Hàm đơn diệp và một số tính chất của hàm đơn diệp

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN TẤN MINH HÀM ĐƠN DIỆP VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM ĐƠN DIỆP Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CÁM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Cô hướng dẫn luận văn TS.LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG, nhiệt tình tận tâm hướng dẫn em suốt thời gian thực luận văn Em xin chân thành cám ơn tập thể quý Thầy Cô tham gia giảng dạy lớp Cao học giải tích K17 Quý Thầy Cô nhiệt tình giảng dạy, mang đến cho em kiến thức bổ ích thú vị, làm tăng thêm khả tìm tòi nghiên cứu khoa học em Em xin chân thành cám ơn quý Thầy Cô đọc góp ý cho luận văn em thêm sâu sắc Cuối cùng, em xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Toán, Phòng KHCN-SĐH trường ĐHSP TP.HCM, tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt thời gian học tập suốt thời gian thực luận văn Luận văn hẳn thiếu sót Kính mong nhận góp ý nhiệt tình quý Thầy Cô LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài nghiên cứu em, số liệu, kết luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận văn MỞ ĐẦU Giải tích phức xuất nửa đầu kỉ XVIII, gắn liền với tên tuổi L.Ơle Đỉnh cao kỉ XIX, chủ yếu công trình Cauchy, Riemann, Weierstrass Đến ngày nay, phần cổ điển giải tích phức - lý thuyết hàm biến phức - phát triển gần trọn vẹn Song, điều này, thường xuất vấn đề chưa giải cách đặt toán toán học ứng dụng thực tiễn theo đà phát triển xã hội Hàm đơn diệp phận thiếu lý thuyết hàm biến phức Hàm đơn diệp có nhiều tính chất đẹp nhiều nhà toán học từ nhiều trường phái quan tâm nghiên cứu Việc tập hợp kết cách có hệ thống, rõ ràng, mạch lạc việc cần thiết cần phát thêm vấn đề từ việc nghiên cứu đề tài Đây lí em chọn đề tài Mục tiêu luận văn trình bày khái niệm hàm đơn diệp, số kết hàm đơn diệp, để từ nêu tích chất quan trọng hàm đơn diệp Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày khái niệm hàm đơn diệp kết hàm đơn diệp; định lí dùng để tính diện tích miền ảnh hàm đơn diệp; đánh giá cận môđun hệ số z khai triển hàm đơn diệp; cận môđun hàm đơn diệp Chương 2: Từ kết đạt chương 1, chương trình bày số tính chất hàm đơn diệp: tính chất hàm biểu diễn ánh xạ bảo giác từ hình tròn đơn vị lên miền đặc biệt; cực trị hàm biến miền thành hình tròn MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN CHUẨN BỊ Các khái niệm C mặt phẳng phức, X  C - Giả sử z0  C r > Ta gọi đĩa mở hay hình tròn mở tâm z0, bán kính r tập S(z0, r) = {z  C: |z-z0| < r} Hình tròn S(z0, r) thường gọi  - lân cận điểm z0 - Giả sử r > bất kỳ, tập hợp điểm z  C: < |z-z0| < r gọi  - lân cận thủng điểm z0  C - Tập X gọi mở z0  X, tồn hình tròn tâm z0, bán kính r > cho S(z0, r )  C - Điểm z0 gọi điểm biên X hình tròn S(z0, r), r > chứa điểm thuộc X điểm không thuộc X Tập tất điểm biên X gọi biên X, kí hiệu ∂X - Điểm z0 gọi điểm dính X hình tròn S(z0, r), r > chứa phần tử X Tập tất điểm dính X gọi bao đóng X, kí hiệu X - Điểm z0 gọi điểm X tồn r > cho S(z0, r)  X o Tập tất điểm X gọi phần X, kí hiệu X o X = X  ∂X, X = X\∂X Dễ thấy - Tập X gọi