Chơng II Một số dạng toán phủ đa giác lồ
2.1. Phủ hình 1 Định nghĩa ( xem [1] )
2.1.1. Định nghĩa (xem [1])
Ta nói hình H đợc phủ bởi các hình H1,H2,....,Hn nếu mỗi điểm của hình
H điều thuộc ít nhất một trong các hình H1,H2,....,Hn. Nói cách khác, hình H
là tập hợp con của hợp các hình H1,H2,....,Hn: H ⊂H1∪H2∪ ∪... Hn.
Ví dụ 1. Cho một ngũ giác lồi có tất cả các góc là góc tù. Chứng minh rằng tồn tại hai đờng chéo của ngũ giác sao cho hai hình tròn là có đờng kính là các đ- ờng chéo đó phủ kín ngũ giác.
Chứng minh
Cách 1. Xét ngũ giác lồi ABCDE có các góc tù. Kẻ DH ⊥ AB. Xét hai trờng hợp:
a) Trờng hợp H thuộc AB (hình 2) . Hình tròn có đờng kính AD phủ tứ giác AHDE (vì gócAHD=900 nên H thuộc đờng tròn, góc ∠AED>900 nên E nằm trong đờng tròn). Tơng tự hình tròn có đờng kính BD phủ tứ giác BHDC. Nh vậy AD,BD là hai đờng chéo phải tìm.
b) Trờng hợp H nằm ngoài cạnh AB, khi đó DH cắt cạnh AE hoặc cắt cạnh BC, chẳng hạn DH cắt cạnh AE (hình 3).
Hình tròn có đờng kính AD phủ ∆ADE (vì góc ∠AED>900 nên E nằm trong đờng tròn), hình tròn có đờng kính BD phủ tứ giác ABCD (vì góc
0 90
BAD
∠ > , góc ∠BCD>900 nên A,C nằm trong đờng tròn). Nh vậy AD,BD là hai đờng chéo phải tìm.
Cách 2. Gọi AB là cạnh lớn nhất của ngũ giác lồi ABCDE có các góc tù. Kẻ các đờng thẳng Ax,By vuông góc với AB, tạo thành một dải (hình 4). Khi đó E và C nằm ngoài dải đó vì
DA H B