Tập giới hạn của đạo và một số tính chất của chúng

bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh ------------------ LÊ THị THU HIềN TậP GIớI HạN CủA QUỹ ĐạO Và MộT Số TíNH CHấT CủA CHúNG Chuyên ngành : Hình học Tô pô. Mã số : 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học : PGS.TS. PHạM NGọC BộI vinh - 2008 1 môc lôc Trang lêi nãi ®Çu 1 Ch¬ng I. Lý thuyÕt c¬ b¶n vÒ ph¬ng tr×nh vi ph©n . 3 1.1. HÖ ®éng lùc . 3 1.2. Sù tån t¹i vµ duy nhÊt cña nghiÖm . 5 1.3. Sù liªn tôc cña nghiÖm theo ®iÒu kiÖn ban ®Çu . 10 1.4. Sù kÐo dµi nghiÖm . 11 1.5. NghiÖm toµn côc . 13 2 1.6. Dòng của một phơng trình vi phân . 15 Chơng II. Tập giới hạn của quĩ đạo và một số tính chất của chúng 18 2.1. Các khái niệm và kiến thức cơ sở . 18 2.2. Tính chất của tập giới hạn của quỹ đạo và ứng dụng . 23 2.3. Định lý Poăngcarê Benđixơn và ứng dụng 32 Kết luận . 39 Tài liệu tham khảo . 40 3 Lời nói đầu Trong giai đoạn hiện nay, lý thuyết định tính phơng trình vi phân phát triển mạnh mẽ và có rất nhiều ứng dụng to lớn trong các việc nghiên cứu các lĩnh vực cơ học, thiên văn học, hoá học, vật lý; khảo sát sự biến đổi của hệ sinh thái học và môi trờng, khảo sát sự ổn định của dân số, mật độ dân sốKhi nghiên cứu dáng điệu nghiệm của phơng trình vi phân ngời ta thấy một trong những vấn đề có tầm quan trọng là tập các điểm giới hạn của quỹ đạo của ph- ơng trình vi phân. Tập các điểm giới hạn của quỹ đạo phơng trình vi phân vừa là mục đích nghiên cứu vừa là công cụ để nghiên cứu tính ổn định của phơng trình vi phân: Sự ổn định của quỹ đạo, ổn định của vị trí cân bằng, nghiệm tuần hoàn (hay quỹ đạo đóng) Trên cơ sở các tài liệu có thể có đợc, dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Phạm Ngọc Bội chúng tôi nghiên cứu đề tài: "Tập giới hạn của quỹ đạo và một số tính chất của chúng". Luận văn này trình bày một cách tổng hợp, hệ thống những vấn đề về chủ đề tập các điểm giới hạn của quỹ đạo của phơng trình vi phân, trong khuôn khổ các tài liệu của các tác giả: E.A. Barbasin, Sergelang, Hocs M.W.Xmâyl X. Chứng minh các tính chất của chúng, nêu các ứng dụng và các ví dụ. Phần lớn các kết quả này đã trình bày trong các tài liệu tham khảo khác nhau theo các cách thức khác nhau ở mức độ vắn tắt hay gợi ý. Luận văn đợc chia làm 2 chơng. Chơng I. Lý thuyết cơ bản về phơng trình vi phân Trong chơng này, chúng tôi trình bày định nghĩa hệ động lực, định nghĩa nghiệm của phơng trình vi phân, khái niệm Lipsit và Lipsit địa phơng, khái 4 niệm dòng của phơng trình vi phân, các định lý về nghiệm của phơng trình vi phân trên n : định lý về tồn tại và duy nhất nghiệm, định lý về sự liên tục của nghiệm, định lý về sự kéo dài nghiệm, định lý nghiệm toàn cục. Chơng II. Tập giới hạn của quĩ đạo và một số tính chất của chúng Trong chơng này, chúng tôi trình bày các định nghĩa: Tập giới hạn, điểm cân bằng, điểm cân bằng ổn định, điểm cân bằng ổn định tiệm cận, điểm cân bằng không ổn định, quỹ đạo, quỹ đạo đóng, quỹ đạo nguyên vẹn, tập bất biến dơng, tập bất biến âm, tập bất biến, hàm có dấu xác định, hàm có dấu không đổi. Ngoài ra,trong chơng này, chúng tôi đã trình