SKKN lũy thừa và một số dạng toán thƣờng gặp

Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp CỘNG HÕA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Cấp sở đơn vị Trƣờng THCS Tiền An Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp sở Tên sáng kiến: Lũy thừa số dạng toán thƣờng gặp Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bộ mơn tốn Tác giả sáng kiến: - Họ tên: ĐẶNG ĐỨC QUÝ - Cơ quan, đơn vị: Trường THCS Tiền An - Địa chỉ: Phường Võ Cường - TP Bắc Ninh – Tỉnh Bắc Ninh - Điện thoại: 0949078982 - Email: dangducquyc2tabn@bacninh.edu.vn Đồng tác giả sáng kiến (nếu có): Khơng Chủ đầu tư tạo sáng kiến (Trường hợp tác giả không đồng thời chủ đầu tư tạo sáng kiến): Không Các tài liệu kèm theo: 6.1 Thuyết minh mô tả giải pháp kết thực sáng kiến Tiền An, ngày 15 tháng 10 năm 2018 Tác giả sáng kiến Đặng Đức Quý Trang Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp CỘNG HÕA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc THUYẾT MINH MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Lũy thừa số dạng toán thƣờng gặp Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu: 6/9/2018 Các thông tin cần bảo mật (nếu có): Khơng Mơ tả giải pháp cũ thường làm: Giáo viên cho học sinh làm tập sách giáo khoa chưa có hệ thống tập xếp khoa học theo mức độ nhận thức nên em biết giải hiểu toán đơn lẻ, làm biết đó, em chưa hình dung dạng tốn phương pháp giải Muốn giải ta cần huy động đến kiến thức Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến: Trong chương trình tốn phần lũy thừa dạy ba tiết nhiều công thức, phần tập chưa phân dạng rõ nên để nhớ hết công thức áp dụng làm tập lũy thừa tốt đòi hỏi em phải có tư tốt Mặt khác nhiều em lớp chưa nắm vững kiến thức lũy thừa cho lên học lớp mở rộng đến số hữu tỉ em cảm thấy khó hiểu Khi gặp tốn khơng biết giải chưa biết vận dụng công thức để làm Chuyên đề lũy thừa rộng kiến thức thức trọng tâm chương I sách giáo khoa tốn Để giúp giáo viên có hệ thống tập cho học sinh luyện tập nhiều Học sinh dễ hiểu biết áp dụng kiến thức lũy thừa để giải dạng tốn đại số số học liên quan đến lũy thừa Mục đích giải pháp sáng kiến: Sau tìm hiểu nghiên cứu nhận thấy sáng kiến “Lũy thừa số dạng tốn thƣờng gặp” giúp học sinh hình thành kĩ giải dạng tập lũy thừa tốt phát huy tính tích cực chủ động chiếm lĩnh tri thức kích thích khả tư sáng tạo em Nội dung: 7.1 Thuyết minh giải pháp cải tiến: Muốn học sinh làm toán giáo viên cho học sinh học ôn tập công thức lũy thừa có hệ thống, giúp học sinh nghe, hiểu biết suy luận để ghi nhớ lâu Trang Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng tốn thường gặp Các cơng thức khó nên giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh Giáo viên phân rõ dạng toán dạng ghi rõ phương pháp giải, kiến thức vận dụng rõ ràng Có hệ thống tập xếp khoa học theo độ nhận thức học sinh từ đơn giản đến phức tạp, vận dụng thấp đến vận dụng cao Sau dạng tốn có thêm tập cho học sinh tự luyện giúp học sinh hình thành kĩ giải tập toán tốt * Kết sáng kiến (Số liệu cụ thể): * Kết khảo sát trước thực Sáng kiến kinh nghiệm Giỏi Khá TB Yếu - Kém Sĩ số SL % SL % SL % SL % 7A6 41 4,88 14 34,15 18 43,9 17,07 7A2 45 20 44,4 18 40 15,5 0 HSG 15 20 12 