-]- -Đàt nở đầu
Trong hình học nĩi chung và hình học tổ hợp nĩi riêng bao lơi, đa giác lồi
và bài tốn phủ đa giác lồi là những khái niệm quan trọng và đã được trình bày
trong nhiều giáo trình của hình học tổ hợp
Mục đích của khĩa luận tốt nghiệp này là trình bày các vấn đẻ: Tập lồi, đa giác lơi và một số bài tốn phủ đa giác lồi; cụ thể là trình bảy một cách hệ thống
các định nghĩa, các định lý cơ bán và chứng minh chỉ tiết một số định lý và bổ đề
về tập lồi, bao lơi và một số dạng bài tốn phủ đa giác lồi trong hình học tổ hợp
Đặc biệt khĩa luận trình bày một số tính chất của bao lồi và các bài tốn phủ đa giác lồi, đưa ra và chứng minh được một số ví dụ và bài tốn
Cấu trúc của khĩa luận này gồm hai chương
Chương! Cơ sở lý thuyết Ở đây chúng tơi đã hệ thống lại và chứng minh chi tiết một số tính chất về tập lồi, bao lồi, phần trong đại số và bao đĩng đại số, nhấc lại định lý Helly và đã đưa ra được một số ví dụ, ứng dụng của các tính chất và định lý
Chương 2 Một số dạng tốn phủ đa giác lơi Trong chương này chúng tơi trình bày kiến thức về các dạng bài tốn phủ đa giác lồi trong hình học tổ hợp, bao gồm các khái niệm vẻ phủ đa giác lồi, các định lý và bổ đề về bài tốn phủ đa giác lồi, hơn nữa trong chương này nghiên cứu đến bài tốn phủ một đa giác lỗi bất kì bằng những đa giác lồi đồng dạng hoặc vị tự với nĩ Chúng tơi đã đưa ra một số bài tốn để nĩi rõ về các dạng bài tốn phủ đa giác lồi, bao gồm một hình trịn phủ hữu hạn điểm đã cho hoặc phủ một đa giác lơi
Khĩa luận này đã đại được các kết quả sau
1) Trình bày cĩ hệ thống khái niệm tập lồi, bao lồi, phần trong đại số và bao đĩng đại số, phủ hình
2) Chứng minh một số tính chất của tập lồi, bao lồi, phần trong đại số và bao đĩng đại số, các định lý vẻ các dạng bài tốn phủ đa giác lồi Những tính chất này hầu hết được nêu ra ở các tài liệu tham khảo khác dưới dạng tĩm tắt, chú ý hoặc bài tập
Vĩnh, tháng 5 năm 2009
Trang 2-2-
Chuong I Cơ sở lý thuyết
Trong khĩa luận này chúng tơi xét khơng gian vectơ Oclit n - chiều Z", 0 là tập các số thực
Ta kí hiệu:
# || là chuẩn trong £”
* inta 1a phan trong của 4 * co(4) la bao ldicha 4
* B(xr)={yveR":|x—y]<r} 1a hinh cau mé tam z bán kính +> 0
*® Bixr)= fe R°: Ix— z|<z} là hình cầu đĩng tâm x bán kính z>0