bày các định lý về tập giới hạn và chứng minh chi tiết các định lí đó. Từ đó đa ra các kết quả có liên quan đến tập giới hạn và chứng minh các kết quả đó, chẳng hạn: sự ổn định (ổn định tiệm cận) của điểm cân bằng, sự ổn định (ổn định tiệm cận), không ổn định của nghiệm của hệ phơng trình vi phân, nhát cắt địa phơng và hộp dòng, dãy đơn điệu trong hệ động lực. Hơn thế nữa, một trong những thể hiện về tập giới hạn là định lí Poăngcarê-Benđixơn và một vài ứng dụng của nó cũng đợc trình bày trong luận văn này. Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 12 năm 2008 tại khoa Đào tạo Sau đại học - Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của PGS.TS Phạm Ngọc Bội. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời đã tận tình chỉ dẫn, giảng dạy chúng tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc các thầy giáo trong bộ môn hình học _PGS.TS. Nuyễn Hữu Quang, TS. Nguyễn Duy Bình, TS. Phan Thành An đã giảng dạy, chỉ bảo các vấn đề có liên quan đến đề tài nghiên cứu và cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán, khoa Sau đại học Tr- ờng Đại học Vinh. Tôi xin cảm ơn tới các đồng nghiệp, gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. 5 Vinh, th¸ng 12 n¨m 2008 T¸c gi¶ 6 Chơng I Lý thuyết cơ bản về phơng trình vi phân 1.1. Hệ động lực Trong toàn bộ luận văn này, ta ký hiệu E là không gian ơclit n-chiều, trong các trờng hợp khác có chú thích kèm theo. 1.1.1 Định nghĩa. Một hệ động lực là một ánh xạ thuộc lớp C 1 : : ì S S trong đó S là một tập mở của E và ta viết (t,x) = t (x) ánh xạ t : S S thỏa mãn: (a) 0 : S S là ánh xạ đồng nhất (b) Tích t . S = t+s với mỗi t, s trong . Chú ý rằng từ định nghĩa ta suy ra rằng với mỗi một t, ánh xạ t : S S thuộc lớp C 1 , có nghịch đảo là -t cũng thuộc lớp C 1 (lấy s = - t trong (b)). Cho trớc hệ động lực t : S S, ta xác định một trờng vectơ trên S: f: S E, (S mở E) bởi: t t 0 d f (x) (x) dt = = (1.1) nh thế với x S, f(x) là một vectơ trong E tiếp xúc với đờng cong t t (x) tại t = 0. Vậy mỗi hệ động lực cho ta một phơng trình vi phân. Giả sử x(t) = t (x), x S. Khi đó ta có thể viết lại (1.1) nh sau: x' = f(x) (1.2) 7 Vậy x(t) (cũng là t (x)) là đờng cong nghiệm của (1.1) thỏa mãn điều kiện đầu x(0) = x. ở đây hàm f không phụ thuộc vào thời gian và phơng trình (1.1) đợc gọi là phơng trình ôtônôm. Ngợc lại, cho trớc một phơng trình vi phân, ta có thể liên kết với một ánh xạ, mà ánh xạ này sẽ là một hệ động lực nếu kèm theo giả thiết nó đợc xác định với mọi t. Vấn đề này đợc trình bày ở mục 6. Trờng hợp tổng quát hơn, khi f là ánh xạ thuộc lớp C 1 , f: J ì W E, trong đó J là một khoảng và W là một tập mở trong không gian vectơ, phơng trình trong trờng hợp này là: x' = f(t, x) ở đây hàm f phụ thuộc vào thời gian t và phơng trình (1.2) đợc gọi là ph- ơng trình không ôtônôm. Trong luận văn này ta chỉ xét phơng trình ôtônôm (1.2). 