80 Lớp * Kết khảo sát sau thực Sáng kiến kinh nghiệm Giỏi Khá TB Yếu Sĩ số SL % SL % SL % SL % 7A6 41 12,2 18 43,9 14 34,15 9,75 7A2 45 30 66,6 15 33,4 0 0 HSG 15 66,66 33,34 0 0 Lớp Qua so sánh đối chứng kết thấy tỉ lệ điểm: Khá, Giỏi tăng, điểm Yếu giảm cụ thể là: - Đối với lớp 7A6: Giỏi tăng 7,31%, Khá tăng 9, 76% , Yếu giảm 7, 31% - Đối với lớp 7A2: Giỏi tăng 22,2%, Khá giảm 6,6%, Trung bình giảm 15,5% - Đối với HSG: Giỏi tăng 40% * Sản phẩm tạo từ giải pháp: Số lượng học sinh giỏi tăng; học sinh yếu giảm 7.2 Thuyết minh phạm vi áp dụng sáng kiến: Trang Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp - Sáng kiến áp dụng dạy khóa tiết học hai buổi mơn tốn lớp 7A2, 7A6 năm học 2018 – 2019 - Áp dụng để dạy đội tuyển học sinh giỏi toán chuyên đề lũy thừa - Các cấp quản lý lựa chọn, phát triển sáng kiến làm chuyên đề sinh hoạt chuyên môn để giáo viên trao đổi, học hỏi để nâng cao tay nghề 7.3 Thuyết minh lợi ích kinh tế, xã hội sáng kiến: Vận dụng sáng kiến: “ Lũy thừa số dạng tốn thƣờng gặp” tơi thu số kết sau: - Học sinh đại trà em nắm vững công thức vận dụng làm tốn thực phép tính , tìm số chưa biết dạng số số mũ tốt - Học sinh giỏi em thấy toán lũy thừa đa dạng, có nhiều dạng tập lũy thừa áp dụng đại số số học - Sáng kiến giúp học sinh phát triển tư duy, sáng tạo việc giải toán Giúp em thấy niềm vui thực hành giải toán *Cam kết: Tôi cam đoan điều khai thật không chép vi phạm quyền Xác nhận quan (Chữ ký, dấu) Tác giả sáng kiến Đặng Đức Quý Trang Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp MỤC LỤC Tiêu đề STT Mục lục Trang PHẦN I MỞ ĐẦU Mục đích sáng kiến Tính ưu điểm bật sáng kiến Đóng góp sáng kiến 7 PHẦN II NỘI DUNG Chƣơng I Cơ sở lí luận thực trạng vấn đề I Cơ sở lí luận II Thực trạng vấn đề 10 8 8-9 Chƣơng II Những giải pháp đƣợc áp dụng 10 11 I Cơ sở lí thuyết 12 II Các dạng tập 11 - 29 13 III Một số dạng toán khác 30 - 33 10 14 Chƣơng III: Kiểm chứng giải pháp triển khai sáng kiến 34 15 PHẦN III KẾT LUẬN 35 16 Những vấn đề quan trọng đề cập đến SK 35 17 Hiệu thiết thực SK 35 18 Kiến nghị 36 19 20 PHẦN IV PHỤ LỤC Tài liệu tham khảo 37 37 Trang Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp Phần I: MỞ ĐẦU MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN - Đề tài có tác dụng giúp học sinh học tốt mơn tốn nói chung việc giải tập liên quan đến lũy thừa nói riêng Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học mơn tốn, giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo làm công cụ giải tập có liên quan đến lũy thừa - Gây hứng thú cho học sinh việc làm tập sách giáo khoa, sách tham khảo - Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phương pháp vận dụng thành thạo phương pháp để giải tập - Thơng qua việc giải toán lũy thừa giúp học sinh thấy mục đích việc học tốn học tốt tập lũy thừa, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giáo dục TÍNH MỚI VÀ ƢU ĐIỂM NỔI BẬT CỦA SÁNG KIẾN Từ thực tế giảng dạy nhận thấy để học sinh nắm vững “Định nghĩa tính chất lũy thừa”, vận dụng linh hoạt giải toán giáo viên cần phải phân dạng cụ thể, phân tích tốn có phương pháp giải hợp lí dạng toán Nghiên cứu, phân loại dạng tập cho phù hợp với đối tượng học sinh phần kiến