đóng X = X hay nói cách khác X  ∂X - Tập X gọi bị chặn có số dương R cho hình tròn |z| < R chứa toàn tập X - Điểm z0 gọi điểm cô lập X có lân cận thủng z0 điểm X - Tập X gọi liên thông không tồn hai tập hợp mở A, B cho X  A ≠  , X  B ≠  ; X  A  B =  ; X  A  B - Miền tập hợp X C có hai tính chất: i) Với điểm thuộc X tồn hình tròn đủ bé nhận điểm làm tâm nằm hoàn toàn X (tính mở) ii) Có thể nối hai điểm thuộc X đường cong nằm hoàn toàn X (tính liên thông) - Miền X có biên tập liên thông gọi miền đơn liên Ngược lại, miền X có biên tập không liên thông gọi miền đa liên - Một đường cong có điểm đầu điểm cuối trùng gọi đường cong đóng Đường cong điểm tự cắt gọi đường cong Jordan Đường cong Jordan đóng gọi chu tuyến - Miền X gọi miền Jordan biên ∂X gồm đường cong Jordan đóng - Giả sử (t)  (t) hàm thực liên tục [a,b] đường thẳng thực Khi phương trình z = z(t) = (t) + i (t), a ≤ t ≤ b cho biểu diễn tham số đường cong L = z([a,b]) mặt phẳng phức C Đường cong L gọi trơn hàm (t),  (t) có đạo hàm liên tục đạo hàm không đồng thời với t  [a,b] Đường cong liên tục tạo số hữu hạn đường cong trơn gọi trơn khúc - Xét hàm số  = f(z), với giá trị đối số có giá trị hàm số gọi hàm số đơn trị Ngược lại, với giá trị đối số ta nhận nhiều giá trị hàm số gọi hàm số đa trị - Hàm giải tích: Nếu hàm số  = f(z) có đạo hàm z = z0 điểm lân cận điểm z0 f(z) giải tích z0 z0 điểm thường f(z) Một hàm giải tích điểm X gọi giải tích X - Điểm quy: Giả sử f giải tích miền (liên thông) X z0 điểm biên X Ta nói z0 điểm quy f tồn lân cận mở liên thông  z0 hàm g giải tích  cho g trùng với f tập hợp mở khác rỗng X   nhận z0 làm điểm biên Trong trường hợp ngược lại ta nói z0 điểm kì dị f - Điểm z0  C (mặt phẳng phức mở rộng) gọi điểm bất thường cô lập hàm số f(z) có lân cận thủng z0 (nếu z0 điểm hữu hạn lân cận thủng < |z-z0| < r, r > 0; z0 điểm vô hạn lân cận thủng r < |z| < ∞, r > 0) hàm số f(z) giải tích, z0 hàm số không giải tích Điểm bất thường cô lập chia hành ba loại: i) Điểm bất thường bỏ lim f(z) = A ≠ ∞ z  z0 ii) Cực điểm lim f(z) = ∞ z  z0 iii) Điểm bất thường cốt yếu hàm f(z) giới hạn z  z0 i = +∞ - Chuỗi hàm i = +∞ f(z)=  (z-z0) i = -∞  ai(z-z0)i i = -∞ i = +∞ i =  i=0 gọi chuỗi hàm Laurent khai triển i = -1 i (z-z0) +  i = -∞ (z-z0)i lân cận thủng z0 gọi khai triển Laurent Chuỗi Laurent gồm hai phận: phận gồm số hạng có số mũ không âm, gọi phần đều; phận gồm số hạng có số mũ âm, gọi phần - Điểm bất thường cô lập z0 hàm số f(z) cực điểm phần khai triển Laurent f(z) lân cận thủng z0 chứa số hữu hạn số hạng i = +  i = -n (z-z0 )i, a-n ≠ f(z+∆z)-f(z) , z, ∆z  X Nếu z giới ∆z ∆z  - Cho hàm số f xác định miền X Xét lim hạn tồn gọi đạo hàm phức hàm f điểm z, kí hiệu f’(z) hay df(z) dz Hàm f có đạo hàm phức điểm z gọi khả vi phức hay C-khả vi z - Hàm số f xác định miền X gọi chỉnh hình điểm z0 tồn số dương r cho f C-khả vi z  S(z, r) Hàm f chỉnh hình điểm thuộc X gọi chỉnh hình X - Nếu mặt phẳng C điểm bất thường hàm số f(z) điểm cô lập điểm bất thường cốt yếu (nghĩa là điểm bất thường bỏ cực điểm) f(z) hàm phân hình - Ánh xạ f gọi bảo giác điểm tập mở X giải tích X f’(z) ≠ 0, z  X - Hàm