Bài báo nêu lên phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID bền vững để áp dụng vào điều khiển các hệ phi tuyến bậc hai nhiều đầu vào–nhiều đầu ra (MIMO) có các tham số và nhiễu không xác định. Mời các bạn cùng tham khảo.
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID BỀN VỮNG CHO HỆ THỐNG PHI TUYẾN BẬC HAI NHIỀU ĐẦU VÀO - NHIỀU ĐẦU RA VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐIỀU KHIỂN TAY MÁY CÔNG NGHIỆP DESIGN OF ROBUST PID CONROLLERS FOR MIMO SECOND-ORDER NONLINEAR SYSTEMS AND APPLICATIONS IN CONTROL OF INDUSRIAL MANIPULATORS Nguyễn Văn Minh Trí Lê Văn Mạnh Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng Trường Đại học Cơng nghiệp TP Hồ Chí Minh TĨM TẮT Bài báo nêu lên phương pháp thiết kế điều khiển PID bền vững để áp dụng vào điều khiển hệ phi tuyến bậc hai nhiều đầu vào – nhiều đầu (MIMO) có tham số nhiễu không xác định Các tham số điều khiển PID xác định công thức sử dụng ngưỡng thay đổi thành phần không xác định nhiễu bên Sự hội tụ hệ thống chứng minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov Kết mô tay máy hai bậc tự chứng tỏ tín hiệu điều khiển khơng cịn tượng rung sai lệch tĩnh hệ thống hội tụ không ABSTRACT This paper presents a design method of the robust PID controller for MIMO secondorder nonlinear systems with bounded uncertainties and disturbances PID controller parameters are obtained by proposed equations using the boundary of uncertainties and external disturbances The system convergence is proven to be based on the Lyapunov Stability Theory Simulation results for the two DOF robotic manipulators show that the chattering of control signals disappear and system tracking errors turn to zero Đặt vấn đề Bộ điều khiển PID (Proportional-Integral-Derivative) sử dụng rộng rãi nhiều ứng dụng điều khiển tính đơn giản hiệu Ba thơng số điều khiển là: hệ số tỉ lệ KP, hệ số tích phân KI hệ số vi phân KD, việc chọn thông số cho phù hợp với hệ thống cần điều khiển khó khăn Trong năm gần đây, có quan tâm sâu rộng tự điều chỉnh ba thông số điều khiển Các phương pháp tự điều chỉnh PID thường dựa kỹ thuật phản hồi thông tin [1, 2] Bộ điều khiển PID bền vững chiến lược để giải vấn đề điều khiển với hệ thống khơng xác định Tính PID bền vững giúp hệ thống ổn định nhanh với biến đổi tham số nhiễu bên tác động Ứng dụng khác PID bền vững áp dụng điều khiển cho hệ thống như: hoạt động robot, máy bay, hệ thống sản xuất cơng nghiệp, 263 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 Trong báo này, điều khiển PID bền vững thiết kế cho hệ thống phi tuyến khơng xác định MIMO Mục đích để hệ thống đạt ổn định nhanh với biến đổi tham số nhiễu bên tác động Bộ điều khiển PID bền vững đưa giảm việc tính tốn phức tạp thành phần tín hiệu điều khiển tương đương điều khiển trượt trước [3] Thêm vào hệ số điều khiển PID thông thường [4] xác định tường minh đối tượng điều khiển