Tính ổn định nghiệm của bài toán quan hệ biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRẦN THỊ CHIÊN TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2014 Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Kiến thức tôpô giải tích hàm 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian véctơ tôpô 1.2 Ánh xạ đa trị 1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị 1.2.2 Một số định lí tương giao ánh xạ đa trị 1.2.3 Tính liên tục ánh xạ đa trị điểm bất động Bài toán quan hệ biến phân 2.1 Phát biểu toán số ví dụ 2.2 Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân 2.2.1 Định lí 2.2.2 Tiêu chuẩn dựa tương giao 2.2.3 Tiêu chuẩn dựa điểm bất động Tính chất tôpô tập nghiệm toán quan 3.1 Tính lồi tập nghiệm 3.2 Tính bị chặn tập nghiệm 3.3 Tính đóng tập nghiệm 3.4 Tính ổn định tập nghiệm 3.5 Các trường hợp đặc biệt 3.5.1 Bài toán bao hàm thức biến phân 3.5.2 Bài toán tựa cân KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo hệ 5 10 10 14 14 24 24 28 28 30 35 biến phân 39 40 42 43 45 52 53 55 58 59 Mở đầu Lý thuyết tối ưu hình thành từ ý tưởng kinh tế, lý thuyết giá trị Edgeworth từ năm 1881 Pareto từ năm 1886 Cho tới năm cuối kỉ XX lý thuyết tối ưu trở thành ngành toán học quan trọng nhiều lĩnh vực khác ngành khoa học, kĩ thuật kinh tế thực tế Trong xu phát triển chung lý thuyết tối ưu áp dụng lý thuyết cân vào giải lĩnh vực khác sống, lớp toán mới, toán "Quan hệ biến phân" đề xuất lần vào năm 2008 GS Đinh Thế Lục nhằm nghiên cứu toán tổng quát theo nghĩa số lớp toán quen thuộc suy từ toán toán tối ưu tuyến tính, toán tối ưu phi tuyến, toán cân bằng, toán tựa cân bằng, toán bao hàm thức biến phân, toán bao hàm thức tựa biến phân, toán bất đẳng thức biến phân, Bài toán quan hệ biến phân phát biểu sau: Tìm a¯ ∈ A cho (1) a¯ điểm bất động ánh xạ S1 , tức a¯ ∈ S1 (¯a); (2) Quan hệ R(¯a, b, y) với b ∈ S2 (¯a) y ∈ T (¯a, b), A, B, Y tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B , T : A × B ⇒ Y ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng R(a, b, y) quan hệ phần tử a ∈ A, b ∈ B , y ∈ Y Các vấn đề nghiên cứu toán quan hệ biến phân tồn nghiệm toán, cấu trúc tập nghiệm toán (tính đóng, tính lồi, tính ổn định, tính liên thông, ) Luận văn có mục đích trình bày toán quan hệ biến phân tính ổn định tập nghiệm toán quan hệ biến phân Luận văn chia thành ba chương Chương Kiến thức sở Chương giới thiệu sở lý thuyết cho hai chương sau, nhắc lại số kiến thức giải tích hàm, trình bày số khái niệm, tính chất tính liên tục ánh xạ đa trị Chương Bài toán quan hệ biến phân Mục đích chương trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân dựa tính chất tương giao KKM định lí điểm bất động Chương Tính chất tôpô tập nghiệm Chương trình bày số tính chất tôpô tập nghiệm tính lồi, tính bị chặn, tính đóng tính ổn định nghiệm toán quan hệ biến phân có tham số Luận văn cố gắng trình bày cách có hệ thống (với chứng minh cụ thể chi tiết hơn) tồn nghiệm tính chất tập nghiệm toán quan hệ biến phân đề cập báo [4, 5] Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình PGS.TS Tạ Duy Phượng Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tập Trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên để hoàn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả luận văn Trần Thị Chiên Chương Kiến thức sở Trong chương này, ta trình bày số kiến thức giải tích hàm khái niệm không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tôpô, khái niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục ánh xạ đa trị, cần thiết cho việc trình bày nội dung chương sau 1.1 1.1.1 