Tính ổn định và bền vững của một số tính chất hệ động lực tuyến tính

Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến người thầy mình, GS Đỗ Công Khanh, người tận tình hướng dẫn học tập hoàn thành luận án Xin cám ơn GS Nguyễn Khoa Sơn GS Dương Nguyên Vũ có dẫn quan trọng, anh Bùi Thế Anh có trao đổi cộng tác hữu ích Xin chân thành cảm ơn thầy cô hội đồng đánh giá luận án đọc đóng góp nhiều ý kiến quý giá cho luận án Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán-Tin học, Phòng Quản lý Sau Đại Học Hợp Tác Quốc Tế trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập thực luận án Xin chân thành cảm ơn thầy, cô bạn Khoa Công Nghệ Thông Tin Toán ứng dụng trường Đại học Tôn Đức Thắng quan tâm động viên trình học tập Tác giả luận án i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa công bố luận án khác Tác giả luận án Dương Đặng Xuân Thành ii Mục lục Danh sách ký hiệu v Lời mở đầu Phần 1: Bán kính ổn định Chương Hệ liên tục có chậm 10 1.1 Toán tử Metzler 11 1.2 Tính ổn định hệ dương tựa đa thức đặc trưng 16 1.3 Bán kính ổn định 21 1.4 Tính ổn định không phụ thuộc trễ 23 1.5 Ví dụ 25 Chương Hệ rời rạc cấp cao 27 2.1 Tính ổn định hệ dương đa thức đặc trưng 28 2.2 Bán kính ổn định 31 2.3 Ví dụ 36 Chương Phương trình sai phân 39 3.1 Tính ổn định phương trình sai phân dương 40 3.2 Tính ổn định hệ phương trình sai phân phụ thuộc tham số 45 3.3 Bán kính ổn định 47 3.4 3.3.1 Hệ sai phân phụ thuộc tham số 47 3.3.2 Phương trình sai phân 53 Ví dụ 55 iii Phần 2: Bán kính điều khiển 57 Chương 58 Vô hạn chiều 4.1 Kiến thức 59 4.2 Bán kính điều khiển 63 4.3 4.2.1 Nhiễu A B 63 4.2.2 Nhiễu A 64 4.2.3 Nhiễu B 65 4.2.4 Bán kính điều khiển thực phức 66 Ví dụ 68 Chương Hữu hạn chiều 69 5.1 Kiến thức 71 5.2 Bán kính điều khiển có cấu trúc 74 5.3 5.2.1 Nhiễu A B 74 5.2.2 Nhiễu A 77 5.2.3 Nhiễu B 79 Tính bán kính điều khiển có cấu trúc 80 Chương Thuật toán tính toán 83 6.1 Mở rộng kết Gu 85 6.2 Thuật toán chia ba 87 6.2.1 Thực kiểm tra Gu mở rộng 88 6.2.2 Tìm trị riêng 90 6.3 Kết thực nghiệm 91 6.4 Bán kính ổn định hóa 92 Kết luận 97 Danh mục công trình 99 Tài liệu tham khảo 101 iv Danh sách ký hiệu L (X ) R Tập toán tử tuyến tính liên tục X L (X ) Tập toán tử thực tuyến tính liên tục X L + (X ) Tập toán tử dương tuyến tính liên tục X L (X ,Y ) Tập toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y L R(X ,Y ) Tập toán tử thực tuyến tính liên tục từ X vào Y L + (X ,Y ) Tập toán tử dương tuyến tính liên tục từ X vào Y σ(.) Tập phổ ρ (.) Tập giải svs(.) Tập giá trị kỳ dị r(A) Bán kính phổ - sup{|λ| : λ ∈ σ(A)} s(A) Chận phổ - sup{ℜλ : λ ∈ σ(A)} R(λ, A) Giải thức (λ I − A)−1 null(.) Ma trận sở không gian nhân σmin (.) Giá trị kỳ dị nhỏ σmin (., ) Giá trị kỳ dị suy rộng nhỏ (.)† Nghịch đảo Moore-Penrose N(.) Không gian nhân R (.) Không gian ảnh F Chuẩn Frobenius Chuẩn 2-Euclide C− Nửa đóng trái mở mặt phẳng phức C1 Tập số phức có độ dài nhỏ K C R v Lời mở đầu Trong thực tiễn, nhiều toán đề cập đến vấn đề kỹ thuật, vật lý, sinh học, kinh tế, thường mô tả hệ động lực Bắt đầu từ năm cuối kỷ XIX, tính ổn định hệ động lực nhận quan tâm nhiều nhà toán học Nói cách hình tượng, hệ động lực gọi ổn định trạng thái cân nhiễu nhỏ, sinh điều kiện bên ngoài, tác động lên cấu trúc hệ động lực không làm cho hệ động lực thay đổi nhiều so với trạng thái cân Các kết nhà toán học A A Lyapunov [75] xem bước ngoặt cho phát triển lý thuyết ổn định Và đến ngày nay, tính ổn định trở thành hướng nghiên cứu thiếu lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết hệ động lực nói riêng lý thuyết hệ thống nói chung Vào năm 1980, nhà toán học tìm kiếm định lượng nhằm đánh giá khả bảo toàn tính ổn định hệ thống ảnh hưởng nhiễu - gọi tính ổn định bền vững Điều xuất phát nhận xét tập hệ động lực tuyến tính dừng ổn định tập mở, có nghĩa tác động nhiễu nhỏ hệ bị nhiễu ổn định Cách tiếp cận số nhà toán học tài liệu tham khảo [37, 124] dựa vào việc phân tích hệ miền tần số Năm 1986, D Hinrichsen A J Pritchard đưa hướng tiếp cận khác, đánh giá trực tiếp hệ động lực không gian trạng thái mà không cần phải thông qua miền tần số, tài liệu tham khảo [54, 55] Trong tài liệu này, tác giả sử dụng khái niệm bán kính ổn định, tức khoảng cách từ hệ ổn định đến tập hệ không ổn định, làm định lượng nhằm đánh giá khả bảo toàn tính ổn định hệ thống Hướng nghiên cứu nhận nhiều quan tâm nhà toán học, xem [56, 57, 58] Một nghiên cứu đầy đủ bán kính ổn định đơn nhiễu không gian hữu hạn chiều xem tổng quan [59] Trường hợp nhiễu bị giới hạn nhận giá trị thực - gọi bán kính ổn định thực - dần nhận quan tâm nhà toán học, xem [33, 73, 97] Đến 