Điều kiện cần cực trị và tính ổn định nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu cho một lớp phương trình elliptic

I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN _ V HU NH IU KIN CN CC TR V TNH N NH NGHIM CA BI TON IU KHIN TI U CHO MT LP PHNG TRèNH ELLIPTIC LUN N TIN S TON HC H Ni - 2016 I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN _ V HU NH IU KIN CN CC TR V TNH N NH NGHIM CA BI TON IU KHIN TI U CHO MT LP PHNG TRèNH ELLIPTIC Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 62 46 01 02 LUN N TIN S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: TS BI TRNG KIấN PGS TS NGUYN HU IN H Ni - 2016 LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Cỏc kt qu v s liu lun ỏn l trung thc v cha tng c cụng b trờn bt k cụng trỡnh no khỏc H Ni, thỏng 12 nm 2015 Tỏc gi lun ỏn V Hu Nh LI CM N Lun ỏn ny c hon thnh ti trng i hc Khoa hc T nhiờn - i hc Quc gia H Ni di s hng dn tn tỡnh ca TS Bựi Trng Kiờn v PGS.TS Nguyn Hu in Trc tiờn, tỏc gi xin c by t lũng bit n sõu sc ti TS Bựi Trng Kiờn - ngi ó t bi toỏn, giỳp , ch bo tn tỡnh, chu ỏo sut quỏ trỡnh tỏc gi thc hin lun ỏn Tỏc gi cng xin c by t lũng bit n sõu sc ti PGS TS Nguyn Hu in, ngi ó hng dn tn tỡnh v luụn ng viờn tỏc gi quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu Tip theo, tỏc gi xin by t lũng bit n i vi GS J.-C Yao v s giỳp v to iu kin tỏc gi lm thc sinh 06 thỏng ti i hc Quc gia Tụn Trung Sn (National Sun Yat-sen University, Kaosiung, Taiwan, 3/2013 - 9/2013) Tỏc gi xin chõn thnh cỏm n Ban Lónh o trng i hc Khoa hc T nhiờn - i hc Quc gia H Ni, Phũng Sau i hc, Khoa Toỏn - C - Tin hc v th cỏc thy cụ giỏo ti trng Khoa hc T nhiờn - i hc Quc gia H Ni ó luụn quan tõm giỳp , to iu kin thun li v cú nhng ý kin úng gúp quý bỏu cho tỏc gi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Xin by t lũng bit n n Ban Lónh o trng Hc vin Qun lý giỏo dc, Ban Lónh o trng Hc vin Cụng ngh Bu chớnh Vin thụng, cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn ng nghip Khoa Cụng ngh thụng tin Hc vin Qun lý giỏo dc v Khoa C bn Hc vin Cụng ngh Bu chớnh Vin thụng ó luụn ng viờn giỳp tỏc gi quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu Nh nhng ý kin nhn xột v gúp ý quý bỏu ca GS.TSKH Nguyn Vn Mu, GS.TSKH Phm K Anh, GS.TSKH V Ngc Phỏt, GS.TSKH Lờ Dng Mu, GS.TSKH Nguyn ụng Yờn, PGS TSKH V Hong Linh, PGS.TS Cung Th Anh, PGS.TS Phm Ngc Anh, PGS.TS Nguyn Quang Huy v TS Lờ Huy Chun cỏc Thy Hi ng chm lun ỏn cp c s v Hi ng chm lun ỏn cp i hc Quc gia, bn lun ỏn ny ó c ci thin ỏng k so vi bn d tho lun ỏn ban u Tỏc gi xin chõn thnh cm n cỏc Thy Hi ng chm lun ỏn cp c s v nhng ch dn quan trng Xin chõn thnh cỏm n GS.TSKH Hong Xuõn Phỳ, GS.TSKH Nguyn ụng Yờn, PGS.TS T Duy Phng, PGS.TS Phan Thnh An, TS Nguyn Qunh Nga, cỏc thy cụ v cỏc bn ng nghip ó gúp nhiu ý kin quý bỏu thi gian tỏc gi tham d Xờmina ti Phũng Gii tớch s v Tớnh toỏn khoa hc ti Vin Toỏn hc, Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam Tỏc gi xin c gi li cm n chõn thnh ti cỏc Thy phn bin c lp v nhng nhn xột quý bỏu, nh ú m bn tho ln ny ó cú nhng ci thin ỏng k Cui cựng, xin cỏm n cỏc bn nghiờn cu sinh v gia ỡnh, bn bố ó chia s, ng viờn tỏc gi sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu MC LC Li cam oan Li cm n Mc lc Cỏc ký hiu M u Chng Kin thc c s 1.1 nh x a tr 1.2 Gii tớch bin phõn 1.2.1 Tp tip tuyn 1.2.2 Nún phỏp tuyn 1.2.3 Nguyờn lý bin phõn 1.2.4 Hm kh vi v tớnh n iu 1.2.5 Mt s kt qu v hỡnh hc Banach 1.3 Gii tớch li 1.3.1 Hm li 1.3.2 Bi toỏn quy hoch li 1.3.3 nh lý tỏch cỏc li 1.4 Khụng gian Sobolev v phng trỡnh elliptic 1.4.1 Khụng gian Sobolev 1.4.2 Phng trỡnh elliptic tuyn tớnh 1.4.3 Phng trỡnh elliptic na tuyn tớnh Chng iu kin cn