số f(z) gọi khai triển điểm a phân tích thành chuỗi luỹ thừa theo (z-a) lân cận điểm a - Hàm số f(z) gọi chuẩn hoá điểm z0 f( z0 ) = f’( z0 ) = Một số định lí sử dụng luận văn - Định lí Ruse: Giả sử f g chỉnh hình miền đóng X với biên liên tục X giả sử f ( z ) > g ( z ) với z  X Khi hàm f (f + g) có số 0-điểm X - Định lí Hurwitz: Giả sử dãy hàm f n chỉnh hình miền X, hội tụ tập compắc K  X đến hàm f ≠ const Khi đó, f( z0 ) = hình tròn { z  z0 < r}  X hàm f n , hàm đó, bị triệt tiêu - Định lí Liouville: Nếu hàm f chỉnh hình toàn mặt phẳng C giới nội số - Định lí Joukowski: Nếu a điểm bất thường cốt yếu hàm f với số b  C bất kì, ta tìm dãy điểm zn  a cho limf( zn ) = b - Định lí Weierstrass: Cho f1 , f ,…là dãy hàm giải tích tập mở A  C Giả sử dãy hàm hội tụ tập compắc A đến hàm f Khi f giải tích A Hơn nữa, dãy { f n' } hội tụ tập compắc A đến hàm f’ - Nguyên lí môđun cực tiểu: Nếu hàm f chỉnh hình miền X không bị triệt tiêu miền f đạt cực tiểu (địa phương) X trường hợp f = const - Nguyên lí Argument: Giả sử hàm f phân hình miền X  C, G  X miền mà biên G đường cong liên tục G không chứa 0-điểm cực điểm f Gọi N P tổng số 0-điểm tổng số cực điểm f G Khi N - P =  G argf(z) 2 - Bổ đề Schwarz: Giả sử hàm f chỉnh hình hình tròn D: z < f ( z ) ≤ 1,  z  D, f(0) = Khi  z  D: f ( z ) ≤ z Đẳng thức xảy f(x) = ei z,  số thực - Bất đẳng thức Lebedev-Milin thứ hai: Gọi  hàm giải tích lân cận mà  (0) =  (z) =    k z k , gọi ψ(z) = e ( z ) = k 1 2,…thì   k ≤ (n + 1)exp{ k 0 1 n m (k  k  ) }  k n  m 1 k 1   k 0 k z k ,  = Khi đó, với n = 1, Chương 1: HÀM ĐƠN DIỆP 1.1 Khái niệm hàm đơn diệp 1.1.1 Hàm đơn diệp Một hàm biến phức z xác định tập A  C quy luật f, theo giá trị z  A đặt tương ứng giá trị f(z)  C Như vậy, hàm số f xác định A ánh xạ f: A  C, z  f(z): =  Khi đó, A gọi tập xác định f; tập hợp gồm tất giá trị  f(z) lấy A gọi tập giá trị Khi ánh xạ f: A  C đơn ánh hàm f gọi đơn diệp (hay 1-lá) Ví dụ: Ánh xạ a : D  D với D = {z C: |z| < 1} thoả mãn a (z) = za ,  a  D đơn diệp  az Có thể xảy hàm không đơn diệp C chia C thành miền D1, D2,…để D1, D2,…hàm f đơn diệp Khi miền Di, i = 1, 2,…được gọi miền đơn diệp f Ví dụ: Xét hàm  = zn, n ≥ Dễ thấy, A  C không chứa điểm z1, z2 cho |z1| = |z2| arg(z1 - z2) = k2  = zn đơn diệp A Nói riêng, tập An = {z = rei : ≤ r n 1; hàm w = cz  d z (ad-bc ≠ 0) đơn diệp C Dễ thấy rằng, hàm f(z) đơn diệp A đơn diệp A ngược lại f ( z) 1.1.2 Một số kết - Nếu hàm phân hình (trong trường hợp đặc biệt hàm giải tích)  = f(z) hàm đơn diệp miền A điểm quy miền đạo hàm khác không Thật vậy, điểm z0 mà f(z0) = a, f’(z0) = z0 a-điểm có bội lớn Khi theo hệ Định lí Ruse, với b đủ gần a, f(z) nhận giá trị b nhiều lần Điều trái với giả thiết đơn diệp Tuy nhiên, đạo hàm hàm w = f(z) khác toàn miền xác định A chưa đơn diệp Chẳng hạn, đạo hàm hàm w = f(z) = (z-1)n, n ≥ khác toàn miền D = {z  C: |z| < 1} không đơn diệp D - Hàm đơn diệp  = f(z) miền A có không nhiều cực điểm, cực điểm cực điểm đơn Thật vậy, z0 cực điểm hàm  = f(z) z0 0-điểm hàm Vì f(z) 1 hàm đơn diệp nên z0 0-điểm đơn hàm Suy z0 cực điểm đơn đối f(z) f(z) với hàm f(z) - Mọi hàm giải tích  = f(z) hàm đơn diệp lân cận đủ nhỏ điểm mà đạo hàm khác không Thật vậy, giả sử f’(z0) ≠ Nếu lân cận z0 mà f(z) không đơn diệp tồn hai dãy điểm an, bn cho an  z0, bn  z0; an ≠ bn, f(an) = f(bn) Khi đó, giả sử  đường tròn có tâm z0, bán kính , cho f(z) ≠ f(z0) với < |z-z0| ≤  Rõ ràng hàm f(z)f(z0) có 0-điểm bên  (kể bội) 0-điểm  Mặt khác, f(z)-f(an)  f(z)-f(z0)  nên theo Định lí Hurwitz, với n đủ lớn f(z)-f(an) có 0-điểm bên  (kể bội) Do ta thấy mâu thuẫn với n đủ lớn hàm có 0-điểm an, bn bên  Chú ý w = f(z) đơn diệp hàm số ngược z = f-1(w) giải tích lân 1   z  cận w0 = f(z0) Chẳng hạn, hàm số w = z giải tích miền A:  0  arg z  3  A có w’ = 2z ≠ Song, qua phép ánh xạ w = z2 biến A thành hình vành khăn  w  1, nửa hình vành khăn hàm số z = f-1(w) không đơn trị - Mọi hàm phân hình hàm đơn diệp lân cận đủ nhỏ cực điểm đơn Thật vậy, z0 cực điểm đơn f(z) z0 0-điểm đơn Suy hàm f(z) hàm đơn diệp lân cận z0 Do f(z) đơn diệp lân cận f(z) - Mọi hàm phân hình f(z) đơn diệp miền A cho ta ánh xạ bảo giác  = f(z) từ miền A lên miền giá trị tương ứng hàm f(z) Điều suy từ điều kiện: Đạo hàm hàm đơn diệp khác không điểm quy cực điểm có cực điểm đơn Ngoài suy từ ánh xạ bảo giác điểm mà hàm số biểu diễn ánh xạ có đạo hàm khác không (hoặc có cực điểm đơn) Chú ý: Cho hàm f(z) = ez xác định A Khi đó, f’(z) = ez ≠ 0, z  A Suy f(z) bảo giác A Tuy nhiên, f(z) không đơn diệp A, f(z + k2) = f(z), z  A Do đó, chiều ngược lại ý không - Nếu f(z) hàm phân hình mặt phẳng f(z) hàm hữu tỉ Thật vậy, giả sử z1, z2,…, zn cực điểm f(z) (số lượng chúng không âm số chúng có ) Từ f(z) ta tính tổng phần f(z) điểm z1, z2,…, zn Khi ta hàm giải tích toàn mặt phẳng Theo Định lí Liouville hàm hàm Suy f(z) tổng số phần điểm z1, z2 ,…, zn Vậy f(z) hàm hữu tỉ - Nếu hàm f(z) hàm phân hình đơn diệp toàn mặt phẳng f(z) hàm phân tuyến tính (nghĩa có dạng az+b ) cz+d Thật vậy, f(z) có không cực điểm cực điểm đơn Theo nhận xét trên, f(z) tổng số phần f(z) cực điểm Suy ra, trường hợp xét, f(z) có dạng c + k ( có cực điểm hữu hạn a), c + kz z-a (nếu  cực điểm) Trường hợp cực điểm không xảy f(z) hàm Do f(z) hàm phân tuyến tính Để ý tất điểm mặt phẳng giá trị f(z) Ta có lưu ý khác dành cho hàm đơn diệp Nếu f(z) hàm đơn diệp miền thu từ A cách bỏ tập hợp điểm giới hạn bên A, sau xác định thêm cách thích hợp điểm tập hợp f(z) hàm đơn diệp miền A Thật vậy, điểm tập hợp điểm cô lập đặc biệt f(z) Để ý đến tính đơn diệp f(z) Định lí Joukowski, dễ thấy điểm đặc biệt điểm đặc biệt cốt yếu Suy ta xác định thêm f(z) điểm cách tự nhiên để f(z) trở thành hàm phân hình A Nếu hai điểm A, f(z) nhận giá trị a giống lân cận đủ nhỏ hai điểm f(z) nhận giá trị gần với a Điều trái với giả thiết f(z) đơn diệp miền xác định ban đầu - Từ ví dụ tổng, hiệu, tích, thương hai hàm đơn diệp miền A không đơn diệp A Đạo hàm, tích phân hàm đơn diệp A Chẳng hạn, f(z) + g(z)= z(1-z)-1 + z(1+iz)-1 có đạo hàm triệt tiêu (1+i) Tuy nhiên, f(z) g(z) đơn diệp A hàm hợp g[f(z)] (với điều kiện g(z) xác định miền giá trị f(z)) đơn diệp A Nói cách khác, hợp hai hàm đơn diệp hàm đơn diệp - Nếu dãy hàm fn chỉnh hình đơn diệp miền A, hội tụ tập compắc K  