Tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển

MỞ ĐẦUBài toán ổn định là một trong những bài toán quan trọng trong lý thuyết định tính phương trình vi phân và tích phân.. Lyapunov, đến nay lý thuyết ổn định Lyapunov đã trở thành một

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-TRỊNH THỊ NGỌC

TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ TUYẾN TÍNH KHÔNG ÔTÔNÔM VÀ ỨNG DỤNG

TRONG ĐIỀU KHIỂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH Vũ Ngọc Phát

Hà Nội – Năm 2015

Mục lục

1.1 Hệ phương trình vi phân 6

1.1.1 Hệ phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm 6

1.1.2 Các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 7

1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân 7

1.2.1 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân 7

1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 10

1.2.3 Một số bổ đề bổ trợ 12

2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính 13 2.1 Hệ tuyến tính ôtônôm 13

2.1.1 Một số định lý cơ sở 13

2.1.2 Bài toán ổn định hóa 18

2.2 Hệ tuyến tính không ôtônôm 20

2.2.1 Bài toán ổn định 22

2.2.2 Bài toán ổn định hóa 26

KẾT LUẬN 36

Tài liệu tham khảo 37

MỞ ĐẦU

Bài toán ổn định là một trong những bài toán quan trọng trong lý thuyết định tính phương trình vi phân và tích phân Nói một cách hình tượng, một hệ thống được gọi là ổn định tại trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu bé trong các điều kiện ban đầu hoặc trong cấu trúc của hệ thống không làm cho hệ thống đó thay đổi quá nhiều so với trạng thái cân bằng đó Được bắt đầu nghiên cứu từ những năm cuối thế kỉ XIX bởi nhà toán học V Lyapunov, đến nay lý thuyết ổn định Lyapunov đã trở thành một bộ phận nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết hệ thống và ứng dụng Đặc biệt từ những năm 60 của thế

kỉ XX, cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt đầu nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là tính ổn định hóa của các hệ điều khiển, do đó tính ổn định mà Lyapunov đề xướng trước kia càng thể hiện tầm quan trọng của mình trong sự phát triển liên tục của toán học.Vì những lý do vừa phân tích ở trên mà cho đến nay tính

ổn định đã được nghiên cứu và phát triển như một lý thuyết toán học độc lập có nhiều ứng dụng hữu hiệu trong tất cả các lĩnh vực từ kinh tế đến khoa học kĩ thuật

Như chúng ta đã biết, có nhiều phương pháp để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân Chẳng hạn như: phương pháp thứ nhất Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp số mũ đặc trưng), phương pháp thứ hai Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp hàm Lyapunov), phương pháp xấp xỉ, phương pháp so sánh, Mỗi phương pháp đều có ưu nhược điểm riêng Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển theo phương pháp thứ hai: phương pháp hàm Lyapunov

Luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1 Cơ sở toán học Chương này trình bày một số kiến thức

cơ sở chuẩn bị cho nội dung chính của luận văn Cụ thể là trình bày những

MỞ ĐẦU

khái niệm cơ bản về hệ phương trình vi phân, bài toán ổn định, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình

vi phân

Chương 2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính Chương này trình bày một số kết quả về tính ổn định của hệ phương trình vi phân Nội dung chính của chương này là trình bày các điều kiện cần và đủ tính ổn định của hệ tuyến tính không ôtônôm Để chứng minh, chúng tôi đã sử dụng phương pháp hàm Lyapunov và các kĩ thuật đánh giá bất đẳng thức ma trận tuyến tính Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày ứng dụng của hệ không ôtônôm trong bài toán ổn định hóa hệ điều khiển Đóng góp chính của chúng tôi trong luận văn là trình bày một cách hệ thống bài toán ổn định, ổn định hóa hệ tuyến tính không ôtônôm với các

ví dụ minh họa mới

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắc của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy

cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại nhà trường

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt luận văn của mình

Hà Nội, tháng 2 năm 2015

Tác giả luận văn

Trịnh Thị Ngọc

Bảng kí hiệu

R Không gian số thực

Rn Không gian vecto n chiều

R+ Tập hợp các số thực không âm

Rn×r Không gian các ma trận n × r chiều

AT Ma trận chuyển vị của ma trận A

I Ma trận đơn vị

λ(A) Tập tất cả các giá trị riêng của A

λmax(A) max {Reλ, λ ∈ λ(A)}

A ≥ 0 Ma trận A xác định không âm

A > 0 Ma trận A xác định dương

BM+(0, ∞) Tập các hàm ma trận đối xứng, xác định không âm và

bị chặn trên (0, ∞)