cc tr cho bi toỏn iu khin ti u elliptic na tuyn tớnh vi rng buc hn hp 2.1 Bi toỏn quy hoch toỏn hc 2.1.1 Mt s kt qu v gii tớch bin phõn 2.1.2 iu kin chớnh quy v iu kin cn cc tr 15 15 18 18 22 23 25 27 30 30 31 32 32 32 41 44 46 46 46 51 2.2 2.3 2.4 2.5 Bi toỏn iu khin ti u elliptic na tuyn tớnh vi rng buc hn hp Chng minh nh lý 2.7 v H qu 2.2 Cỏc vớ d Kt lun 69 76 88 91 Chng iu kin cn cc tr cho bi toỏn iu khin ti u elliptic na tuyn tớnh vi rng buc trng thỏi 92 3.1 Cỏc iu kin cn cc tr cho bi toỏn iu khin ti u tng quỏt 92 3.2 Cỏc iu kin cn cc tr bc hai cho bi toỏn iu khin ti u elliptic na tuyn tớnh vi rng buc trng thỏi 105 3.3 Kt lun 114 Chng Tớnh n nh nghim ca mt s bi toỏn iu khin ti u elliptic cha tham s 115 4.1 Tớnh liờn tc Holder ca ỏnh x nghim theo tham s 115 ă 4.1.1 Bi toỏn v gi thit 115 4.1.2 Mt s kt qu b tr 119 4.1.3 Chng minh nh lý 4.1 122 4.1.4 Mt s vớ d 131 4.2 Tớnh na liờn tc di ca ỏnh x nghim theo tham s 135 4.2.1 Bi toỏn v gi thit 135 4.2.2 Mt s kt qu b tr 139 4.2.3 Chng minh nh lý 4.2 143 4.2.4 Mt s vớ d 152 4.3 Kt lun 156 Kt lun v kin ngh 157 Danh mc cụng trỡnh khoa hc ca tỏc gi liờn quan n lun ỏn 158 Ti liu tham kho 159 CC Kí HIU F:XY ỏnh x a tr t X vo Y Dom( F ), Graph( F ), Im( F ) hu hiu, th, nh ca ỏnh x a tr F R s thc RN khụng gian Euclide N chiu N s t nhiờn X khụng gian i ngu tụpụ ca X X khụng gian song i ngu tụpụ ca X khụng gian WCG khụng gian sinh bi compact yu x , x giỏ tr ca x X ti x X x chun ca vộc t x x X chun ca vộc t x khụng gian X |x| mụun ca vộc t x R N xT chuyn v ca vộc t x R N [ x1 , x2 ] on ni hai vộc t x1 v x2 rng xA phn t x thuc A x /A phn t x khụng thuc A A B( B A) A l ca B A A khụng l ca B B AB giao ca hai A v B AB hp ca hai A v B A\B hiu ca A v B AìB tớch Descartes ca hai A v B A+B tng ca hai A v B | A| o ca o c A BX hỡnh cu n v úng khụng gian X BX ( x, ) hỡnh cu úng tõm x vi bỏn kớnh X d( x, K ) khong cỏch t x ti K BX ( x, ) biờn ca hỡnh cu tõm x bỏn kớnh X SX mt cu n v khụng gian X T toỏn t liờn hp ca toỏn t T T ỏnh x ngc ca ỏnh x T T (K, x ) nún tip tuyn Bouligand ca K ti x T (K, x ) nún tip tuyn trung gian (k) ca K ti x TC (K, x ) nún tip tuyn Clarke ca K ti x T (K, x, d) tip tuyn Bouligand bc hai ca K ti x theo hng d T (K, x, d) tip tuyn trung gian bc hai ca K ti x theo hng d TC2 (K, x, d) tip tuyn Clarke bc hai ca K ti x theo hng d N (K, x ) nún phỏp tuyn ca K ti x ( x , K ) hm giỏ ca K ( X, d) khụng gian mờtric L( X, Y ) khụng gian tt c cỏc ỏnh x tuyn tớnh liờn tc t X vo Y f ,f o hm ca ỏnh x f f , f o hm bc hai ca ỏnh x f x f , 2xy f o hm bc 1, ca f theo bin x v x, y A, cl( A) bao úng ca A int( A) phn ca A span( A) khụng gian tuyn tớnh sinh bi A cone( A) nún sinh bi A { x n }, ( x n ) dóy vộc t xn xn x dóy { xn } hi t (mnh) ti x xn x dóy { xn } hi t yu ti x xn K xn x dóy { xn } hi t yu ti x x dóy { xn } hi t ti x v xn K f : X [, +] hm thc m rng dom( f ) hu hiu ca hm f epi( f ) epigraph ca hm f f (x) di vi phõn ca hm f ti x supp( ) giỏ ca hm := (1 , , , N ) mt a ch s x := x1 x22 x NN n thc cp || := iN=1 i x j D := D1 D22 D NN C m () toỏn t vi phõn toỏn t vi phõn cp || C0 () khụng gian cỏc hm liờn tc D j := khụng gian cỏc hm kh vi cp m trờn vi giỏ compact C0 (), D() khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn ln vi giỏ compact D () khụng gian i ngu tụpụ ca D() L p ( ), p < khụng gian cỏc hm pkh tớch trờn L1loc () khụng gian cỏc hm kh tớch a phng trờn L () W m,p (), W m,p (), khụng gian cỏc hm b chn hu khp ni trờn H m ( ), H m ( ) khụng gian Sobolev m,p W m,p ()( p1 + p = 1) khụng gian i ngu tụpụ ca W0 biờn ca X Y X nhỳng liờn tc Y X Y ) C ( X nhỳng compact Y khụng gian cỏc hm liờn tc trờn ) M( khụng gian cỏc o Borel chớnh quy hu hn A := B