ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THU HÀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Kiến thức tôpô giải tích hàm 1.1.1 Không gian véctơ 1.1.2 Không gian tôpô 1.1.3 Không gian véctơ tôpô 1.1.4 Không gian metric 1.1.5 Không gian véctơ định chuẩn 1.2 Ánh xạ đa trị 1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị 1.2.2 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.2.3 Một số định lý tương giao ánh xạ đa trị 6 6 6 6 6 8 9 12 điểm bất động Bài toán quan hệ biến phân 2.1 Phát biểu toán số ví dụ 2.2 Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân 2.2.1 Định lý 2.2.2 Tiêu chuẩn dựa tương giao tập 2.2.3 Tiêu chuẩn dựa định lý điểm bất động compact Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tính lồi 3.1 Nguyên lý giải hữu hạn 3.2 Ánh xạ tương giao đóng 3.2.1 Bài toán minimax 3.2.2 Bài toán điểm yên ngựa 3.2.3 Bài toán điểm bất động 3.2.4 Bài toán cân Nash 3.2.5 Bài toán cân chiến lược trội 14 14 15 15 15 15 15 15 Bài toán quan hệ biến phân tính chất KKM 4.1 Quan hệ KKM tổng quát 4.2 Bài toán quan hệ biến phân tính chất KKM 4.3 Kết luận KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 16 16 17 20 21 22 Mở đầu Để đưa chứng minh đơn giản chứng minh ban đầu phức tạp định lý điểm bất động Brower (1912), ba nhà toán học Balan Knaster, Kuratowski, Mazurkiewicz chứng minh kết quan trọng giao khác rỗng hữu hạn tập đóng không gian hữu hạn chiều (1929), kết sau gọi bổ đề KKM Năm 1961, Ky Fan mở rộng bổ đề không gian vô hạn chiều, kết gọi Nguyên lý ánh xạ KKM Vào năm 2008, GS Đinh Thế Lục sử dụng quan hệ KKM vào toán mới, toán "Quan hệ biến phân", nhằm nghiên cứu toán tổng quát theo nghĩa số lớp toán quen thuộc toán tối ưu tuyến tính, toán tối ưu phi tuyến, toán cân bằng, toán tựa cân bằng, toán bao hàm thức biến phân, toán bao hàm thức tựa biến phân, toán bất đẳng thức biến phân biến đổi toán Bài toán quan hệ biến phân phát biểu sau: Cho A, B, Y tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B , T : A × B ⇒ Y ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng R(a, b, y) quan hệ phần tử a ∈ A, b ∈ B , y ∈ Y Hãy tìm điểm a ∈ A cho (1) a¯ điểm bất động ánh xạ S1 , tức a¯ ∈ S1 (¯a); (2) Quan hệ R(¯a, b, y) với b ∈ S2 (¯a) y ∈ T (¯a, b) Mục đích luận văn trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân trường hợp toán có tính chất KKM tính lồi dựa theo báo [3] , [4] , [5] Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm bốn chương: Chương Kiến thức sở Chương giới thiệu sở lý thuyết cho ba chương sau, nhắc lại số kiến thức giải tích hàm, trình bày số khái niệm tính liên tục ánh xạ đa trị Chương Bài toán quan hệ biến phân Mục đích chương trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân dựa tính chất tương giao KKM định lí điểm bất động Chương Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tính lồi Mục đích chương trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tính lồi Chương Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tính chất KKM Mục đích chương trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tính chất KKM Luận văn cố gắng trình bày cách có hệ thống (với chứng minh chi tiết hơn) tồn nghiệm toán quan hệ biến phân đề cập báo [3] , [4] , [5] Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Tạ Duy Phượng - Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, người thầy tận tình hướng dẫn hoàn thành công việc nghiên cứu này Tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2012 - 2014, lời cảm ơn sâu sắc Xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè động viên nhiều giúp hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả luận văn Nguyễn Thu Hà Chương Kiến thức sở Trong chương này, ta trình bày số kiến thức giải tích hàm khái niệm không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tôpô, khái niệm ánh xạ đa trị, tính liên tục ánh xạ đa trị, (theo [1] [2]) cần thiết cho việc trình bày nội dung chương sau 1.1 Kiến thức tôpô giải tích hàm 1.1.1 Không gian véctơ 1.1.2 Không gian tôpô 1.1.3 Không gian véctơ tôpô 1.1.4 Không gian metric 1.1.5 Không gian véctơ định chuẩn 1.2 Ánh xạ đa trị 1.2.