1995, kết đầy đủ bán kính ổn định thực công bố L Qiu đồng tác giả [99] Sự phức tạp công thức bán kính ổn định thực dẫn đến nhiều khó khăn vấn đề tính toán máy tính Một số hướng tiếp cận nhằm giảm độ phức tạp thuật toán cho kết chặn trên, xem [17] Tuy nhiên, trường hợp hệ dương kết nhận đẹp bán kính ổn định phức bán kính ổn định thực trùng tính toán cách dễ dàng kết N K Sơn D Hinrichsen [61, 62, 104] Sau đó, bán kính ổn định hệ dương nghiên cứu rộng sâu tác giả N K Sơn P H A Ngọc [106, 107, 108, 109] Cần ý kết kể nghiên cứu bán kính ổn định tác động đơn nhiễu Và tác giả N K Sơn P H A Ngọc [87] khởi xướng cho phát triển bán kính ổn định tác động đa nhiễu Các mở rộng cho nhiều loại hệ động lực khác tìm thấy [90, 91, 92] trích dẫn thân tài liệu Bán kính ổn định hệ động lực không gian vô hạn chiều xem xét nghiên cứu gần song song với kết không gian hữu hạn chiều Sau kết A J Pritchard S Townley [96] nhiều kết khác, xem [34, 35, 36, 39, 60, 26, 114] trích dẫn thân tài liệu Trong đó, tác giả A Fischer, D Hinrichsen N K Sơn [34, 35] nghiên cứu bán kính ổn định hệ dương không gian vô hạn chiều thông qua toán tử Metzler - hệ liên tục, toán tử đóng bị chận dương - hệ rời rạc Tuy nhiên, kết không gian vô hạn chiều xét cho trường hợp đơn nhiễu Lúc này, bán kính ổn định cho trường hợp đa nhiễu không gian vô hạn chiều xem toán mở - xem [34] - kỹ thuật chứng minh cho đa nhiễu không gian hữu hạn chiều sử dụng triệt để việc tồn vectơ riêng Và đóng góp luận án - xem [T5] - giải toán mở cho hệ liên tục có chậm sau ˙ = A u(t) + A u(t − h1) + + A N u(t − h N ), t ≥ 0, u(t) đó, toán tử A i bị nhiễu dạng A i → A i + D i∆i E i , i ∈ N := {1, , N } , với D i , E i , i ∈ N , toán tử xác định cấu trúc nhiễu ∆ i , i ∈ N , toán tử chưa biết Việc giới hạn toán tử ∆ i , i ∈ N , toán tử phức, thực hay dương dẫn đến định nghĩa tương ứng cho bán kính ổn định phức, thực hay dương Kết nhận cho bán kính phức max sup ||G Pij (ıs)|| i, j ∈ N s∈R đó, G Pij (λ) := E i (λ I − A − N i=1 ≤ rC ≤ max sup ||G Pii (ıs)|| , i∈ N s∈R e−λh i A i )−1 D j , i, j ∈ N Thông qua việc mở rộng định lý Perron-Frobenius cho đa thức đặc trưng gắn với hệ liên tục có chậm dương, luận án điều kiện cần đủ cho tính ổn định hệ dương s(A + A + + A N ) < 0, với s(.) chận phổ Hơn nữa, toán tử D i E i , i ∈ N , dương D i = D j (hoặc E i = E j ) với i, j ∈ N , bán kính ổn định phức, thực dương trùng cho công thức đơn giản sau rC = rR = r+ = max ||E i (A + A + + A N )−1 D i || i∈ N Trong trình nghiên cứu tính ổn định hệ liên tục có chậm, nhận thay đổi hệ số chậm làm ảnh hưởng lớn đến tính ổn định hệ Tuy nhiên hệ dương, luận án kết luận có nhiễu nhỏ xuất hệ số chậm, đa nhiễu xuất toán tử thành phần hệ ổn định thông qua khái niệm bán kính ổn định không phụ thuộc trễ, xem [T1] Trong trường hợp hệ rời rạc, kết đa nhiễu không gian hữu hạn chiều [87] luận án mở rộng cho không gian vô hạn chiều, xem [T6, T7] Cụ thể, luận án xét đến hệ rời rạc cấp cao x(t + K + 1) = A x(t + K) + A 1x(t + K − 1) + A K x(t), t ∈ N, toán tử A i bị nhiễu dạng N D i j ∆i j E i j , Ai → Ai + j =1 i ∈ K := {1, , K } , với D i j , E i j , i ∈ K, j ∈ N toán tử xác định cấu trúc nhiễu ∆ i j , i ∈ K, j ∈ N, toán tử chưa biết Kết nhận cho bán kính phức 1 ≤ rC ≤ max ||G i j,uv (λ)||, i, u ∈ K, j, v ∈ N |s|=1 K đó, G i j,uv (λ) := E i j (λ I − i=0 , max ||G i j,i j (λ)||, i ∈ K, j ∈ N | s|=1 λ− i A i )−1 D uv , i, u ∈ K, j, v ∈ N Cũng thông qua việc mở rộng định lý Perron-Frobenius cho đa thức đặc trưng gắn với hệ rời rạc cấp cao dương, luận án điều kiện cần đủ cho tính ổn định hệ dương r(A + A + + A K ) < 1, với r(.) bán kính phổ Hơn nữa, toán tử D i j E i j , i ∈ K, j ∈ N , dương D uv = D i j (hoặc E uv = E i j ) với i, u ∈ K, j, v ∈ N , bán kính ổn định phức, thực dương trùng cho công thức đơn giản sau rC = rR = r+ = max ||E i j (I − A − A − − A K )−1 D i j || i∈K , j ∈ N Ngoài ra, luận án xét đến trường hợp hệ rời rạc cấp cao dương bị nhiễu dạng N Ai → Ai + δi j B i j , i ∈ K, j =1 với B i j , i ∈ K, j ∈ N toán tử dương xác định cấu trúc nhiễu δ i j , i ∈ K, j ∈ N, hệ số chưa biết Trong trường hợp này, bán kính ổn định phức, thực dương trùng cho công thức đơn giản sau r δC = r δR = r δ+ = r[(I − A − A − − A K )−1 ( i∈K , j ∈ N B i j )] Một số hướng tiếp cận khác tính ổn định bền vững hệ động lực tìm thấy kết tác giả V N Phát P T Nam [85, 94, 95]; hay tác giả P K Anh, N H Dư, N H Linh đồng tác giả cho nhiều loại hệ khác [4, 5, 25, 29] Và đóng góp khác luận án, xem [T2, T8, T9], nghiên cứu tính ổn định bền vững phương trình sai phân sau N y(t) − A i y(t − r i) = 0, t ≥ i=1 Một cách tổng quát, tính ổn định