A c nh ngha bng B x tn ti x x vi mi x h.k hu khp tr trang kt thỳc chng minh () Chng minh nh lý 4.2 ( a) Chn M0 ì v nh B 4.11 Theo B 4.10, vi mi (à, ) M0 ì , bi toỏn P (à, ) cú ớt nht mt nghim z = z(à, ) BZ (z, na, cng theo B 4.11, ta cú z intBZ (z, ) ) Hn C nh z K (), vi t (0, 1) nh, ta luụn cú F (z, à) F (z + t(z z), à) tF (z , à) + (1 t) F (z, à) iu ny dn ti F (z, à) F (z , à) z K () Do ú z = z(à, ) l nghim ca bi toỏn P(à, ) Vỡ vy, ta cú S(à, ) BZ (z, 0) = vi mi (à, ) M0 ì Vy, ta thu c khng nh ( a) ca nh lý 4.2 ) = T (b) Gi s G0 l mt m khụng gian Z cho G0 S(à, Khng nh chng minh ca B 4.11, toỏn t Fz (ã, ) n iu cht trờn ), tc l, S(à, ) = {z } K ( ) Do ú z l nghim nht ca bi toỏn P(à, Vy z G0 ) G0 v K () BZ (z, ) = vi Ta chn (0, ) v r1 > cho BZ (z, r1 ) Chn r tha < r < min{r1 , } v s dng B 4.9, mi B (, 4l0 ta cú r) ) K ( ) BZ (z, ) + 5l0 || || BZ , , B (, K () BZ (z, Bng cỏch s dng cỏc lp lun tng t nh chng minh khng nh ( a), ) cho bi toỏn tn ti lõn cn M1 ì M0 ì ca (à, F (z, à) inf z K () BZ (z, ) ) T õy ta cú th cú ớt nht mt nghim z(à, ) tha z(à, ) / BZ (z, chng minh rng z(à, ) cng l nghim ca bi toỏn P(à, ) Nờn ) = (à, ) M1 ì S(à, ) G0 S(à, ) BZ (z, ) Do ú ỏnh x S na liờn tc di ti im (à, 151 4.2.4 Mt s vớ d Trong mc ny, chỳng ta trỡnh by mt s vớ d minh cho nh lý 4.2 Vớ d th nht ch rng mc dự bi toỏn gc cú nghim nht nhng bi toỏn nhiu cú nhiu nghim v ỏnh x nghim na liờn tc di ti mt im cho trc no ú Vớ d 4.3 Gi s p = 4, ( x ) = ( x ) = h.k x v = 0, = (0, 0, 0) C nh hng s > Xột bi toỏn P(à, ) : F (u, à) = L(u( x ), à( x ))dx inf (4.92) vi (y, u) H () H01 () ì L4 () tha cỏc iu kin sau: y + div(vy) = u + , v y = trờn u h.k u + y h.k , (4.93) (4.94) ú v W 1, () N tha div(v) 0, (4.95) L (), (1 , , ) L4 () ì L () ì L () v L(u, à) = 1 sign(u + à2 ) (u + à2 )4 + + sign(u à2 ) (u à2 )4 2 Trong ú hm sign(u) c xỏc nh bi nu u > 0, sign(u) = nu u = 0, nu u < Khi ú cỏc khng nh sau l ỳng: ) cú nht nghim (y, u ) = (0, 0) (i ) P(à, (ii ) P(à, ) tha cỏc iu kin ( B4.1) ( B4.5) (iii ) Nu à( x ) = à, = s1 à2 , = s2 à2 , = s3 à2 h.k x , s1 (1, 1), s2 , s3 152 (0, 1) v |à| , = 0, ú nghim S(à, ) ca P(à, ) khụng l n tr Hn na, ta luụn cú y, u | u = C = hng s, y = S(u + ), à2 C à2 S(à, ), vi = max |s1 |, s2 , s3 v ký hiu S(u + ) l nghim ca phng trỡnh (4.93) tng ng vi v phi l u + Tht vy, ta cú b = v v c = div(v) Vi = 0, = (0, 0, 0), bi toỏn P(0, 0) tr thnh F (u, ) = u4 ( x )dx inf vi u L4 () tha y + div(vy) = u trờn y = v , u h.k , u + y h.k D thy S(0, 0) = {(0, 0)} Do ú, ta thu c khng nh (i ) Tip theo, ta ch rng bi toỏn P(à, ) tha cỏc gi thit ( B4.1) ( B4.5) ca nh lý 4.2 D thy ( u + à2 )4 L(u, à) = ( u à2 )4 Do ú 4( u + à2 )3 Lu (u, à) = 4( u à2 )3 nu u < à2 , nu à2 u à2 , nu u > à2 nu u < à2 , nu à2 u à2 , nu u > à2 Gi thit ( B4.1) c tha vỡ vi mi hm L(ã, à) l li, kh vi v tha L(0, à) L(0, 0) = Vỡ Lu (u, à) 4(|u|3 + 3|u|2 |à|2 + 3|u||à|4 + |à|6 ) 153 4(|u|3 + 32 |u|2 + 34 |u| + |à|6 ), nờn cỏc iu kin (4.57) v (4.58) c tha Vỡ vy, P(à, ) tha gi thit ( B4.2) Chỳ ý rng p/q = Vi gi thit ( B4.3), ta cú 4(u + à2 )3 4u3 nu u à2 , Lu (u, à) Lu (u, 0) = 4u3 nu à2 u à2 , 4(u à2 )3 4u3 nu u à2 Vy Lu (u, à) Lu (u, 0) 12u2 à2 + 12|u|à4 + 4à6 12(|u|2 + |u|2 + )|à|2 Suy gi thit ( B4.3) c tha kim tra gi thit ( B4.4), ta chỳ ý rng ( Lz (z1 , 0) Lz (z2 , 0)(z1 z2 ) = ( Lu (u1 , 0) Lu (u2 , 0))(u1 u2 ) = 4(u31 u32 )(u1 u2 ) = 4(u1 u2 )2 (u21 + u22 + u1 u2 ) = 4(u1 u2 )2 ((u1 u2 )2 + 3u1 u2 ) 4( u1 u2 )4 trờn, ta ó s dng ỏnh giỏ u1 , u2 h.k vi mi u1 , u2 K ( ) Vỡ vy, gi thit ( B4.4) c tha Tip theo ta phi kim tra gi thit ( B4.5) Vỡ b = v, c = div(v) v a(y, ) = Ay, = yv + v T y + div(v)y dx, nờn c N 1 Di bi = div(v) div(v) = div(v) i =1 2 Vỡ vy gi