1.1.2. Định nghĩa. Giả sử f: W E là một ánh xạ liên tục, W là một tập hợp mở trong E. Ta gọi một nghiệm của phơng trình vi phân x' = f(x) là một hàm khả vi u: J W, xác định trên một khoảng J nào đó sao cho với mọi t J ta có u'(t) = f (u (t)). (ở đây J có thể là một khoảng các số thực, mở, đóng, hoặc nửa mở, nửa đóng). Chú ý. Về mặt hình học, u là một đờng cong trong E và vectơ tiếp tuyến u'(t) của nó bằng f(u(t)). Ta coi vectơ này có gốc tại u(t). ánh xạ f: W E là một trờng vectơ trên W. Một nghiệm u có thể đợc coi nh quỹ đạo của một hạt chuyển động trong E sao cho ở thời điểm t, vectơ tiếp tuyến của nó hoặc vận tốc đợc cho bởi giá trị của trờng vectơ tại vị trí của hạt. 8 x = u(t 0 ) u(t) f(x) 1.1.3. Định nghĩa. Một điều kiện ban đầu cho nghiệm u: J W là một điều kiện u(t 0 ) = x 0 , trong đó t 0 J, x 0 W (để đơn giản ta thờng lấy t 0 = 0). 1.2. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm 1.2.1. Định nghĩa Một hàm f: W E, W là một tập mở của không gian vectơ E, đợc gọi là Lipsit trên W nếu tồn tại một hằng K sao cho: f (y) f (x) K y x với mọi x,y trong W. Ta gọi K là một hằng số Lipsit đối với f. Ta nói f là Lipsit địa phơng nếu mỗi điểm thuộc miền xác định W của f có một lân cận W 0 trong W sao cho hạn chế f W là Lipsit . Hằng số Lipsit của 0 f W có thể thay đổi cùng với W 0 . 1.2.2. Định lý. Giả sử W E là một tập con mở của không gian vectơ định chuẩn, f: W E là một ánh xạ lớp C 1 (khả vi liên tục) và x 0 W, khi đó có một số a > 0 nào đó và một nghiệm duy nhất x: (-a, a) W của phơng trình vi phân (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x 0 . Để chứng minh Định lý 1.2.2, trớc tiên ta chứng minh bổ đề sau. Bổ đề. Nếu hàm f: W E thuộc lớp C 1 thì f Lipsit địa phơng. Trớc khi đa ra chứng minh ta nhắc lại ý nghĩa của đạo hàm Df(x) của hàm f tại x W. Đây là một toán tử tuyến tính trên E đặt tơng ứng mỗi vectơ u E với một vectơ Df(x)u = s 0 1 lim (f (x su) f (x) s + , s . vectơ này tồn tại nếu Df(x) đợc xác định. Trong hệ toạ độ (x 1 , ., x n ) trên E, giả thử f(x) = (f 1 (x 1 , ., x n ), f n (x 1 , ., x n )), khi đó Df(x) đợc xác định bởi n ì n - ma trận của các đạo hàm riêng 9 j i 1 n ( / x )(f (x , ., x ) Ngợc lại, nếu tất cả các đạo hàm riêng nói trên tồn tại và liên tục thì f thuộc lớp C 1 . Với mỗi x W, ta có Df (x) Df (x) u . Điều này khẳng định f: W E thuộc lớp C 1 kéo theo ánh xạ W L(E) biến x thành Df(x) là một ánh xạ liên tục. Chứng minh bổ đề. Giả thử rằng: f: W E thuộc lớp C 1 và x 0 W. Giả thử b > 0 là khá bé để cho hình cầu B b (x 0 ) đợc chứa trong W, ở đây: { } b 0 0 B (x ) x W \ x x b= Ta ký hiệu hình cầu B b (x 0 ) này bởi W 0 . Gọi K là một cận trên của Df(x 0 ) trên W 0 . Cận này tồn tại vì Df liên tục và W 0 compact. Tập W 0 là lồi, nghĩa là nếu y, z W 0 thì đoạn thẳng nối y, z cũng nằm trong W 0 . Giả sử y và x ở trong W 0 và đặt u = z - y. Khi đó y + su W 0 với 0 s 1. Giả thử (s) = f(y + su); Vậy : [0, 1] E là tích [0, 1] W 0 E trong đó ánh xạ thứ nhất biến s thành y + su. Theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp ta có '(s) = Df (y + su)u. Do vậy 1 0 f (z) f (y) ) '(s)ds = (0 = = 1 0 Df (y su)uds+ Vậy do 1 0 f (z) f (y) K u ds K z y = Bổ đề đã đợc chứng minh. Chú ý rằng thực chất ta đã chứng minh nhận xét sau: Nếu W 0 là lồi và nếu Df (x) K với mọi x W 0 thì K là một hằng số Lipsit đối với 0 f W . 10