phương trình sai phân không bền vững thay đổi nhỏ hệ số chậm làm ảnh hưởng lớn đến tính ổn định Từ đó, khái niệm ổn định không phụ thuộc trễ - nghĩa ổn định với hệ số trễ - nhiều nhà toán học nghiên cứu, xem [43] Luận án tính ổn định không phụ thuộc trễ bền vững thông qua việc thiết lập công thức cho bán kính ổn định không phụ thuộc trễ Đặc biệt, trường hợp hệ dương tính ổn định ổn định không phụ thuộc trễ tương đương kiểm tra qua điều kiện r(A + + A N ) < Hơn nữa, điều kiện tính dương cho ma trận xác định cấu trúc nhiễu, bán kính ổn định không phụ thuộc trễ phức, thực dương trùng cho công thức đơn giản sau rC = rR = r+ = maxi∈ N, j ∈K E i j [I − A − − A N ]−1 D i j r δC = r δR = r δ+ = −1 r [I − A − − A N ] , i∈ N, j ∈K Bi j Điều cho thấy tính ổn định phương trình sai phân dương bền vững Song song với phát triển lý thuyết ổn định, tính điều khiển hệ động lực khởi xướng ý tưởng kết quan trọng R E Kalman [68] M L J Hautus [49] vào năm 1960 Tính điều khiển nghiên cứu lớp hàm điều khiển chấp nhận cho, tác động nó, hệ thống điều khiển vị trí mong muốn Sự bền vững tính điều khiển khởi xướng từ đầu năm 1980 Lần định lượng bán kính điều khiển được, tức khoảng cách từ hệ điều khiển đến tập hệ không điều khiển được, đề cập Paige vào năm 1981 tài liệu tham khảo [93] Và sau đó, định lượng có kết tốt R Eising tài liệu tham khảo [31, 32] vào năm 1982 Kết mở rộng [48] cho trường hợp ma trận thành phần hệ có trị riêng phân biệt Các cận cận bán kính điều khiển tìm thấy [18, 19, 20] Trong [38], mối liên hệ bán kính điều khiển kỳ dị phương trình Riccati xem xét Các kết [65, 113] biểu diễn bán kính điều khiển thực dạng công thức khác nhằm đơn giản việc tính toán Và kết bán kính điều khiển R Eising luận án mở rộng cho trường Các kết công bố [T1, T3, T5, T6, T7, T8, T9, T10, T13], công bố [T2, T4, T12] báo cáo hội nghị Sau số hướng phát triển luận án: Nghiên cứu tính ổn định tính ổn định bền vững hệ động lực phụ thuộc thời gian Nghiên cứu tính ổn định tính ổn định bền vững phương trình sai phân không gian vô hạn chiều Nghiên cứu tính ổn định bền vững tác động loại nhiễu khác: • nhiễu phân thức; • nhiễu phụ thuộc thời gian; • nhiễu thực không gian vô hạn chiều, Mở rộng kết R E Kalman M L J Hautus tính điều khiển không gian vô hạn chiều cho hệ với toán tử không bị chận Phát triển kết N K Sơn N Đ Huy [105] việc làm cực đại bán kính ổn định nhờ điều khiển ngược Thiết lập công thức xem xét vấn đề tính bán kính điều khiển hệ nhiễu thực có cấu trúc Nghiên cứu công cụ H Tụy [112] tối ưu toàn cục để cải tiến thuật toán có tính bán kính ổn định bán kính điều khiển 98 Danh mục công trình [T1] Anh B.T., Khanh D.C., Thanh D.D.X (2008), A remark on stability of a class of positive linear delay systems in Banach lattices, Commun Math Anal 5, no 2, pp 26-37 [T2] Anh B.T., Khanh D.C., Thanh D.D.X (2008), On Robust Stability of Linear Parameter Difference Systems Under Affine Parameter Perturbations, (submitted) [T3] Anh B.T., Khanh D.C., Thanh D.D.X (2008), Distance From An Exactly Controllable System To Not Approximately Controllable Systems, Vietnam J Math 36, pp 463-472 [T4] Anh B.T., Khanh D.C., Thanh D.D.X (2008), Eising-like Formulae for Structured Controllability Radii, (submitted the revised version) [T5] Anh B.T., Son N.K., Thanh D.D.X (2006), Robust stability of Metzler operator and delay equation in L p ([− h,0); X ), Vietnam J Math 34, no 3, pp 357-368 [T6] Anh B.T., Son N.K., Thanh D.D.X (2008), Stability radii of delay difference systems under affine parameter perturbations in infinite dimensional spaces, Appl Math Comput 202, no 2, pp 562-570 [T7] Anh B.T., Son N.K., Thanh D.D.X (2009), A Perron-Frobenius Theorem For Positive Polynomial Operators In Banach Lattices, Positivity 13, no 4, pp 709-716 [T8] Anh B.T., Thanh D.D.X (2007), A Perron-Frobenius theorem for positive quasipolynomial matrices associated with homogeneous difference equations, J Appl Math., Art ID 26075, pp 99 [T9] Anh B.T., Thanh D.D.X (2008), The robustness of strong stability of positive homogeneous difference equations, J Appl Math., Art ID 124269, 12 pp [T10] Khanh D.C., Thanh D.D.X (2006), Controllability radii and stabilizability radii of time-invariant linear systems, Vietnam J Math 34, pp 495-499 [T11] Khanh D.C., Thanh D.D.X (2008), Controllability/stabilizability radii of higher order linear systems and time delay linear systems under partially structured perturbations, The 6Th Vietnam-Korea Workshop: Mathematical Optimization Theory And Applications [T12] Khanh D.C., Thanh D.D.X (2008), On Computing Stabilizability Radii Of Linear