Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 55 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
55
Dung lượng
726,85 KB
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
NGUYỄN TẤN MINH
HÀM ĐƠNDIỆPVÀMỘTSỐTÍNHCHẤT
CỦA HÀMĐƠNDIỆP
Chuyên ngành : Toán Giải Tích
Mã số : 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG
Thành phố Hồ Chí Minh - 2010
THƯ
VIỆN
LỜI CÁM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Cô hướng dẫn luận văn
TS.LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG, đã nhiệt tìnhvà tận tâm hướng dẫn em trong suốt thời gian thực
hiện luận văn.
Em xin chân thành cám ơn tập thể quý Thầy Cô đã tham gia giảng dạy lớp Cao học giải
tích K17. Quý Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, mang đến cho em những kiến thức bổ ích và
thú vị, làm tăng thêm khả năng tìm tòi nghiên cứu khoa học trong em.
Em xin chân thành cám ơn quý Thầy Cô đã đọc và góp ý cho luận văn của em thêm sâu
sắc.
Cuối cùng, em xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Toán, Phòng KHCN-SĐH
trường ĐHSP TP.HCM, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt thời gian học tập
cũng như trong suốt thời gian thực hiện luận văn này.
Luận văn ắt hẳn còn những thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý nhiệt tìnhcủa quý
Thầy Cô.
LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đây là đề tài nghiên cứu của em, các số liệu, các kết quả của
luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì một công trình nào
khác.
Tác giả luận văn
MỞ ĐẦU
Giải tích phức đã xuất hiện trong nửa đầu thế kỉ XVIII, gắn liền với tên tuổi của L.Ơle.
Đỉnh cao của nó là trong thế kỉ XIX, chủ yếu bằng các công trình của Cauchy, Riemann,
Weierstrass. Đến ngày nay, phần cổ điển của giải tích phức - lý thuyết hàmmột biến phức - đã
phát triển gần như trọn vẹn. Song, cũng chính điều này, thường xuất hiện những vấn đề chưa
được giải quyết do cách đặt mới của các bài toán toán học cũng như các ứng dụng của nó trong
thực tiễn theo đà phát triển của xã hội.
Hàmđơndiệp là một bộ phận không thể thiếu trong lý thuyết hàm
một biến phức. Hàm
đơn diệp có nhiều tínhchất đẹp và được nhiều nhà toán học từ nhiều trường phái quan tâm
nghiên cứu. Việc tập hợp các kết quả đó một cách có hệ thống, rõ ràng, mạch lạc là việc cần
thiết cũng như cần phát hiện thêm
những vấn đề mới từ việc nghiên cứu đề tài. Đây cũng là lí
do em chọn đề tài này.
Mục tiêu của luận văn là trình bày về khái niệm hàmđơn diệp, mộtsố kết quả cơ bản của
hàm đơn diệp, để từ đó nêu ra những tích chất quan trọng củahàmđơn diệp.
Luận văn gồm h
ai chương:
Chương 1: Trình bày khái niệm hàmđơndiệpvà các kết quả cơ bản nhất củahàmđơn
diệp; các định lí dùng để tính diện tích trong và ngoài của miền ảnh củahàmđơn diệp; đánh giá
cận trên đối với môđun hệ số
2
z trong khai triển hàmđơn diệp; các cận đối với môđun củahàm
đơn diệp.
Chương 2: Từ những kết quả đạt được trong chương 1, trong chương 2 này trình bày một
số tínhchấtcủahàm đơn diệp: tínhchấtcủahàm biểu diễn ánh xạ bảo giác từ hình tròn đơn vị
lên các miền đặc biệt; cực trị của các hàm biến miền thành hình tròn.
MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN CHUẨN BỊ
1. Các khái niệm cơ bản
C là mặt phẳng phức, X C.
- Giả sử z
0
C và r > 0. Ta gọi đĩa mở hay hình tròn mở tâm z
0
, bán kính r là tập S(z
0
, r)
= {z C:
||
z-z
0
< r}. Hình tròn S(z
0
, r) cũng thường gọi là - lân cận của điểm z
0
.
- Giả sử r > 0 bất kỳ, tập hợp các điểm z C: 0 <
||
z-z
0
< r gọi là - lân cận thủng của
điểm z
0
C.
- Tập X gọi là mở nếu mọi z
0
X, tồn tại hình tròn tâm z
0
, bán kính r > 0 sao cho S(z
0
, r
) C.