thit ( B4.5) c kim tra Vy, khng nh (ii ) c chng minh Cui cựng, vi khng nh (iii ), ta chn u = C l hng s tha à2 C à2 D thy, F (u, à) = t y = S(u + ), ú (y, u) tha cỏc rng buc (4.93) v (4.94) Do vy (y, u) | y = S(u + ), u = C h.k., à2 C à2 h.k S(à, ) Do ú S(à, ) khụng l n tr 154 Vớ d sau õy minh rng nu nghim ca bi toỏn gc khụng n tr thỡ ỏnh x nghim S khụng l na liờn tc di Vớ d 4.4 Gi s p = 2, ( x ) = ( x ) = h.k x v = 0, = (0, 0, 0) Xột bi toỏn P(à, ) : F (u, à) = vi (y, u) H () H01 () ì L(u( x ), à( x ))dx inf L2 ( ) tha cỏc iu kin sau: y + y = u + , v y = trờn u h.k , u + y h.k , (4.96) (4.97) vi L (), (1 , , ) L2 () ì L () ì L () v L(u, à) = 1 sign(u + 1) (u + 1)2 + + sign(u 1) (u 1)2 + à2 (u 1)2 2 Ký hiu S( f ) l nghim ca phng trỡnh (4.96) tng ng vi v phi bng f ) {(y, u)|y = S(u), u = C h.k., C 1} Tuy nhiờn, Hin nhiờn ta cú S(à, vi mi = 0, ta luụn cú S(à, ) = {(y, u) | y = S(u), u = h.k.trong } Do ú ) ỏnh x S khụng l na liờn tc di ti (à, Tht vy, d thy cỏc gi thit ( B4.1) ( B4.3) v ( B4.5) c tha món, cũn gi thit ( B4.4) khụng c tha Vi = 0, = (0, 0, 0), ta cú ( u + 1)2 L(u, 0) = ( u 1)2 nu u < 1, nu u 1, nu u > iu ny dn ti F (u, 0) vi mi cp chp nhn c (y, u) Do ú vi mi ) Nờn (0, 0) S(à, ) Mt u 1, (S(u), u) l nghim ca bi toỏn P(à, khỏc, vi = 0, ta cú ( u + 1)2 2 L(u, à) = (u 1) + ( u 1)2 155 nu u < 1, nu u 1, nu u > Suy S(à, ) = {(S(1), 1)} Gi BZ ((0, 0), ) l hỡnh cu Z vi tõm (0, 0) ) BZ ((0, 0), ) = v bỏn kớnh = 1 = || Khi ú S(à, L () ) ta ch cn chng chng minh ỏnh x S khụng na liờn tc di ti (à, ) cho S(àn , n ) BZ ((0, 0), ) = vi minh tn ti mt dóy (àn , n ) (à, ) v mi n > Tht vy, ta chn dóy (àn , n ) = ( n1 , ) Khi ú (àn , n ) (à, S(àn , ) = {(S(1), 1)} Vỡ (S(1), 1) (0, 0) = S(1) Y + L2 () || nờn S(àn , n ) BZ ((0, 0), ) = vi mi n > Vy ỏnh x S khụng l na liờn tc ) di ti (à, 4.3 Kt lun Chng ny a cỏc iu kin ỏnh x nghim ca bi toỏn iu khin ti u elliptic liờn tc Holder (cho trng hp hm mc tiờu li mnh) v na ă liờn tc di (cho trng hp hm mc tiờu khụng li mnh) theo tham s 156 KT LUN V KIN NGH Cỏc kt qu chớnh ca lun ỏn bao gm: iu kin cn cc tr bc mt v bc hai cho mt lp bi toỏn iu khin ti u cho phng trỡnh elliptic na tuyn tớnh vi rng buc hn hp iu khin-trng thỏi tng im iu kin cn cc tr bc mt v bc hai cho mt lp bi toỏn iu khin ti u cho phng trỡnh elliptic na tuyn tớnh vi rng buc trng thỏi tng im iu kin cho tớnh n nh (c th l tớnh liờn tc Holder v tớnh na ă liờn tc di) ca ỏnh x nghim ca mt s bi toỏn iu khin ti u cho phng trỡnh elliptic tuyn tớnh cha tham s vi hm mc tiờu li v rng buc tuyn tớnh Cú th phỏt trin cỏc kt qu ca lun ỏn nh sau: Nghiờn cu m rng iu kin chớnh quy (2.9) ó c nghiờn cu Chng ng thi a iu kin cn cc tr bc mt v bc hai cho cỏc bi toỏn iu khin ti u i vi phng trỡnh elliptic v parabolic (na tuyn tớnh hoc ta tuyn tớnh) Nghiờn cu iu kin bc hai cho lp cỏc bi toỏn iu khin ti u cho phng trỡnh elliptic na tuyn tớnh Nghiờn cu sõu thờm cỏc kt qu ca Chng v nhy v tớnh n nh ca ỏnh x nghim bi toỏn iu khin ti u elliptic cha tham s Nghiờn cu tớnh n nh ca hm giỏ tr ti u bi toỏn iu khin ti u cho phng trỡnh o hm riờng cha tham s 157 DANH MC CễNG TRèNH KHOA HC CA TC GI LIấN QUAN N LUN N Nhu V.H., Anh N.H and Kien B.T (2013), "Holder continuity of the soluă tion map to an elliptic optimal control problem with mixed control-state constraints", Taiwanese J Math 17(4), pp 1245-1266 Kien B.T and Nhu V.H (2014), "Second-order necessary optimality conditions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with mixed pointwise constraints", SIAM J Control Optim 52(2), pp 1166-1202 Kien B.T., Nhu V.H and Rosch A (2015), "Lower semicontinuity of the soluă tion map to a parametric elliptic optimal control problem with mixed