Time Invariant Continuous Systems, (submitted the revised version) [T13] Thanh D.D.X., Vu D.N (2008), An algorithm for computing a generalized problem of controllability radii, Proceedings of the IEEE International Conference on Research Innovation and Vision for the Future in Computing and Communication Technology, ISBN 1-4244-2379-8, IEEE Xplore, pp 17-22 100 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập Môn Lý Thuyết Điều Khiển Toán Học, ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [2] Aeyels D., Leenheer P D (2002), Extension of the Perron-Frobenius theorem to homogeneous systems, SIAM Journal on Control and Optimization 41, pp 563582 [3] Anderson E., Bai Z., Bischof C., Blackford S., Demmel J., Dongarra J., Du Croz J., Greenbaum A., Hammarling S., McKenney A., Sorenson D (1999), LAPACK Users’s Guide, 3rd ed., SIAM, Philadelphia [4] Anh P.K., Hoang D.S (2006), Stability of a class of singular difference equations, Int J Difference Equ 1, no 2, pp 181-193 [5] Anh P.K., Du N.H., Loi L.C (2007), Singular difference equations: an overview, Vietnam J Math 35, no 4, pp 339-372 [6] Arendt W (2001), Resolvent positive operator, Proc London Math Soc 54, pp 321-349 [7] Avellar C.E., Hale J.H (1980), On the zeros of exponential polynomials, Journal of Mathematical Analysis and Applications 73, pp 434-452 [8] Batkai A., Piazzera S (2001), Semigroups and linear partial differential, J Math Anal Appl 264, pp 1-20 [9] Bay J.S (1998), Fundamentals of linear state space systems, McGraw-Hill 101 [10] Betcke T (2005), Numerical computation of eigenfunctions of planar regions, D.Phil thesis, Computing Laboratory, Oxford University [11] Berman A., Plemmons R J (1979), Nonnegative Matrices in Mathematical Sciences, Acad Press, New York [12] Bliman P.A (2000), Lyapunov-Krasovskii method and strong delay-independent stability of linear delay systems, Proceedings of the Second IFAC Workshop on Linear Time Delay Systems, Ancona, Italy, pp 5-9 [13] Bliman P.A (2001), LMI characterization of the strong delay-independent stability of linear delay systems via quadratic Lyapunov-Krasovskii functionals, Systems and Control Letters 43, pp 263-274 [14] Bliman P.A (2004), From Lyapunov-Krasovskii functionals for delay-independent stability to LMI conditions for µ- analysis, Lect Notes Comput Sci Eng 38, Springer, Berlin, pp 75-85 [15] Bliman P.A (2002), Lyapunov equation for the stability of linear delay systems of retarded and neutral type, IEEE Transaction on Automatic Control 47, pp 327335 [16] Blondel V.D., Megretski A (2004), Unsolved problems in mathematical systems and control theory, Princeton University Press, Princeton, NJ [17] Bobylev N.A., Bulatov A.V (1999), Estimation of the real stability radius of linear infinite-dimensional discrete systems, (Russian) Avtomat i Telemekh 7, pp 3-10; translation in Automat Remote Control 60, no 7, part 1, pp 907-913 [18] Boley D (1985), A perturbation result for linear control problems, SIAM J Algebraic Discrete Methods 6, pp 66-72 [19] Boley D., Wu-Sheng L (1986), Measuring how far a controllable system is from an not approximately controllable one, IEEE Trans Automat Control 31, pp 249251 [20] Boley D., Wu-Sheng L (1989), Measures of controllability and observability and residues, IEEE Trans Automat Contr 34, pp 648-650 102 [21] Boyd S., Balakrishnan V (1990), A regularity result for the singular values of a transfer matrix and a quadratically convergent algorithm for computing its L1norm, Systems and Control Letters 15, pp 1-7 [22] Burke J.V., Lewis A.S., Overton M.L ( 2004), Pseudospectral components and the distance to uncontrollability, SIAM J Matrix Analysis Appl 26, pp 350-361 [23] Byers R (1990), Detecting nearly uncontrollable pairs, In Numerical Methods Proceedings of the International Symposium MTNS-89, Kaashoek M.A., van Schuppen J.H., and Ran A.C.M eds., Springer-Verlag, volume III, pp 447-457 [24] Chen J., Latchman H.A (1995), Frequency sweeping tests for stability independent of delay, J Math Anal Appl 40, pp 1640-1645 [25] Chuan-Jen C., Du N.H., Linh V.H (2008), On data-dependence of exponential stability and stability radii for linear time-varying differential-algebraic systems, J Differential Equations 245, no 8, pp 2078-2102 [26] Clark S., Latushkin Y., Montgomery-Smith S., Randolph T (2000), Stability radius and internal versus external stability in Banach spaces: an evolution semigroup approach, SIAM J Control Optim 38, no 6, pp 1757-1793 [27] Conway J.B (1990), A course in functional analysis, Second edition, Graduate Texts in Mathematics, 