- Điểm z
0
được gọi là điểm biên của X nếu mọi hình tròn S(z
0
, r), r > 0 đều chứa những
điểm thuộc X và những điểm không thuộc X. Tập tất cả những điểm biên của X được gọi là
biên của X, kí hiệu ∂X.
- Điểm z
0
được gọi là điểm dính của X nếu mọi hình tròn S(z
0
, r), r > 0 đều chứa một
phần tử nào đó của X. Tập tất cả điểm dính của X gọi là bao đóng của X, kí hiệu
X
.
- Điểm z
0
được gọi là điểm trong của X nếu tồn tại r > 0 sao cho S(z
0
, r) X.
Tập tất cả các điểm trong của X gọi là phần trong của X, kí hiệu
o
X.
Dễ thấy
X
= X ∂X,
o
X = X\∂X.
- Tập X được gọi là đóng nếu X =
X
hay nói cách khác X ∂X.
- Tập X được gọi là bị chặn nếu có mộtsố dương R sao cho hình tròn
||
z
< R chứa toàn
bộ tập X.
- Điểm z
0
được gọi là điểm cô lập của X nếu có một lân cận thủng của z
0
trong đó không
có một điểm nào của X.
- Tập X được gọi là liên thông nếu không tồn tại hai tập hợp mở A, B sao cho X A ≠
, X B ≠ ; X A B = ; X A B.
- Miền là một tập hợp con X của C có hai tính chất:
i) Với mỗi điểm thuộc X luôn tồn tại hình tròn đủ bé nhận điểm đó làm tâm và nằm hoàn
toàn trong X (tính mở).
ii) Có thể nối hai điểm bất kì thuộc X bằng một đường cong nằm
hoàn toàn trong X (tính
liên thông).
- Miền X có biên là một tập liên thông gọi là miền đơn liên. Ngược lại, miền X có biên là
một tập không liên thông gọi là miền đa liên.
- Một đường cong có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là đường cong đóng. Đường
cong không có điểm tự cắt gọi là đường cong Jordan. Đường cong Jordan đóng còn gọi là chu
tuyến.
- Miền X được gọi là miền Jordan nếu biên ∂X của nó gồm những đường cong Jordan
đóng.
- Giả sử (t) và (t) là các hàm thực liên tục trên [a,b
] của đường thẳng thực. Khi đó
phương trình z = z(t) = (t) + i (t), a ≤ t ≤ b cho biểu diễn tham sốmột đường cong L =
z([a,b]) trong mặt phẳng phức C. Đường cong L gọi là trơn nếu các hàm (t), (t) có đạo hàm
liên tục và các đạo hàm đó không đồng thời bằng 0 với mọi t [a,b]. Đường cong liên tục tạo
bởi mộtsố hữu hạn các đư
ờng cong trơn được gọi là trơn từng khúc.
- Xét hàmsố = f(z), với mỗi giá trị của đối số có một giá trị duy nhất củahàmsố gọi là
hàm sốđơn trị. Ngược lại, với mỗi giá trị của đối số ta nhận được nhiều giá trị củahàmsố gọi
là hàmsố đa trị.
- Hàm giải tích: Nếu hàmsố = f(z) có đạo hàm tại z = z
0
và tại mọi điểm trong lân cận
của điểm z
0
thì f(z) giải tích tại z
0
và z
0
là một điểm thường của f(z). Mộthàm giải tích tại mọi
điểm của X được gọi là giải tích trong X.
- Điểm chính quy: Giả sử f giải tích trong miền (liên thông) X và z
0
là một điểm biên của
X. Ta nói z
0
là điểm chính quy của f nếu tồn tại lân cận mở liên thông của z
0
vàmộthàm g
giải tích trong sao cho g trùng với f trong một tập hợp mở khác rỗng của X nhận z
0
làm
điểm biên. Trong trường hợp ngược lại ta nói z
0
là một điểm kì dị của f.
