Quan hệ biến phân tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TẠ THỊ HOÀN QUAN HỆ BIẾN PHÂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2014 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian véctơ tôpô 1.2 Không gian metric 11 1.2.1 Không gian metric 11 1.2.2 Ánh xạ Lipschitz 11 1.3 Giải tích lồi 13 1.4 Ánh xạ đa trị 14 1.4.1 Định nghĩa ánh xạ đa trị 15 1.4.2 Tính liên tục ánh xạ đa trị 20 1.4.3 Một số định lí ánh xạ đa trị 21 1.5 Định lý Hoffman 22 Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân 23 2.1 Bài toán quan hệ biến phân tổng quát 23 2.1.1 Phát biểu toán 23 2.1.2 Sự tồn nghiệm 25 2.2 Bài toán quan hệ biến phân tuyến tính 36 2.2.1 Phát biểu toán 36 2.2.2 Sự tồn nghiệm 37 Cấu trúc tập nghiệm toán quan hệ biến phân tuyến tính 53 3.1 Tính đóng tập nghiệm 53 3.2 Tính lồi tập nghiệm 55 3.3 Tính liên thông tập nghiệm 61 Tài liệu tham khảo 68 Mở đầu Bài toán quan hệ biến phân toán xuất phát từ việc tổng quát hóa số toán có ứng dụng thực tế toán tối ưu, toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân, toán tựa cân bằng, Mô hình toán có ý nghĩa sâu sắc nghiên cứu toán học lý thuyết toán học ứng dụng Bài toán " Quan hệ biến phân" đề xuất lần vào năm 2008 Giáo sư Đinh Thế Lục [7] Môt dạng đặc biệt toán quan hệ biến phân toán quan hệ biến phân tuyến tính Dựa chủ yếu tài liệu [4], [6], [7], luận văn trình bày tính chất định tính toán quan hệ biến phân tuyến tính tồn nghiệm toán, cấu trúc tập nghiệm tìm hiểu tính chất tập nghiệm tính đóng, tính lồi, liên thông, Đây thông tin cần thiết cho việc nghiên cứu mặt định lượng toán, hay việc tìm nghiệm toán Luận văn trình bày theo chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày cách hệ thống kiến thức sở có dùng đến chương sau ánh xạ đa trị, tập lồi, Định lý Hoffman Chương Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân Chương gồm hai phần Phần đầu phát biểu trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tổng quát Phần sau phát biểu trình bày tồn nghiệm toán quan hệ biến phân tuyến tính Chương Cấu trúc tập nghiệm toán quan hệ biến phân tuyến tính Trong chương ta tìm hiểu số tính chất tập nghiêm toán quan hệ biến phân tuyến tính tính đóng, tính lồi, tính liên thông Bên cạnh ví dụ minh họa cho kết Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình PGS TS Tạ Duy Phượng Thầy dành nhiều thời gian, tâm huyết hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tập Nhà trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên để hoàn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả luận văn Tạ Thị Hoàn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian véctơ tôpô Một số định nghĩa định lý trình bày dựa theo tài liệu [2] Định nghĩa 1.1.1 Quan hệ hai tập A tập hợp R tích Đềcác A × A Ta gọi đơn giản quan hệ hai Ký hiệu aRb R(a, b) (a, b) ∈ R Ta thường nói "a − R quan hệ b Định nghĩa 1.1.2 Cho tập V khác rỗng, K trường Các phần tử thuộc V gọi véctơ Trên V trang bị hai phép toán: phép cộng hai véctơ (ký hiệu "+") phép nhân vô hướng k ∈ K với véctơ (ký hiệu ".") Khi (V, +, ) gọi K - không gian véctơ 10 tính chất sau thỏa mãn: 1) Nếu x, y ∈ V x + y ∈ V 2) Với x, y, z ∈ V ta có x + (y + z) = (x + y) + z 3) Với x, y ∈ V ta có x + y = y + x 4) Tồn phần tử θ ∈ V, gọi phần tử trung hòa (hoặc véctơ không), cho x + θ = x với x ∈ V 5) Với x ∈ V, tồn phần tử y ∈ V, gọi phần tử đối xứng (phần tử đối) x, cho x + y = θ 6) Nếu a ∈ K, x ∈ V ax ∈ V 7) Với a ∈ K x, y ∈ V, ta có a(x + y) = ax + ay 8) Với a, b ∈ K x ∈ V, ta có (a + b)x = ax + bx 9) Với a, b ∈ K x ∈ V, ta có a(bx) = (ab)x 10) Với x ∈ V, ta có 1x = x1 = x, ký hiệu phần tử đợn vị phép nhân K Định nghĩa 1.1.3 (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅ Một họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn tính chất sau: (i) ∅, X ∈ τ ; (ii) Giao số hữu hạn phần tử thuộc τ thuộc τ ; (iii) Hợp họ tùy ý phần tử thuộc τ thuộc τ Tập X trang bị tôpô τ gọi không gian tôpô ký hiệu (X, τ ) Định nghĩa 1.1.4 Cho (X, τ ) không gian tôpô • Tập G gọi tập mở X G ∈ τ • Tập F gọi tập đóng X X\F ∈ τ Định nghĩa 1.1.5 Cho hai tôpô τ1 τ2 ta nói τ1 yếu τ2 (hay τ2 mạnh τ1 ) τ1 ⊂ τ2 , nghĩa tập mở tôpô τ1 tập mở τ2 Định nghĩa 1.1.6 Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A tập X Tập U gọi lân cận tập A tồn tập mở nằm U chứa A Khi A = {x} ta nói U lân cận điểm x Định lý 1.1.1 Tập G không gian tôpô (X, τ ) mở G lân cận điểm thuộc Định lý 1.1.2 Nếu Vx họ tất lân cận điểm x thì: (i) x ∈ V với V ∈ Vx ; (ii) Nếu V1 , V2 ∈ Vx V1 ∩ V2 ∈ Vx ; (iii) Nếu V1 ∈ Vx V2 ⊃ V1 V2 ∈ Vx Định nghĩa 1.1.7 Cho Ux họ tất lân cận điểm x Một họ Vx ⊆ Ux gọi sở lân cận x với U ∈ Ux tồn V ∈ Vx cho V ⊆ U Chẳng hạn, họ tập mở chứa x sở lân cận x Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian tôpô (X, τ ), A tập X Đối với phần tử x ∈ X ta nói: (i) x điểm A tồn tập mở x nằm A (ii) x điểm A tồn lân cận x nằm X\A (iii) x điểm biên A x đồng thời không điểm không điểm A Hay nói cách khác x điểm biên A lân cận x giao khác rỗng (chứa điểm khác x) với A X\A Định nghĩa 1.1.9 Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Ta gọi phần A hợp tất tập mở nằm A, o tập mở lớn nằm A Kí hiệu A intA Định nghĩa 1.1.10 Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ ) Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng nằm A, tập đóng nhỏ chứa A Kí hiệu A¯ clA Định nghĩa 1.1.11 Cho X , Y hai không gian tô pô Một ánh xạ f từ X vào Y gọi liên tục điểm x0 với lân cận V f (x0) tồn lân cận U x0 cho f (U ) ⊆ V Ánh xạ f gọi liên tục X liên tục điểm x ∈ X Định nghĩa 1.1.12 Cho {(Xα , τα )}α∈I họ không gian tôpô Xét X = Xα = {x = (xα )α∈I , xα ∈ Xα } phép chiếu pα : x → xα α∈I Tô pô τ yếu X để tất ánh xạ pα liên tục gọi tôpô tích Khi (X, τ ) gọi không gian tôpô tích (hay không gian Tikhonov ) không gian tôpô {(Xα , τα )}α∈I Kí hiệu Xα α∈I Định nghĩa 1.1.13 Không gian tôpô (X, τ ) gọi không gian Hausdorff (hay T2 − không gian) cặp điểm x khác y X tồn lân cận U x V y cho U ∩ V = ∅ Định nghĩa 1.1.14 Ta nói tôpô τ không gian véctơ X tương hợp với cấu trúc đại số, phép toán đại số X liên tục tôpô đó, tức nếu: x + y hàm liên tục hai biến x, y Cụ thể, với lân cận V điểm x + y có lân cận Ux x lân cận Uy y cho x′ ∈ Ux , y ′ ∈ Uy x′ + y ′ ∈ V αx hàm liên tục hai biến α, x Cụ thể, với lân cận V αx có số ε > lân cận U x cho |α − α′ | < ε, x′ ∈ U α′ x′ ∈ V Một không gian véctơ X có tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính) Định nghĩa 1.1.15 Một tập A gọi hấp thu với x ∈ A Tài liệu tham khảo [1] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở giải tích lồi, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ [4] A Dhara, D T Luc (2013), A solution method for linear variational relation problems, Journal of Global optimization, p.1-39 [5] Alan J Hoffman (1952), On approximate solutions of systems of linear inequalities, Journal of Research of the National Bureau of Standards, Vol 49, p 263 - 265 [6] P Q Khanh, D T Luc (2008), Stability of Solutions in Parametric Variational Relation Problems, Set Valued Anal, Vol 16, p.1015 1035 [7] D T Luc (2008), An Abstract Problem in Variational Analysic, J Optim Theory Appl, Vol 138, p 65 - 76 68 [...]... giải tích lồi, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên và Công nghệ [4] A Dhara, D T Luc (2013), A solution method for linear variational relation problems, Journal of Global optimization, p.1-39 [5] Alan J Hoffman (1952), On approximate solutions of systems of linear