Tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm và ứng dụng trong điều khiển

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRỊNH THỊ NGỌC TÍNH ỔN ĐỊNH HỆ TUYẾN TÍNH KHÔNG ÔTÔNÔM VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Hà Nội – Năm 2015 Mục lục MỞ ĐẦU CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Hệ phương trình vi phân 1.1.1 Hệ phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm 1.1.2 Các định lý tồn nghiệm 1.2 Tính ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.1 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân 1.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.2.3 Một số bổ đề bổ trợ Tính ổn định hệ phương trình vi 2.1 Hệ tuyến tính ôtônôm 2.1.1 Một số định lý sở 2.1.2 Bài toán ổn định hóa 2.2 Hệ tuyến tính không ôtônôm 2.2.1 Bài toán ổn định 2.2.2 Bài toán ổn định hóa KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo phân tuyến tính 6 7 10 12 13 13 13 18 20 22 26 36 37 MỞ ĐẦU Bài toán ổn định toán quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân tích phân Nói cách hình tượng, hệ thống gọi ổn định trạng thái cân nhiễu bé điều kiện ban đầu cấu trúc hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân Được bắt đầu nghiên cứu từ năm cuối kỉ XIX nhà toán học V Lyapunov, đến lý thuyết ổn định Lyapunov trở thành phận nghiên cứu thiếu lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết hệ thống ứng dụng Đặc biệt từ năm 60 kỉ XX, với phát triển lý thuyết điều khiển, người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay gọi tính ổn định hóa hệ điều khiển, tính ổn định mà Lyapunov đề xướng trước thể tầm quan trọng phát triển liên tục toán học.Vì lý vừa phân tích mà tính ổn định nghiên cứu phát triển lý thuyết toán học độc lập có nhiều ứng dụng hữu hiệu tất lĩnh vực từ kinh tế đến khoa học kĩ thuật Như biết, có nhiều phương pháp để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân Chẳng hạn như: phương pháp thứ Lyapunov (hay gọi phương pháp số mũ đặc trưng), phương pháp thứ hai Lyapunov (hay gọi phương pháp hàm Lyapunov), phương pháp xấp xỉ, phương pháp so sánh, Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng Trong luận văn này, nghiên cứu tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm ứng dụng điều khiển theo phương pháp thứ hai: phương pháp hàm Lyapunov Luận văn chia thành hai chương: Chương Cơ sở toán học Chương trình bày số kiến thức sở chuẩn bị cho nội dung luận văn Cụ thể trình bày MỞ ĐẦU khái niệm hệ phương trình vi phân, toán ổn định, phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân Chương Tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính Chương trình bày số kết tính ổn định hệ phương trình vi phân Nội dung chương trình bày điều kiện cần đủ tính ổn định hệ tuyến tính không ôtônôm Để chứng minh, sử dụng phương pháp hàm Lyapunov kĩ thuật đánh giá bất đẳng thức ma trận tuyến tính Ngoài ra, trình bày ứng dụng hệ không ôtônôm toán ổn định hóa hệ điều khiển Đóng góp luận văn trình bày cách hệ thống toán ổn định, ổn định hóa hệ tuyến tính không ôtônôm với ví dụ minh họa Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình nghiêm khắc GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tập nhà trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên để hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả luận văn Trịnh Thị Ngọc Bảng