Gia sit x,yeE", 4el et fart (1-A)y:0< 4 <]} x;y)= {Ax+(I— A)y:0< 4 <1} a )= {Ax+(I—2)y:0< 2 <1} (;y]={Ax+(—2}y:0< 2 <1} 1.1 Tập lơi, bao lồi 1.1.1 Tập lơi 1.1.1.1 Định nghĩa
- Giả sử x,yeE" Đoạn thang |x,y] là tập hợp {x+(I— 2)y/0<2 <1} Nếu x# y, phần trong (x,y) của [x,y] là tập hợp {4x+(I— 4)y/0< 4 <1} Tương tự ta cĩ
thể định nghĩa [x,y) và (x, y]
- Giả sử 4c E" Tập 4 được gọi là /ổi nếu [x,y]c 4 với mọi x,ye 4
1.1.1.2 Ví dụ
Trang 3-3-
b) #=[az,b| là một tap 16i That vay, gid sir x,y e[a,b] Ta lấy bất kỳ ze[>x,y| ta cần chứng minh z e[a,b], Do ze[x, y] nên z=4x+(I—3)z, vì x,y <[a,b]
=xz=A4,a+(I—Â,)ð Và y=A„a+(I—A,}b (0<A,,4, <1)
=z=A(A,a+(L~4,)#)+(-2)(4a+(L~4,}»}
=Ã4,a+Ä(1~4,)5+(I-4)4a+(t-2)(I—4,)2,
=AA,a+(A-Ad,)b+(4,-Ad,)at(1- 4-4, +4A,).d
= (4a, +4, -Ad, )a+(1-2a,-4,+44,).b =(2a, +4, - 44, ).a+(1-(44, +4, -44,)) b Bat+(l- A)s Trong đĩ, #= 4Ã, + Ã,—4A, = z e[a,b], (0< <1)
Vậy H =[a,b| là một tập lơi
c) B(x,r), các nửa khơng gian là các tập lồi
1.1.1.3 Định nghĩa (xem [4])
Tổ hợp lải (hữu hạn) của các điểm x,.x,, x, e E“ là một điểm của E” cĩ
thể biểu diễn dưới dạng : x= Này, , trong đĩ 4, > 0Ú =1,2 ,z) và 32, ia =1 1.1.1.4 Mệnh đề (xem [4]) Giả sử 4c #" Khi đĩ, 4 là tập lồi khi và chỉ khi nĩ chứa mọi tổ hợp lồi của các phần tử của nĩ Chứng mình
Ta chỉ cần chứng minh rằng, nếu A là tập lơi thì nĩ chứa mọi tổ hợp lồi các phần tử của nĩ, nghĩa là x=Ð4x,e4 với mọi x,e4,4,>0(=1/2, ,m) và
=
`, =1, Thật vậy, ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n
ra
Trang 4-4- & Giả sử kết luận đúng với ø=k>2, nghĩa là x=>`4x,e4 với mọi k x¿€A,Ä,>0(=12, „n) và Ð`4, =1 Ta chỉ cẩn chứng tổ kết luận đúng với il kH
n=k+1 Ta cĩ thể giả thiết 0< 4,„„ <1, bởi vì nếu 4„„ =1 thi tir >’ 4, =1 va 4,20
(¡=1/2, k +1) (ta suy ra 4, =4; = =4, =0 và do đĩ x=x,„c 4 Khi đĩ, ta cĩ
4, h
>0 (=l12, k) Vì > 4, =1 nén theo
kel fat 1 Aga
1-4, #41 =ÂI +Ây + +Â, >Ú VÀ k phương pháp quy nạp ta cĩ y= yy Aa iat x, € A, Do d6, x= (1-4, tA am € Á — 4e 1.1.1.5 Mệnh để Giả sử 4c E" Khi đĩ 4 là tập lồi khi và chỉ khi (x+/)4=a4+ 4 với mọi œ>0,6@>0, œ,8eŨ Trong d6: (a+ f)4={(a+ Ø)}a!ae A} aA={aalaeA} 8A={8bibeA} Chứng mình +) Khi z=/@=0 => Mệnh đề luơn đúng
+) Khi ø,ø khơng đồng thời bằng khơng = ø+ ø z0 Khi đĩ
& A+—#— A=AA+(—4)4, 0<2<1 Ta chỉ cần chứng mỉnh rằng, A= at+p a+8 nếu 4 là tập lồi thì 4= 44+(l- 4)A, ta cĩ: AA+(1-A)A={2.a+(1-A)b/a,be A},
