báo cáo nghiên cứu khoa học ' thiết kế bộ điều khiển pid bền vững cho hệ thống phi tuyến bậc hai nhiều đầu vào - nhiều đầu ra và ứng dụng trong điều khiển tay máy công nghiệp'

Hồ Chí Minh TÓM TẮT Bài báo nêu lên phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID bền vững để áp dụng vào điều khiển các hệ phi tuyến bậc hai nhiều đầu vào – nhiều đầu ra MIMO có các tham số

THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀN VỮNG CHO HỆ THỐNG PHI TUYẾN BẬC HAI NHIỀU ĐẦU VÀO - NHIỀU ĐẦU RA VÀ

ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN TAY MÁY CÔNG NGHIỆP

DESIGN OF ROBUST PID CONROLLERS FOR MIMO SECOND-ORDER NONLINEAR SYSTEMS AND APPLICATIONS IN CONTROL

OF INDUSRIAL MANIPULATORS

Nguyễn Văn Minh Trí

Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng

Lê Văn Mạnh

Trường Đại học Công nghiệp

TP Hồ Chí Minh

TÓM TẮT

Bài báo nêu lên phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID bền vững để áp dụng vào điều khiển các hệ phi tuyến bậc hai nhiều đầu vào – nhiều đầu ra (MIMO) có các tham số và nhiễu không xác định Các tham số của bộ điều khiển PID được xác định bằng công thức mới sử dụng ngưỡng thay đổi của các thành phần không xác định và nhiễu bên ngoài Sự hội tụ của hệ thống được chứng minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov Kết quả mô phỏng trên tay máy hai bậc tự do chứng tỏ tín hiệu điều khiển không còn hiện tượng rung và sai lệch tĩnh của hệ thống hội tụ về không

ABSTRACT

This paper presents a design method of the robust PID controller for MIMO second-order nonlinear systems with bounded uncertainties and disturbances PID controller parameters are obtained by proposed equations using the boundary of uncertainties and external disturbances The system convergence is proven to be based on the Lyapunov Stability Theory Simulation results for the two DOF robotic manipulators show that the chattering of control signals disappear and system tracking errors turn to zero

1 Đặt vấn đề

Bộ điều khiển PID (Proportional-Integral-Derivative) được sử dụng rộng rãi trong nhiều ứng dụng điều khiển vì tính đơn giản và hiệu quả của nó Ba thông số của

bộ điều khiển là: hệ số tỉ lệ KP, hệ số tích phân KI và hệ số vi phân KD, việc chọn các thông số này cho phù hợp với hệ thống cần điều khiển là khó khăn Trong những năm gần đây, đã có sự quan tâm sâu rộng trong tự điều chỉnh ba thông số của bộ điều khiển Các phương pháp tự điều chỉnh PID thường dựa trên các kỹ thuật phản hồi thông tin [1, 2] Bộ điều khiển PID bền vững là một trong những chiến lược để giải quyết vấn đề điều khiển với hệ thống không xác định Tính năng chính của PID bền vững là giúp hệ thống ổn định nhanh với sự biến đổi các tham số và những nhiễu bên ngoài tác động Ứng dụng khác nhau của PID bền vững này có thể được áp dụng điều khiển cho các hệ thống như: hoạt động của robot, máy bay, hệ thống sản xuất công nghiệp,

Trong bài báo này, bộ điều khiển PID bền vững được thiết kế ra cho hệ thống

phi tuyến không xác định MIMO Mục đích là để hệ thống đạt được sự ổn định nhanh

với sự biến đổi tham số và những nhiễu bên ngoài tác động Bộ điều khiển PID bền

vững được đưa ra sẽ giảm được việc tính toán phức tạp của thành phần tín hiệu điều

khiển tương đương trong bộ điều khiển trượt trước đây [3] Thêm vào đó các hệ số bộ

điều khiển PID thông thường [4] chỉ xác định tường minh khi đối tượng điều khiển là

tuyến tính Trong phần II, lý thuyết về bộ điều khiển PID bền vững áp dụng cho đối

tượng phi tuyến được đưa ra Các kết quả lý thuyết sau đó được áp dụng cho việc điều

khiển một tay máy công nghiệp hai bậc tự do, được trình bày ở phần III Các kết luận

được nêu lên ở phần IV

2 Thiết kế bộ điều khiển

Xét một hệ thống phi tuyến bậc hai MIMO biểu diễn phương trình trạng thái sau:

( ) ( )q,q B q,q u d( )t

a

trong đó u∈Rn vectơ các tín hiệu điều khiển, q∈Rnlà vectơ các biến trạng thái hệ

thống, a(q,  q )∈R n là véc tơ phi tuyến, B(q,  q )∈R n×n là ma trận điều khiển, khả

nghịch, d∈Rnlà vectơ nhiễu bên ngoài

Đối với tay máy, u∈Rnlà vectơ các tín hiệu điều khiển tỉ lệ với các lực tổng

quát, q∈Rnlà vectơ các biến khớp, B(q) là ma trận nghịch đảo của ma trận môment

quán tính tay máy H( )q =H T( )q >0, H( )q ∈Rn × n, a( )q, q =H−1[C( )q, q q +g( )q ] với

( )q, q q∈Rn

C   là vectơ lực coriolis và lực ly tâm, g( )q ∈Rn là vectơ lực trọng trường,

n

R

∈

d là vectơ nhiễu không xác định

Giả thuyết rằng:

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤

≤

=

≤

−

m

m m

d

h a

d

H B

a

Gọi q d∈Rnlà vectơ quỹ đạo mong muốn và e=q d −q; e=qd −q là vectơ sai

lệch bám và đạo hàm của chúng

Chọn hàm lọc bậc 1: σi =Ciei+ei,

trong đó C=diag(C1,C2, ,Cn); Ci∈R; Ci >0; i=1, ,n

trong đó K =diag(K1,K2, ,Kn); Ki =K>0; i=1, ,n

n 2

1 ,sgn σ , ,sgn σ σ

sgn sgn σ =

Chứng minh: Đạo hàm của σ là: σ =C e+qd −q

( ) ( ) ( ) ( )t

q e C

2

1

3 = σ T σ≥

V , V3 =σT σ =σT(C e+e)

V

t V

t V

d T

d T

d T

T

− +

+

−

≤

− + +

−

=

+

− +

−

=

=

−

d q q, a q e C H σ q B σ

σ K d

q q, a q e C B q B σ

d σ K q B q q, a q e C σ σ σ



























sgn

sgn sgn

3

1 3

3

Rõ ràng V3 ≤0 nếu K≥h m(a m +d m +η+ C e+qd ) với η là hằng số dương nhỏ bất kỳ Theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov thì: 0

2

1

3 = σTσ≥

V có V3≤0, sẽ đảm bảo hệ thống có σ → 0 Khi σ = 0 = Ce +e tương đương với C i e i+ e i =0;i=1, ,n Với Ci > 0 thì ei → 0 khi t → ∞ mà tốc độ hội tụ phụ thuộc vào giá trị của Ci

Theo chứng minh trên, rằng e → 0 khi e→0 và q có giới hạn vì tính chất vật d

lý của hệ thống Nên có thể tìm được một hằng số E m sao cho: C e+qd ≤Em (4)

Từ đó ta có thể chọn K =(a m+d m+η+E m)h m là hằng số

Ta có định lý sau với chứng minh ở trên:

thì sai lệch bám của hệ thống e sẽ hội tụ về 0

[u ,u , ,u ]T,

n 2 1

=

u

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

>

≤

≤

− +

+ +

−

<

−

n 1, , i φ

σ khi K

φ σ φ khi

dt e φ

I C e φ

K e φ

I C K

φ σ khi K

u

i i const

i i i t

0

i i

i i i i

const i

i

i i const

i i const

Giả thiết rằng: Với mọi lim ( )= , lim ( )=0

∞

→

∞

t const d

∞

→

Cho mỗi cặp (qconst, dconst), luôn tồn tại một điểm cân bằng [qconst,0]T và một tín