C([a, b],Rn) Tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b] và nhận giá trị trên Rn

kAk Chuẩn phổ của ma trận A, kAk = pλmax(ATA)

BC([0, ∞),Rn×m) Tập tất cả các ma trận hàm cấp n × m, liên tục và

bị chặn trên [0, ∞)

BC+([0, ∞),Rn×m) Tập tất cả các ma trận hàm đối xứng, xác định dương cấp n × m, liên tục và bị chặn trên R+

L2([t, s],Rn) Tập tất cả các không gian khả tích trên Rn và nhận giá trị trên [t, s]

Chương 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC

Trong chương này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi phân: các khái niệm cơ bản về hệ ôtônôm, không ôtônôm

và ổn định hệ phương trình vi phân, trong đó chúng tôi có trình bày phương pháp thứ hai của Lyapunov là phương pháp hàm Lyapunov đối với bài toán ổn định hệ phương trình vi phân Chúng tôi cũng nhắc lại một số kết quả làm cơ sở cho nội dung nghiên cứu ở các chương sau Nội dung chương này được trình bày từ tài liệu [1, 2, 5]

1.1 Hệ phương trình vi phân.

1.1.1 Hệ phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm

Rất nhiều các quá trình trong tự nhiên, vật lý, cơ học, sinh học được

mô tả bởi các phương trình vi phân Các phương trình vi phân này thể hiện mối quan hệ giữa biến thời gian, trạng thái của hệ thống và vận tốc thay đổi của trạng thái tại cùng một thời điểm Ở đây ta phân ra làm hai loại: hệ phương trình vi phân ôtônôm và hệ phương trình không ôtônôm Một hệ phương trình vi phân ôtônôm là hệ phương trình vi phân có dạng:

˙x(t) = f (x), t ≥ 0,

trong đó x ∈ Rn; f (.) : Rn → Rn Hay nói cách khác, hệ phương trình vi phân ôtônôm là hệ phương trình vi phân mà vế phải không phụ thuộc vào biến thời gian t Ngược lại, hệ phương trình vi phân không ôtônôm là hệ phương trình vi phân mà vế phải phụ thuộc vào biến thời gian t, tức là phương trình của nó có dạng

˙x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.1)

Chương 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC

với x ∈ Rn; f (.) : [0, +∞) ×Rn →Rn

1.1.2 Các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Xét phương trình vi phân không ôtônôm (1.1), trong đó f xác định và liên tục trên miềnG = (a, b) × {y ∈ Rn : ky − y0k ≤ r} Cùng với phương trình (1.1) ta xét bài toán Cauchy :



˙x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, x(t0) = x0 (1.2)

Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại nghiệm x(.) trong một lân cận của

t0

Định lý 1.1 (Định lý tồn tại địa phương) Giả sử f là ánh xạ liên tục từ

G sang Rn thỏa mãn các điều kiện sau với mọi t ∈ (a, b), x, y ∈ Bn(x0) = {x ∈ Rn : kx − x0k ≤ η}

kf (t, x)k ≤ M1,

kf (t, x) − f (t, y)k ≤ M2kx − yk,

trong đóM1, M2 là các hằng số không phụ thuộc vàot, x, y Khi đó, tồn tại

số δ > 0 (δ = min

n

η

M 1,M1

2

o

) sao cho với mọi t0 ∈ (a, b), trong khoảng

(t0− δ, t0+ δ) ∩ (a, b) bài toán Cauchy(1.2) có đúng một nghiệmx(t) thỏa mãn kφ(t) − x0k ≤ η

Định lý 1.2 (Định lý tồn tại toàn cục) Giả sử f (.) : R+×Rn → Rn liên tục và thỏa mãn các điều kiện sau :

kf (t, x)k ≤ M1 + M0kxk, ∀t ∈ R+, x ∈ Rn,

kf (t, x) − f (t, y)k ≤ M2kx − yk, ∀t ∈ R+, x ∈ Rn

Khi đó, với bất kì điểm x0 ∈ Rn, t0 ∈ R+, tồn tại duy nhất một nghiệm

x(t) của bài toán Cauchy của phương trình (1.2) trên toàn khoảng R+

Chương 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC

trong đó f : R+×Rn → Rn Giả sử f thỏa mãn các điều kiện cần thiết

để bài toán Cauchy (1.2) có nghiệm duy nhất trên R+ Giả sử x = η(t) là nghiệm của (1.3) xác định trên R+ Ta đặt y = x − η(t), tức y là độ lệch của nghiệm x với nghiệm η(t)

