SKKN lũy thừa và một số dạng toán thường gặp”

Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn Phn I: t Trong chng trỡnh toỏn bc THCS cú th núi Toỏn ly tha l mt mng kin thc khỏ ln, cha ng rt nhiu cỏc bi toỏn hay v khú lm c cỏc bi toỏn v ly tha khụng phi vic d dng k c i vi hc sinh khỏ v gii, nht l i vi hc sinh v Cỏc em mi c lm quen vi mụn i s v mi c tip cn vi toỏn ly tha nờn cha cú cụng c ph bin thc hin cỏc phộp bin i i s, ớt phng phỏp, k nng tớnh toỏn, nõng cao v m rng kin thc phn ly tha cho hc sinh lp 6, lp 7, bng kinh nghim ging dy ca mỡnh kt hp s tỡm tũi, hc hi cỏc thy cụ giỏo ng nghip, tụi mun trỡnh by mt s ý kin v chuyờn Ly tha v mt s dng toỏn thng gp nhm cung cp phn no kin thc c bn, cn thit v nhng kinh nghim c th v phng phỏp gii toỏn ly tha cho cỏc i tng hc sinh Bờn cnh ú giỳp hc sinh rốn luyn thao tỏc t duy, phng phỏp suy lun logic, to s say mờ cho cỏc bn yờu thớch mụn toỏn Phn II: Gii quyt I C s lý thuyt: a nh ngha ly tha vi s m t nhiờn a.a .a an = (n N*) n tha s b Mt s tớnh cht : Vi a, b, m, n N am an = am+n am : an = am-n (a 0, m > n) (a.b)m = am bm (m 0) (am)n = am.n (m,n 0) Quy c: Trang Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn a1 = a a0 = (a 0) Vi: x, y Q; m, n N; a, b Z x.x .x xn = (n N*) n tha s n an a = bn b xo = xm = x mn xn (b 0) xm xn = xm+n (x 0) x = xn -n (x 0) (xm)n = xm.n (x.y)m = xm ym n x xn = n y y c (y 0) Kin thc b sung * Vi mi x, y, z Q: x2 x < y x + z < y + z * Vi x Q, n N: (-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1 * Vi a, b Q; a > b > => an > bn a>b a2n +1 > b2n + a > , m > n > => am > an < a < , m > n > => am < an II Cỏc dng bi Dng 1: Tỡm s cha bit 1.1 (x 0) Tỡm c s, thnh phn ca c s ly tha - Phng phỏp 1: a v ly tha cựng s m Trang Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn Chỳ ý: Vi x, y Q, n N x n+1 = y n +1 x = y x = y x2n = y 2n x = y Vớ d: Tỡm x bit: a/ x3 = -27 b/ (2x - 3)2 = Hng dn : a/ x3 = -27 b/ (2x - 3)2 = => (2x - 3)2 = (-3)2 = 32 x3 = (-3)3 => 2x -3 =3 x = -3 hay 2x -3 = -3 2x = hay 2x = x=3 hay x=0 Vy x = hay x = - Phng phỏp 2: + p dng a.b + a.c = a (b + c) a = b = + p dng a.b = Vớ d 1: Tỡm s hu t x bit : x2 = x Hng dn : x = x = x => x - x = => x (x - 1) = => x = 5 2 vớ d : Tỡm s hu t y bit : x = => (3y - 1)10 = (3y - 1)20 Hng dn: t 3y -1 = x Khi ú (*) tr thnh : x 10 = Gii tng t bi trờn ta c : 10 x = +) Vi x = ta cú: 3y -1 = => 3y = => y = Trang x = => x = x = (*) x10 = x20 x = x = => 10 => x = x = x = 1 Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn +) Vi x = ta cú : 3y -1 = => 3y = => y = +) Vi x = -1 ta cú : 3y -1 = -1 => 3y = => y = Vy - y= ; ;0 3 Phng phỏp 3: Vi mi x Q ta cú x (3x - 5)100 + (2y + 1)200 Vớ d : Tỡm x v y bit : (*) Hng dn : so sỏnh (3x - 5)100 v (2y +1)200 vi Ta thy : x (3x - 5)100 (2y +1)200 Q x Q biu thc (*) ch cú th bng 0, khụng th hn Vy : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 3x - = 2y + =0 => x = v (x + 2)2 2(y - 3)2 x x Z (x + 2)2 + 2(y - 3)2 < Vớ d :Tỡm cỏc s nguyờn x v y cho : Hng dn : y= (1) (2) Z T (1) v (2) suy ra, :(x + 2)2 + 2(y -3)2 < thỡ ch cú th xy cỏc trng hp sau: (x + 2)2 = +) Trng hp : => x = -2 (x + 2)2 = +) Trng hp : => +) Trng hp : v => y = v x + = => x + = (y - 3)2 = y = x = -2 (x + 2)2 = (y - 3)2 = => y = v (y - 3)2 = => y = x = => x = Trang Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn (x + 2)2 = +) Trng hp : x = => x = v (y 3)2 = y = => y = Vy ta cú bng giỏ tr tng ng ca x v y tha bi l : x y -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1 Cỏc bi toỏn tng t : Tỡm x bit : a/ (2x - 1)4 = 81 b/ (x -2)2 = c/ (2x - 1)3 = -8 d/ (x - 1)5 = - 32 e/ (4x - 3)3 = -125 f/ (x - 2)2 = 16 Tỡm y bit : a/ y200 = y b/ y2008 = y2010 y c/ (2y - 1)50 = 2y - Tỡm a, b, c bit : a/ (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 b/ (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 c/ (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 d/ (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 1.2 y d/ ( -5 )2000 = ( -5 )2008 Tỡm s m, thnh phn s m ca ly tha - Phng phỏp : a v hai ly tha cú cựng c s Chỳ ý: Với x ; x ta cú x n = x m n = m Vớ d : Tỡm n N bit : a, 2008n = c, 32-n 16n = 1024 b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Hng dn : a/ 2008n = 1=> 2008n = 20080 => n = b/ 5n + 5n+2 = 650 5n + 5n.52 = 650 5n.(1 + 25) = 650 => 5n = 650 : 26 Trang Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn 5n = 25 = 52 => n = - Phng phỏp : Vi x Q ; m, n N ỏp dng tớnh cht < x n < x m n < m Vớ d : Tỡm cỏc s t nhiờn n cho : a/ < 3n 234 b/ 8.16 2n Hng dn : a/ < 3n 234 31 < 3n 35 => n { 2;3;4;5} b/ 8.16 2n 23.24 2n 22 27 2n 22 => n { 2;3;4;5;6;7} Vớ d : Tỡm s t nhiờn n bit rng : 415 915 < 2n 3n < 1816 216 Hng dn : 415 915 < 2n 3n < 1816 216 (4 9)15 < (2.3)n < (18.2)16 3615 < 6n < 3616 630 < 6n < 632 => n = 31 Cỏc bi toỏn tng t: Tỡm cỏc s t nhiờn n cho a 27n = 35 b c 3-2 34 3n = 37 d (23 : 4) 2n = 2-1 2n + 2n = 25 Tỡm cỏc s t nhiờn n cho: a 125.5 5n 5.25 c 243 3n 9.27 b (n54)2 = n d 2n+3 2n =144 Tỡm cỏc s t nhiờn x, y bit rng a 2x+1 3y = 12x b 10x : 5y = 20y Tỡm cỏc s t nhiờn n bit rng a 411 2511 2n 5n 2012.512 Trang Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn 5 5 5 5 5 b +5 +5 +5 + + + + + = n +3 +3 +2 1.3 Một số trờng hợp khác - Phng phỏp: Kt hp hai trng hp trờn Vớ d 1: Tỡm x bit: (x-1) x+2 = (x-1)x+4 t x-1 = y ta cú: (1) x+2=y+3 x+4=y+5 Khi ú (1) tr thnh : yy+3 = yy+5 yy+5 - yy+3 = yy+3(y2 - 1) = => yy+3 = hoc y2 - = * Nu : yy+3 = => y = Khi ú : x - = hay x = * Nếu : y2 - = => y2 = 12 => y = hoc y = -1 Vi y = ta cú : x - = hay x = Vi y = -1 ta cú : x -1 = -1 hay x = Vậy x { 0;1;2} Vớ d : Tìm x biết : x(6-x)2003 = (6-x)2003 Hng dn : x (6-x)2003 = (6-x)2003 x (6-x)2003 - (6-x)2003 = (6-x)2003 (x-1) = => (6-x)2003 = (x-1) = * Nếu (6-x)2003 = * Nếu (x-1) = => (6-x) = => x = Vậy : x {1;6} Vớ d : Tỡm s t nhiờn a, b bit rng : a 2a + 124 = 5b Trang =>x = Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn b 10a + 168 = b2 Hớng dẫn : a) 2a + 124 = 5b (1) * Xét a = 0, (1) trở thành 20 + 124 = 5b Hay 5b = 125 5b = 53 Do a= b = * Xét a Ta thấy vế trái (1) số chẵn vế phải (1) số lẻ với a , a,b N, điều vô lý Kết luận : Vậy : a = b = b) 10a + 168 = b2 (2) Tơng tự câu a * Xét a = 0, (2) trở thành 100 + 168 = b2 169 = b2 132 = b2 => b = 13 (vì b N) Do a = b = 13 * Xét a Chỳng ta u bit vi mi s t nhiờn a thỡ 10a cú ch s tn cựng l nờn suy 10a + 168 cú ch s tn cựng l 8, theo (2) thỡ b2 cú ch s tn cựng l iu ny vụ lý Kt lun : Vy : a = v b = 13 Cỏc bi toỏn tng t: Tỡm s t nhiờn a, b : a 3a + 9b = 183 b 5a + 323 = b2 c 2a + 342 = 7b d 2a + 80 = 3b Dạng 2: Tỡm ch s tn cựng ca giỏ tr ly tha Trang Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp - Ly tha v mt s dng toỏn Phng phỏp: tỡm ch s tn cựng ca giỏ tr ly tha ta thng a v dng cỏc ly tha cú ch s tn cựng l mt cỏc ch s sau: ; ; 4;5;6;9 Lu ý : Tt c cỏc s cú ch s tn cựng l : ; ; ; nõng lờn ly tha no (khỏc 0) cng cú ch s tn cựng l chớnh nhng s ú Nhng s cú ch s tn cựng l nõng lờn ly tha bc chn s cú ch s tn cựng l v nõng lờn ly tha bc l s cú ch s tn cựng l Nhng s cú ch s tn cựng l nõng lờn ly tha bc chn s cú ch s tn cựng l v nõng lờn ly tha bc l s cú ch s tn cựng l Nhng s cú ch s tn cựng l ; ; ; ta cn nh cỏc kt qu sau : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 Vớ d : Tỡm ch s tn cựng ca cỏc s sau : 20072008 , 1358 2008 , 23456 , 5235, 20032005 , 9 , ,996, 81975, 10231024 67 Hng dn : Đa lũy thừa dạng lũy thừa số có chữ số tận : ; ; ; +) 20072008 = (20074)502 = ( )502 = nên 20072008 chữ số tận +) 23456 = (24)864 = 16864 = => 23456 có chữ số tận +) 5235 = 5232 523 = (524)8 = ( )8 = = có chữ số tận +) 10231024 = (10234)256 = ( )256 = =>10231024 có chữ số tận +) 20032005 = 20032004 2003 = (20034)501 2003 = ( )501 2003 = 2003 có chữ số tận +) Ta thấy số lẻ nên có chữ số tận 67 +) 1358 2008 = (13584) 502 = ( )502 = => 1358 2008 có chữ số tận +) 81975 = 81972 83 = (84)493 = => 81975 có chữ số tận +) 996 = ( 94)24 =( )24 = => 996 có chữ số tận +) Ta thấy 99 số lẻ nên 9 có chữ số tận Trang Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn Vớ d : Cho A = 172008 - 112008 - 32008 Tìm chữ số hàng đơn vị A Đây dạng toán tìm chữ số tận tổng , ta phải tìm chữ số tận tổng số hạng , cộng chữ số tận lại Hng dn : Tìm chữ số tận 172008 ; 112008 ; 32008 ta có : A = 172008 112008 32008 = - - = - = Vậy A có chữ số tận Vớ d : Cho M = 1725 + 244 - 1321 Chứng tỏ : M 10 Ta thấy số chia hết cho 10 có chữ số tận nên để chứng tỏ M 10 ta chứng tỏ M có chữ số tận Giải : 1725 = 1724.17 = (174)6 17 = ( )6.17 = 17 = 244 =(242)2 = 5762 = .6 1321 = (134)5.13 = ( )5.13 = 13 = Vậy M = + .6 - = => M 10 Vớ d : Chứng tỏ rằng, số có dạng: a/ chia hết cho (n N, n 2) A = 22 n b/ chia hết cho 10 (n N, n 1) B = 24 + n Chú ý: 2 = 2 2 n n2 ( ) = 24 2n2 = 16 n2 , 24 = ( ) n n = 164 , 92 = ( 92 ) n Hng dn : a) Với n N, n 2, ta có : ( ) n2 n 2 = 2 = 2n = 16 n2 có chữ số tận => A = 2 có chữ số tận n Vậy A b) Với n N, n 1, ta có : ( ) n n = 4 = 4 n = 16 n có chữ số tận => B = + có chữ số tận n Vậy B 10 c) Với n N, n 1, ta có : n n = 2 = ( ) n = 812 n có chữ số tận Trang 10 n 