hiệu điều khiển tĩnh u sao cho đảm bảo ổn định: 0=a(qconst,0) (+B qconst)u+dconst(7)

với K chọn như (5) thì điểm cần bằng của hệ thống kín, [ ] [ ]T

const

q

q, = , là ổn định toàn cục

tham số bộ điều khiển được chọn sẽ mang quỹ đạo hệ thống vào một vùng lân cận nhỏ

bất kỳ quanh điểm cân bằng[ ] [ ]T

const T

0 ,

q q

q, = Phần tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng tham

số của bộ điều khiển được chọn sẽ đảm bảo sự ổn định toàn cục của điểm cân bằng

* Chứng minh phần 1: Xét hệ thống nhỏ thứ i

- Khi σi >φi thì ui = Kconst.sign(σi), do đó theo hệ quả 2 thì trạng thái hệ thống

sẽ được đẩy vào bên trong một lớp biên L i ={q iσi ≤φi}

- Khi σi ≤φi, σi =C i e i+ei => ei =−C i e i +σi

Tồn tại một số Mi sao cho Mi.(-Ci) + (-Ci).Mi = - 1 => Mi =

i

C

2

1 Chọn V4 = Mi.ei2 ⇒ V4 =−2.M i.C i.e i2 +2.M i.e i.σi

i

C e

4 ≤− +

i

i

e ≥ φ

2 2

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

−

=

i

i

e

Kết quả trạng thái hệ thống sẽ hội tụ trong vùng có

i

i i

C

e ≤ φ

Suy ra ei ≤ −C i e i+σi ⇔ei ≤φi+φi =2φi

C

i

i

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

≤

∩

≤

∩

quanh điểm cân bằng(e = e0,=0), hay là điểm cân bằng [ ] [ ]T

const T

0 ,

q q

* Chứng minh phần 2: Xét hệ thống nhỏ thứ i

Đặt s i =σi +I i∫σi dt, tính hiệu điều khiển (6) trở thành: ui = Kconst.sat(si/φi) (8) Khiσi ≤φi, có 4 khả năng xảy ra:

c Nếu 0si =σi+Iσi = , σi sẽ tiến về 0 với tốc độ hội tụ là Ii, và ei → 0 khi t → ∞ như chứng minh ở định lý 1

d Nếu 0si =σi +I iσi < khi σi >0 hoặc 0si =σi+I iσi > khi 0σi< , ta cho thể nhân hai vế của bất đẳng thức để được: σiσi +I iσi2 <0⇔σiσi <−I iσi2≤0

⇔Vi =σiσi <−I iσi2 =−2I i V i ≤0, do đó ei→0 khi t→∞ như chứng minh ở định lý 1

e Nếu 0si =σi+I iσi < khi σi <0, điều này đồng nghĩa là hàm s i luôn giảm khi

s i<0 Do đó, sau một thời gian xác định, si<-φi, và luật điều khiển (3) đảm bảo 0V3 ≤ , ei

→ 0 khi t → ∞ như chứng minh ở định lý 1

f Nếu si =σi +I iσi >0khi 0σi > , điều này đồng nghĩa là hàm s i luôn tăng khi

s i >0 Do đó, sau một thời gian xác định, s i >φi, và luật điều khiển (3) đảm bảo V3 ≤0,

ei→ 0 khi t→ ∞ như chứng minh ở định lý 1

Giả thiết (7) suy ra rằng có tồn tại điểm cân bằng với:e i =0,ei =0,ei =0,u i =u i,s i =s i; Trong đó s I C (q di q i)dt const

t i

Đặt s~i =s i −s i và một hàm Lyapunov : 5 ~2

2

1

i

V = ; Đạo hàm V5i, ta được:

i i

V5 =~. =−~s i2 + s~i2(s i−s i+si) với s i =σi+I i∫σi dt, σi =C i e i +ei

i i i

i i i i i i i i i i i

i i i i i i i i

i i i i i i i i i

i i i i i i i i i

s dt e C I e e C I e

C I I C s s V

e I e e C I e e C s dt e C I e e C s s V

e e C I e e C s dt e e C I e e C s s V

− +

+ +

+ + +

+ +

−

=

+ + +

+ +

− +

+ +

−

=

+ +

+ +

− +

+ + +

−

=

∫

∫

∫





























1

~

~

~

~

~

~

2 2 5

2 2 5

2 2 5

i i

Vì e i →0,ei →0,ei →0,(I i C i∫ (q di −q i)dt−s i)→0 khi t→∞, bất đẳng

thức trên chỉ ra rằng các trạng thái của hệ thống thứ i sẽ tiến về điểm cân bằng

(e i =0,ei =0) Tổng quát hoá cho cả hệ thống, ta có điểm cân bằng (e = e0,=0), hay

const

T

0 ,

q

q

q, = là ổn định toàn cục

3 Kết quả mô phỏng

3.1 Mô hình toán học tay máy 2 bậc tự do [5]

Xét hình chiếu bằng tay máy như hình 1, gọi qlà véc-tơ vị trí của hai khớp, khi

đó: q = [q 1 q 2]T

Hình 1 Hình chiếu bằng của tay máy

Hàm Lagrange của cánh tay robot được xác định bởi: L( )q,q =K( ) ( )q,q −P q (9),

trong đó, K, P là tổng động năng và tổng thế năng của hệ thống

Phương trình Lagrange-Euler chính là lực tổng quát tác động lên khâu thứ i được

xác định bởi: ( ), ( ), ; =1÷2

∂

∂

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

∂

q

q q L q

q q L dt

d







Phương trình động lực học nhận được bằng cách áp dụng phương trình Lagrange:

( )

( )

2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2

2 2 2

1 2 1 2 2 1 2

2 2 2

2 1 2

2 1 1 1

sin sin

2 cos

cos 2

q q l

l m q q q l

l m q I q l

l m l

m

q I I q l

l m l

m l m l m

C C

C C

C C

C











−

− +

+ +

+ +

+ +

+ +

=

τ

(11)

( )

1 2 2 1 2 2 2

2 2 2 1 2 2 2 1 2

2 2 2

2 = m l C +m l l C cosq +I q + m l C +I q +m l l C sin q q

3.2 Mô phỏng và kết quả

quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Thoi gian [s]

u13 u11

-0.5 0 0.5 1 1.5

Thoi gian [s]

e13 e11

-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Thoi gian [s]

e23 e21

Hình 2 Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám khớp 1 và 2 của tay máy {tương ứng với u 1i , u 2i và e 1i , e 2i (i = 1 ÷3)}

* Nhận xét: Ta thấy Ci nhỏ sai lệch bám ei của các khâu bám chậm tiến về 0 so với Ci

lớn hơn Nếu Ci lớn thì sai lệch bám ei của các khâu nhanh tiến về 0 nhưng hệ có sự quá điều chỉnh Tóm lại giá trị Ci quyết định chất lượng điều khiển của hệ thống

b) Với C i , I i , φI (i = 1÷3) là hằng số và K consti lần lượt là K const1 = 0,1; K const2 = 0,6;

K const3 = 1500 và quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Thoi gian [s]

u13 u11

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Thoi gian [s]

e13 e11

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Thoi gian [s]

u23 u21

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Thoi gian [s]

e23 e21

Hình 3 Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám khớp 1 và 2 của tay máy {tương ứng với u 1i , u 2i và e 1i , e 2i (i = 1 ÷3)}

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Thoi gian [s]

u23 u21

* Nhận xét: Ta thấy: Kconsti nhỏ hệ có sự dao động so với Kconsti lớn Khi Kconsti lớn tín hiệu điều khiển có sự thay đổi của u rất nhanh Tóm lại Kconsti phụ thuộc vào hệ và ảnh hưởng đến sự ổn định của hệ

c) Kết quả trên cho phép chọn tham số tối ưu là C i = 15, K consti = 10, I i = 0,1 và