- Ta chứng minh: 4c 24+(L— 2)4, thật vậy, lấy ae A suy ra
a=Ja,+(l-A)ja, €A44+(1-A)A > ACAA+(-A)A, @)
Trang 5=> AA+(-2)Ac 4 (2) Vậy, từ (1) và (2) suy ra: A=Ad4+(1-A)4
Ngược lại, giả sử 4= 44+(I- 4)4 ta chứng minh cho 4 là tập lồi
Lấy x¿ye4, với 0<4<l ta cẩn chứng mình 2x+(-2)ye4 Do
Ax+(I—4)ye24+(L—-2)4= 4 Suy ra 4 là tập lồi Vậy mệnh đẻ được chứng minh
1.1.1.6 Mệnh đề (xem [4])
j) Giao của một họ tuỳ ý các tập lổi là tập lơi, (nghĩa là, giả sử A,=E",¡e1 là các tập lồi, với 7 là tập chỉ số bất kỳ Khi đĩ, tập 4 = ¬ 4, cũng là
ki
tập lồi
ii) Tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) của các tập lồi là tập lơi
ii) Ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là đập /ơi
Chứng mình
ï) Giả sử {4}„„ là họ các tập lơi của E” Đặt 4=¿+4, Khi đĩ, ta lấy
fet
x,ye4 ta cĩ x,ye 4,, với mọi ¡¿e7 Do đĩ, với 0<4<1 ta cĩ Ax+(l—4)ye 4, với
rmợi ¿e7 (vì 4, là tập lồi) Từ đĩ suy ra, Ax+(I—2)}ye 4 Vậy, 4 là tập lồi của ”
1) Giả sử 4, E",¡e 7 là tập lồi và 4e Œ=l,2, n)
Đặt 4=2444+4,4,+ +4,4, Khi đĩ, với xye4 và 0<2<l (giả sử X=à Xi + ¿Xy +.+,X„ï YHA, + Ay, t+ +4,y,5 trongd6: x,y, € 4,7 =1,2, n)
Tacé: Ax t(1-A)y = A[l,x, + Ãsx; + + A„x„ |+(—A) | +»; + +„y,]
= A,[Ax, + 1—A}p, J+ 4, ax, + (1- Ady, + 4, x, +(1- 2), Je A
Trang 6-6-
Gia sk AcE” là tap Idi Khi dé, voi x,ye f(A) va O<a<1 (giả sử
x= f(a)y = Z0}, trong đĩ a,b e 4), ta cĩ:
Ax+(1~4)y=2/(a)+fI—2)/)= /(A4a)+ /(W—2})= /(a+-2)#)< /(4) (@ì 7 là
ánh xạ tuyến tính nên 2ƒ(z)+(I- 4)/(5)= /(4a)+ /(- 4)= Z(Aa+(1- 2) và vì A
là tập lồi nên 4z+(I- 4}» e 4) Vậy, /(4) là tập lồi cha 7
Giả sử œcW là tập lơi Khi đĩ, với x,ye ƒ '(B), ta cĩ /(x)/(y)e 8 Do
đĩ, với 0< 4 <1 ta cĩ /(Ax+(L-2)y)= 4/(x)+(I—2)/(y)e 8 (vì 7 là ánh xạ tuyến tinh va B 1a tap 161) Từ đĩ suy ra, 4x +(1— 4)» e / !(Ð)
Vậy, ƒ '(B) là tập lơi của E”
1.1.2 Bao lơi
1.1.2.1 Định nghĩa (xem [6]) Cho 4c E”
- Giao của tất cả các tập lồi chứa 4 được gọi là bao lơi của 4 Kí hiệu là :
co(A)
- Giao của tất cả các tập lồi đĩng chứa 4 được gợi là bao lơi đĩng của 4
Kí hiệu là; co(4)
1.1.2.2 Nhận xét (xem [6])
i) co(A) là tập lồi nhơ nhất chứa 4 ii) 4 là tập lồi khi và chỉ khi 4 =co(4) iii) co(A) là tập lồi đĩng nhỏ nhất chứa 4
1.1.2.3 Mệnh đề (xem [4])
Nếu 4 là tập lồi thì bao đĩng co(A) của 4 cũng là ¿áp li Chứng mình
Trang 7-7-
x;eẲ,+U}n¬ A4=1L2) Ta đặt x =Axi+(—4}:)(0<2<1) để thấy x e4 Do x¡,x, e 4 nên fa CĨ:
x 4, +U)+(L-)x; +U)=xeU
Do , (x+U)nAƠđ suy ra xeco(4)
Vậy, co(A) cũng là tập lồi, 1.1.2.4 Mệnh đề (xem [4])
Bao lơi đĩng của 4 trùng với bao đĩng của bao lổi 4: eo(4) = co(4}
Chứng mình
Do co(A) là tập lối nên cø(4) cũng là tập lơi theo nhận xét 1.1.2.2 thì co(4} là tập lồi đĩng chứa 4 Suy ra co(4)c co(4) @)
Mặt khác, do co(A) là giao của tất cả các tập lồi (khơng cần đĩng) chứa 4
nên co(4)c co(4) Do đĩ co)c co(4) 4)
Trang 8-8-
Ngược lại, ta chứng minh cò(4+28)c C, nghĩa là ta lấy một phần tử bất kỳ thuộc vào co(4L2 8), chứng mình cho nĩ thuộc C That vay, lấy x bất kỳ thuộc co(4U B) nên x cĩ dạng x= D4, +26 m (trong đĩ a, e 4,b, B;í =L2, ,m,J =1,2, m) VỚI Â,,œ, sao cho 3`Â,+ 3ø, =1 =I r=) « Giả sử 554, =0, voi moi 4, =0 thì x=3ø,b,;Vb, eB, i=l ja Dat Sa,=s=x=xŠ “bu (s =1) nên x=)\a@,b, là tổ hợp các phần tử Fl yl S A
thuộc 8, Vì ø là tập lồi nên xe ð
« Giả sử Ðø,=0, với mọi ø,=0 thì x = Ð` 4,a,;Va, e A4
ia £
Đặt Xã =p=x= PL ha, =) nén suy ra x= Daa, là tổ hợp các
a a r=
phan tix thudc 4 Vi 2 1a tap Iéinén xe 4
« Giá sử 3.4, = 4,440 va a¥1 Khidé Sa, =1~z,Š'a, s0, 2z, 21,
isl A y= yA
Do đĩ, >-4ÁŠ:24)‹0-2(Š 225)
Aa+(L—4)be Ä4+(I— 4)# với 0< A <1
Vậy xeC hay xe |]{44+(I-23)B} suy ra co(A4x28)=C (6)
osasi
Ti (5) va (6) suyra co(4‹2#)= | J{44+(1- 2)P}
osast
ii) Giả sử 4c #", 4 là tổ hợp, theo giả thiết xe co(4) và 4e co(4) nên suy ra xUAcco(A)Uco(4) Do đĩ eo(xt2 4) Ceo(eo(4))= cø(4)
Ngược lại, 4c x+2 4 nên co(4)C co(x2 4)
Trang 91.1.2.6 Bổ đề (xem [4])
Nếu 4 là tập lồi thì 4, imA cũng là tập lồi
Chứng mình
#2 là tập lồi
Giả sử x,ye 4, ta chứng minh z= 4x+(I—4)yce 4, với 0< 4<1 Ta cĩ tổn tại hai dãy {x,}; {y„}C 4 sao cho x„ ->x;y, -> y khi z->œ, thì
z, =4x,+(l-A)y, >> Ax+(—4)y=z Vì 4 là tập lỗi nên z„e 4 Suy ra
zed,
Vay 44 là tập lồi
intA là tập lồi
Cách !: Lấy x,ye 4 Khi đĩ tổn tại lân cận U của x sao cho Uc A Do
4 là tập lổi nên x,y được biểu dưới dạng z= 4x+(I- 4)y với 0<2<1
Ta cĩ 2U +(I—2}y là một lân cận của z vào AU+(I—-4)yc 4 SuyTa xyeint A
Do do int A 1a tập lồi
Cách 2: Với mọi x,yeint4, ta chứng minh z=4x+(I—4)yein4 với 0<4 <1 Giả sử tồn tại hình cầu mở tâm Ø sao cho x+#c 4y+8ðcA, Œ)
Khi đĩ z+ð= Ax+(L—4)y+ 4B +(I— 4)B