96, Springer-Verlag, New York [28] Diekmann O., van Gils S.A., Lunel S.M.V., Walther H.O (1995), Delay Equations: Functional- Complex- and Nonlinear Analysis, Springer- Verlag, New York [29] Du N.H (2008), Stability radii of differential algebraic equations with structured perturbations, Systems Control Lett 57, no 7, pp 546-553 [30] Eckstein G (1981), Exact controllability and spectrum assignment, Operator Theory: Advances and Applications 2, pp 81-94 [31] Eising R (1982), The distance between a system and the set of uncontrollable systems, In Memo COSOR 82-19, Eindhoven Univ Technol., Eindhoven, The Netherlands 103 [32] Eising R (1984), Between controllable and not approximately controllable, Systems & Control Letters 4, pp 263-264 [33] Farhan G.A., Gonzalez M.H (1994), Real stability radius for time-dependent structured perturbations, (Spanish) Cienc Mat (Havana) 15, no 2-3, pp 197-212 [34] Fischer A (1997), Stability radii of infinite-dimensional positive systems, Math Control Signals Syst 10, pp 223-236 [35] Fischer A., Hinrichsen D., Son N.K (1998), Stability radii of Metzler operators, Vietnam J Math, 26, pp 147-163 [36] Fischer A., van Neerven J.M.A.M (1998), Robust stability of C 0-semigroups and an application to stability of delay equations, J Math Anal Appl 226, pp 11691188 [37] Francis B.A (1987), A course in H∞ control theory, Lecture Notes in Control and Information Sciences 88, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York [38] Gahinet P., Laub A.J (1992), Algebraic Riccati equations and distance to the nearest uncontrollable pair, SIAM J Control Optim 30, no 4, pp 765-786 [39] Gallestey E., Hinrichsen D., Pritchard A.J (2000), Spectral value sets of closed linear operators, R Soc Lond Proc Ser A Math Phys Eng Sci 456, no 1998, pp 1397-1418 [40] Gao M., Neumann M (1993), A global minimum search algorithm for estimating the distance to uncontrollability, Linear Algebra Appl 188-189, pp 305-350 [41] Gu M (2000), New methods for estimating the distance to uncontrollability, SIAM J Matrix Analysis Appl 21, pp 989-1003 [42] Gu M., Mengi E., Overton M.L., Xia J., Zhu J (2006), Fast methods for estimating the distance to uncontrollability, SIAM J Matrix Analysis Appl 28, no 2, pp 477502 [43] Hale J.K (1971), Functional differential Equations, Springer-Verlag, Berlin 104 [44] Hale J.K (1975), Parametric stability in difference equations, Boll Un Mat Ital 11, no 3, pp 209-214 [45] Hale J.K (1975), Parametric stability in difference equations, Bol Un Mat It 4, pp 209-214 [46] Hale J.K., Lunel S.M.V (1993), Introduction to Function Differential Equation, Springer Verlag, New York [47] Hale J.K., Lunel S.M.V (2002), Strong stabilization of neutral functional differential equations, IMA Journal of Mathematical Control and Information 19, pp 5-23 [48] Hamdan A.M.A., Nayfeh A.H (1989), Measures of modal controllability and observability for first- and second-order linear systems, AIAA J Guid Control Dyna 12, no 3, pp 421-428 [49] Hautus M.L.J (1969), Controllability and observability conditions of linear autonomous systems, Proc Koninklijke Nederlnadse Akademie van Weten- schappen 7, pp 443 - 448 [50] He C (1995), Estimating the distance to uncontrollability: A fast method and a slow one, Systems Control Lett 26, pp 275-281 [51] He C., Watson G.A (1999), An algorithm for computing the distance to instability, SIAM J Matrix Anal Appl 20, no 1, pp 101-116 [52] Henrion D., Arzelier D., Peaucelle D., Lasserre J.B (2004), On parameterdependent Lyapunov functions for robust stability of linear systems, Decision and Control, CDC 43rd IEEE Conference Volume 1, pp 887-892 [53] Henry D (1974), Linear autonomous neutral functional differential equations, J Differential Equations 15, pp 106-128 [54] Hinrichsen D., Pritchard A.J (1986), Stability radii of linear systems, Systems & Control Letters 7, pp 1-10 105 [55] Hinrichsen D., Pritchard A.J (1986), Stability radius for structured perturbations and the algebraic Riccati equation, Systems & Control Letters 8, pp 105-113 [56] Hinrichsen D., Pritchard A.J (1989), An application of state space methods to obtain explicit formulae for robustness measures of polynomials, In M Milanese et al editor, Robustness in Identification and Control, Birkh¨auser, pp 183-206 [57] Hinrichsen D., Pritchard A.J (1988), Robustness measures for linear state space systems under complex and real parameter perturbations, In Proc Summer School Perspectives in Control Theory, Sielpia, Birkh¨auser [58] Hinrichsen D., Son N.K (1989), The complex stability radius