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị 1.2.2 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.2.3 Một số định lý tương giao điểm bất động ánh xạ đa trị Cho X , Y không gian véctơ tôpô Hausdorff, A tập khác rỗng X Định nghĩa 1.2.1 (Ánh xạ KKM) Ánh xạ đa trị F : A ⇒ A gọi ánh xạ KKM với tập hữu hạn {a1 , , an } A phần tử a thuộc vào bao lồi {a1 , , an } tìm số i cho a ∈ F (ai ) Dưới số định lý quan trọng giải tích hàm sử dụng Chương sau Định lý 1.2.1 (Định lý tương giao tập compact) Giả sử {Ci : i ∈ I} họ tập compact, khác rỗng không gian X Nếu có tính chất Ci = ∅ Cj = ∅ với J tập hữu hạn I giao hữu hạn, tức i∈I j∈J Định lý 1.2.2 (Định lí KKM-Fan cho ánh xạ đa trị) Cho A tập compact, lồi, khác rỗng ánh xạ F : A ⇒ A đóng với giá trị khác rỗng, ánh xạ KKM F (a) = ∅ Khi a∈A Định lý 1.2.3 (Định lí điểm bất động Fan-Browder) Cho A tập compact, lồi, khác rỗng Nếu ánh xạ đa trị F : A ⇒ A thỏa mãn điều kiện A = intF −1 (a), tồn a ∈ A mà a ∈ convF (a) a∈A Chương Bài toán quan hệ biến phân Trong chương ta trình bày toán quan hệ biến phân đưa số toán xem toán quan hệ biến phân trình bày tồn nghiêm toán quan hệ biến phân dựa tính chất tương giao KKM định lý điểm bất động theo báo [3] 2.1 Phát biểu toán số ví dụ Giả sử A, B, Y tập khác rỗng, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B , T : A × B ⇒ Y ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng R(a, b, y) quan hệ phần tử a ∈ A, b ∈ B , y ∈ Y Định nghĩa 2.1.1 Bài toán tìm a¯ ∈ A cho (1) a¯ điểm bất động ánh xạ S1 , tức a¯ ∈ S1 (¯a); (2) Quan hệ R(¯a, b, y) với b ∈ S2 (¯a) y ∈ T (¯a, b); gọi toán quan hệ biến phân, kí hiệu (VR) Các ánh xạ đa trị S1 , S2 , T gọi ánh xạ ràng buộc Quan hệ R quan hệ biến phân Điểm a¯ thỏa mãn điều kiện (1) (2) gọi nghiệm toán (VR) Tập nghiệm toán (VR) kí hiệu Sol(VR) Sau số toán biết xem toán quan hệ biến phân Ví dụ 2.1.1 Bài toán quy hoạch phi tuyến Ví dụ 2.1.2 Bài toán bao hàm thức biến phân (Variational Inclusion Problem) Ví dụ 2.1.3 Bài toán cân (Equilibrium Problem) Ví dụ 2.1.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) Ví dụ 2.1.5 Bài toán bất đẳng thức véctơ Ky Fan yếu (Weak vector Ky Fan inequality problem) Ví dụ 2.1.6 Bài toán cân véctơ tổng quát mạnh (Generalized strong vector equilibrium problem) Ví dụ 2.1.7 Bài toán tựa cân (Quasi-Equilibrium Problem ) Kết luận: Hầu hết toán tối ưu phi tuyến đưa mô hình toán quan hệ biến phân 2.2 2.2.1 Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân Định lý Giả sử S1 , S2 , T ánh xạ đa trị quan hệ biến phân R xác định Mục 2.1 Xét ánh xạ đa trị P : B ⇒ A xác định P (b) = P1 (b) ∪ P2 (b), P1 (b) = A\S2−1 (b), S2−1 (b) = {a ∈ A : b ∈ S2 (a} , P2 (b) = a ∈ A : a ∈ S1 (a) R(a, b, y) với y ∈ T (a, b) Định lý 2.2.1 a ∈ Sol (V R) a¯ ∈ P (b) b∈B Hệ 2.2.1 Điểm a¯ ∈ A nghiệm toán (VR) tập B\P −1 (¯ a) tập rỗng Đặc biệt, A = B toán (VR) có nghiệm điều kiện sau thỏa mãn: (i) Ánh xạ a → A\P −1 (a) có điểm bất động có giá trị khác rỗng ∀a; (ii) Với a ∈ A, S2 (a) ⊆ S1 (a); (iii) Với a ∈ A, a ∈ S1 (a): R(a, a, y) với y ∈ T (a, a) 2.2.2 Tiêu chuẩn dựa tương giao tập compact Dưới trình bày điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán (VR) dựa tính chất tương giao tập compact Định lí KKM-Fan phát biểu Chương