A, hàm giới hạn f dãy đơn diệp số Thật vậy, giả sử f(z1) = f(z2) z1 ≠ z2 (z1, z2  A) f số Ta xét dãy hàm gn(z) = fn(z)-fn(z2) hình tròn  = {z  C: |z-z1| < r}, r ≤ |z1-z2|; hàm giới hạn g(z) = f(z)- f(z2) không z1, theo Định lí Hurwitz, gn(z) số không hình tròn Điều trái với tính đơn diệp hàm fn - Điều kiện f’(z0) ≠ cần đủ tính đơn diệp địa phương hàm f chỉnh hình z Tính đủ điều kiện thu từ định lí tổng quát tồn hàm ẩn giải tích thực (Jacobian ∂(u,v) = |f’(z)|2 ánh xạ (x,y)  (u,v) khác không ∂(x,y) điểm xét ) Song, ánh xạ khả vi theo nghĩa giải tích thực bất kỳ, điều kiện ∂(u,v) | ≠ điều kiện cần cho tính đơn diệp Điều thấy rõ từ ví dụ: Ánh xạ f ∂(x,y) z0 = x3 + iy có Jacobian không z = 0, đơn diệp Một hàm giải tích f đơn diệp địa phương toàn miền A đủ để f đơn diệp A Ví dụ: Hàm giải tích f(z) = z2 đơn diệp địa phương A ={z:1 < |z| < 2, < argz < 3 } f không đơn diệp A - Nếu f giải tích Re{f’(z)} > miền lồi A f đơn diệp A Thật vậy, cho z1, z2  D, z1 ≠ z2 Khi đó: f(z2) - f(z1) = z2  f '( z )dz z1 = (z2 - z1)  f '(tz2  (1  t ) z1 )dt ≠ 0, Re{f’(z)} > - Mọi hàm gần lồi đơn diệp Thật vậy, f hàm gần lồi nên có hàm lồi g cho Re{ f’(z) } > Gọi A miền xác định g xét hàm g’(z) h(w) = f(g-1(w)), w  A Thế h’(w) = f '( g 1 ( w)) f '( z ) = 1 g '( z ) g '( g ( w)) Suy Re{h’(w)} > A Theo kết h đơn diệp Vì vậy, f đơn diệp 1.2 Định lí diện tích Chúng ta biết Jacobian ánh xạ trơn xem hệ số khuếch đại diện tích Vì vậy, f giải tích đơn diệp miền A diện tích miền ảnh B = f(A) tính S =  f '( z ) dxdy Nếu A miền Jordan bị chặn đường cong A Jordan trơn f giải tích, đơn diệp bao đóng theo ứng dụng Định lí Green, diện tích miền ảnh B = f(A) tính tích phân theo chu tuyến: S = 1 wdw = f ( z ) f '( z )dz với  = f(C) ảnh C  2i  2i C Đạo hàm hàm giải tích có nhiều ý nghĩa mặt hình học Môđun xem hệ số khuếch đại độ dài cung độ đo biến dạng Vì vậy, f giải tích đường cong trơn C  = f(C) chiều dài cung   =  f '( z ) dz C 1.2.1 Định lí diện tích Gọi f: D → G, z  f(z) := w, D = {z: z < 1}, f giải tích, đơn diệp D có khai triển f(z) = z + a2z2 + a3z3 +…+ anzn +…Gọi S lớp hàm f có tính chất  Định lí 1: Nếu f  S thí diện tích f(D) A =   n an n 1 Chứng minh Ta có: w = f(z) = z + a2z2 + a3z3 +…+ anzn +…, z < Gọi Cr = {z: z = rei , < r < 1, ≤  ≤ 2},  r = f(Cr), Dr = Int(Cr), r = Int(  r), Ar diện tích r Hình  dudv Khi đó: Ar = = r  2 r Dr   na r   ma m m 1 nên f '(rei ) 2 i = f’(rei) f’(re )  n n 1 2 an r n 1 + e r n 1e i ( m 1)  n = n 1 r f '(rei ) = n 1 i ( n 1) n n 1 f '(rei ) = (1.1) Vì f’(rei) = a1 f '(rei ) rdrd 0 + 2a2 rei +…+ nan rn-1ei(n-1) +… =  f '( z ) dxdy =  c e  , ck phụ thuộc vào an r Suy an r n  + ik k k 0  rc e  ik k 0 k Thế vào (1.1), sau tính tích phân ta  Ar =   n an r n 1 2n 2 (  eik d = với k ≠ ) - Nếu Ar bị chặn, với < r < gọi M cận Ar, ta có N   n an r2n < M n 1 (1.2) N Với N số nguyên dương cố định tuỳ ý Dễ thấy   n an r2n tăng đơn điệu theo r bị n 1 chặn Vì thế, lấy giới hạn r → 1 (1.2), ta N   n an N  n an ≤ M Vì tổng riêng n 1 bị chặn nên  n a n 1 n 1  hội tụ không hội tụ Khi n Cho N →  ta A = lim Ar =   n an  r 1 n 1 - Nếu Ar không bị chặn r → 1   n a n 1 diện