=A(+B)+(I-4Xy+8}c 4 (vì 4 là tập lổi và theo (*)) Suy ra zeint4 Vậy intA là tập lơi 1.1.2.7 Mệnh đề (xem [6]) Cho 4 là tập mở, khi đĩ bao lồi của tập mở 4 là tập mở Chứng mình Giả sử 4 là một tập mở khi đĩ 4 =int 4 mà 4c co(4) nên int A c int(co(A)) Vì vậy 4c imt(eo(4))
Từ bổ để 1.1.2.6 suy ra int(co(4)) la tap lổi mà nĩ chứa 4, vì thế
Trang 10Mà ta luơn cĩ: im(co(4))c co(4) (8) Từ (7) và ( 8) ta cĩ è(4)= int(co(4)) Vậy eco(4) là tập mở
1.1.3 Phan trong đại số và bao đĩng đại số 1.1.3.1 Định nghĩa
Giả sử 4c £"
a) Phân trong đại số 4' của A Ja tap tất cả các điểm xe 4 sao cho mọi đường thẳng m đi qua x trong E”, giao của m vA A chứa một đường thẳng mà
x thuộc phần trong của đoạn thẳng đĩ
b) Bao đĩng đại số 4" của 4 là tập hợp của 4 và tập hợp tất cả các điểm
xeE" sao cho tổn tại ae 4 sao cho [z,x)C 4
c) Tập 4 được gọi là áp mở đại số nếu A' = 4 Chứ ý Với mọi xe 4, ta cĩ: xe4' ©(we E" 5z e(x.y)}x.z]c 4 ©(wye£"}Bð >0]Ïx—.x+#]c 4 ©(wy<E"Ì(3ẽ > 0Ïxx+&]c A 1.1.3.2 Định lý (xez [5]) Nếu Œc #" là tập lồi thì C',C” cũng là tập lồi Chứng minh
a) Với x,yeC' và 0<4<1 ta cần chứng tổ z= Ax+(I— 4}» eC' Thật vậy,
với weE",vì x,yeC' nên tổn tại xạ c(x,m) và yạ =(y,z) sao cho Íx,x;Ì=Œ và [y,»;]Ìc€ Giả sử x¿ =ax+(L—ø}¿,yv„ = @&+(—, trong đĩ 0<z,@<1 Khi đĩ, đặt ¿=maxiz,/đ} và a=øx+(L-a},b= Ø+(I— 8, thì ta cĩ aelx.x,Lb e[p,wa]
Do đĩ, e= 2a+(I— 4b <C và hơn nữa
e=Ä[mx+(1—)]+(1—4)[y+(—g)+]= ,[4x+{1—2)y]+(I—z)+
Trang 11-11-
Từ đĩ suy ra, [z,e|e C=zeC' Vây, C' là tập lồi
b) Với x,yeC“ và 0< 4<! ta cần chứng tổ z= Ax+(L— 4)y e C“ Thật vậy,
[&x)=C€ và [by)<C Đặt ¿=2z+(-2beC thì ta cĩ [ez]oc thì ta cĩ [,z)c C (vì 0 <ø <1 nên ta cĩ: œe+(I—~z)z=#[a+(1-4)ð]+(I=z)[Ax+(I—2)y] =A[za+(I—ø}x]+ (1— 4Jeð +(I—a}y]«Œ Suy ra zeC°, Vậy, C“ là tập lồi 1.1.3.3 Dinh ly (xem [5]) Giả sử Cc E" là tập lồi Khi đĩ, ta cĩ i) incce’ ii) C° cco(C} iii) néu xeintC va yeco(C) thì [x.y)C intC Chứng mình i) imecc,
Voi x, <intCta can ching 16 x, eC’ That vay, véi », © 2, vi x, eintC nén tồn tại lân cận Y cla x, sao cho U cC Mặt khác, từ tính liên tục của ánh xạ Â->x¿+Ây, tại2 =0, ta suy Ta tổn tại ổ>0 sao cho x, +4y, «UCC véi moi
2+eũ, |4|<ø Từ đĩ suy ra, [x,;x, + @,|C Vậy, xạ e C°
ii) C*c co(C)
Vì Ccsø(C) nên để chứng mình €“c co(C) ta chỉ cần chứng minh
Trang 12-12-
ax, t(l-A)y, €U véi mọi 4eH, |A|<é Do đĩ, U¬Cz@ Suy ra, y, e co(C} Vậy C“ c co(C)
ii) Trước hết ta chú ý, với mỗi a,be £, 4e[l, 4z0và mỗi lân cận của a ta cĩ b+ A{U - a} là một lân cận của »
