Toàn văn luận án tính ổn định và bền vững của một số tính chất hệ động lực tuyến tính

[...]... chúng tôi mở rộng định lý Perron-Frobenius cho đa thức đặc trưng gắn với hệ (2.1) Sau đó, tính ổn định của hệ (2.1) được nghiên cứu và một điều kiện cần và đủ đơn giản - dễ kiểm tra - để hệ (2.1) dương là ổn định được đưa ra Cuối cùng, tính ổn định bền vững được nghiên cứu thông qua khái niệm bán kính ổn định dưới tác động của các loại nhiễu N D i j ∆i j E i j , Ai → Ai + i ∈ K, j =1 và N Ai → Ai + δi... ), i=1 và N P∆ (λ) = (A 0 + D 0 ∆0 E 0 ) + i=1 21 e−λh i (A i + D i ∆ i E i ) Định nghĩa 1.3.1 Cho hệ (1.1) là ổn định mũ Các bán kính ổn định phức, thực và dương của hệ dưới tác động của nhiễu (1.6) được định nghĩa như sau r (DE) = inf{ C r (DE) = inf{ R r (DE) = inf{ + N ||∆ i || : ∆ i ∈ L (Yi ,U i ), i ∈ N và hệ (1.7) không ổn định mũ}, i=0 N i=0 N ||∆ i || : ∆ i ∈ L R (Yi ,U i ), i ∈ N và hệ (1.7)... N, nhưng hệ ˙ x(t) = − x(t) − x(t − τ) là không ổn định mũ không phụ thuộc trễ Điều này nghĩa là tập các hệ ổn định mũ không phụ thuộc trễ là không đóng 24 Tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh rằng dưới giả thiết về tính dương, tính ổn định mũ không phụ thuộc trễ là vững thông qua việc xác định khoảng cách từ hệ ổn định mũ không phụ thuộc trễ đến tập các hệ không ổn định mũ không phụ thuộc trễ Định nghĩa... ∈ N và hệ (1.7) không ổn định mũ}, ||∆ i || : ∆ i ∈ L + (Yi ,U i ), i ∈ N và hệ (1.7) không ổn định mũ} i=0 Vì toán tử A 0 sinh nửa nhóm liên tục, Nên theo Định lý 1.16 trong [84, tr 167], toán tử (A 0 + D 0 ∆0 E 0 ) cũng sinh nửa nhóm liên tục Và theo Bổ đề 2.4 trong [36], thì hệ (1.7) là không ổn định mũ khi và chỉ khi s(A ∆) = s(P∆ (·)) ≥ 0 Vì vậy các bán kính ổn định của hệ (1.1) có thể được viết... là các toán tử xác định cấu trúc của nhiễu và ∆ i j ∈ L (Yi j ,U i j ), i ∈ K, j ∈ N, là các thành phần chưa biết Đặt P∆ (λ) := λ K +1 I −λ K N N D 0 j ∆0 j E 0 j − − A K + A0 + j =1 D K j ∆K j E K j , j =1 31 và γ(∆) := ∆i j , i∈K , j ∈ N xác định độ lớn của nhiễu ∆ := ∆ i j i∈K , j ∈ N Định nghĩa 2.2.1 Cho hệ (2.1) là ổn định Các bán kính ổn định phức, thực và dương của hệ dưới tác động của nhiễu... + và (h 1, , h N ) ∈ R+ , theo Định lý (1.2.7) thì hệ có các hệ số trễ (h 1, , h N ) cũng dương và ổn định mũ Do đó, theo Định lý 1.3.4, hệ bị nhiễu có các hệ số trễ (h 1, , h N ) và các toán tử nhiễu ∆ i , i ∈ N, cũng ổn định mũ Như vậy, ta suy ra điều phải chứng minh 1.5 Ví dụ Cho X = l 2(R), xét hệ có chậm sau ˙ u(t) = A 0 u(t) + A 1 u(t − 1) + A 2 u(t − 2), t ≥ 0, 25 có thể viết lại dưới dạng của. .. và B i j ∈ L (X ), i ∈ K, j ∈ N := {1, , N } là các toán tử xác định cấu trúc của nhiễu và ∆ i j ∈ L (Yi j ,U i j ), δ i j ∈ C, i ∈ K, j ∈ N, là các thành phần chưa biết, và các không gian được xét đến là các không gian Banach có thứ tự Các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong [T6] và nhận đăng trong [T7] 27 2.1 Tính ổn định của hệ dương và đa thức đặc trưng Để nghiên cứu tính ổn định. .. chúng ta một điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của hệ (1.1) dương, nghĩa là A 0 sinh nửa nhóm dương liên tục và A i ∈ L + (X ) với mọi i ∈ N Định lý 1.2.7 Cho hệ (1.1) dương, các phát biểu sau là tương đương: (a) Hệ (1.1) là ổn định mũ; (b) s(A 0 + A 1 + + A N ) < 0; − (c) s(A 0 ) < 0 và r(− A 0 1 (A 1 + + A N )) < 1; (d) (− A 0 − A 1 − − A N )−1 ≥ 0 Chứng minh Giả sử rằng hệ (1.1) là ổn định. .. với hệ dương, hai khái niệm này là tương đương như trong định lý sau, được suy ra từ Định lý 1.2.7 23 Định lý 1.4.1 Cho hệ (1.1) là dương, các phát biểu sau đây là tương đương (a) Hệ (1.1) là ổn định mũ; (b) Hệ (1.1) là ổn định mũ không phụ thuộc trễ Ví dụ 1.4.2 Xét hệ ˙ u(t) = a 0 u(t) + a 1u(t − h1) + + a N u(t − h N ), trong đó a 0 ∈ R, a i ∈ [0, ∞), i ∈ N Theo Định lý 1.4.1, thì hệ này là ổn định. .. ≥ 0, với u t(s) := u(t + s), s ∈ [− h,0); hơn nữa, hệ (1.1) là ổn định mũ khi và chỉ khi nửa nhóm (T (t)) t≥0 là ổn định mũ, hay ω1 (A ) < 0 Để nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.1), chúng tôi xét đến toán tử có dạng tựa đa thức đặc trưng sau N (1.4) P(λ) := A 0 + e−λh i A i i=1 Tập phổ, tập giải và chận trên phổ của toán tử tựa đa thức P(·) được định nghĩa bởi σ(P(·)) := {λ : λ ∈ σ(P(λ))}, ρ (P(·)) . qua, tính ổn định bền vững của hệ liên tục theo thời gian đã được nhiều nhà toán học quan tâm. Một trong các vấn đề quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định bền vững là tính bán kính ổn định. 2 Hệ rời rạc cấp cao 27 2.1 Tính ổn định của hệ dương và đa thức đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Bánkínhổnđịnh 31 2.3 Vídụ 36 Chương 3 Phương trình sai phân 39 3.1 Tính ổn định của. f  ), và P ∆ (λ) =(A 0 +D 0 ∆ 0 E 0 ) + N  i=1 e −λh i (A i +D i ∆ i E i ). 21 Định nghĩa 1.3.1. Cho hệ (1.1) là ổn định mũ. Các bán kính ổn định phức, thực và dương của hệ dưới tác động của nhiễu (1.6)