tích f(D) không xác định n Ví dụ: Xét hàm w = Ánh xạ r = {w: w  từ Dr = z = z + z2 + z3 +… 1-z {z: |z| < r, < r < 1} vào hình tròn  r  r2 r2 < } có A = =  nr n r  1 r2 1 r2 (1  r ) n 1 Rõ ràng, r → 1 Ar →  Chú ý r → 1 hình tròn r tiến tới phủ nửa mặt phẳng Re(w) >  hình vẽ Hình Nhận xét: A =  (1 + a2 + …) ≥  Đẳng thức xảy f(z) = z 1.2.2 Định lí diện tích Định lí 2: Nếu f giải tích, đơn diệp D* = {z: |z| > 1} có khai triển f(z) = z + b0 + b b1 b2 + + … + nn + … z z z Và gọi E = C\f(D*) diện tích E (1.3) B =  [1 -  n b n 1 n ] (1.4) Chứng minh Với r > 1, gọi  r đường cong ảnh theo f đường tròn |z| = r Vì f đơn diệp nên  r đường cong trơn Jordan có định hướng dương Hình Nếu Er bao quanh  r Er  E Áp dụng Định lí Green, diện Er là: Br = wdw 2i r  (udv  vdu) = r = 2i r f ( z ) f '( z )dz =  z r Từ khai triển (1.3) ta có: f (rei ) = re-i + b0 +  bn r n 1 i f’(re )= -  2 e ik bm m r m 1 Sử dụng kết tích Br m 1 n 2  f (rei ) f '(rei )ei d (1.5) ein , e  i ( m 1) 0, k  d =  2 , k=0  n b r từ (1.5) suy Br = [2 r -  nn1 (2 )] =  (r2 n 1 r Cho r giảm đến ta B = m(E) =  (1 -  n b n 1 n   n 1 n bn r 2n ), r > ) (m(E) độ đo E) (đpcm) Nhận xét: - Gọi  lớp hàm f giải tích, đơn diệp D* có khai triển (1.3) Mỗi hàm f    ánh xạ từ D* lên phần bù tập E compact, liên thông Gọi  lớp tất  hàm f   mà tập E có độ đo Lebesgue theo hai hướng không Hàm f   gọi ánh xạ đầy (full mapping)  Như vậy, dễ thấy B = f   - Khi f(D*) = D* f(z) = z, z  D* Thật vậy: Theo (1.4) suy  =  (1 -  n b n 1 n ) Do bn = 0,  n ≥ Vậy f(z) = z + b0 Mặt khác, theo giả thiết ta thấy |f(z)| →1 |z| →1 Ta có |f(z)|2 = |z+b0|2 = |z|2 + 2Re(b0 z ) + |b0|2 Cho z → 1: |z|2 + 2Re(b0 z ) + |b0|2 → + 2Re(b0) + |b0|2 1+2Re(b0) + |b0|2 = Suy Từ ta có 2Re(b0) + |b0|2 = (1.6) Cho z → -1 : |z|2 +(b0 z ) + |b0|2 → - 2Re(b0) + |b0|2 - 2Re(b0) + |b0|2 = Suy Từ ta có -2Re(b0) + |b0|2 = (1.7) Từ (1.6) (1.7) suy b0 = Vậy f(z) = z Từ Định lí ta thu hệ quan trọng Hệ đóng vai trò làm tảng cho lý thuyết hàm đơn diệp Hệ (định lí Gronwall-Bieberbach): Nếu f    n b n n 1 ≤ Đẳng thức xảy B = Chứng minh Vì B =  (1-  n b n 1 n ) ≥ nên  n b n 1 n ≤1 (đpcm) Dễ thấy đẳng thức xảy B = -1 Một kết trực tiếp suy từ hệ |bn| ≤ n , n = 1, 2, 3,….Tuy nhiên, bất đẳng thức không thoả mãn với n ≥ -1 -n f(z) = z + n z không đơn diệp Thật vậy, f’(z)=1 - n z-n-1 triệt tiêu điểm chắn nằm D* n ≥ Nhưng n = bất đẳng thức thoả mãn Ta có hệ quan trọng: Hệ 2: Nếu f   |b1| ≤ Đẳng thức xảy i b1 b | | , =1 E= [-2e E = C\f(D ) đoạn thẳng có chiều dài Khi f(z) = z + b0 + z * + b0 ; i 2e + b0] Chứng minh Khi |b1| =1 bn = 0,  n ≥ Vì f(z) = z + b0 + b1 , |b1| =1 Ta xem f(z)= z + z i i ei * b0 + Đây ánh xạ bảo giác từ D vào phần bù đoạn thẳng E = [-2e + b0 ; 2e + b0 ] z Đoạn thẳng có độ dài ei ei Thật vậy, từ f(z) = z + b0 + suy f(z) - b0 = z + z z -i e2 Do [f(z) - b0] = -i e2z + -i e2z -i = u + , u = e z u Khi |u| > |z| > w = u + , |u| > ánh xạ bảo giác từ u |u| > vào phần bù đoạn thẳng [-2; 2] mặt phẳng w Vì thế, f(z) = đoạn thẳng i e2w i [-2e ei + b0 = z + b0 + ánh xạ bảo giác từ |z| > vào phần bù z + b0 ; i 2e + b0] Rõ ràng, đoạn thẳng có độ dài Hình Ngược