of discrete-time systems and symplectic pencils, In Proc 28th IEEE Conference on Decision and Control, Tampa, pp 2265-2270 [59] Hinrichsen D., Pritchard A.J (1990), Real and complex stability radii: A survey, In Hinrichsen D., Martensson B eds Control of Uncertain Systems, Progress in system and Control Theory, Basel, Birkh¨auser, pp 119-162 [60] Hinrichsen D., Pritchard A.J (1994), Robust stability of linear evolution operators on Banach spaces, SIAM J Control Optim 32, no 6, pp 1503-1541 [61] Hinrichsen D., Son N.K (1998), Stability radii of positive discrete-time systems under affine parameter perturbations, Int J Robust Nonlinear Control 8, pp 19691988 [62] Hinrichsen D., Son N.K (1998), µ-analysis and robust stability of positive linear systems, Appl Math Comp Sci 8, pp 253-268 [63] Hinrichsen D., Son N.K., Ngoc P.H.A (2003), Stability radii of higher order positive difference systems, Systems Control Lett 49, no 5, pp 377-388 [64] Horn R.A., Johnson C.R (1990), Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, UK [65] Hu G., Davison E.J (2004), Real Controllability/Stabilizability Radius of LTI Systems, IEEE Trans Automat Control 49, pp 254-257 106 [66] Jacob B., Partington J.R (2006), On controllability of diagonal systems with onedimensional input space, Systems & Control Letters 55, pp 321-328 [67] Kaashoek M.A., van der Mee C.V.M., Rodman L (1983), Analytic operator functions with compact spectrum, III Hilbert space case: inverse problem and applications, J of Operator Theory 10, pp 219-250 [68] Kalman R.E (1960), Contribution to the theory of optimal control, Bol Soc Math Mexicana 5, pp 102-119 [69] Karow M., Kressner D (2009), On the structured distance to uncontrollability, Systems & Control Letters 58, pp 128-132 [70] Kato K (1976), Perturbation Theory for Linear Operators, Heidelberg, SpringerVerlag [71] Lam S., Davison E.J (2006), The Real Stabilizability Radius of the Multi-Link Inverted Pendulum, American Control Conference, Minneapolis, pp 1814-1819 [72] Leon S.J (1998), Linear algebra with applications, Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River Publisher, New Jersey [73] Lewkowicz I (1992), When are the complex and the real stability radii equal?, IEEE Trans Automat Control 37, no 6, pp 880-883 [74] Van Loan C.F (1976), Generalizing the singular value decomposition, SIAM J Numer Anal 13 (1976), pp 76-83 [75] Lyapunov A.A (1992), The general problem of the stability of motion, English transl (Taylor and Francis, London) [76] Megan M., Hiric V (1975), On the space of linear controllable systems in Hilbert spaces, Glasnik Mat Ser III 10, no 1, pp 161-167 [77] Melvin W.R (1974), Stability properties of functional difference equations, J Math Anal Appl 48, pp 749-763 107 [78] Mengi E (2006), Measures for Robust Stability and Controllability, Doctor of Philosophy Department of Computer Science, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University [79] Meyer-Nieberg P (1991), Banach lattices, Springer - Verlag, Berlin [80] Michiels W., Niculescu S.I (2007), Characterization of delay-independent stability and the delay interference phenomen, SIAM Journal on Control and Optimization 45, pp 2138-2155 [81] Michiels W., Vyhlidal T (2005), An eigenvalue based approach for the stablization of linear time-delay systems of neutral type, Automatica 41 , pp 991-998 [82] De Moor B.L.R., Golub G.H (1989), Generalizing the singular value decomposition: A proposal for a standardized nomenclature, Manuscript NA-89-05, Stanford Univ., Stanford, CA [83] Moreno C.J (1973), The zeros of exponential polynomials, I Compositio Math 26, pp 69-78 [84] Nagel R., Engel K.J (2000), One-parameter semigroups for linear evolution equations, Springer-VerLag, Berlin [85] Nam P.T., Phat V.N (2008), Robust exponential stability and stabilization of linear uncertain polytopic time-delay systems, J Control Theory Appl 6, no 2, pp 163170 [86] Van Neerven J.M.A.M (1996), The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operators, Operator Theory: Advances and Applications, Vol 88, Birkh¨auser, Basel-Boston-Berlin [87] Ngoc P.H.A., Son N.K (2004), Stability radii of linear systems under multiperturbations, Numer Funct Anal Optim 25, no 3-4, pp 221-238 [88] Ngoc P.H.A (2006), A Perron-Frobenius theorem for a class of positive quasipolynomial matrices, Appl Math Lett 19, pp 747-751 108 [89] Ngoc P.H.A., Lee B.S., Son N.K (2004), Perron Frobenius theorem for positive polynomial matrices, Vietnam J Math 32, pp 475-481 [90] Ngoc P.H.A., Naito T., Shin J.S., Murakami S (2008), On stability