kí hiệu R Không gian số thực Rn Không gian vecto n chiều R+ Tập hợp số thực không âm n×r R Không gian ma trận n × r chiều T A Ma trận chuyển vị ma trận A I Ma trận đơn vị λ(A) Tập tất giá trị riêng A λmax (A) max {Reλ, λ ∈ λ(A)} A≥0 Ma trận A xác định không âm A>0 Ma trận A xác định dương + BM (0, ∞) Tập hàm ma trận đối xứng, xác định không âm bị chặn (0, ∞) C([a, b], Rn ) Tập tất hàm liên tục [a, b] nhận giá trị n R A Chuẩn phổ ma trận A, A = λmax (AT A) BC([0, ∞), Rn×m ) Tập tất ma trận hàm cấp n × m, liên tục bị chặn [0, ∞) BC + ([0, ∞), Rn×m ) Tập tất ma trận hàm đối xứng, xác định dương cấp n × m, liên tục bị chặn R+ L2 ([t, s], Rn ) Tập tất không gian khả tích Rn nhận giá trị [t, s] Chương CƠ SỞ TOÁN HỌC Trong chương này, trình bày kiến thức sở hệ phương trình vi phân: khái niệm hệ ôtônôm, không ôtônôm ổn định hệ phương trình vi phân, có trình bày phương pháp thứ hai Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov toán ổn định hệ phương trình vi phân Chúng nhắc lại số kết làm sở cho nội dung nghiên cứu chương sau Nội dung chương trình bày từ tài liệu [1, 2, 5] 1.1 1.1.1 Hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân ôtônôm, không ôtônôm Rất nhiều trình tự nhiên, vật lý, học, sinh học mô tả phương trình vi phân Các phương trình vi phân thể mối quan hệ biến thời gian, trạng thái hệ thống vận tốc thay đổi trạng thái thời điểm Ở ta phân làm hai loại: hệ phương trình vi phân ôtônôm hệ phương trình không ôtônôm Một hệ phương trình vi phân ôtônôm hệ phương trình vi phân có dạng: x(t) ˙ = f (x), t ≥ 0, x ∈ Rn ; f (.) : Rn → Rn Hay nói cách khác, hệ phương trình vi phân ôtônôm hệ phương trình vi phân mà vế phải không phụ thuộc vào biến thời gian t Ngược lại, hệ phương trình vi phân không ôtônôm hệ phương trình vi phân mà vế phải phụ thuộc vào biến thời gian t, tức phương trình có dạng x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.1) Chương CƠ SỞ TOÁN HỌC với x ∈ Rn ; f (.) : [0, +∞) × Rn → Rn 1.1.2 Các định lý tồn nghiệm Xét phương trình vi phân không ôtônôm (1.1), f xác định liên tục miền G = (a, b) × {y ∈ Rn : y − y0 ≤ r} Cùng với phương trình (1.1) ta xét toán Cauchy : t ≥ 0, x(t) ˙ = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 (1.2) Định lý sau khẳng định tồn nghiệm x(.) lân cận t0 Định lý 1.1 (Định lý tồn địa phương) Giả sử f ánh xạ liên tục từ G sang Rn thỏa mãn điều kiện sau với t ∈ (a, b), x, y ∈ B n (x0 ) = {x ∈ Rn : x − x0 ≤ η} f (t, x) ≤ M1 , f (t, x) − f (t, y) ≤ M2 x − y , M1 , M2 số không phụ thuộc vào t, x, y Khi đó, tồn số δ > (δ = Mη1 , M12 ) cho với t0 ∈ (a, b), khoảng (t0 − δ, t0 + δ) ∩ (a, b) toán Cauchy (1.2) có nghiệm x(t) thỏa mãn φ(t) − x0 ≤ η Định lý 1.2 (Định lý tồn toàn cục) Giả sử f (.) : R+ × Rn → Rn liên tục thỏa mãn điều kiện sau : f (t, x) ≤ M1 + M0 x , ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn , f (t, x) − f (t, y) ≤ M2 x − y , ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn Khi đó, với điểm x0 ∈ Rn , t0 ∈ R+ , tồn nghiệm x(t) toán Cauchy phương trình (1.2) toàn khoảng R+ 1.2 1.2.1 Tính ổn định hệ phương trình vi phân Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân không ôtônôm x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.3) Chương CƠ SỞ TOÁN HỌC f : R+ × Rn → Rn Giả sử f thỏa mãn điều kiện cần thiết để toán Cauchy (1.2) có nghiệm R+ Giả sử x = η(t) nghiệm (1.3) xác