tuyến tính Trong phần II, lý thuyết điều khiển PID bền vững áp dụng cho đối tượng phi tuyến đưa Các kết lý thuyết sau áp dụng cho việc điều khiển tay máy công nghiệp hai bậc tự do, trình bày phần III Các kết luận nêu lên phần IV Thiết kế điều khiển Xét hệ thống phi tuyến bậc hai MIMO biểu diễn phương trình trạng thái sau: = a(q, q ) + B(q, q )u + d(t ) , q (1) u ∈ R n vectơ tín hiệu điều khiển, q ∈ R n vectơ biến trạng thái hệ thống, a(q, q ) ∈ R n véc tơ phi tuyến, B(q, q ) ∈ R n×n ma trận điều khiển, khả nghịch, d ∈ R n vectơ nhiễu bên Đối với tay máy, u ∈ R n vectơ tín hiệu điều khiển tỉ lệ với lực tổng quát, q ∈ R n vectơ biến khớp, B(q) ma trận nghịch đảo ma trận môment ) = H −1 [C(q, q )q + g(q )] với quán tính tay máy H (q ) = H T (q ) > 0, H (q ) ∈ R n ×n , a(q, q C(q, q )q ∈ R n vectơ lực coriolis lực ly tâm, g(q ) ∈ R n vectơ lực trọng trường, d ∈ R n vectơ nhiễu không xác định Giả thuyết rằng: ⎧ a ≤ am ⎪⎪ −1 ⎨ B = H ≤ hm , ⎪ ⎪⎩ d ≤ d m (2) Gọi q d ∈ R n vectơ quỹ đạo mong muốn e = q d − q; e = q d − q vectơ sai lệch bám đạo hàm chúng Chọn hàm lọc bậc 1: σ i = C i e i + e i , C = diag(C1 , C , , C n ); C i ∈ R; C i > 0; i = 1, , n Chọn u = K sgn (σ ) , (3) K = diag (K , K , , K n ); K i = K > 0; i = 1, , n sgn (σ ) = [sgn (σ1 ), sgn (σ ), , sgn (σ n )] T Chứng minh: Đạo hàm σ là: σ = Ce + q d − q 264 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 d + a(q, q ) − B(q )K sgn (σ ) + d(t ) σ = Ce − q Chọn hàm Lyapunov V3 = σ Tσ ≥ , V3 = σT σ = σT (Ce + e) d + a(q, q ) − B(q )K sgn (σ ) + d(t )] V3 = σ T σ = σ T [Ce − q T − d + a(q, q ) + d(t )) − K sgn (σ ) V3 = σ B(q ) B (Ce − q T + a(q, q ) + d(t ) − K V ≤ σ B(q )sgn (σ ) H Ce − q [ [ ( ] ) ] d d Rõ ràng V3 ≤ K ≥ hm (a m + d m + η+ Ce + q ) với η số dương nhỏ Theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov thì: V3 = σT σ ≥ có V3 ≤ , đảm bảo hệ thống có σ → Khi σ = = Ce + e tương đương với Ci ei + ei = 0; i = 1, , n Với Ci > ei → t → ∞ mà tốc độ hội tụ phụ thuộc vào giá trị Ci d có giới hạn tính chất vật Theo chứng minh trên, e → e → q d ≤ E m lý hệ thống Nên tìm số Em cho: Ce + q (4) Từ ta chọn K = (a m + d m + η + E m )hm số Ta có định lý sau với chứng minh trên: Định lý 1: Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) thỏa mãn, u chọn theo (3), đó: K = (a m + d m + η + E m )hm = K const , (5) sai lệch bám hệ thống e hội tụ Nhận xét 1: Từ luật điều khiển (3), ta xây dựng luật điều khiển PID sau: u = [u , u , , u n ] , T σi < − φi ⎧− K const ⎪ K const Ci Ii t ⎪ K const C i + I i ui = ⎨ ei + e i + e i dt φi φi φ i ∫0 ⎪ ⎪K σi > φi ⎩ const − φi ≤ σi ≤ φi (6) i = 1, , n Giả thiết rằng: Với lim q d (t ) = q const , lim q d (t ) = , lim d(t ) = d const t →∞ t →∞ t →∞ Cho cặp (qconst, dconst), tồn điểm cân [qconst,0]T tín hiệu điều khiển tĩnh u cho đảm bảo ổn định: = a(q const ,0) + B(q const )u + d const (7) Định lý 2: Cho hệ thống (1) với giả