and robust stability of positive linear Volterra equations, SIAM J Control Optim 47, no 2, pp 975-996 [91] Ngoc P.H.A (2007), Stability radii of positive linear Volterra-Stieltjes equations, J Differential Equations 243, no 1, pp 101-122 [92] Ngoc P.H.A., Son N.K (2005), Stability radii of positive linear functional differential equations under multi-perturbations SIAM J Control Optim 43, no 6, pp 2278-2295 [93] Paige C.C (1981), Properties of numerical algorithms relating to controllability, IEEE Trans Automat Control AC-26, pp 130-138 [94] Phat V.N., Nam P.T (2005), Exponential stability criteria of linear non- autonomous systems with multiple delays, Electron J Differential Equations 58, pp [95] Phat V.N., Nam P.T (2007), Exponential stability and stabilization of uncertain linear time-varying systems using parameter dependent Lyapunov function, Internat J Control 80, no 8, pp 1333-1341 [96] Pritchard A.J., Townley S (1989), Robustness of linear systems, J Differential Equations 77, no 2, pp 254-286 [97] Pritchard A.J., Townley S (1989), Real stability radii for infinite-dimensional systems, Robust control of linear systems and nonlinear control, pp 635-646 [98] Przyluski K.M (1988), Stability of linear infinite-dimensional systems revisited, Internat J Control 48, pp 513-523 [99] Qiu L., Bernhardsson B., Rantzer A., Davison E.J., Young P.M., Doyle J.C (1995), A formula for computation of the real stability radius,Automatica 31, pp 879-890 109 [100] Rudin W (1973), Functional analysis, McGraw-Hill Series in Higher Mathematics, McGraw-Hill Book Co., New York-Dusseldorf-Johannesburg [101] Rump S.M (1997), Theorems of Perron-Frobenius type for matrices without sign restrictions, Linear Algebra and its Applications 266, pp 1-42 [102] Rump S.M (2003), Perron-Frobenius theory for complex matrices, Linear Algebra and its Applications 363, pp 251-273 [103] Silkowskii R.A (1976), Star-shaped regions of stability in hereditary systems, Ph.D thesis, Brown University, Providence, RI, June [104] Son N.K., Hinrichsen D (1996), Robust stability of positive continuous times systems, Numer Funct Anal- Optimiz 17, pp 649-659 [105] Son N.K., Huy N.D (2005), Maximizing the Stability Radius of Discrete - Time Linear Positive Systems by Linear Feedbacks, Vietnam Jornal of Mathematics 33, pp 161 - 172 [106] Son N.K., Ngoc P.H.A (1998), Complex stability radius of linear retarded systems Vietnam J Math 26, pp 379-383 [107] Son N.K., Ngoc P.H.A (1999), Stability radius of linear delay systems, In Proceedings of the American Control Conference, California, San Diego, pp 815-816 [108] Son N.K., Ngoc P.H.A (1999), Robust stability of positive linear time delay systems under aftine parameter perturbations,Acta Math Vietnam 24, pp 353372 [109] Son N.K., Ngoc P.H.A (2001), Robust stability of linear functional differential equations, Adv Studies in Contemporary Math 3, pp 43-59 [110] Sreedhar J., Dooren P.V., Tits A.L (1996), A fast algorithm to compute the real structured stability radius, Stability theory, Internat Ser Numer Math., Birkh¨auser, Basel, 121, pp 219-230, [111] Takahashi K (1984), Exact controllability and spectrum assignment, J of Math Anal and Appl 104, pp 537-545 110 [112] Tuy H (1997), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Acad Publ., Amsterdam [113] Wicks M., DeCarlo R (1991), Computing the distance to an uncontrollable system, IEEE Trans Automat Contr 36, pp 39-49 [114] Wirth F., Hinrichsen D (1994), On stability radii of infinite-dimensional timevarying discrete-time systems, IMA J Math Control Inform 11, pp 253-276 [115] Wonham M (1979), Linear multivariable control: geometric approach, Springer -Verlag, New York [116] Wright T.G (2002), EigTool: A graphical tool for nonsymmetric eigenproblems, Oxford University Computing Laboratory, Oxford, UK, http://www.comlab.ox.ac.uk/pseudospectra/ eigtool/ [117] Xiao Y., Du X (1999), Robust Hurwitz and Schur Stability Test for Polytope of Matrices, Journal of the China Railway Scociety 21, 5pp 1-53 [118] Xiao Y., Unbehauen R., Du X (1999), Robust Hurwitz and Schur Stability Test for Rank-One Polytope of Matrices, Proceeding of Eighteenth IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control, pp 144-147 [119] Xiao Y., Unbehauen R (2000), Robust Hurwitz and Schur stability test for interval matrices, Decision and Control, Proceedings of the 39th IEEE Conference Volume 5, pp 4209 - 4214 [120] Xiao Y., Unbehauen R (2002), Schur stability of polytopes of bivariate polynomials, IEEE Trans Circuits Systems I Fund Theory Appl 49, pp 1020-1023 [121] Yosida K (1974), Functional analysis, Springer-Verlag, Berlin [122] Zaanen A.C (1997), Introduction to operator theory in Riesz spaces, SpringerVerlag, Berlin [123] Zabczyk J (1995), Mathematical: Control Theory, Birkh¨auser, Boston 111 [124] Zames G (1981), Feedback and optimal sensitivity: Model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses, IEEE Transactions on Automatic Control AC-26, pp 301-320 112 [...]