pointwise constraints", Optimization 64(5), pp 1219-1238 Kien B.T., Nhu V.H and Rosch A (2015), "Second-order necessary optimală ity conditions for a class of optimal control problems governed by partial differential equations with pure state constraints", J Optim Theory Appl 165(1), pp 30-61 158 Ti liu tham kho Ting Vit [1] Nguyn Th Ton (2012), Hm Giỏ Tr Ti u v nh X Nghim Trong Cỏc Bi Toỏn iu Khin Ti u Cha Tham S, Lun ỏn Tin s Toỏn hc, i hc Vinh [2] Lờ Dng Mu, Nguyn Vn Hin, Nguyn Hu in (2014), Giỏo Trỡnh Gii Tớch Li ng Dng, NXB i hc Quc gia H Ni, H Ni [3] Nguyn ụng Yờn (2007), Giỏo Trỡnh Gii Tớch a Tr, NXB Khoa hc t nhiờn v Cụng ngh, H Ni Ting Anh [4] Adams R.A (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, New York [5] Alt W., Griesse R., Metla N and Rosch A (2010), "Lipschitz stability for elă liptic optimal control problems with mixed control-state contraints", Optimization 59, pp 833-849 [6] Aubin J.-P and Ekeland I (1984), Applied Nonlinear Analysis, John Wiley and Sons, New York [7] Aubin J.-P and Frankowska H (1990), Set-Valued Analysis, Birkhăauser, Boston [8] Aubin J.-P and Cellina A (1984), Differential Inclusions, Set-Valued Maps and Viability Theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg [9] Berger M.S (1977), Nonlinearity and functional analysis: Lectures on nonlinear problems in mathematical analysis, Academic Press, New York, San Francisco, London 159 [10] Bonnans J.F and Shapiro A (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York [11] Bonnans J.F and Hermant A (2009), "Second-order analysis for optimal control problems with pure state constraints and mixed control-state constraints", Ann I H Poincarộ-AN 26, pp 561-598 [12] Bonnans J.F and Hermant A (2009), "No-gap second-order optimality conditions for optimal control problems with a single state constraint and control", Math Program., Ser B 117, pp 21-50 [13] Borwein J.M and Zhu Q.J (2005), Techniques of Variational Analysis, Springer, Berlin, Heidelberg and New York [14] Brộzis H (2010), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York [15] Cartan H (1971), Differential Calculus, Hermann, Paris [16] Casas E (1994), "Pontryagins principle for optimal control problems governed by semilinear elliptic equations", International Series of Numerical Mathematics, Ed Birkhăauser Verlad 118, pp 97-114 [17] Casas E (1997), "Pontryagins principle for state constrainted boundary control problems of semilinear parabolic equations", SIAM J Control Optim 35, pp 1297-1327 [18] Casas E (1993), "Boundary control of semilinear elliptic equations with pointwise state constraints", SIAM J Control Optim 4, pp 993-1006 [19] Casas E and Mateos M (2002), "Second order optimality conditions for semilinear elliptic control problems with finitely many state constraints", SIAM J Control Optim 40, pp 1431-1454 [20] Casas E., Mateos M and Raymond J.-P (2007), "Error estimates for the numerical approximation of a distributed control problem for the steady-state Navier-Stokes equations", SIAM J Control Optim 46, pp 952-982 160 [21] Casas E., Raymond J.-P and Zidani H (1998), "Optimal control problems governed by semilinear elliptic equations with integral constraints and pointwise state constraints", International Series of Numerical Mathematics, Ed Birkhăauser Verlad 126, pp 89-102 [22] Casas E., Raymond J.