thức cụ thể + Việc dạy học“Lũy thừa số dạng toán thường gặp" trường THCS làm tốt bước giúp học sinh định hướng kiến thức cần sử dụng, nâng cao kĩ làm cẩn thận, xác + Các so sánh biểu thức chứa lũy thừa hay tìm x, hay chứng minh chia hết dành cho học sinh giỏi nên gợi ý em làm giáo viên kiểm tra tập + Đề tài đề cập đến nội số dung quan trọng tốn nâng cao lũy thừa đại số số học + Các giải pháp đề tài đưa trải nghiệm qua thực tế điều chỉnh phù hợp theo đối tượng học sinh nên có tính hợp lí, dễ dàng thực ĐĨNG GĨP CỦA SÁNG KIẾN ĐỂ NÂNG CAO CHẤT LƢỢNG DẠY VÀ HỌC Áp dụng số kinh nghiệm giảng dạy sáng kiến "Lũy thừa số dạng toán thường gặp" góp phần nâng cao chất lượng mơn tốn Trang Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp Đa số học sinh biết vận dụng để thực phép tính, tìm x liên quan đến số số mũ, so sánh hai lũy thừa Học sinh làm tốt hơn, nhầm lẫn dạng tốn Cá biệt cịn học sinh cịn nhầm lẫn tìm x liên quan đến số số mũ Thành bước đầu áp dụng “Lũy thừa số dạng toán thƣờng gặp” tổng kết từ lớp 7A2 7A6, đội tuyển toán nửa đầu học kì I năm học 2018 - 2019 trường THCS Tiền An Kinh nghiệm tập thể giáo viên giáo viên dạy khối áp dụng giảng dạy để nâng cao chất lượng học đại trà toàn khối học sinh giỏi Trang Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp PHẦN II NỘI DUNG Chƣơng I: KHÁI QUÁT THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ MÀ SÁNG KIẾN TẬP TRUNG GIẢI QUYẾT I CƠ SỞ LÝ LUẬN Muốn đổi phương pháp dạy học phù hợp với mục tiêu chương trình cải cách nội dung SGK giáo viên trước hết phải dạy cho học sinh tri thức, phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu, biết cách suy luận, biết cách tìm lại quên phát kiến thức Bên cạnh địi hỏi học sinh phải cố gắng, có trí tuệ nghị lực cao trình nghiên cứu kiến thức Muốn dạy cho học sinh nắm tri thức phương pháp học tập người giáo viên phải thường xuyên suy nghĩ dạy vấn đề, đơn vị kiến thức đặt trước mắt theo cách nào, theo hướng nào, để học sinh hiểu vận dụng hiệu cao Hệ thống tập lũy thừa vai trị quan trọng giúp cho học sinh phát triển khả tư duy, khả vận dụng kiến thức cách linh hoạt vào giải tốn, trình bày lời giải xác lơgic Đó kỹ cần thiết học sinh cịn ngồi ghế nhà trường Có phù hợp với cải tiến dạy học phát huy hết tính tích cực, tƣ sáng tạo học sinh trƣờng học II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Thực trạng Trong q trình giảng dạy tơi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ giải tốn “lũy thừa ” em chưa biết tốn cần áp dụng phương pháp để giải cho kết nhất, nhanh đơn giản Vì để nâng cao kỹ giải tốn “lũy thừa” em phải nắm dạng toán, phương pháp gỉải dạng toán, đơn vị kiến thức cụ thể hoá bài, dạng tốn Có thể nói dạng tốn “lũy thừa” ln dạng tốn khó học sinh khơng học sinh cảm thấy sợ học dạng toán Hiện tại, học sinh lớp 7A2 7A6 dạy năm nay, đặc biệt lớp 7A6 cịn yếu sợ dạng tốn lũy thừa Đối với em đội tuyển học sinh giỏi em chưa trang bị hệ thống tập lũy thừa nên gặp tốn nâng cao em chưa biết phân tích tốn để tìm phương pháp giải phù hợp Vì muốn học sinh tiếp thu tốt có khả vận dụng kiến thức vào giải tập liên quan nên mạnh dạn thực sưu tầm, lựa chọn số dạng tập áp dụng lũy thừa tiến hành nghiên cứu đề tài: “Lũy thừa số dạng toán thƣờng gặp” giúp cho việc học tập em Trang Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp đạt kết qua cao Là tài liệu để bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi đạt kết học tập cao Giải thực trạng Với sáng kiến “Lũy thừa số dạng tốn thƣờng gặp” tơi hy vọng em củng cố khắc sâu kiến thức, nắm vững phương pháp giải để em không cảm thấy lúng túng sợ làm tập toán lũy thừa Là giáo viên dạy tốn tơi mong em dễ dàng giải tốn lũy thừa khơng chút ngần ngại gặp dạng toán Nhằm giúp em phát triển tư suy luận óc phán đốn, kỹ trình bày linh hoạt Hệ thống tập tơi đưa từ dễ đến khó, bên cạnh cịn có tập nâng cao dành cho học sinh giỏi lồng vào tiết luyện tập Lượng tập tương đối nhiều nên em tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống tập áp dụng này, điều giúp em hứng thú học tập nhiều Trang Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp CHƢƠNG II: NHỮNG GIẢI PHÁP ĐÃ ĐƢỢC ÁP DỤNG I Cơ sở lý thuyết: Lũy thừa với số mũ tự nhiên: x n  , n x x  x ( x  ,n 1) n ts đọc x mũ n số, n gọi số mũ x n Với a x n a b lũy thừa x a b Quy ước : x b x, lũy thừa bậc n n  , b a,b n x x 0 Tích thƣơng hai lũy thừa số x m x n m x n , x m : x n x Lũy thừa lũy thừa: x Lũy thừa tích: x y m n x n m n x y n x Lũy thừa thƣơng: x y  x y n n y n Kiến thức bổ sung * Với * Với ; x x * Với y  , n x 2n x  : x, y, z x  z y z : 2n 2n x x  , m,n a, b a b a a b a a ,m a , m 2n n b n n n 2n 0 2n  * b a a m n m n x n 0, m m a n n a Trang 10 n x ; x gọi Trường THCS Tiền An 2018 A 2018 2018 B 2018 2019 2018 2018 2018 2018 2018 2017 2017 2017 2017 2018 Ví dụ So sánh M 2018 2017 biết N 100 M 100 1 A B 99 2017 2018 100 2017 2018 2017 2018 2017 2018 2017 2018 2018 2018 2017 2017 2018 2018 2017 2018 2018 2017 2018 2018 2018 2018 D o 2018 Lũy thừa số dạng toán thường gặp 2018 A ; 2017 B 100 N 100 101 100 Hướng dẫn Cách 101 100 N 100 100 100 N 100 M 1 101 100 100 100 101 100 99 99 100 100 100 100 100 99 100 100 100 99 M N Cách 100 M 100 100 100 N 100 99 100 101 100 100 M 99 100 100 100 99 101 100 100 100 100 100 99 100 99 100 100 99 100 100 99 Do 100 99 100 99 99 100 1 100 100 99 100 100 N Các toán tự luyện Bài So sánh cách đưa số mũ : a)3 12 d) 2000 b ) (0, 6) 1000 e) 100 ( ; 75 0,9) 50 Trang 23 c) g) 0,4 99 60 và 99 99 100 100 99 99 100 99 99 100 100 100 100 99 ( 0,8) 30 Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp Bài Vận dụng phương pháp a ) 31 d ) 48 17 25 b) 51 12 e) (0, 3) 100 c) 32 201 ,5 g) 99 20 18 13 9999 10 Bài So sánh a) 13 A 13 b) 15 16 1999 c) 100 M 100 13 1999 1998 100 16 17 D 1999 2000 68 100 1999 69 100 N 1999 1 99 13 B 1999 C Bài Chứng tỏ : a) c) 2 2003 n 100 2 n  , n  Dạng Tính nhanh tổng lũy thừa có quy luật Ví dụ Cho A = 30 + 31 + 32 + + 32008 B = 32009 a) Tính 3A b) Chứng tỏ 2A B hai số nguyên liên tiếp Phƣơng pháp giải Đây tốn có tính tổng có quy luật, giáo viên gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm để thu gọn tổng lũy thừa này, ta nhân hai vế biểu thức với số lũy thừa Hướng dẫn a) Ta có A = 30 + 31 + 32 + + 32008 (1) => 3A = 31 + 32 + + 32008 + 32009 (2) b) Lấy (2) – (1) ta được: 2A = 32009 -1 Vì B = 32009 nên 2A B số nguyên liên tiếp Ví dụ Rút gọn tổng sau a) A = 2100 – 299 + 298 – 297 + + 22 – b) B = 3100 – 399 + 398 – 397 + + 32 – +1 Hướng dẫn a) Ta có A = 2100 – 299 + 298 – 297 + + 22 – (1) Trang 24 Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp 2A = 2101 - 2100 + 299 - 298 + 297 - + 23 – 22 (2) Lấy (1) cộng (2) ta được: 3A 101 – 2 A 101 b) Ta có B = 3100 – 399 + 398 – 397 + + 32 – +1 (3) 3B = 3101 - 3100 + 399 - 398 + 397 + + 33 – 32 + (4) Lấy (3) cộng (4) ta 4B 101 B 101 Ví dụ a) Tính tổng: S n a a a n  * n b) Áp dụng tính tổng sau: A 3 B 2 C 7 2 2 7 2008 n 1982 n  * n Hướng dẫn a)* Xét a = 1, ta có Sn 1 n n 1 n * Xét a ≠ 1, ta có: Sn = + a + a2 + + an => a Sn = a + a2 + … + an+1 => a Sn - Sn = an+1 – a Sn n a b) Học sinh dễ dàng tính tổng A, B, C nhờ công thức A 3 3 2008 2009 Sn B C 7 2 7 n 1982 1983 n n 1 Ví dụ Tính B 100 99 98 – 97 2 Phƣơng pháp giải Với học sinh nghĩ tới việc nhóm số 1002, 982, … 22 thành nhóm số cịn lại thành nhóm Nhưng nhóm Trang 25 Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng tốn thường gặp khơng tính nhanh Để làm giáo viên cho học sinh chứng tỏ đẳng thức sau: Với số tự nhiên a b, ta có: (a - b).(a + b) = a2 - b2 Thật vậy, ta có: (a - b).(a + b) = (a - b).a + (a - b).b = a2 – ab + ab - b2 = a2 - b2 Vậy (a - b).(a + b) = a2 - b2 Áp dụng đẳng thức vào ta 100 B 99 100 98 – 97 99 100 100 99 99 98 100 100 98 – 97 98 97 97 1 : 5050 Các toán tự luyện Bài So sánh: a) c ) S1 2 2 2 2018 2019 b) 3 20 S 1 2 3 d)A 20 3 21 3 99 B 10 Bài So sánh a) 1 3 3 b) 2 c) 1 3 2 2 4 3 99 3 100 19 100 100 và Bài So sánh a) A 2 b) P 3 c) E x x 2 2 x 200 2008 2008 201 Q F x B 2009 – 2009 (x N * )  Dạng Chứng minh chia hết Phương pháp: Vận dụng linh hoạt công thức, phép tính lũy thừa để tính cho hợp lý nhanh Biết kết hợp hài hòa số phương pháp biến đổi Trang 26 Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp  Chú ý: Nếu a , a  b b k a b a c a b c  Nắm vững tính chất chia hết tổng  Nếu a m , a n, m;n a  m n ( a , m , n N * ) Ví dụ Chứng minh 10 a) 2 b) 2008  100 2008 99  2009 Hướng dẫn a) 10 Ta có b) 2 10 2008 Ta có  100 2008 2 2008 100 99   2009 99 2008 2008 99 2008 0 0 99  2009 Ví dụ Chứng tỏ rằng: a) A b) B 3 7 3 4 4n 2007  13 4n  400  *, n n Lời giải a) Ta thấy: 3 thành nhóm sau: A = 3 3 3 3 3 3 3 nên ta nhóm số hạng liên tiếp tổng 13 2005 + 2005 3 2005 3 2006 2005 3 1 A 13 b) Tương tự câu a, có : 400 = + + 72 + 73 nên: B 7 1 7 7 7 7 4 7 7 4n 7 7 Trang 27 4n 7 4n 2007 Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp 49 = 0 343 7 7 4n 4n  400 B  400 Ví dụ Chứng tỏ rằng: A 75 2004 2003 4 25 số chia hết cho 0 Lời giải Ta tính C = 42004 + 42003 + …+42 + + (1) 4C = 42005 + 42004 + 42003 + …+42 + (2) Lấy (2) trừ (1) ta được: 3C 2005 – C 2005 – Khi A = 75 2005 – + 25 = 25.(42005 – 1) + 25 = 25.42005 = 100.42004 100 Vậy A 100 Ví dụ Chứng minh với số nguyên dương A n 3 n n 2 n n chia hết cho Hướng dẫn: A n 3 n 27 n n n 2 n n n 3 n n 6 Các toán tự luyện Bài Chứng tỏ a) 3 b) 3 c) 3 5 3 3 Bài Tìm số dƣ chia A  A 2n 403  30 404  31 cho 7, biết 2 Bài Tính Trang 28 2008 2002 Trường THCS Tiền An a) 3S – b) E c) H Lũy thừa số dạng toán thường gặp 2003 100 – biết K biết 99 H – S – 98 – 2 97 3 2 3 2002 – 20 K 21 : Bài Tìm a) Số tự nhiên n biết: A 3 b) Chữ số tận M biết: M n , với Bài Chứng tỏ rằng: a) – 18  14 b) 10 – 57 59 c) 81 – d ) 10 e) 10 9 99  28 8 72 g) h )1 27  405 3 2n 13 11 n  133 n 1991  13 41  Trang 29 A 2 3 3 20 100 Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp III Một số dạng toán khác Dạng Dạng tốn tìm Bài Tìm x biết: x x x 2 x x (1) Phƣơng pháp giải Thoạt nhìn ta thấy tốn phức tạp, số cần tìm có mặt số mũ số Vì thế, học sinh khó xác định cách giải Nhưng đưa toán quen thuộc phép biến đổi sau: Đặt x ta có: x + = y + y x + = y + Khi (1) trở thành: yy+4 = yy+6 y y y y y y y y y – y 0 * Nếu: yy+4 = => y = Khi đó: * Nếu: y – y x – y y Với y = ta có x Với y = – ta có Vậy x – x – x x x 1; ; Bài Tìm số tự nhiên a, b biết: a) a b) 10 124 a 168 b b Phƣơng pháp giải Với toán này, học sinh sử dụng cách làm vào đường bế tắc khơng có lời giải Vậy phải làm cách làm ? Ta cần dựa vào tính chất đặc biệt lũy thừa tính chất chia hết tổng để giải toán này: a) 2a + 124 = 5b (1) Xét a = 0, (1) trở thành: 20 + 124 = 5b  5b = 125  5b = 53 Trang 30 Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng tốn thường gặp Do a = b = Xét a Ta thấy vế trái (1) số chẵn vế phải (1) số lẻ với a 1, a, b N, điều vơ lí Kết luận: Vậy a = b = b) 10a + 168 = b2 (2) Tương tự câu a Xét a = 0: (2) trở thành: 10 168 169 13 b b b 2 b (vì b  ) Do a = b = 13 Xét a Chúng ta biết với số tự nhiên a 10a có chữ số tận nên suy 10a + 168 có chữ số tận 8, theo (2) b2 có chữ số tận Điều vô lý Vậy: a = b = 13 Dạng 2: Tìm chữ số tận giá trị lũy thừa 2.1 Tìm chữ số tận Phương pháp chung: cần nhớ số nhận xét sau: Tất số có chữ số tận là: 0; 1; 5; nâng lên lũy thừa (khác 0) có chữ số tận số Để tìm chữ số tận số ta thường đưa dạng số có chữ số tận chữ số Lƣu ý: số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận 4, số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận Chú ý: 24 = 16; 74 = 2401; 34 = 81; 84 = 4096 CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài Tìm chữ số tận số sau 2007 2008 ; 3456 ; 52 35 ; 204 Phƣơng pháp giải Trang 31 208 ; 2003 2005 ;9 9 Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp Đưa lũy thừa dạng lũy thừa số có chữ số tận là: 0; 1; 5; 20072008 = (20074)502 = ( )502 = nên 20072008 chữ số tận 23456 = (24)864 = 16864 = => 23456 có chữ số tận 5235 = 5232 523 = (524)8 = ( )8 = = => 5235 có chữ số tận 204208 = (2042)104 = ( )104 = => 204208 có chữ số tận 20032005 = 20032004 2003 = (20034)501 2003 = ( )501 2003 = 2003 => 20032005 có chữ số tận Ta thấy 99 số lẻ nên 9 có chữ số tận Bài Cho A = 172008 – 112008 – 32008 Tìm chữ số hàng đơn vị A Phƣơng pháp giải Đây dạng tốn tìm chữ số tận tổng, ta phải tìm chữ số tận tong số hạng, cộng chữ số tận lại Tìm chữ số tận 172008; 112008; 32008 ta có: A = 172008 – 112008 – 32008 = Vậy A có chữ số tận - Bài Cho M = 1725 + 244 – 1321 Chứng tỏ = M - =  10 Phƣơng pháp giải Ta thấy số chia hết cho 10 có chữ số tận nên để chứng tỏ M  10 ta chứng tỏ M có chữ số tận 1725 = 1724.17 = (174)6 17 = ( )6.17 = 244 = (242)2 = 5762 = + - 17 = 1321 = (134)5.13 = ( )5.13 = Vậy M = = 13 = => M  10 Đến đây, sau làm 2) 3) giáo viên cho học sinh làm toán tổng quát sau: Bài Tìm chữ số tận số có dạng: a) A b) B c) C 4n – (n 4n 4n  , n  ) (n – (n 1)  ) Hướng dẫn a) Ta có: 24n = (24)n = 16n có chữ số tận => 24n – có chữ số tận b) B 4n (n  ) Trang 32 Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng tốn thường gặp Ta có 24n + = 22 24n = 16n có chữ số tận => B = 24n + + có chữ số tận c) C = 74n – Ta có 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận Vậy 74n – có chữ số tận Các tốn tự luyện 1) Tìm chữ số tận số sau: 2003 2222 ; 2008 2004 ; 2005 2005 ; 2006 2006 ;999 2003 2) Chứng tỏ rằng, với số tự nhiên n a) 34n + + chia hết cho b) 92n + + chia hết cho 10 3) Tìm chữ số hàng đơn vị của: a) A b) B 6666 2008 1111 1111 1111 4n 4n 2009 66 5555 4n 2007  * n 4) Chứng tỏ rằng, với số tự nhiên n thì: a) b) n n – 2 n n n – n 3 n 1 n n  Hướng dẫn 4) a) n – n n – n n n 10 = 10 b) n n 3 n 30 n n 3 2 n n n n 1 n 3 – n – 2  Trang 33 2 n n – 10  10 n Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp CHƢƠNG III: KIỂM CHỨNG CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ TRIỂN KHAI CỦA SÁNG KIẾN Kết thực hiện: Trong trình hướng dẫn em học sinh lớp học chuyên đề này, kết nửa đầu năm học 2018 – 2019 cho thấy em giải tốt tốn lũy thừa mà cịn hào hứng với chuyên đề Giúp em cảm thấy u thích mơn tốn nói chung phần tốn lũy thừa nói riêng, nắm kiến thức cần thiết, vận dụng linh hoạt, mềm dẻo vào tình huống, toán cụ thể Giúp cho học sinh giỏi khơng hình thành kỹ giải tốn mà cịn giúp em rèn luyện thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, khái qt hố, đặc biệt hố, … Bài học kinh nghiệm: Là người giáo viên muốn học sinh đạt kết cao phải: - Quán triệt tinh thần người giáo viên nhà trường xã hội chủ nghĩa - Có tinh thần trách nghiệm cao cộng tác - Đầu tư học hỏi đồng nghiệp, tham khảo, tìm tịi tập có tính tổng hợp để phát triển tư học sinh - Yêu thương tôn trọng học sinh tinh thần trách nhiệm Học sinh nắm vững kiến thức bản, hiểu vận dụng tốt tập sách giáo khoa, tự giải thêm tập nâng cao Sau bài, dạng cần rút điều cần nhớ kim nam, cẩm nang giúp học sinh thành công việc rèn luyện kỹ giải tập Trang 34 Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp Phần III: KẾT LUẬN Những vấn đề quan trọng đƣợc đề cập đến sáng kiến Qua việc suy nghĩ thực sáng kiến: “Lũy thừa số dạng toán thƣờng gặp" tơi rút cho số học kinh nghiệm bước đầu kinh nghiệm q trình giảng dạy học sinh Đó là: - Xây dựng thành hệ thống phương pháp để giải dạng toán, loại tốn từ khái qt hóa, tổng qt hóa - Tìm tịi, khai thác sâu, nâng cao dạng, loại bản, đồng thời tìm nhiều dạng loại khác, nhiều phương pháp khác để làm phong phú vốn kiến thức phát triển tư cho học sinh - Thường xuyên tích lũy, sưu tầm, học hỏi, sáng tạo, phải biết tập hợp tư liệu, tổng hợp toán đơn lẻ sách, đề để xếp thành hệ thống, thành dạng, loại phù hợp với yêu cầu đối tượng giảng dạy - Quá trình giảng dạy, phải tiến hành từ đơn giản đến nâng cao, từ đơn giản đến phức tạp Cố gắng đào sâu, phát triển, nâng cao sở kiến thức xây dựng củng cố vững Lưu ý tính vừa sức, tránh tải với học trị - Để bồi dưỡng học sinh giỏi tốn thân người thầy phải đầu tư thời gian, ln phấn đấu nâng cao trình độ đáp ứng yêu cầu ngày cao công tác “bồi dưỡng nhân tài” nghiệp đổi đất nước Hiệu thiết thực sáng kiến đƣợc triển khai Trên vài ý