Với xeeitC, yyeco(C) và O<A<1 ta cần chứng tổ zy = Ax, +(1-A)y, ¢ int C Thật vậy, ta cé thể giả thiết 0 < 2 <1, bởi vì nếu 2 =1 thì ta cé ngay z,=x,¢intC Vi x, cintC nên tổn tại lân cận U cla x, sao cho 1 UcC Khi đĩ, ta cĩ vey 1 (z¿ - AU) là một lân cận của yạ Từ đĩ suy ra tồn 1 1-Ä
tai ceVAC (vi y, €co(C)) Gid sử e = (z, - Am), trong đĩ uc Khi đĩ, ta cĩ
W =(1-A)e+ AU là một lân cận của z, (vì z¿ =(I— 4}£+ Aw) và W cC(vì € là tập
lồi) Vậy, z; eimC
1.1.3.4 Định lý (xem [5])
Giả sử CCE” là tập lơi Khi đĩ, ta cĩ:
i) int C = int co(C)=C'
ii) co(C)= co(im C)= C“
Chứng mình
ï) mtC =Ìnt e(C)= C' ** €' =inC
«Theo định lý I.1.3.3 (1) ta cĩ im: C c C° (9) ôâ Gi s xeC', Khi đĩ, với yeintC ta cĩ theo giả thiết yzx, vì nếu y=x thì ta cĩ ngay xeintC), vì xeC' nên tổn tại ze# sao cho xe(y,z} và
[x,z]< Œ c cø(C) Theo định lý 1.1.3.3 (i0 ta cĩ 6,2) cintC vido dé xeimtc
Từ đĩ suy ra, C7 c int C (10)
Vậy, từ (9) và (10) ta cĩ C? =intC
Trang 13-13-
® Ta cĩ intCcimeco(C} Hiển nhiên q1)
e© Giả sử xeintco(C) Khi đĩ, với yeinC, vì xeintco(C} theo định lý 1.1.3.3 () ta cĩ inteo(C)c(co(C] suy ra xe(co(C) nên tổn tai ze E sao cho
xe(s„z) và [x,z|c eo(C) Theo định lý 1.1.3.3đi) thì ta cĩ (y,z)cœ+C và do đĩ
xeintC
Từ đĩ suyra — intco(C}CintC (12)
Vậy, tir (11) va (12) ta 6 int C= int colC)
ii) co(C)= colint C)=C*
% C’ =co(C)
© Theo định lý 1.1.3.3(ii) ta c6 C’ cco(C) (13)
¢ Gia sit xeco(C) Khi do, voi yemtCcc, ta cé [y,x)cintCcC (theo
dinh 1.1.3.3Gii)) do dé xeC* Ti dé suy ta colC)e (14)
Vậy, từ (13) và (14)tacĩ — co(C)=C“
% co(C)= co(int C)
® _ Ta cĩ co(intC)c co(C) Hiển nhiên, (15)
s Giả sử xe co(C} và U là một lân cận bất kỳ của x Khi đĩ, từ tính liên
tục của ánh xạ Âr>4y+(Í—4)}k tại 4=0, ta suy ra tổn tại 6>0 sao cho
2+(-4}eU với mọi AeD, |A|< ổ và do đĩ Ứ ¬intC z ø (vì [y,x)e it C), Do đĩ
xe colint C)
Từ đĩ suy ra : co(C) < co(int C) (16)
Trang 14-14- 1.2 Một số tính chất của tập lồi 1.2.1 Định lý (xem [5]) Giả sử C c E" là tập lổi và xeC', yeC“ Khi đĩ, ta cĩ |x,y}c C' Chứng minh Với 0<4<1 ta cần chứng tổ z=Ax+(-4}yeC' Thật vậy, ta xét hai trường hợp sau:
a) Trường hop 1; Néu yeC Khi đĩ, với „eE", vì xeC' nên tổn tại ae(x,u) sao cho [x,a|c € Gid sit a=ox+(1-a với 0<ø <1 Khi đĩ, với @ 2q-z} °*1yz-4)2za(0-2)" Sứ) Ta cĩ: c= eae -ay}r ea inte an _ a(l- 4) =1+0- 40x TA Tae z] - Ta A) 2+ũ-42kw?”2+Đ- xa Trong đĩ, z= [+ (L— ø};]