-P and Zidani H (2000), "Pontryagins principle for local solutions of control problem with mixed control-state constraints", SIAM J Control Optim 39, pp 1182-1203 [23] Casas E., Reyes J.C.D.L and Troltzsch F (2008), "Sufficient second-order ă optimality conditions for semilinear control problems with pointwise state constraints", SIAM J Optim 19, pp 616-643 [24] Casas E and Troltzsch F (2010), "Recent advanced in the analysis of pointă wise state-constrained elliptic optimal control problems", ESAIM: Control, Optim Caculus of Variations 16, pp 581-600 [25] Casas E and Troltzsch F (2009), "First- and second-order optimality condiă tions for a class of optimal control problems with quasilinear elliptic equations",SIAM J Control Optim 48, pp 688-718 [26] Cesari L (1983), Optimization Theory and Applications, Springer, New York [27] Chipot M (2009), Elliptic Equations: An Introduction Course, Birkhăauser Verlag AG, Basel-Boston-Berlin [28] Cioranescu I (1990), Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers, London [29] Clarke F.H (1990), Optimization and Nonsmooth Analysis, SIAM, Philadelphia [30] Cominetti R (1990), "Metric regularity, tangent sets, and second-order optimality conditions", Appl Math Optim 21, pp 265-287 [31] Dacorogna B (1989), Direct Methods in Calculus of Variations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg [32] Diestel J (1975), Geometry of Banach Spaces-Selected Topics, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 161 [33] Domokos A (1999), "Solution sensitivity of variational inequalities", J Math Anal Appl 230, pp 382-389 [34] Dontchev A.L and Hager W.W (1998), "Lipschitzian stability for state constrained nonlinear optimal control," SIAM J Control Optim 36(2), pp 698718 [35] Dubovitskii A.Ya and Milyutin A.A (1965), "Second variations in extremal problems with constarints", Dokl Akad Nauk SSSR 160, pp 18-21 [36] Evans L.C (2010), Partial Differential Equations, American Mathematical Society [37] Gilbarg D and Trudinger N.S (2001), Elliptic Partial Differential Equation of Second Order, Springer-Verlag Berlin Heidelberg [38] Griesse R (2006), "Lipschitz stability of solutions to some state-constrained elliptic optimal control problems", J Anal Appl 25, pp 435-455 [39] Grisvard P (1985), Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, Boston [40] Hardy G., Littlewood J.E and Polya G (1934), Inequalities, Cambridge, At The University Press [41] Hoehener D (2012), "Variational approach to second-order optimality conditions for control problems with pure state constraints", SIAM J Control Optim 50, pp 1139-1173 [42] Ioffe A.D and Tihomirov V.M (1979), Theory of Extremal Problems, NorthHoland Publishing Company, Amsterdam [43] Jourani A (1993), "Regularity and strong sufficient optimality conditions in differentiable optimization problems", Numer Funct Anal and Optimiz 14, pp 69-87 [44] Jourani A (1994), "Metric regularity and second-order necessary optimality conditions for minimization problems under inclusion constraints", J Optim Theor Appl 81, pp 97-120 162 [45] Kawasaki H (1988), "An envelope like effect of infinitely many inequality constraints on second-order necessary conditions for minimization problems", Math Programming 41, pp 73-96 [46] Kawasaki H (1991), "Second order necessary optimality conditions for minimizing a sup-type function", Math.Program 41, pp 213-229 [47] Kien B.T (2008), "Lower semicontinuity of the solution set to a parametric generalized variational inequality in reflexive Banach spaces",Set-Valued Analysis 16, pp 1089-1105 [48] Kien B.T and Nhu V.H (2014), "Second-order necessary optimality conditions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with mixed pointwise constraints", SIAM J Control Optim 52(2), pp 1166-1202 [49] Kien B.T., Nhu V.H and Rosch A (2015), "Lower semicontinuity of the soluă tion map to a parametric elliptic optimal control problem with mixed pointwise constraints", Optimization 64(5), pp 1219-1238 [50] Kien B.T., Nhu V.H and Rosch A (2015), "Second-order necessary optimality ă conditions for a class of optimal control problems governed by partial differential equations with pure state constraints", J Optim Theory Appl 165(1), pp 30-61 [51] Kien B.T., Nhu V.H and Wong M.M (2015), "Necessary optimality conditions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with pure state constraints and mixed pointwise constraints", J Nonlinear and Convex Analysis 16 (7), pp 1363-1383 [52] Kien B.T., Toan N.T., Wong M.M and Yao J.