- Điểm z
0
C (mặt phẳng phức mở rộng) được gọi là điểm bất thường cô lập củahàm
số f(z) nếu có một lân cận thủng của z
0
(nếu z
0
là điểm hữu hạn thì lân cận thủng đó là 0 <
||
z-z
0
< r, r > 0; nếu z
0
là điểm vô hạn thì lân cận thủng là r <
||
z
< ∞, r > 0) trong đó hàmsố f(z) giải
tích, nhưng chính tại z
0
thì hàmsố không giải tích. Điểm bất thường cô lập được chia hành ba
loại:
i) Điểm bất thường bỏ được nếu lim
z z
0
f(z) = A ≠ ∞
ii) Cực điểm nếu lim
z z
0
f(z) = ∞
iii) Điểm bất thường cốt yếu nếu hàm f(z) không có giới hạn khi z z
0
- Chuỗi hàm
i = +∞
i = -∞
a
i
(z-z
0
)
i
gọi là chuỗi hàm Laurent và khai triển
f(z)=
i = +∞
i = -∞
a
i
(z-z
0
)
i
=
i = +∞
i = 0
a
i
(z-z
0
)
i
+
i = -1
i = -∞
a
i
(z-z
0
)
i
trong lân cận thủng của z
0
gọi là khai triển
Laurent. Chuỗi Laurent gồm hai bộ phận: một bộ phận gồm các số hạng có số mũ không âm,
gọi là phần đều; một bộ phận gồm các số hạng có số mũ âm, gọi là phần chính.
- Điểm bất thường cô lập z
0
củahàmsố f(z) là cực điểm của nó khi và chỉ khi phần chính
trong khai triển Laurent của f(z) trong lân cận thủng của z
0
chỉ chứa mộtsố hữu hạn số hạng
i = +
i = -n
a
i
(z-z
0
)
i
, trong đó a
-n
≠ 0 .
- Cho hàmsố f xác định trên miền X. Xét lim
∆z 0
f(z+∆z)-f(z)
∆z
, z, ∆z X. Nếu tại z giới
hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức củahàm f tại điểm z, kí hiệu f’(z) hay
df(z)
dz
.
Hàm f có đạo hàm phức tại điểm z cũng được gọi là khả vi phức hay
C-khả vi tại z.
- Hàmsố f xác định trên miền X được gọi là chỉnh hình tại điểm z
0
nếu tồn tại số dương
r sao cho f là
C-khả vi tại mọi z S(z, r). Hàm f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc X gọi là chỉnh
hình trên X.
- Nếu trong mặt phẳng
C mọi điểm bất thường củahàmsố f(z) đều là điểm cô lập và
không phải là điểm bất thường cốt yếu (nghĩa là chỉ có thể là điểm bất thường bỏ được hoặc cực
điểm) thì f(z) là mộthàm phân hình.
- Ánh xạ f gọi là bảo giác tại mọi điểm của tập mở X nếu nó giải tích trong X và f’(z)
≠ 0, z
X.
- Hàmsố f(z) gọi là khai triển được tại điểm a nếu nó phân tích được thành chuỗi luỹ
thừa theo (z-a) tại lân cận của điểm a.
- Hàmsố f(z) gọi là chuẩn hoá được tại điểm
0
z nếu f(
0
z ) = 0 và f’(
0
z ) = 1.
2. Mộtsố định lí sử dụng trong luận văn
- Định lí Ruse: Giả sử f và g chỉnh hình trong miền đóng
X
với biên liên tục
X
và giả sử
()
f
z > ()gz với mọi z
X
. Khi đó các hàm f và (f + g) có số 0-điểm như nhau trong X.
- Định lí Hurwitz: Giả sử dãy hàm
n
f
chỉnh hình trong miền X, hội tụ đều trên tập con
compắc K
X bất kì đến hàm f ≠ const. Khi đó, nếu f(
0
z ) = 0 thì trong hình tròn {
0
zz
< r}
X bất kì mọi hàm
n
f
, bắt đầu từ hàm nào đó, đều bị triệt tiêu.
- Định lí Liouville: Nếu hàm f chỉnh hình trong toàn mặt phẳng
C và giới nội thì nó là
hằng số.
- Định lí Joukowski: Nếu a là điểm bất thường cốt yếu củahàm f thì với số b
C
bất kì,
ta có thể tìm dãy điểm
n
z a sao cho limf(
n
z ) = b.
- Định lí Weierstrass: Cho
1
f
,
2
f
,…là dãy hàm giải tích trong tập mở A C. Giả sử dãy
hàm này hội tụ đều trên mỗi tập con compắc của A đến mộthàm f. Khi đó f cũng giải tích trong
A. Hơn nữa, dãy {
'
n
f
} cũng hội tụ đều trên mỗi tập con compắc của A đến hàm f’.
- Nguyên lí môđun cực tiểu: Nếu hàm f chỉnh hình trong miền X và không bị triệt tiêu
trong miền ấy thì
f
có thể đạt cực tiểu (địa phương) trong X chỉ trong trường hợp f = const.