2n = 812 n Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn => H = + có tận n Vậy H Cỏc bi toỏn tng t: 1) Tìm chữ số tận số sau: 22222003; 77772005; 20082004; 1112006; 20052005; 20062006 ; 9992003; 20042004; 20002000; 20032005 2) Chứng tỏ rằng, với số tự nhiên n : a/ 34n + + chia hết cho b/ 24n + + chia hết cho c/ 92n + + chia hết cho 10 3) Chứng tỏ số có dạng: a/ 2 +1 có chữ số tận (n N, n 2) b/ + có chữ số tận (n N, n 1) c/ +4 chia hết cho n n n d/ - n chia hết cho 10 (n N, n 2) (n N, n 1) 4) Tìm chữ số hàng đơn vị : a/ A = 66661111 + 11111111 - 665555 b/ B = 10n + 555n + 666n c/ H = 99992n +9992n+1 +10n ( n N*) d/ E = 20084n + 20094n + 20074n ( n N*) 5) Trong số sau số chia hết cho , cho , cho 10 ? a/ 34n+1 + (n N b/ 24n+1 -2 (n N) c/ 2 +4 (n N, n 2) d/ - (n N, n 1) n n 6) Tìm chữ số tận số tự nhiên a để 7) Tìm số tự nhiên n để a2 + n10 + 10 8) Chứng tỏ , với số tự nhiên n : a/ 3n+2 - 2n+2 + 3n -2n 10 (n > 1) b/ 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 Dạng 3: Tỡm hai ch s tn cựng ca mt ly tha Trang 11 Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn * Phng phỏp: tỡm hai ch s tn cựng ca mt ly tha, ta cn chỳ ý nhng s c bit sau : +) Cỏc s cú tn cựng l 01 , 25 , 76 nõng lờn ly tha no (khỏc 0) cng tn cựng bng chớnh nú +) tỡm hai ch s tn cựng ca mt ly tha ta thng a v dng cú hai ch s tn cựng l: 01 ; 25 hoc 76 +) Cỏc s 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 cú tn cựng bng 76 +) Cỏc s 320; 910; 815; 74; 512; 992 cú tn cựng l 01 +) S 26n (n N, n >1) cú tn cựng l 76 Bi : Tỡm hai ch s tn cựng ca: 2100 ; 3100 Da vo nhn xột trờn hc sinh cú th d dng lm c bi ny: 2100 = (220)5 = ( 76 )5 = 76 3100 = (320)5= ( 01 )5 = 01 Bi 2: Tỡm hai ch s tn cựng ca: a, 5151 b, 9999 c, 6666 d, 14101 16101 Hng dn: Đa dạng số có hai ch s tn cựng l : 01 ; 25 76 a) 5151 = (512)25 51 = ( 01 )25 51 = 01 51 = 51 => 5151 có chữ số tận 51 b) 9999 =(992)49.99 = ( 01 )49 99= 01 99 = 99 c) 6666 =(65)133.6 = ( 76 )133 6= 76 = 56 d) 14101 16101 = (14 16)101 = 224101 = (2242)50 224 = ( 76 )50 224 = 76 224 = 24 Bi 3: Tỡm hai ch s tn cựng ca: a) 512k; b) 992n; c) 65n; 512k+1 992n+1; (k N*) 99 99 99 ; 65n+1; (n N*) 66 66 ; Gợi ý: a) 512k = (512)k = ( 01 )k 512k+1 = 51 (512)k = 51 ( 01 )k Trang 12 (n N*) Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn b) 992n = (992)n = ( 01 )n 992n+1 = 99 (992)n = 99 ( 01 )n 99 99 99 2n+1 99 99 , ta có 99 số lẻ => 99 99 có dạng 99 (Với n N, n > 1) => 99 99 = 99.(992)n = 99 ( 01 )n (Với n N, n > 1) 99 c) 65n = ( 65)n = ( 76 )n 65n+1 = ( 65)n = ( 76 )n 66 66 66 5n+1 (n N, n > 1) 66 , ta có 66 số có tận 6, => 66 có dạng => 66 = ( 76 )n 66 Cỏc bi toỏn tng t : Tỡm hai ch s tn cựng ca: a) 72003 b) 9 c) 742003 d) 182004 e) 682005 f) 742004 Tỡm hai ch s tn cựng ca: a) 492n ; 492n+1 (n N) b) 24n 38n (n N) c) 23n 3n ; 23n+3 3n+1 (n N) d) 742n (n N) ; 742n+1 Chng t rng : a, A = 262n - 26 10 ( n N, n > 1) b, B = 242n+1 + 76 100 (Với n N) c, M = 512000 742000 992000 có chữ số tận 76 Dạng 4: Tỡm ba ch s tn cựng tr lờn *Phng phỏp : Chỳ ý mt s im sau +) Cỏc s cú tn cựng 001, 376, 625 nõng lờn ly tha (khỏc 0) cng cú tn cựng bng chớnh s ú +) S cú tn cựng 0625 nõng lờn ly tha (khỏc 0) cng cú tn cựng bng 0625 Bi Tỡm ch s tn cựng, ch s tn cựng ca 52000 Hc sinh cú th lm phn ny khụng my khú khn nh k nng ó cú t cỏc phn trc 52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500 Vy : 52000 cú ba ch s tn cựng l 625, cú bn ch s tn cựng l 0625 Bi : Tỡm ba ch s tn cựng ca: Trang 13 Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn (n N*) a, 23n 47n (n N) b, 23n+3 47n+2 tỡm c ba ch s cui ca mt ly tha ó l khú vi hc sinh, bi ny li yờu cu tỡm ba ch s cui ca mt tớch cỏc ly tha thỡ qu tht l rt khú i vi hc sinh khỏ, gii cng cn ti s gi ý ca giỏo viờn a, 23n 47n = (23)n 47n = (8 47)n = 376n 376n cú tn cựng l 376 => 23n 47n cú tn cựng l 376 b , 23n+3 47n+2 Dự ó lm c cõu a, n cõu b hc sinh cng khụng trỏnh lỳng tỳng s m Giỏo viờn cú th hng dn : 23n+3 47n+2 = 23(n+1) 47n+1 47 = (23)(n+1) 47n+1 47 = (8.47)n+1 47 = 47 376n+1 Ta cú : 376n+1 cú cỏc ch s tn cựng l 376 => 47 376n+1 cú ch s tn cựng l 672 Bi 3: Chng t rng: a + 375 1000 ( n N, n 1) b - 25 100 ( n N, n 2) n n c 2001n + 23n 47n + 252n cú tn cựng bng 002 Nu hc sinh lm tt cỏc phn trc thỡ gp bi ny s khụng gp nhiu khú khn, nhiờn, rt cn n s t logic, liờn h n kin thc liờn quan v k nng bin i n a Ta cú: = 4.4 n = 625 n tn cựng l 625 ( n N, n 1) => + 375 cú tn cựng 000 n n Vy: + 375 1000 b Ta cú = 2 = ( ) = 625 n n2 n2 n ( n N, n 2) n Vy - 25 cú ch s tn cựng l 00 Do ú : - 25 100 n c 2001n + 23n 47n + 252n Ta thy : 2001n cú tn cựng l 001 23n 47n = (8 47 )n = 376n cú tn cựng l 376 252n = (252)n = 625n cú tn cựng l 625 Vy: 2001n + 23n 47n + 252n cú tn cựng l 002 Trang 14 Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn Dạng : So sánh hai lũy thừa - Phng phỏp 1: Bin i v hai ly tha cú cựng s m, cựng c s Chỳ ý : vi a, b, m ,n N ta cú: a > b an > bn nN* m > n am > an (a >1) m > n am < an (0 < a b thỡ a.c > b.c vi c> 0) Vớ d: So sánh a/ 85 v 3.47 b/ 202303 v 303202 c/ 992 v 999910 Hng dn : a/ Ta có : 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47 b/ Ta có : 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.1012)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202 c/ Ta thấy : 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 Trang 15 Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn - Phng phỏp 3: Dựng ly tha trung gian Chỳ ý: Ta thờm bt c s a v ly tha cựng c s Ta thờm bt s m tỡm c UCLN ri a v ly tha cựng s m Vớ d: So sánh a/ 3111 v 1714 b/ 10750 7375 c/ 291 535 Hng dn : a/ Ta cú 3111 < 3211 m: 3211 = (25)11 = 255 1714 > 1614 m: 1614 = (24)14 = 256 vy 3111 < 255 vy 1711 > 256 vỡ 256 > 255 nờn 3111 < 1714 b/ Ta thy : 10750 < 10850 = (4 27)50 = 2100 3150 (1) 7375 > 7275 = (8 9)75 = 2225 3150 (2) T (1) v (2) => 10750 < 2100 3150 < 2225 3150 < 7375 10750 < 7375 Vy c/ 291 > 290 = (25)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 = 2518 => 291 > 3218 > 2518 > 535 Vy 291 > 535 Cỏc bi toỏn tng t: Bi : Chng t rng 527 < 263 < 528 Bi 2: So sánh : a/ (-32)9 (-16)13 d/ (-32)9 (-18)13 528 2614 2300 e/ ( h/ 521 12410 1 l/ 199 300 200 b/ (-5)30 (-3)50 100 ) ( )500 16 f/199010 + 19909 v 199110 g/ i/421 647 m/ c/ 1010 v 48.505 j/230 + 330 + 430 2410 k/ 15 n/ 10 20 10 Dạng : So sỏnh liờn quan n biu thc cú cha ly tha Trang 16 Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn Vớ d 1: Chứng tỏ a/ H = b/ K = 1 1 + + + + + b +) Nếu +) Nếu a < b a a+c > b b+c a a+c < b b+c Ap dụng tính chất vào , ta có : 2008 Vì A = 2008 2009 + < nên 2008 +1 Trang 17 Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn 2008 2008 2008 2008.(2008 2007 + 1) 2008 2007 + A = 2008 2009 + < 2008 2009 + + 2007 = 20082009 + 2008 = = 2009 2007 +1 2008 + + 2007 2008 + 2008 2008 + 1) 2008.(2008 2008 +1 =B Vậy A < B 2008 + 1).2008 2008 2009 + + 2007 Cách 1: Ta có : 2008.A = (2008 2009 =1+ = 2009 +1 2008 +1 2008 2007 + 1).2008 2008 2008 + + 2007 2008.B = 2008 2008 =1+ = 2008 +1 2008 2008 +1 2007 2008 2009 + 2007 2008 2008 + 2007 2007 < 2009 2008 + 2008 2008 + Vì 20082009+1 >20082008+1 nên => 2008.A < 2008 B => A < B Cách 2: 2009 2009 2007 2007 2008.(2008 2008 + 1) 2007 = 2008 2008 + = 2008 + 2008 = = 2008 A 2008 +1 2008 2008 + 2008 2008 + 20082008 + 2008 2008 2007 2007 2008.(2008 2007 + 1) 2007 = 2008 2007 + = 2008 + 2008 = = 2008 2007 2007 B 2008 +1 2008 +1 2008 +1 20082007 + Vì 20082008+1> 20082007 +1 nên => 2008 Vậy 1 > A B 2007 2007 < 2008 2008 + 2008 2007 + 2007 2007 > 2008 2008 2008 +1 2008 2007 + => A < B (vì A,B > 0) 100100 + M= 100 99 + Vớ d 3: So sánh M N biết: ; 100101 + N= 100100 + Hng dn : 101 Cách : N = 100100 + > 100 +1 => N = 100100 + > 100100 + + 99 = 100100 + 100 = 101 100 101 + 100 101 + + 99 100 + 100 (100100 + 1).100 100100 + = =M (100 99 + 1).100 100 99 + Vậy M < N Cách : 100 100 99 M = 100 99 + = 100 +99100 99 = (100 + 199).100 99 = 100 - 100 + 100 + 100 + 101 101 100 1).100 99 N = 100100 + = 100 +100100 99 = (100 + 100 = 100 - 100 +1 100 +1 100 Trang 18 +1 99 100 99 + 99 100100 + Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn 99 99 99 > => 100 < 100 99 100 100 + 100 + 100 99 + Vì 10099 + < 100100 + nên 99 100100 + Vậy M < N Cỏc bi toỏn tng t: Bi 1: So sánh : 15 a/ A = 1316 + 13 + 1999 b/ A = 19991998 + 1999 16 B = 1317 + 13 + 2000 B = 1999 1999 + +1 100 c/ A = 100 99 + 1999 69 B = 100 68 + 100 + +1 100 + Bi 2: Chứng tỏ : a/ H = b/ 1 1 + + + + + + < 2 2003 n (n N * , n 1) 1 1 + + + + < 2 2 100 c/ 1 1 1 < + + + + < 6 100 Dạng 7: Chng minh chia ht - Phng phỏp: Vn dng linh hot cỏc cụng thc, phộp tớnh v ly tha tớnh cho hp lý v nhanh Bit kt hp hi hũa mt s phng phỏp bin i Chỳ ý: Nu a m, a n, (m;n) = thỡ a m.n (a, m, n N*) Bài 2: Chứng tỏ rằng: a/ A = 102008 + 125 45 b/ B = 52008 + 52007 + 52006 31 c/ M = 88 + 220 17 d H = 3135 299 3136 36 Hng dn : a/ Ta có: 102008 + 125 = 100 2008 số + 125 = 100 0125 2005 số Trang 19 Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn A có tận => A Tổng chữ số A : 1+1+2+5 = => A Mà (5;9) = => A 5.9 hay A 45 b/ Ta cú: B = 52008 + 52007 + 52006 B = 52006 ( 52 + 51 + 1) B = 52006 31 31 Vớ d Cho A = 2+ 22 + 23 ++ 260 Chứng tỏ : A3 , A7 , A5 Hng dn : A = 2+ 22 + 23 ++ 260 = (2+22)+(23+24)+(25+26)+ +(257+258)+(259+260) = 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+ +257.