lại, giả sử E đoạn thẳng có độ dài Khi E có dạng: E = [-2 + 0 ; 2 + 0] với 0   C, || = 2 Nếu g(z) = z + 0 + g   g(D*) = C\E = f(D*) Vì f  g 1  , ánh xạ từ D* z vào D* Vì theo nhận xét thứ hai bên f  g Suy b0 = 0, b1 = 2 Do |b1| = Hệ 3: Nếu f   b0 ≤ Đẳng thức xảy i  f(z) = z + e +  i ei Khi f ánh xạ bảo giác từ D* vào C\[0,4 e ] z Chứng minh Ta lấy hàm h   cho [h(z)]2 = f(z2), z  D* hàm h có khai 1 z triển h(z) = z + 0 + f(z2) = z2 + b0 + + …Khi [h(z)]2 = z2 + 20z + (02 + 21) + …và b1 + …Từ suy 0 = b0 = 21 z2 Vì 1 ≤ (theo Hệ 2) nên b0 ≤ i Ta thấy b0 =  1 =  h(z) = z + i   [h(z)]2 = z2 + e +  f(z) = z + e i   e2 z  i ei ei 2  f(z ) = z + e + z2 z2 ei + z i  Dễ thấy f ánh xạ bảo giác từ D* vào C\[0,4 e ] (theo Hệ 2) 1.3 Cận môđun hệ số z khai triển hàm đơn diệp Bây giờ, ta lấy g   cho g(z) = [f(z-1)]-1, z  D*, f  S Khi g có khai triển g(z) = z - a2 + (a22 - a3 )z-1 + …Thật vậy: Ta có 1 = f ( z ) z (1  a2 z  a3 z  ) = [1 - ( a2 z  a3 z  ) + ( a2 z  a3 z  )2 -…] z = - a2 + (a22 - a3)z + … z Suy g(z) = [f(z-1)]-1 = z - a2 + (a22 - a3 )z-1 + … Vì g   có khai triển (1.3) nên theo Hệ ta có |a2| ≤ Khi |a2| = g(z)= z Suy f(z) =  2e + i z i (1  e z )   i ei ( z  e )2 = z z Như ta tìm cận môđun hệ số z2 hàm đơn diệp f  S Định lí 3: Nếu f  S |a2| ≤ Đẳng thức xảy f(z) = z i Khi f ánh xạ bảo giác từ D vào phần bù tia có góc nghiêng  -  (1  e z )  ,  i xuất phát từ điểm  e đến vô cực (không qua gốc toạ độ 0) hình vẽ v  i  e - o  u Hình Thật vậy, ta cần thực liên tiếp phép biến hình bảo giác sau có kết   i 1 quả: z1 = - e z; z2 = ( z1  ) ; z3 = -2 e (z2 + 1); w = = f(z) z3 z1 i 1.3.1 Hằng số Koebe Một ứng dụng quan trọng định lí dùng để chứng minh định lí sau Định lí 4: Nếu f  S f(D) chứa hoàn toàn đĩa {z: z < tồn điểm đường tròn |z| = Số }, không thuộc vào f(D) f(z) = z i  (1  e z ) gọi số Koebe Chứng minh Lấy c  D c  f(D) Ta phải |c| ≥ Vì  f(D) nên c ≠ g(z):= f(z) [1chứng minh g  S Thật vậy: - Dễ thấy g(0) = 0; g’(0) = lim z 0 g ( z) = f’(0) = z - Lấy z1, z2  D cho g(z1) = g(z2) Tức f(z1) [1- 1 f ( z1 )]1 = f(z2) [1- f ( z2 )]1 c c Suy f( z1 ) = f(z2 ) Vì z1 = z2 (vì f đơn diệp) f ( z )]1 hàm giải tích D Ta c [...]... cực điểm đơn của f(z) thì z0 là 0-điểm đơn đối với Suy ra hàm 1 f(z) 1 là hàm đơn diệp trong một lân cận của z0 Do đó f(z) cũng là đơn diệp trong lân cận f(z) này - Mọi hàm phân hình f(z) đơn diệp trong miền A đều cho ta một ánh xạ bảo giác  = f(z) từ miền A lên miền giá trị tương ứng của hàm f(z) Điều này được suy từ điều kiện: Đạo hàm của hàm đơn diệp khác không tại mọi điểm chính quy và cực điểm... định trên miền giá trị của f(z)) cũng đơn diệp trên A Nói cách khác, hợp của hai hàm đơn diệp là hàm đơn diệp - Nếu dãy hàm fn chỉnh hình và đơn diệp trong miền A, hội tụ đều trên mỗi tập con compắc K  A, thì hàm giới hạn f của dãy ấy hoặc là đơn diệp hoặc là hằng số Thật vậy, giả sử f(z1) = f(z2) nhưng z1 ≠ z2 (z1, z2  A) và f là hằng số Ta xét dãy hàm gn(z) = fn(z)-fn(z2) và hình tròn  = {z  C:... trái với giả thiết f(z) là đơn diệp trên miền xác định ban đầu - Từ những ví dụ cơ bản nhất đã chỉ ra rằng tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm đơn diệp trên miền A có thể không đơn diệp trên A Đạo hàm, tích phân của một hàm đơn diệp trên A cũng vậy Chẳng hạn, f(z) + g(z)= z(1-z)-1 + z(1+iz)-1 có đạo hàm triệt tiêu tại 1 (1+i) 2 Tuy nhiên, nếu f(z) và g(z) đơn diệp trên A thì hàm hợp g[f(z)] (với điều... vì khi đó f(z) là hàm hằng Do vậy f(z) là hàm phân tuyến tính Để ý rằng tất cả các điểm của mặt phẳng đều là giá trị của f(z) Ta còn có một lưu ý khác dành cho hàm đơn diệp Nếu f(z) là hàm đơn diệp trong miền thu được từ A bằng cách bỏ đi một tập hợp điểm nào đó không có giới hạn bên trong A, thì sau khi xác định thêm một cách thích hợp tại các điểm của tập hợp đó f(z) sẽ là hàm đơn diệp trong miền A... đó r ≤ |z1-z2|; hàm giới hạn g(z) = f(z)- f(z2) bằng không tại z1, do đó theo Định lí Hurwitz, mọi gn(z) bắt đầu từ chỉ số nào đó đều bằng không trong hình tròn này Điều này trái với tính đơn diệp của các hàm fn - Điều kiện f’(z0) ≠ 0 là cần và đủ của tính đơn diệp địa phương của hàm f chỉnh hình tại z 0 Tính đủ của điều kiện này cũng có thể thu được từ định lí tổng quát về sự tồn tại hàm ẩn trong giải... là hàm hữu tỉ Thật vậy, giả sử z1, z2,…, zn là các cực điểm của f(z) (số lượng của chúng là không âm và trong số chúng có thể có ) Từ f(z) ta tính tổng các phần chính của f(z) tại các điểm z1, z2,…, zn Khi đó ta được hàm giải tích trên toàn bộ mặt phẳng Theo Định lí Liouville thì hàm này là hàm hằng Suy ra f(z) bằng tổng của hằng số và các phần chính của nó tại các điểm z1, z2 ,…, zn Vậy f(z) là hàm. .. giải tích và đơn diệp trong miền A thì diện tích của miền ảnh B = f(A) được tính S =  2 f '( z ) dxdy Nếu A là một miền Jordan bị chặn bởi một đường cong A Jordan trơn và f giải tích, đơn diệp trong bao đóng của nó thì theo một ứng dụng của Định lí Green, diện tích của miền ảnh B = f(A) có thể được tính bằng tích phân theo chu tuyến: S = 1 1 wdw = f ( z ) f '( z )dz với  = f(C) là ảnh của C  2i... đủ để f đơn diệp trên A Ví dụ: Hàm giải tích f(z) = z2 đơn diệp địa phương trên A ={z:1 < |z| < 2, 0 < argz < 3 } nhưng f không đơn diệp trên A 2 - Nếu f giải tích và Re{f’(z)} > 0 trong một miền lồi A thì f đơn diệp trên A Thật vậy, cho z1, z2  D, z1 ≠ z2 Khi đó: f(z2) - f(z1) = z2  f '( z )dz z1 1 = (z2 - z1)  f '(tz2  (1  t ) z1 )dt ≠ 0, vì Re{f’(z)} > 0 0 - Mọi hàm gần lồi là đơn diệp Thật... chính của nó tại các điểm z1, z2 ,…, zn Vậy f(z) là hàm hữu tỉ - Nếu hàm f(z) là hàm phân hình và đơn diệp trên toàn mặt phẳng thì f(z) là hàm phân tuyến tính (nghĩa là có dạng az+b ) cz+d Thật vậy, f(z) có thể có không quá một cực điểm và đó chỉ có thể là cực điểm đơn Theo nhận xét trên, f(z) bằng tổng của hằng số và các phần chính của f(z) tại các cực điểm Suy ra, ở trường hợp đang xét, f(z) chỉ có... vì f là hàm gần lồi nên có hàm lồi g sao cho Re{ f’(z) } > 0 Gọi A là miền xác định của g và xét hàm g’(z) h(w) = f(g-1(w)), w  A Thế thì h’(w) = f '( g 1 ( w)) f '( z ) = 1 g '( z ) g '( g ( w)) Suy ra Re{h’(w)} > 0 trong A Theo kết quả trên thì h đơn diệp Vì vậy, f cũng đơn diệp 1.2 Định lí diện tích Chúng ta đã biết rằng Jacobian của một ánh xạ trơn có thể được xem như hệ số khuếch đại của diện