thiết (2), (4) (7) thỏa mãn luật khiển (6) T T với K chọn (5) điểm cần hệ thống kín, [q, q ] = [q const ,0] , ổn định toàn cục Chứng minh: Chúng ta chứng minh phần Phần chứng minh với tham số điều khiển chọn mang quỹ đạo hệ thống vào vùng lân cận nhỏ 265 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 quanh điểm cân [q, q ] = [q const ,0] Phần tham T T số điều khiển chọn đảm bảo ổn định toàn cục điểm cân * Chứng minh phần 1: Xét hệ thống nhỏ thứ i - Khi σ i > φi ui = Kconst.sign(σi), theo hệ trạng thái hệ thống { } đẩy vào bên lớp biên Li = qi σ i ≤ φ i - Khi σ i ≤ φi , σ i = Ci ei + ei => ei = −Ci ei + σ i Tồn số Mi cho Mi.(-Ci) + (-Ci).Mi = - => Mi = Chọn V4 = Mi.ei2 ⇒ V4 = −2.M i Ci ei + 2.M i ei σ i 2Ci ⎛φ ⎞ φ 2 V4 ≤ −ei + ei σ i ; Nếu ei ≥ i V4 = −ei + ⎜⎜ i ⎟⎟ ≤ Ci Ci ⎝ Ci ⎠ Kết trạng thái hệ thống hội tụ vùng có ei ≤ Suy ei ≤ − Ci ei + σ i ⇔ ei ≤ φi + φi = 2φi φi Ci ⎧ ⎫ φ Hệ thống hội tụ vùng Ω= ⎨ ei ≤ i ∩ ei ≤ 2φi ∩ σ i ≤ φi ⎬, i = 1, , n bao Ci ⎩ ⎭ T T quanh điểm cân (e = 0, e = 0) , điểm cân [q, q ] = [q const ,0] * Chứng minh phần 2: Xét hệ thống nhỏ thứ i Đặt si = σ i + I i ∫ σ i dt , tính hiệu điều khiển (6) trở thành: ui = Kconst.sat(si/φi) (8) Khi σ i ≤ φi , có khả xảy ra: c Nếu si = σ i + Iσ i = , σi tiến với tốc độ hội tụ Ii, ei → t → ∞ chứng minh định lý d Nếu si = σ i + I iσ i < σ i > si = σ i + I iσ i > σ i < , ta cho thể 2 nhân hai vế bất đẳng thức để được: σ iσ i + I iσ i < ⇔ σ iσ i < − I iσ i ≤ ⇔ Vi = σ iσ i < − I iσ i = −2 I iVi ≤ , ei→0 t→∞ chứng minh định lý e Nếu si = σ i + I iσ i < σ i < , điều đồng nghĩa hàm si ln giảm si , điều đồng nghĩa hàm si tăng si>0 Do đó, sau thời gian xác định, si >φi, luật điều khiển (3) đảm bảo V ≤ , ei→ t→ ∞ chứng minh định lý Giả thiết (7) suy có tồn điểm cân với: ei = 0, ei = 0, ei = 0, ui = ui , si = si ; Trong s i = I i C i lim ∫ (q di − qi )dt = const t →∞ 266 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 Đặt ~ si = si − si hàm Lyapunov : V5i = ~ si ; Đạo hàm V5i , ta được: 2 V = ~ s s = − ~ s + ~ s (s − s + s ) với s = σ + I σ dt , σ = C e + e 5i i i i i i i i i i i ∫ i i i i i ( ) (C e + e + I ∫ (C e )dt − s + C e + e + I (C e + e ) + I e ) ((C + I + I C )e + (1 + I + C )e + e + I ∫ (C e )dt − s ) 2 V5i = −~ si + ~ si C i ei + ei + I i ∫ (C i ei + ei )dt − s i + C i ei + ei + I i (C i ei + ei ) 2 V5i = −~ si + ~ si 2 V5i = −~ si + ~ si i i i ( i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 2 V5i ≤ −~ si + ~ si (C i + I i + I i C i ) ei + (1 + I i + C i ) ei + ei + I i C i ∫ (q di − qi )dt − si ( ) ) Vì ei → 0, ei → 0, ei → 0, I i C i ∫ (q di − qi )dt − s i → t → ∞ , bất đẳng thức trạng thái hệ thống thứ i tiến điểm cân (ei = 0, ei = 0) Tổng qt hố cho hệ thống, ta có điểm cân (e = 0, e = 0) , hay [q, q ]T = [q const ,0]T ổn định tồn cục Kết mơ 3.1 Mơ hình tốn học tay máy bậc tự [5] Xét hình chiếu tay máy hình 1, gọi q véc-tơ vị trí