- Nguyên lí Argument: Giả sử hàm f phân hình trong miền X
C, G X là miền mà
biên
G là đường cong liên tục và G không chứa 0-điểm và cực điểm của f. Gọi N và P lần
lượt là tổng số các 0-điểm và tổng số các cực điểm của f trong G. Khi đó N - P =
1
2
G
argf(z).
- Bổ đề Schwarz: Giả sử hàm f chỉnh hình trong hình tròn D:
z < 1 và
()
f
z ≤ 1, z D, f(0) = 0. Khi đó z D: ()
f
z ≤ z .
Đẳng thức xảy ra khi f(x) =
i
e
z, là hằng số thực.
- Bất đẳng thức Lebedev-Milin thứ hai: Gọi
là mộthàm giải tích trong một lân cận của
0 mà
(0) = 0 và (z) =
1
k
k
k
z
, gọi ψ(z) =
()z
e
=
0
k
k
k
z
,
0
= 1. Khi đó, với mọi n = 1,
2,…thì
2
0
k
k
≤ (n + 1)exp{
1
1n
2
11
1
()
nm
k
mk
k
k
}.
Chương 1:
HÀM ĐƠNDIỆP
1.1. Khái niệm hàmđơndiệp
1.1.1. HàmđơndiệpMộthàmcủa biến phức z xác định trên tập A C là một quy luật f, theo nó mỗi giá trị z
A được đặt tương ứng một giá trị f(z) C. Như vậy, mộthàmsố f xác định trên A là một
ánh xạ f: A
C, z
f(z): = . Khi đó, A gọi là tập xác định của f; tập hợp gồm tất cả các giá
trị
của f(z) lấy trên A gọi là tập các giá trị. Khi ánh xạ f: A C là đơn ánh thì hàm f được
gọi là đơndiệp (hay 1-lá).
Ví dụ: Ánh xạ
a
: D D với D = {z C:
||
z
< 1} thoả mãn
a
(z) =
1
za
az
, a D là đơn diệp.
Có thể xảy ra mộthàm không đơndiệp trên
C nhưng có thể chia C thành các miền con
D
1
, D
2
,…để trên D
1
, D
2
,…hàm f đơn diệp. Khi đó mỗi miền D
i
, i = 1, 2,…được gọi là một miền
đơn diệpcủa f.
Ví dụ: Xét hàm
= z
n
, n ≥ 2. Dễ thấy, nếu A C không chứa các điểm z
1
, z
2
sao cho
||
z
1
=
||
z
2
và arg(z
1
- z
2
) =
k2
n
thì = z
n
đơndiệp trên A. Nói riêng, tập A
n
= {z = re
i
: 0 ≤ r
<
, 0 ≤ <
2
n
} thoả mãn điều kiện trên.
Mộthàm f được gọi là đơndiệp trong một lân cận của
nếu và chỉ nếu g(z) = f(
1
z
) đơn
diệp trong một lân cận của 0.
Ví dụ: Hàm w = z +
1
z
đơndiệp trong z > 1; hàm w =
az b
cz d
(ad-bc
≠ 0) đơndiệp trong C .
Dễ thấy rằng, hàm f(z) đơndiệp trên A thì
1
()
f
z
cũng đơndiệp trên A và ngược lại.
1.1.2. Mộtsố kết quả cơ bản
- Nếu hàm phân hình (trong trường hợp đặc biệt là hàm giải tích) = f(z) là hàmđơn
diệp trong miền A thì tại mọi điểm chính quy của miền này đạo hàmcủa nó sẽ khác không.
Thật vậy, nếu tại điểm z
0
nào đó mà f(z
0
) = a, f’(z
0
) = 0 thì z
0
là a-điểm có bội lớn hơn 1.
Khi đó theo một trong các hệ quả của Định lí Ruse, với b đủ gần a, f(z) sẽ nhận giá trị b nhiều
hơn một lần. Điều này trái với giả thiết đơn diệp.
Tuy nhiên, khi đạo hàmcủahàm w = f(z) khác 0 trên toàn miền xác định A thì chưa chắc
là đơn diệp.
Chẳng hạn, đạo hàmcủahàm w = f(z) = (z-1)
n
, n ≥ 3 khác 0 trên toàn miền D = {z C:
||
z
< 1}
nhưng nó không đơndiệp trên D.