định R+ Ta đặt y = x − η(t), tức y độ lệch nghiệm x với nghiệm η(t) Vì η(t) ˙ = f (t, η(t)) nên ta nhận phương trình vi phân y : y˙ = g(t, y), g(t, 0) = nên hệ phương trình y˙ = g(t, y) có nghiệm tầm thường y = ứng với nghiệm cho x = η(t) phương trình x˙ = f (t, x) Như việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm x = η(t) không gian Rn đưa nghiên cứu tính ổn định nghiệm tầm thường y = Rn Do đó, không tính tổng quát, ta giả sử phương trình (1.1) có nghiệm tầm thường x = 0, tức f (t, 0) = Định nghĩa 1.1 Nghiệm tầm thường x = gọi ổn định ∀ε > 0, ∀t0 ≥ 0, ∃δ = δ(ε, t0 ) > cho từ bất đẳng thức x(t0 ) ≤ δ suy x(t) < ε, với ∀t ≥ t0 Định nghĩa 1.2 Nghiệm tầm thường x = gọi ổn định tiệm cận ổn định nghiệm x(t) thỏa mãn: lim t→+∞ x(t) = Định nghĩa 1.3 Nghiệm tầm thường x = gọi ổn định mũ ∃M > 0, α > cho với nghiệm x(t) phương trình (1.1) thỏa mãn: x(t) M x(t0 ) e−α(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 Ta quy ước thay nói nghiệm tầm thường hệ (1.1) ổn định ( ổn định tiệm cận, ổn định mũ ) ta nói hệ (1.1) ổn định ( ổn định tiệm cận, ổn định mũ ) Ví dụ 1.1 Xét hệ phương trình vi phân sau Rn x(t) ˙ = αx(t), t ≥ Chương CƠ SỞ TOÁN HỌC Nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0 cho công thức x(t) = x0 eαt , t ≥ Khi hệ ổn định (tiệm cận, mũ) α < Nếu α = hệ ổn định Ví dụ 1.2 Xét phương trình vi phân x(t) ˙ = a(t)x(t), t ≥ 0, đó, a(t) : R+ → R hàm liên tục, nghiệm x(t) hệ với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 cho t a(t)dt x(t) = x0 t0 Do dễ kiểm tra hệ ổn định t a(τ )dτ ≤ µ(t0 ) < +∞, ∀t ≥ t0 t0 ổn định tiệm cận t a(τ )dτ = −∞ lim t→∞ t0 Để giải toán ổn định hệ phi tuyến, Lyapunov đưa hai phương pháp: - Phương pháp thứ nhất: Nội dung phương pháp nghiên cứu tính ổn định thông qua số mũ Lyapunov thông thường dựa vào hệ xấp xỉ tuyến tính Nếu vế phải đủ tốt tính ổn định rút từ tính ổn định xấp xỉ tuyến tính - Phương pháp thứ hai: Phương pháp hàm Lyapunov, phương pháp xem cách tiếp cận nghiên cứu tính ổn định Nội dung phương pháp dựa vào tồn lớp hàm toàn phương đặc biệt (gọi hàm Lyapunov) mà tính ổn định hệ cho kiểm tra trực tiếp qua dấu đạo hàm (dọc theo quỹ đạo xét) hàm Lyapunov tương ứng Hiện chưa có thuật toán tổng quát để tìm hàm Lyapunov cho tất phương trình Sau xin trình bày kết phương pháp Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo Dục, 2000 [2] Vũ Ngọc Phát , Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [3] A Bensoussan et al, Representation and Control of Infinite- Dimensional System , Vol II, Birkhauser, Boston, 1993 [4] P Finsler, Uber das Vokommen definiter und semidefiniter Formen in Scharen quadratischer Formen, Comment Math Helv (1973), 1432-1436 [5] J Klamka, Controllability of Dynamical Systems, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, 1991 [6] V N Phat, Global stabilization for linear continuous time-varying systems, Appl Math Comput 175 (2006) 1730-1743 [7] V N Phat and V Jeyakumar, Stability, stabilization and duality for linear time-varying systems, optimization, 59 (2010), 447-460 37 [...]...Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn và Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo Dục, 2000 [2] Vũ Ngọc Phát , Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [3] A Bensoussan et al, Representation and Control of Infinite- Dimensional System , Vol