-C (2012), "Lower semicontinuity of the solution set to a parametric optimal control problem", SIAM J Control Optim 50, pp 28892906 [53] Knowles G (1981), An Introduction to Applied Optimal Control, Academic Press, New York [54] Kufner A., John O and S Fucik (1977), Function Spaces, Noordhof International Publishing Leyden and Academi, Prague 163 [55] Li X and Yong J (1995), Optimal Control Theory for Infinite Dimensional Systems, Birkhăauser, Boston [56] Malanowski K and Troltzsch F (2000), "Lipschitz stability of solutions to ă parametric optimal control for elliptic equations", Control Cybern 29, pp 237-256 [57] Maurer H and Zowe J (1979), "First- and second-order necessary and sufficient optimality conditions for infinite-dimensional programming problems", Math Program 16, pp 98-110 [58] Meyer C., Prufert U and Troltzsch F (2007), "On two numerical methods ă ă for state-constrained elliptic control problems", Opt Meth Software 22, pp 871-889 [59] Morrey C (1996), Multiple Integrals in the Calculus of Variations, Springer, New York [60] Nhu V.H., Anh N.H and Kien B.T (2013), "Holder continuity of the solution ă map to an elliptic optimal control problem with mixed control-state constraints", Taiwanese J Math 17(4), pp 1245-1266 [61] Pỏles Z and Zeidan V (1994), "Nonsmooth optimum problems with constraints", SIAM J Control Optim 32, pp 1476-1502 [62] Pỏles Z and Zeidan V (1998), "Optimum problems with certain lower semicontinuous set-valued constraints", SIAM J Optim 8, pp 707-727 [63] Pỏles Z and Zeidan V (2003), "Optimal control problems with set-valued control and state constraints", SIAM J Control Optim 14, pp 334-358 [64] Penot J.-P (2013), Calculus Without Derivatives, Springer, New York [65] Penot J.-P (1989), "Metric regularity, openness and Lipschitzian behavior of multifunctions", Nonlinear Anal 13, pp 629-643 [66] Robinson S.M (1976), "Stability theory for systems of inequalities, part II: Differentiable nonlinear systems", SIAM J Numer Anal 12, pp 497-513 164 [67] Rockafellar R.T and Wets R.J-B (1997), Variational Analysis, Springer, Berlin [68] Troltzsch F (2010), Optimal Control of Partial Differential Equations, Theory, ă Method and Applications, Americal Mathematical Society, Providence, Rhode Island [69] Yen N.D (1995), "Holder continuity of solutions to a parametric variational ă inequality", Appl Math Optim 31, pp 245-255 [70] Zeidler E (1986), Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: FixedPoint Theorems, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo [71] Zeidler E (1990), Nonlinear Functional Analysis and its Applications II/B: Nonlinear Monotone Operators, Springer - Verlag, Berlin [72] Zowe J and Kurcyusz S (1979), "Regularity and stability for the mathematical programming problem in Banach spaces", Appl Math Optim 5, pp 4962 165 [...]