- Hàmđơndiệp
= f(z) trong miền A có thể có không nhiều hơn một cực điểm, trong đó
cực điểm chỉ có thể là cực điểm đơn.
Thật vậy, nếu z
0
là một cực điểm đối với hàm = f(z) thì z
0
là 0-điểm đối với hàm
1
f(z)
. Vì
1
f(z)
cũng là hàmđơndiệp nên z
0
là 0-điểm đơn đối với hàm
1
f(z)
. Suy ra z
0
là cực điểm đơn đối
với hàm f(z).
- Mọi hàm giải tích
= f(z) đều là hàmđơndiệp trong một lân cận đủ nhỏ của điểm bất
kì mà tại đó đạo hàmcủa nó khác không.
Thật vậy, giả sử f’(z
0
) ≠ 0. Nếu tại mọi lân cận của z
0
mà f(z) không đơndiệp thì sẽ tồn
tại hai dãy điểm a
n
, b
n
sao cho a
n
z
0
, b
n
z
0
; a
n
≠ b
n
, f(a
n
) = f(b
n
). Khi đó, giả sử là
đường tròn có tâm tại z
0
, bán kính , sao cho f(z) ≠ f(z
0
) với 0 <
||
z-z
0
≤ . Rõ ràng hàm f(z)-
f(z
0
) chỉ có một 0-điểm bên trong (kể cả bội) và không có 0-điểm trên .
Mặt khác, do f(z)-f(a
n
) f(z)-f(z
0
) đều trên nên theo Định lí Hurwitz, với n đủ lớn thì
f(z)-f(a
n
) cũng có một 0-điểm bên trong (kể cả bội). Do đó ta thấy mâu thuẫn vì với n đủ lớn
thì hàm này có các 0-điểm là a
n
, b
n
bên trong .
Chú ý rằng nếu w = f(z) đơndiệp thì hàmsố ngược z = f
-1
(w) chỉ giải tích trong một lân
cận nào đó của w
0
= f(z
0
). Chẳng hạn, hàmsố w = z
2
giải tích trong miền A:
1
1
2
3
0arg
2
z
z
và
trong A có w’ = 2z
≠ 0. Song, qua phép ánh xạ w = z
2
biến A thành hình vành khăn
1
1
4
w
,
trong nửa trên của hình vành khăn này hàmsố z = f
-1
(w) không đơn trị.
- Mọi hàm phân hình đều là hàmđơndiệp trong một lân cận đủ nhỏ của cực điểm đơn
bất kì.
[...]... cực điểm đơncủa f(z) thì z0 là 0-điểm đơn đối với Suy ra hàm 1 f(z) 1 là hàmđơndiệp trong một lân cận của z0 Do đó f(z) cũng là đơndiệp trong lân cận f(z) này - Mọi hàm phân hình f(z) đơndiệp trong miền A đều cho ta một ánh xạ bảo giác = f(z) từ miền A lên miền giá trị tương ứng củahàm f(z) Điều này được suy từ điều kiện: Đạo hàm củahàm đơn diệp khác không tại mọi điểm chính quy và cực điểm... định trên miền giá trị của f(z)) cũng đơndiệp trên A Nói cách khác, hợp của hai hàmđơndiệp là hàmđơndiệp - Nếu dãy hàm fn chỉnh hình vàđơndiệp trong miền A, hội tụ đều trên mỗi tập con compắc K A, thì hàm giới hạn f của dãy ấy hoặc là đơndiệp hoặc là hằng số Thật vậy, giả sử f(z1) = f(z2) nhưng z1 ≠ z2 (z1, z2 A) và f là hằng số Ta xét dãy hàm gn(z) = fn(z)-fn(z2) và hình tròn = {z C:... trái với giả thiết f(z) là đơndiệp trên miền xác định ban đầu - Từ những ví dụ cơ bản nhất đã chỉ ra rằng tổng, hiệu, tích, thương của hai hàmđơndiệp trên miền A có thể không đơndiệp trên A Đạo hàm, tích phân của mộthàm đơn diệp trên A cũng vậy Chẳng hạn, f(z) + g(z)= z(1-z)-1 + z(1+iz)-1 có đạo hàm triệt tiêu tại 1 (1+i) 2 Tuy nhiên, nếu f(z) và g(z) đơndiệp trên A thì hàm hợp g[f(z)] (với điều... đó an ≤ n , n = 2, 3, 4,…(đpcm) Ta thấy hàm Koebe: f(z) = đánh giá (1.37) là tối ưu z = z 2 z 2 nz n thoả mãn Định lí 12 Vì vậy, 2 (1 z ) Chương 2: MỘTSỐTÍNHCHẤTCỦAHÀMĐƠNDIỆP 2.1 Tính chấtcủa