Kiến thức tôpô giải tích hàm Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Cho tập X = ∅, ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực R gọi metric X tiên đề sau thỏa mãn: 1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y , (tiên đề đồng nhất); 2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng); 3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác) Tập X với metric d trang bị X gọi không gian metric, kí hiệu (X, d) hay thường viết X Số d(x, y) gọi khoảng cách hai phần tử x y Các phần tử X gọi điểm Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề metric Định nghĩa 1.1.2 Cho X hai không gian metric, điểm x ∈ X A tập X Khoảng cách từ điểm x đến tập A xác định d(x, A) = inf d(x, a) a∈A Định nghĩa 1.1.3 (Khoảng cách Hausdorff) Cho X Y hai không gian metric, điểm x ∈ X A, B tập X , Y Khoảng cách Hausdorff từ tập A đến tập B xác định dH (A, B) = max sup inf d(a, b), sup inf d(a, b) , a∈A b∈B b∈B a∈A hay dH (A, B) = max sup d(a, B), sup d(b, A) a∈A b∈B Định nghĩa 1.1.4 Trong không gian metric X Một dãy {xn } gọi dãy (∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) d (xn , xm ) < ε Nhận xét 1.1.1 Một dãy hội tụ dãy bản, xn → x theo bất đẳng thức tam giác ta có d (xn , xm ) ≤ d (xn , x) + d (x, xm ) → (n, m → ∞) Nhưng ngược lại dãy không gian không thiết hội tụ Chẳng hạn xét khoảng (0, 1) không gian metric với d(x, y) = |x − y| với x, y ∈ (0, 1) dãy , dãy bản, n không hội tụ không gian Định nghĩa 1.1.5 Không gian metric X dãy hội tụ (tới phần tử X ) gọi không gian đủ Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ P : X → X gọi ánh xạ Lipschitz ∃k > : d (P (x), P (y)) ≤ kd(x, y) • k = 1: f gọi ánh xạ không giãn • < k < 1: f gọi ánh xạ co Định lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach ánh xạ co) Mọi ánh xạ co P từ không gian metric đủ (X, d) vào có điểm bất động x¯ nhất, nghĩa tồn x¯ ∈ X thỏa mãn hệ thức P x¯ = x¯ 1.1.2 Không gian véctơ tôpô Định nghĩa 1.1.7 (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅ Một họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn tính chất sau: (i) ∅, X ∈ τ ; (ii) Giao số hữu hạn phần tử thuộc τ thuộc τ ; (iii) Hợp số tùy ý phần tử thuộc τ thuộc τ Khi cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô Định nghĩa 1.1.8 Cho hai tôpô τ1 τ2 Ta nói τ1 yếu τ2 (hay τ2 mạnh τ1 ) τ1 ⊂ τ2 , nghĩa tập mở tôpô τ1 tập mở τ2 Định nghĩa 1.1.9 Cho (X, τ ) không gian tôpô • Tập G gọi tập mở X G ∈ τ • Tập F gọi tập đóng X X\F ∈ τ Định nghĩa 1.1.10 Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A tập X Tập U gọi lân cận tập A U có tập mở chứa A Khi A = {x} U lân cận điểm x Định nghĩa 1.1.11 Một họ V = V : V lân cận điểm x ∈ X gọi sở lân cận điểm x với lân cận U điểm x, tồn lân cận V ∈ V cho x ∈ V ⊂ U Định nghĩa 1.1.12 Cho không gian tôpô (X, τ ), A tập X Đối với phần tử x ∈ X ta gọi: (i) x điểm A tồn lân cận x nằm A (ii) x điểm A tồn lân cận x nằm X\A (iii) x điểm biên A x đồng thời không điểm không điểm A Hay nói cách khác x điểm biên A lân cận x giao khác rỗng với A X\A Định nghĩa 1.1.13 Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Ta gọi phần A hợp tất tập mở nằm A, tập o mở lớn Kí hiệu A intA Định nghĩa 1.1.14 Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng nằm A, tập đóng nhỏ Kí hiệu A¯ clA Định nghĩa 1.1.15 Cho X , Y hai không gian tô pô Một ánh xạ f từ X vào Y gọi liên tục điểm x0 với lân cận V f (x0 ) tồn lân cận U x0 cho f (U ) ⊆ V Ánh xạ f gọi liên tục X liên tục điểm x ∈ X Định nghĩa 1.1.16 Không gian tô pô (X, τ ) gọi không gian Hausdorff (hay T2 − không gian) cặp điểm x