(1+2)+259.(1+2) = (1+2).(2+23+25+ +257+259) = 3.( 2+23+25+ +257+259) => A3 Tng t, ta cú : A =(2+ 22 + 23)+(24+25+26)++(258+259+ 260 ) = 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+ +258.(1+2+22) = (1+2+22).(2+24+27+ +258) = 7.(2+24+27+ +258) => A A = (2+ 23)+(22+24)++(257+259)+(258+ 260 ) A = 2(1+22)+22(1+22)++257(1+22)+258(1+22) = (1+22).(2+22+25+26+ +257+258) = (2+22+25+26+ +257+258 => A5 Cỏc bi toỏn tng t: Chng t rng: b/ 3+33+35+37++32n+1 30 (n N*) a/ + 32 + 33 + 34 + + 32007 13 c/ 13+33+53+73 23 e/ 1+5+ 52 + 53 ++ 5403+5404 d/ 71 + 72 + 73 + 74 + + 74n-1 + 74n 400 31 f/ 87 218 14 Trang 20 Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp g/ 122n+1 + 11n+2 133 Ly tha v mt s dng toỏn h/ 817 279 - 913 405 i/ 70+71+72+73++7101 j/ 106 57 59 k/ 4+ 42 + 43 +44 ++ 416 l/ 439+440+441 28 n/ 2000+20002+20003 + +20002008 2001 m/ 1099+23 o/ 1028 + 72 p/ 3+ 35 + 37 ++ 31991 13 41 Phn III: Kt qu thc hin Trong quỏ trỡnh hng dn cỏc em hc sinh 6, hc chuyờn ny, kt qu HK I nm hc 2012 2013; nm hc 2013 2014, 2014 2015 cho thy cỏc em khụng nhng gii tt cỏc bi toỏn v ly tha m cũn rt ho hng vi chuyờn ny, giỳp cỏc em cm thy yờu thớch mụn toỏn núi chung v phn toỏn ly tha núi riờng Nm hc 2012 -2013: Lp 7/1 7/11 Gii- t l 39 97,5% 14 32,6% Khỏ - t l 2,5% 18 41,9% Tb - t l 14% Yu - t l 4,7% Kộm - t l 7% Khỏ - t l Tb - t l Yu - t l Kộm - t l Khỏ - t l 2.3% 1.9% Tb - t l 2.3% 14.3% Yu - t l 2.4% Kộm - t l 0 Nm hc 2013 -2014: Lp 7/1 Gii- t l 44 100% Nm hc 2014 -2015 Lp 6/2 6/9 Gii- t l 41 95.3% 28 66.7% Phn IV: Kt lun Toỏn ly tha Q l mt mng kin thc khỏ rng m ú mi dng toỏn cú th m rng thnh mt chuyờn Vỡ vy, gii thiu ti hc sinh mt cỏch y cỏc dng bi l rt khú Trong phm vi ca chuyờn ny vi h thng bi t d n khú tng dng toỏn , chỳng tụi hy vng em n cho cỏc em hc sinh mt s phng phỏp lm bi cú liờn quan n ly tha, giỳp Trang 21 Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn cỏc em yờu thớch toỏn o sõu kin thc v mng ly tha di dng cỏc bi Tuy ó rt c gng cụng vic su tm v biờn son, nhng chc chn nhng hn ch chuyờn ny l khụng th trỏnh Chỳng tụi rt mong nhn c s tham gia úng gúp ý kin t cỏc ng nghip chuyờn ny c hon chnh hn Tõn Bỡnh, ngy 20 thỏng 01 nm 2015 Ngi thc hin V Quang Liờm Trang 22 [...]... Chng t rng 527 < 263 < 528 Bi 2: So sánh : a/ (-32)9 và (-16)13 d/ (-32)9 và (-18)13 528 và 2614 1 2300 và e/ ( h/ 521 và 12410 1 1 1 l/ 199 và 300 200 3 5 3 b/ (-5)30 và (-3)50 1 100 1 ) và ( )500 16 2 f/199010 + 19909 v 199110 g/ i/421 và 647 8 m/ 1 và 1 4 8 c/ 1010 v 48.505 j/230 + 330 + 430 và 3 2410 k/ 5 15 n/ 1 và 3 10 20 10 Dạng 6 : So sỏnh liờn quan n biu thc cú cha ly tha Trang... toỏn tng t: 1) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 22222003; 77772005; 20082004; 1112006; 20052005; 20062006 ; 9992003; 20042004; 20002000; 20032005 2) Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n : a/ 34n + 1 + 2 chia hết cho 5 b/ 24n + 1 + 3 chia hết cho 5 c/ 92n + 1 + 1 chia hết cho 10 3) Chứng tỏ rằng các số có dạng: a/ 2 2 +1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n N, n 2) b/ 2 4 + 1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n... (992)n = ( 01 )n 992n+1 = 99 (992)n = 99 ( 01 )n 99 99 99 2n+1 99 99 , ta có 99 là một số lẻ => 99 99 có dạng 99 (Với n N, n > 1) => 99 99 = 99.(992)n = 99 ( 01 )n (Với n N, n > 1) 99 c) 65n = ( 65)n = ( 76 )n 65n+1 = 6 ( 65)n = 6 ( 76 )n 66 66 66 5n+1 (n N, n > 1) 6 66 , ta có 66 là một số có tận cùng là 6, => 6 66 có dạng 6 => 6 66 = 6 ( 76 )n 66 Cỏc bi toỏn tng t : 1 Tỡm hai ch s tn cựng ca: a)... cựng l 002 Trang 14 Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn Dạng 5 : So sánh hai lũy thừa - Phng phỏp 1: Bin i v hai ly tha cú cựng s m, cựng c s Chỳ ý : vi a, b, m ,n N ta cú: a > b an > bn nN* m > n am > an (a >1) m > n am < an (0 < a 1) b, B = 242n+1 + 76 100 (Với n N) c, M = 512000 742000 992000 có 2 chữ số tận cùng là 76 Dạng 4: Tỡm ba ch s tn cựng tr lờn *Phng phỏp : Chỳ ý mt s im sau +) Cỏc s cú tn cựng 001, 376, 625 nõng lờn ly tha (khỏc 0) cng cú tn cựng bng... 5 6 7 1 2 2008 2008 + 1 A= 2008 2009 + 1 Vớ d 2: So sánh A và B biết : ; 2008 2007 + 1 B= 2008 2008 + 1 Trớc khi tìm lời giải bài này giáo viên có thể cung cấp cho học sinh tính chất sau : * Với mọi số tự nhiên a , b , c khác 0 , ta chứng minh đợc : a > 1 thì b +) Nếu +) Nếu a < 1 thì b a a+c > b b+c a a+c < b b+c Ap dụng tính chất trên vào bài 6 , ta có : 2008 Vì A = 2008 2009 + 1 < 1 nên 2008 +1... 2100 = (220)5 = ( 76 )5 = 76 3100 = (320)5= ( 01 )5 = 01 Bi 2: Tỡm hai ch s tn cựng ca: a, 5151 b, 9999 c, 6666 d, 14101 16101 Hng dn: Đa về dạng các số có hai ch s tn cựng l : 01 ; 25 hoặc 76 a) 5151 = (512)25 51 = ( 01 )25 51 = 01 51 = 51 => 5151 có 2 chữ số tận cùng là 51 b) 9999 =(992)49.99 = ( 01 )49 99= 01 99 = 99 c) 6666 =(65)133.6 = ( 76 )133 6= 76 6 = 56 d) 14101 16101 = (14 16)101 =... 125 45 b/ B = 52008 + 52007 + 52006 31 c/ M = 88 + 220 17 d H = 3135 299 3136 36 7 Hng dn : a/ Ta có: 102008 + 125 = 100 0 2008 số 0 + 125 = 100 0125 2005 số 0 Trang 19 Trng THCS Tõn Bỡnh thng gp Ly tha v mt s dng toỏn A có tận cùng là 5 => A 5 Tổng các chữ số của A là : 1+1+2+5 = 9 => A 9 Mà (5;9) = 1 => A 5.9 hay A 45 b/ Ta cú: B = 52008 + 52007 + 52006 B = 52006 ( 52 + 51 + 1) B = 52006 ... 10231024 67 Hng dn : Đa lũy thừa dạng lũy thừa số có chữ số tận : ; ; ; +) 20072008 = (20074)502 = ( )502 = nên 20072008 chữ số tận +) 23456 = (24)864 = 16864 = => 23456 có chữ số tận +) 5235 =... 172008 - 112008 - 32008 Tìm chữ số hàng đơn vị A Đây dạng toán tìm chữ số tận tổng , ta phải tìm chữ số tận tổng số hạng , cộng chữ số tận lại Hng dn : Tìm chữ số tận 172008 ; 112008 ; 32008... )502 = => 1358 2008 có chữ số tận +) 81975 = 81972 83 = (84)493 = => 81975 có chữ số tận +) 996 = ( 94)24 =( )24 = => 996 có chữ số tận +) Ta thấy 99 số lẻ nên 9 có chữ số tận Trang Trng THCS