hàm biểu diễn ánh xạ bảo giác từ hình tròn đơn vị lên các miền đặc biệt Trong phần này chúng ta nghiên cứu hai lớp hàm con quan trọng của S: hàm lồi vàhàm hình sao Mặc dù cả hai được định nghĩa... khi và chỉ khi f là một phép quay thích hợp củahàm Koebe (Chú thích: hàm f(z) = f(z) = z (1 z ) 2 z được gọi là hàm Koebe; hàm (1 z ) 2 , với λ C và = 1, được gọi là phép quay củahàm Koebe ) Chứng minh za f( ) f (a) 1 az Với mỗi số phức a D, ta định nghĩa fa(z)= , fa(z) giải tích trên D 2 (1 a ) f '(a ) - Dễ thấy fa (z) là hàmđơndiệp trên D (vì nó là hợp của những hàmđơn diệp. .. vì khi đó f(z) là hàm hằng Do vậy f(z) là hàm phân tuyến tính Để ý rằng tất cả các điểm của mặt phẳng đều là giá trị của f(z) Ta còn có một lưu ý khác dành cho hàmđơndiệp Nếu f(z) là hàmđơndiệp trong miền thu được từ A bằng cách bỏ đi một tập hợp điểm nào đó không có giới hạn bên trong A, thì sau khi xác định thêm một cách thích hợp tại các điểm của tập hợp đó f(z) sẽ là hàmđơndiệp trong miền A... xem như hợp của những đoạn thẳng có chung điểm a Mộthàm f: D → C, D = {z C: |z| < 1 } gọi là hàm lồi nếu f đơndiệp trên D và f(D) = ∆ là một tập lồi trong C Mộthàm f: D → C, D = {z C: |z| < 1 } gọi là hàm hình sao nếu f đơndiệp trên D và f(D) = ∆ là một tập hình sao đối với gốc toạ độ 0 trong C Gọi K S là tập các hàm lồi; S* S là tập các hàm hình sao Khi đó K S* S Chú ý rằng, hàm Koebe... đó r ≤ |z1-z2|; hàm giới hạn g(z) = f(z)- f(z2) bằng không tại z1, do đó theo Định lí Hurwitz, mọi gn(z) bắt đầu từ chỉ số nào đó đều bằng không trong hình tròn này Điều này trái với tínhđơndiệpcủa các hàm fn - Điều kiện f’(z0) ≠ 0 là cần và đủ của tính đơn diệp địa phương củahàm f chỉnh hình tại z 0 Tính đủ của điều kiện này cũng có thể thu được từ định lí tổng quát về sự tồn tại hàm ẩn trong giải... giải tích vàđơndiệp trong miền A thì diện tích của miền ảnh B = f(A) được tính S = 2 f '( z ) dxdy Nếu A là một miền Jordan bị chặn bởi một đường cong A Jordan trơn và f giải tích, đơndiệp trong bao đóng của nó thì theo một ứng dụng của Định lí Green, diện tích của miền ảnh B = f(A) có thể được tính bằng tích phân theo chu tuyến: S = 1 1 wdw = 2i C f ( z ) f '( z )dz với = f(C) là ảnh của C... là hàm hữu tỉ Thật vậy, giả sử z1, z2,…, zn là các cực điểm của f(z) (số lượng của chúng là không âm và trong số chúng có thể có ) Từ f(z) ta tính tổng các phần chính của f(z) tại các điểm z1, z2,…, zn Khi đó ta được hàm giải tích trên toàn bộ mặt phẳng Theo Định lí Liouville thì hàm này là hàm hằng Suy ra f(z) bằng tổng của hằng sốvà các phần chính của nó tại các điểm z1, z2 ,…, zn Vậy f(z) là hàm . tiêu của luận văn là trình bày về khái niệm hàm đơn diệp, một số kết quả cơ bản của
hàm đơn diệp, để từ đó nêu ra những tích chất quan trọng của hàm đơn diệp. . khái niệm hàm đơn diệp và các kết quả cơ bản nhất của hàm đơn
diệp; các định lí dùng để tính diện tích trong và ngoài của miền ảnh của hàm đơn diệp; đánh