tưởng tơi đưa q trình lên lớp luyện tập tập tốn, ơn tốn buổi chiều, buổi bồi dưỡng học sinh giỏi Theo tơi có tác dụng: - Giúp em củng cố kiến thức học - Giúp em biết vận dụng kiến thức học vào tập - Rèn kĩ trình bày cho học sinh - Giúp giáo viên nâng cao chất lượng lớp mình, hạn chế sai sót học sinh giải lũy thừa, tạo hứng thú học toán cho học sinh - Định hướng giải toán áp dụng kiến thức lũy thừa, có phương pháp thích hợp với để giải tốn, tổng kết dạng tốn, có niềm tin vững vàng giải toán Ý kiến đề xuất: Sau thời gian kiên trì, nghiêm túc nỗ lực thực với giúp đỡ đồng nghiệp, tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Lũy thừa số dạng toán thường gặp ” Tôi mong muốn học hỏi, trao đổi thêm tất đồng nghiệp bạn đọc quan tâm vấn đề Đồng thời, hi vọng đề tài đóng góp phần nhỏ việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho cơng tác giảng dạy tốn học tốn, từ nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn nhà trường Trang 35 Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng tốn thường gặp Xin có vài kiến nghị sau: 3.1 Đối với Phòng Giáo dục Đào tạo Mở chuyên đề kỹ giải toán, phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng cho học sinh trường THCS Công bố rộng rãi SKKN đạt kết cao để giáo viên học tập trao dồi thêm kiến thức chuyên môn áp dụng SKKN để giáo dục nâng cao chất lượng học tập học sinh Nên bảo lưu kết SKKN đạt giải cao để đánh giá thi đua vòng năm liền 3.2 Đối với ban lãnh đạo nhà trƣờng Quan tâm đến việc nâng cao chất lượng giáo dục tồn diện đến cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Bằng kinh nghiệm rút sau nhiều năm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, với giúp đỡ tận tình tổ chuyên mơn, ban giám hiệu nhà trường phịng giáo dục tơi hồn thành đề tài “Lũy thừa số dạng toán thường gặp” cho học sinh lớp Bản thân cố gắng học hỏi tham khảo thêm kinh nghiệm sách tham khảo đặc biệt thầy cô trước Nhưng thời gian viết chưa nhiều nên không tránh khỏi thiếu sót Rất mong cấp chun mơn, đồng nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Tiền An 15 10 năm 2018 Đặng Đức Quý Trang 36 Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp PHẦN IV PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa sách tập toán 7(Nhà xuất giáo dục) Đề thi toán (Nguyễn Đức Tấn – Nguyễn Hoàng Anh – Lương Anh Văn – Bùi Ruy Tân – Trương Đức Long – Vũ Đức Đoàn) – NXB: Đại học Quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh Nâng cao phát triển Tốn - tập 1(Vũ Hữu Bình) NXB Giáo dục năm 2005 Đề thi học sinh giỏi toán sưu tầm mạng Tài liệu toán sưu tầm internet Trang 37 ... lựa chọn số dạng tập áp dụng lũy thừa tiến hành nghiên cứu đề tài: ? ?Lũy thừa số dạng toán thƣờng gặp? ?? giúp cho việc học tập em Trang Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp đạt kết... DẠY VÀ HỌC Áp dụng số kinh nghiệm giảng dạy sáng kiến "Lũy thừa số dạng toán thường gặp" góp phần nâng cao chất lượng mơn tốn Trang Trường THCS Tiền An Lũy thừa số dạng toán thường gặp Đa số học... b lũy thừa x a b Quy ước : x b x, lũy thừa bậc n n  , b a,b n x x 0 Tích thƣơng hai lũy thừa số x m x n m x n , x m : x n x Lũy thừa lũy thừa: x Lũy thừa tích: x y m n x n m n x y n x Lũy thừa