Vì η(t) = f (t, η(t))˙ nên ta nhận được phương trình vi phân đối với y:

˙

y = g(t, y),

trong đóg(t, 0) = 0nên hệ phương trình y = g(t, y)˙ có nghiệm tầm thường

y = 0 ứng với nghiệm đã cho x = η(t) của phương trình

˙x = f (t, x)

Như vậy việc nghiên cứu tính ổn định của nghiệm x = η(t) trong không gian Rn được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tầm thường

y = 0 trong Rn

Do đó, không mất tính tổng quát, ta luôn giả sử phương trình (1.1) có nghiệm tầm thường x = 0, tức là f (t, 0) = 0

Định nghĩa 1.1 Nghiệm tầm thường x = 0 được gọi là ổn định nếu

∀ε > 0, ∀t0 ≥ 0, ∃δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho từ bất đẳng thức kx(t0)k ≤ δ

suy ra kx(t)k < ε, với ∀t ≥ t0

Định nghĩa 1.2 Nghiệm tầm thường x = 0 được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi nghiệm x(t) thỏa mãn:

lim

t→+∞kx(t)k = 0

Định nghĩa 1.3 Nghiệm tầm thường x = 0 được gọi là ổn định mũ nếu

∃M > 0, α > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn:

kx(t)k 6 M kx(t0)ke−α(t−t0 ), ∀t ≥ t0

Ta quy ước thay vì nói nghiệm tầm thường của hệ (1.1) là ổn định ( ổn định tiệm cận, ổn định mũ ) ta nói rằng hệ (1.1) là ổn định ( ổn định tiệm cận, ổn định mũ )

Ví dụ 1.1 Xét hệ phương trình vi phân sau trong Rn

˙x(t) = αx(t), t ≥ 0

Chương 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC

Nghiệm x(t), với x(t0) = x0 cho bởi công thức

x(t) = x0eαt, t ≥ 0

Khi đó hệ ổn định (tiệm cận, mũ) nếu α < 0 Nếu α = 0 thì hệ là ổn định

Ví dụ 1.2 Xét phương trình vi phân

˙x(t) = a(t)x(t), t ≥ 0,

trong đó, a(t) : R+ →R là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban đầu x(t0) = x0 cho bởi

x(t) = x0

Z t

t 0

a(t)dt

Do đó dễ kiểm tra được hệ là ổn định nếu

Z t

t 0

a(τ )dτ ≤ µ(t0) < +∞, ∀t ≥ t0

là ổn định tiệm cận nếu

lim

t→∞

Z t

t 0

a(τ )dτ = −∞

Để giải bài toán ổn định các hệ phi tuyến, Lyapunov đã đưa ra hai phương pháp:

- Phương pháp thứ nhất: Nội dung chính của phương pháp này là nghiên cứu tính ổn định thông qua số mũ Lyapunov hoặc thông thường hơn là dựa vào hệ xấp xỉ tuyến tính Nếu vế phải đủ tốt thì tính ổn định sẽ được rút ra từ tính ổn định của xấp xỉ tuyến tính

- Phương pháp thứ hai: Phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp này

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Thế Hoàn và Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo Dục, 2000

[2] Vũ Ngọc Phát , Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001

[3] A Bensoussan et al, Representation and Control of Infinite- Dimen-sional System , Vol II, Birkhauser, Boston, 1993

[4] P Finsler, Uber das Vokommen definiter und semidefiniter Formen

in Scharen quadratischer Formen, Comment Math Helv 9 (1973), 1432-1436

[5] J Klamka, Controllability of Dynamical Systems, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, 1991

[6] V N Phat, Global stabilization for linear continuous time-varying sys-tems, Appl Math Comput 175 (2006) 1730-1743

[7] V N Phat and V Jeyakumar, Stability, stabilization and duality for linear time-varying systems, optimization, 59 (2010), 447-460