khác y X tồn lân cận U x V y cho U ∩ V = ∅ Định nghĩa 1.1.17 Giả sử F trường R C Các phần tử F gọi số (đại lượng vô hướng) Một không gian véctơ V định nghĩa trường F tập hợp V không rỗng mà hai phép cộng véctơ phép nhân với số hướng định nghĩa cho tính chất sau thỏa mãn: Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp: Với u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w; Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán: Với v, w ∈ V : v + w = w + v; Phép cộng véctơ có phần tử trung hòa: Với v ∈ V, có phần tử ∈ V, gọi véctơ không: v + = v; Phép cộng véctơ có phần tử đối: Với v ∈ V, tồn w ∈ V : v + w = 0; Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ: Với α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw; Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng: Với α, β ∈ F ; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv; Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trường số vô hướng: Với α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v; Phần tử đơn vị trường F có tính chất phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng: Với v ∈ V : 1.v = v.1 Định nghĩa 1.1.18 Cho X không gian véctơ Tập C ⊆ X gọi tập lồi với x, y ∈ C với λ ∈ [0, 1] (1 − λ)x + λy ∈ C (hay nói cách khác C chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc nó) Định nghĩa 1.1.19 Cho X không gian véctơ, x1 , x2 , , xk ∈ X số k λ1 , λ2 , , λk thỏa mãn λj ≥ 0, j = 1, , k k λj = Khi đó, x = j=1 gọi tổ hợp lồi véctơ x1 , x2 , , xk ∈ X λj xj , j=1 Định nghĩa 1.1.20 Giả sử S ⊂ X Bao lồi S, kí hiệu convS tập hợp tổ hợp lồi điểm S Định nghĩa 1.1.21 Cho X không gian véctơ Một tập C ⊆ X gọi nón với λ ≥ 0, x ∈ C λx ∈ C Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi Như vậy, tập C nón lồi có tính chất sau: (i) λC ∈ C với λ ≥ 0, (ii) C + C ⊆ C Định nghĩa 1.1.22 Ta nói tôpô τ không gian véctơ X tương hợp với cấu trúc đại số, phép toán đại số X liên tục tôpô đó, tức nếu: x + y hàm liên tục hai biến x, y ; cụ thể với lân cận V điểm x + y có lân cận Ux x lân cận Uy y cho x ∈ Ux , y ∈ Uy x + y ∈ V αx hàm liên tục hai biến α, x; cụ thể với lân cận V αx có số ε > lân cận U x cho |α − α | < ε, x ∈ U α x ∈ V Một không gian véctơ X có tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính) Định nghĩa 1.1.23 Một không gian véctơ tôpô X gọi không gian véctơ tôpô lồi địa phương X có sở lân cận (của gốc) gồm tập lồi Định nghĩa 1.1.24 Cho X không gian tôpô lồi địa phương tập C ⊆ X Ta nói véctơ d phương lùi xa C x + λd ∈ C với x ∈ C, λ > Tập tất phương lùi xa C gọi nón lùi xa C kí hiệu o+ (C) Vậy, o+ (C) = {λ ∈ X : x + λd ∈ C} với x ∈ C, λ > Định nghĩa 1.1.25 Cho tập I khác rỗng gọi định hướng xác định quan hệ ” ≥ ” thỏa mãn tính chất sau: (i)) Với m, n, p ∈ I cho: m ≥ n, n ≥ p m ≥ p; (ii) Nếu m ∈ I m ≥ m; Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ [B] Tài liệu Tiếng Anh [3] J P Aubin and H Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Springer, New York [4] P Q Khanh and D T Luc (2008), Stability of Solutions in Parametric Variational Relation Problems, Set-Valued Anal, 16, 1015-1035 [5] D T Luc (2008), An Abstract Problem in Variational Analysis, J Optim Theory Appl 138, 65 - 76 [6] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation I: Basic Theory, Springer, 331 59 [...]... tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên và Công nghệ [B] Tài liệu Tiếng Anh [3] J P Aubin and H Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Springer, New York [4] P Q Khanh and D T Luc (2008), Stability of Solutions in Parametric Variational Relation Problems,