  y   C VËy, C a  co C  V× C  co C  C a \ C  co C  y0  C a \ C x  y  U  C C a  co C  ta suy tån Giả sử U lân cận cña   x0  1    y x  int C nªn víi mäi  , x0 C i nên để chøng minh ThËt vËy, víi , v× cho U C Mặt khác, từ tính liên tục ¸nh x¹ t¹i  0 , ta suy tån t¹i   cho ii) y0  E y0 ta chØ cÇn chøng minh x0  C cho  x0 ; y   C Khi đó, từ tính liên tục ánh xạ t¹i  0 , ta suy tån t¹i   cho x0  1    y  U víi mäi Do ®ã, U  C  Suy ra, y  co C  VËy C a  co C  iii) Trớc hết ta ý, với a, b  E ,    ,  0 lân cận U a ta có b U a lân cận cđa b  ,   Víi x  int C , y  co C  ta cần chứng tỏ z x0  1    y  int C ThËt vËy, ta cã thĨ gi¶ thiÕt    , bëi v× nÕu  1 th× ta cã V× x  int C nên tồn lân cận U x0 z  x  int C cho U  C Khi ®ã, ta cã ... Suy A tập lồi Vậy mệnh đề đợc chứng minh 1.1.1.6 MƯnh ®Ị (xem [4]) i) Giao cđa mét hä tuỳ ý tập lồi tập lồi, (nghĩa là, gi¶ sư Ai  E n , i  I l tập lồi, với I tập số Khi đó, tập tập lồi ii)...  x  1    y  z VËy n , Vì A tập lồi nên zn A Suy z A tập lồi int A tập lồi Cách 1: Lấy x, y A Khi tồn l©n cËn U cđa x cho U  A Do A tập lồi nên x, y đợc biĨu díi d¹ng z x ... ii) Tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) tập lồi tập lồi A Ai iI iii) ảnh nghịch ảnh tập lồi qua ánh xạ tuyÕn tÝnh lµ tËp låi Chøng minh A  Ai i) Gi s Ai iI họ tập lồi E n Đặt x, y A ta cã x, y