... được công bố trong [T13] và gửi đăng trong [T12] 8 Phần 1 Bán kính ổn định 9 Chương 1 Hệ liên tục có chậm Trong nhiều thập kỷ qua, tính ổn định bền vững của hệ liên tục theo thời gian đã được nhiều nhà toán học quan tâm Một trong các vấn đề quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định bền vững là tính bán kính ổn định của hệ dưới tác động của nhiều loại nhiễu khác nhau Các kết quả cho không gian hữu hạn... chúng tôi mở rộng định lý Perron-Frobenius cho đa thức đặc trưng gắn với hệ (2.1) Sau đó, tính ổn định của hệ (2.1) được nghiên cứu và một điều kiện cần và đủ đơn giản - dễ kiểm tra - để hệ (2.1) dương là ổn định được đưa ra Cuối cùng, tính ổn định bền vững được nghiên cứu thông qua khái niệm bán kính ổn định dưới tác động của các loại nhiễu N D i j ∆i j E i j , Ai → Ai + i ∈ K, j =1 và N Ai → Ai + δi... Chương 3: nghiên cứu tính ổn định của phương trình sai phân liên tục theo thời gian; trong đó đặc biệt chú trọng đến hệ dương thông qua việc mở rộng định lý Perron-Frobenius đối với tựa đa thức đặc trưng; tính ổn định bền vững không phụ thuộc trễ được nghiên cứu một cách tổng quát thông qua tính ổn định bền vững của hệ phương trình sai phân phụ thuộc tham số; các kết quả đạt được của chương này đã được... cứu tính ổn định bền vững của toán tử Metzler dưới tác động của đa nhiễu có cấu trúc Tính ổn định của hệ dương được nghiên cứu thông qua tựa đa thức đặc trưng trong phần 2 Bán kính ổn định được nghiên cứu trong phần 3 Cuối cùng là kết quả đối với tính ổn định không phụ thuộc trễ Các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong [T1, T5] 1.1 Toán tử Metzler Cho X là không gian Banach phức và. .. ), i=1 và N P∆ (λ) = (A 0 + D 0 ∆0 E 0 ) + i=1 21 e−λh i (A i + D i ∆ i E i ) Định nghĩa 1.3.1 Cho hệ (1.1) là ổn định mũ Các bán kính ổn định phức, thực và dương của hệ dưới tác động của nhiễu (1.6) được định nghĩa như sau r (DE) = inf{ C r (DE) = inf{ R = inf{ r (DE) + N ||∆ i || : ∆ i ∈ L (Yi ,U i ), i ∈ N và hệ (1.7) không ổn định mũ}, i=0 N i=0 N ||∆ i || : ∆ i ∈ L R (Yi ,U i ), i ∈ N và hệ (1.7)... N, nhưng hệ x˙ (t) = − x(t) − x(t − τ) là không ổn định mũ không phụ thuộc trễ Điều này nghĩa là tập các hệ ổn định mũ không phụ thuộc trễ là không đóng 24 Tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh rằng dưới giả thiết về tính dương, tính ổn định mũ không phụ thuộc trễ là vững thông qua việc xác định khoảng cách từ hệ ổn định mũ không phụ thuộc trễ đến tập các hệ không ổn định mũ không phụ thuộc trễ Định nghĩa... đạt được của chương 7 này đã được công bố trong [T1, T5] • Chương 2: nghiên cứu tính ổn định bền vững của hệ rời rạc cấp cao dưới tác động của đa nhiễu có cấu trúc trên không gian vô hạn chiều; điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ dương được thiết lập thông qua việc mở rộng định lý PerronFrobenius đối với đa thức đặc trưng; các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong [T6] và nhận... chúng ta một điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của hệ (1.1) dương, nghĩa là A 0 sinh nửa nhóm dương liên tục và A i ∈ L + (X ) với mọi i ∈ N Định lý 1.2.7 Cho hệ (1.1) dương, các phát biểu sau là tương đương: (a) Hệ (1.1) là ổn định mũ; (b) s(A 0 + A 1 + + A N ) < 0; (c) s(A 0 ) < 0 và r(− A 0−1 (A 1 + + A N )) < 1; (d) (− A 0 − A 1 − − A N )−1 ≥ 0 Chứng minh Giả sử rằng hệ (1.1) là ổn định mũ... + và (h 1, , h N ) ∈ R+ , theo Định lý (1.2.7) thì hệ có các hệ số trễ (h 1, , h N ) cũng dương và ổn định mũ Do đó, theo Định lý 1.3.4, hệ bị nhiễu có các hệ số trễ (h 1, , h N ) và các toán tử nhiễu ∆ i , i ∈ N, cũng ổn định mũ Như vậy, ta suy ra điều phải chứng minh 1.5 Ví dụ Cho X = l 2(R), xét hệ có chậm sau ˙ = A 0 u(t) + A 1 u(t − 1) + A 2 u(t − 2), t ≥ 0, u(t) 25 có thể viết lại dưới dạng của. .. nhiễu hay khi hệ bị tác động bởi nhiễu có cấu trúc, xem [T12, T13] Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận án được chia làm 2 phần về bán kính ổn định và bán kính điều khiển được - gồm 6 chương như sau: • Chương 1: nghiên cứu tính ổn định bền vững của hệ liên tục có chậm dưới tác động của đa nhiễu có cấu trúc trên không gian vô hạn chiều, trong đó đặc biệt chú trọng đến hệ dương thông