... tài nghiên cứu "Điều kiện cần cực trị và tính ổn định nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu cho một lớp phương trình elliptic" cho luận án này 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là đưa ra một số kết quả mới về điều kiện cần cực trị bậc hai và tính ổn định nghiệm cho các bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic với ràng buộc trạng thái từng điểm và ràng buộc hỗn... luận của chương này được trình bày trong mục 2.5 Chương 3 khảo sát điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc trạng thái từng điểm Mục 3.1 thiết lập các điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển tối ưu tổng quát Mục 3.2 trình bày điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi phương trình. .. kết quả mong đợi, ta nói bài toán là không ổn định Việc nghiên cứu tính ổn định của các bài toán điều khiển tối ưu chính là nghiên cứu tính liên tục, tính khả vi của ánh xạ nghiệm của các bài toán điều khiển tối ưu chứa tham số Sau đây là một số công trình nghiên cứu về tính ổn định của ánh xạ nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình vi phân thường và cho phương trình đạo hàm riêng: [5,... trị bậc hai cho bài toán điều khiển tối ưu elliptic với ràng buộc đẳng thức và bất đẳng 11 thức của biến trạng thái Casas và Troltzsch đã khảo sát điều kiện cực trị bậc hai ¨ cho bài toán điều khiển tối ưu elliptic với ràng buộc điều khiển (0.5) Vấn đề được đặt ra tiếp theo là: nghiên cứu điều kiện cần cực trị bậc hai cho lớp các bài toán điều khiển tối ưu elliptic với ràng buộc hỗn hợp điều khiển- trạng... toán điều khiển tối ưu được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic 5 Tổng quan Nghiên cứu điều kiện cần cực trị cho bài toán tối ưu là việc khảo sát một số điều kiện liên quan tới nghiệm tối ưu (hoặc nghiệm tối ưu địa phương) của bài toán đã cho Chẳng hạn như việc thiết lập các điều kiện cần cực trị bậc một liên quan tới các nhân tử Lagrange và các điều kiện cần cực trị bậc hai liên quan tới hàm... cực trị bậc một và bậc hai cho một lớp các bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp điều khiển- trạng thái từng 12 điểm và với ràng buộc trạng thái từng điểm; và (2) tính ổn định nghiệm của một số bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic tuyến tính chứa tham số với hàm mục tiêu lồi và ràng buộc tuyến tính Vì luận án là sự đan xen của các lĩnh... hai cho bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi phương trình vi phân thường Casas và các tác giả [16–18,20–23] nghiên cứu điều kiện cần cực trị bậc một và điều kiện đủ bậc hai cho lớp các bài toán điều khiển tối ưu với phương trình elliptic với ràng buộc điều khiển u dạng a( x ) ≤ u( x ) ≤ b( x ) hầu khắp (h.k.) x ∈ Ω, (0.5) ở đó a, b ∈ L∞ (Ω) Trong [19], Casas và Mateos đã đưa ra điều kiện cực trị. .. thái -điều khiển từng điểm 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Luận án nghiên cứu các bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic với ràng buộc từng điểm, trong đó: - nghiên cứu điều kiện cần cực trị bậc hai cho một lớp các bài toán điều khiển tối ưu elliptic với tập ràng buộc phi tuyến, - nghiên cứu tính ổn định nghiệm của một số bài toán điều khiển. .. cứu điều kiện cần cực trị cho bài toán quy hoạch toán học Mục 2.2 dành cho việc trình các kết quả chính của chương này về điều kiện cần cực trị cho bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp điều khiển- trạng thái từng điểm Các chứng minh của các kết quả chính của chương này được trình bày trong mục 2.3 Một số ví dụ áp dụng được trình. .. Hamilton-Jacobi) Cho tới nay lý thuyết điều khiển tối ưu đã được phát triển theo nhiều hướng nghiên cứu khác nhau như: điều khiển tối ưu không trơn, điều khiển tối ưu cho bởi bao hàm thức vi phân, điều khiển tối ưu cho bởi phương trình sai phân, phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng (xem [26, 42, 55, 68]) Trong những thập niên gần đây, các nghiên cứu định tính cho các bài toán điều khiển tối ưu