hai khớp, đó: q = [q1 q2]T Hình Hình chiếu tay máy Hàm Lagrange cánh tay robot xác định bởi: L(q, q ) = K (q, q ) − P(q ) (9), đó, K, P tổng động tổng hệ thống Phương trình Lagrange-Euler lực tổng qt tác động lên khâu thứ i d ⎡ ∂L(q, q ) ⎤ ∂L(q, q ) xác định bởi: τ i = ⎢ − ;i = ÷ dt ⎣ ∂q ⎥⎦ ∂q Phương trình động lực học nhận cách áp dụng phương trình Lagrange: τ = [m1l C21 + m2 l12 + m2 lC2 + 2m2 l1l C cos(q ) + I + I ]q1 + [ ] + m2 lC2 + m2 l1l C cos(q ) + I q2 − 2m2 l1lC sin (q )q1 q − m2 l1l C sin (q )q 22 (11) 267 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 τ = [m2 lC2 + m2 l1l C cos(q ) + I ]q1 + [m2 lC2 + I ]q2 + m2 l1l C sin (q )q12 (12) 3.2 Mô kết a) Với Kconsti, Ii, φi (i = 1÷3) số Ci C1 = 3; C2 = 10; C3 = 30 quỹ đạo đặt đa thức bậc p 50 g q q 1.5 u13 u12 u11 40 30 e13 e12 e11 udieukhien 20 Sai leche 10 -10 0.5 -20 -30 -40 -50 0.5 1.5 2.5 -0.5 0.5 1.5 Thoi gian [s] u23 u22 u21 40 30 e23 e22 e21 0.35 0.3 20 Sai leche 0.25 10 udieukhien 2.5 0.4 50 -10 0.2 0.15 0.1 -20 0.05 -30 -40 -50 Thoi gian [s] 0.5 1.5 2.5 -0.05 0.5 1.5 Thoi gian [s] 2.5 Thoi gian [s] Hình Tín hiệu điều khiển sai lệch bám khớp tay máy {tương ứng với u1i, u2i e1i, e2i (i = 1÷3)} * Nhận xét: Ta thấy Ci nhỏ sai lệch bám ei khâu bám chậm tiến so với Ci lớn Nếu Ci lớn sai lệch bám ei khâu nhanh tiến hệ có điều chỉnh Tóm lại giá trị Ci định chất lượng điều khiển hệ thống b) Với Ci, Ii, φI (i = 1÷3) số Kconsti Kconst1 = 0,1; Kconst2 = 0,6; Kconst3 = 1500 quỹ đạo đặt đa thức bậc 50 1.6 u13 u12 u11 40 30 1.2 udieukhien 20 Sai leche 10 -10 0.8 0.6 0.4 -20 0.2 -30 -40 -50 -0.2 0.5 1.5 2.5 1.5 2.5 Thoi gian [s] 0.4 u23 u22 u21 40 30 e23 e22 e21 0.35 0.3 20 0.25 Sai leche 10 -10 -20 0.2 0.15 0.1 0.05 -30 -40 -0.05 -50 0.5 Thoi gian [s] p g q q 50 udieukhien e13 e12 e11 1.4 0.5 1.5 Thoi gian [s] 2.5 -0.1 0.5 1.5 2.5 Thoi gian [s] Hình Tín hiệu điều khiển sai lệch bám khớp tay máy {tương ứng với u1i, u2i e1i, e2i (i = 1÷3)} 268 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 * Nhận xét: Ta thấy: Kconsti nhỏ hệ có dao động so với Kconsti lớn Khi Kconsti lớn tín hiệu điều khiển có thay đổi u nhanh Tóm lại Kconsti phụ thuộc vào hệ ảnh hưởng đến ổn định hệ c) Kết cho phép chọn tham số tối ưu Ci = 15, Kconsti = 10, Ii = 0,1 φI = 0,5 với quỹ đạo đặt đa thức bậc 3, nguồn nhiễu bên d1 = 0,1 d2 = 20 d1 d2 15 10 nhieu -5 -10 -15 -20 0.5 1.5 2.5 Thoi gian [s] Hình Nguồn nhiễu bên d1 d2 tác động đến tay máy g 50 1.6 u1(d1) u1(d2) 40 30 1.2 20 10 Sai lech e udieukhien e1(d1) e1(d2) 1.4 -10 0.8 0.6 0.4 -20 0.2 -30 -40 -50 -0.2 0.5 1.5 2.5 0.5 Thoi gian [s] 1.5 2.5 Thoi gian [s] 0.4 50 u2(d1) u2(d2) 40 e2(d1) e2(d2) 0.35 0.3 30 20 Sai lech e udieukhien 0.25 10 0.2 0.15 0.1 -10 0.05 -20 -30 -0.05 0.5 1.5 Thoi gian [s] 2.5 0.5 1.5 2.5 Thoi gian [s] Hình Tín hiệu điều khiển sai lệch bám khớp tay máy {tương ứng với u1(di), u2(di) e1(di), e2(di) (i = 1÷2)} * Nhận