φI = 0,5 với quỹ đạo đặt là một đa thức bậc 3, nguồn nhiễu bên ngoài d 1 = 0,1

và d 2 = 5.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Thoi gian [s]

d1

Hình 4 Nguồn nhiễu bên ngoài d 1 và d 2 lần lượt tác động đến tay máy

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Thoi gian [s]

u1(d1)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Thoi gian [s]

e1(d1)

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Thoi gian [s]

u2(d1)

-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Thoi gian [s]

e2(d1)

Hình 5 Tín hiệu điều khiển và sai lệch bám khớp 1 và 2 của tay máy {tương ứng với u 1 (d i ), u 2 (d i ) và

* Nhận xét: Khi chọn tham số tối ưu là Ci = 15, Kconsti = 10, Ii = 0,1, φi = 0,5 (i = 1÷2)

và tăng nguồn nhiễu lên 50 lần (d1 = 0,1 và d2 = 5) như trên ta thấy: sai lệch bám ei của các khâu nhanh tiến về 0, khi nguồn nhiễu bên ngoài lớn (d2 = 5) tác động đến tay máy làm cho khớp 1 có sự quá điều chỉnh (≈4,5%) nhưng không làm cho hệ thống tay máy tính mất ổn định Hoạt động các khớp của tay máy dường như không bị ảnh hưởng khi

có nhiễu bên ngoài tác động

d) Nhận xét chung

Kết quả mô phỏng cho thấy, sự hội tụ và sai lệch bám của hệ thống sẽ thay đổi khi các thông số Kconsti, Ii, φi, Ci (i = 1÷3) thay đổi và được xác định bằng công thức:

i

i i consti Pi

I C K K

φ

+

i

i i Ii

I C K

φ

i

consti Di

K K

φ

=

Từ kết quả mô phỏng trên và việc xác định các thông số của bộ điều khiển ta tính được các hệ số KPi, KIi, KDi dễ dàng, kết quả này có được nhờ vào việc chứng minh

bộ điều khiển PID bền vững ở mục II Đây là kết quả mang tính khoa học cao khi mà các hệ số của bộ điều khiển PID cho đối tượng phi tuyến MIMO được xác định bằng công thức rõ ràng

4 KẾT LUẬN

Bài báo đã nêu được phương pháp xây dựng bộ điều khiển PID bền vững và áp dụng để điều khiển một hệ phi tuyến MIMO như tay máy công nghiệp Các kết quả mô phỏng tay máy 2 bậc tự do cho thấy độ chính xác của quỹ đạo có thể khống chế được theo yêu cầu cho trước

Các hệ số của bộ điều khiển PID được xác định bằng các công thức tường minh, phụ thuộc vào các thông số Kconsti, Ii, φi, Ci Sự ổn định của hệ thống kín đã được chứng minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov, sau đó bộ điều khiển PID bền vững này được áp dụng để điều khiển tay máy 2 bậc tự do Ảnh hưởng của sự thay đổi các thông

số Kconsti, di, Ci đến chất lượng đầu ra của hệ thống cũng được phân tích và trình bày Các kết quả mô phỏng cho thấy tín hiệu điều khiển không còn sự thay đổi nhanh và sai lệch bám của hệ thống đảm bảo tiến về không Những kết quả này một lần nữa chứng minh lý thuyết và thể hiện tính khả thi của bộ điều khiển PID bền vững được đưa ra trong bài báo

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] A Leva, “PID autotuning algorithm based on relay feedback,”IEE Porc-Control Theory Appl., vol 140, 1993, pp 328-337

[2] Q G Wang, B Zou, T H Lee, and Q Bi, “Auto-tuning of multivariable PID

controller from decentralized relay feedback,” Automatica, vol 33, 1997, pp

319-330

[3] Lê Tấn Duy, Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ tay máy robot, Tạp chí Khoa học

và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 4/2003

[4] Vũ Tú Anh, Bộ điều khiển PID số cho động cơ DC ứng dụng ASIC, Tạp chí Khoa

học và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 4/2008

[5] Mark W Spong, Seth Hutchinson, and M Vidyasagar, Robot Modeling and Control, 2004