xét: Khi chọn tham số tối ưu Ci = 15, Kconsti = 10, Ii = 0,1, φi = 0,5 (i = 1÷2) tăng nguồn nhiễu lên 50 lần (d1 = 0,1 d2 = 5) ta thấy: sai lệch bám ei khâu nhanh tiến 0, nguồn nhiễu bên lớn (d2 = 5) tác động đến tay máy làm cho khớp có q điều chỉnh (≈4,5%) khơng làm cho hệ thống tay máy tính ổn định Hoạt động khớp tay máy dường không bị ảnh hưởng có nhiễu bên ngồi tác động 269 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 d) Nhận xét chung Kết mô cho thấy, hội tụ sai lệch bám hệ thống thay đổi thơng số Kconsti, Ii, φi, Ci (i = 1÷3) thay đổi xác định công thức: K Pi = K consti C i + I i φi ; K Ii = C i I i φi ; K Di = K consti φi Từ kết mô việc xác định thông số điều khiển ta tính hệ số KPi, KIi, KDi dễ dàng, kết có nhờ vào việc chứng minh điều khiển PID bền vững mục II Đây kết mang tính khoa học cao mà hệ số điều khiển PID cho đối tượng phi tuyến MIMO xác định công thức rõ ràng KẾT LUẬN Bài báo nêu phương pháp xây dựng điều khiển PID bền vững áp dụng để điều khiển hệ phi tuyến MIMO tay máy công nghiệp Các kết mô tay máy bậc tự cho thấy độ xác quỹ đạo khống chế theo yêu cầu cho trước Các hệ số điều khiển PID xác định công thức tường minh, phụ thuộc vào thông số Kconsti, Ii, φi, Ci Sự ổn định hệ thống kín chứng minh dựa vào tiêu chuẩn ổn định Lyapunov, sau điều khiển PID bền vững áp dụng để điều khiển tay máy bậc tự Ảnh hưởng thay đổi thông số Kconsti, di, Ci đến chất lượng đầu hệ thống phân tích trình bày Các kết mơ cho thấy tín hiệu điều khiển khơng cịn thay đổi nhanh sai lệch bám hệ thống đảm bảo tiến không Những kết lần chứng minh lý thuyết thể tính khả thi điều khiển PID bền vững đưa báo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Leva, “PID autotuning algorithm based on relay feedback,”IEE Porc-Control Theory Appl., vol 140, 1993, pp 328-337 [2] Q G Wang, B Zou, T H Lee, and Q Bi, “Auto-tuning of multivariable PID controller from decentralized relay feedback,” Automatica, vol 33, 1997, pp 319330 [3] Lê Tấn Duy, Thiết kế điều khiển trượt cho hệ tay máy robot, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 4/2003 [4] Vũ Tú Anh, Bộ điều khiển PID số cho động DC ứng dụng ASIC, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 4/2008 [5] Mark W Spong, Seth Hutchinson, and M Vidyasagar, Robot Modeling and Control, 2004 270 ... tượng điều khiển tuyến tính Trong phần II, lý thuyết điều khiển PID bền vững áp dụng cho đối tượng phi tuyến đưa Các kết lý thuyết sau áp dụng cho việc điều khiển tay máy cơng nghiệp hai bậc tự...TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(39).2010 Trong báo này, điều khiển PID bền vững thiết kế cho hệ thống phi tuyến khơng xác định MIMO Mục đích để hệ thống đạt ổn... PID cho đối tượng phi tuyến MIMO xác định công thức rõ ràng KẾT LUẬN Bài báo nêu phương pháp xây dựng điều khiển PID bền vững áp dụng để điều khiển hệ phi tuyến MIMO tay máy công nghiệp Các kết