Từ đĩ, suy ra: [xc]|c C Vậy, [x»y)c C'
b) Trường hợp 2: ye€C“\C Lấy y e(y,z) Theo trường hợp I để chứng minh zeC' ta chỉ cần chứng tổ y eC (vi ze inv’) That vay, vi yeC*\C nén
tồn tai beC sao cho [b,y)cC Ta cé thé giả thiết (b) khơng thuộc đường thẳng
di qua x va y (vì nếu (b) thuộc đường thẳng đi qua x và y thì ta cĩ hoặc
yejby) hoặc y e|Ð,x) từ đĩ suy ra y eC Khi đĩ, với œ>0 đủ nhỏ ta cĩ
a=ab+(l-a)xeC (Vì xeC') Giả sử m là đường thẳng đi qua a và y Khi đĩ, m CẤU |b,y) tại c=c[e- sũ- 2-7), Z0+s) 3); trong đĩ 0<@<l và
ư+8 ate
Trang 151.2.2 Mệnh đê Giả sử C,,C,, C, là các tập lồi thì C= >z,C cũng là tập lồi , với ø,eD =) Trong đĩ: a.C ={ac/ceC} C,+C,= {e, te, =0c/¢,€C,0,€ C;} Chứng minh
Gia sit x ye -Yac, †a cần chứng mình [x,y]e C hay
z=Ax+(l-a)yeC, 0<AS1,Do x,yeC nén x va y sẽ cĩ dạng như sau; x=Ya,x,; y=3øy,; VỚI x,y, €C, Khi đĩ ta cĩ: = m z= ada, +(1~4) = Sa, [2+ +(1-4).y,]s 0<2<1 i i i Do giả thiết xeCj; y,eCŒ —4+,e<Œ; (1-2)y,eC, và các C, 1a tập lồi nên suyTa Ax,+(1-A).y,eC, 16 Vay zeY ac, =c.0 i 1.2.3 Mệnh đề (xem [5]) Giả sử 4c E" Khi đĩ, bao lồi co(A) là tập tất cả các tổ hợp lỗi của các điểm thuộc 4 Chứng minh
Giả sử 8ð là tập tất cả các tổ hợp lơi của 4 Vì co(A) là tập lơi, theo nhận xét (1.1.1.3) thì 4c eo(4) nên theo mệnh đề 1.1.1.4 suy ra 8 c eo(4) ()
Để chứng minh điều ngược lại co(4)c 8 trước hết ta chứng minh # là tập
lồi Thật vậy, lấy x,ye 8 khi đĩ x,y cĩ dạng sau: x= Yaz, va x= Sam, Trong
Trang 16-l6- đĨ, a,,b,eA,VijeI và X'a,=I,>)8,=1,œ,,8,>0,Vi/e1 Với 0<Ã<1, ta cĩ fat Jl Ax+(I—2)y= Sa, +(I-4}Š›/%, = Lae, + Lo-aa,2, iI
va Daa + 2 l-ay, -134 +-A)Šx/, =2+(-2)=1
Do đĩ Š?4øø,+Š`(—24)6,b, e8 hay ax+(1-a)ye 8 suy ra # là tập lơi
fat =
Mặt khác, 4c # mà co(A) là tap 16i nhỏ nhất chứa 4 nén co(A)c B (2) Vậy, từ (1) và (2) ta suy ra: B=co(A)
Từ mệnh đê trên ta suy ra hệ quả sau: 1.2.4 Hệ quả (xem [6]) Tập 4 là lồi khi và chỉ khi 4 chứa tất cả các tổ hợp lồi của nĩ 1.2.5 Định lý (Carathéodory) Cho tap CcO” Khi đĩ mỗi xe èo(C) đều là tổ hợp lồi của khơng quá ø+1 điểm thuộc Œ Chứng mình k & Theo ménh dé 1.2.3 x= a,x, 1€C, Ya,=1, 4,20 ia ¬
“> Truong hop 1: Nếu {x,.x, x,} độc lập affine = dim{x,,x„, x„,} =r —1
Mặt khác, dim {x,,x,, x,} <» Suy ra r—1<n Vậy r<n+l
+* Trường hợp 2: Nếu {x,x, x,} phụ thuộc afine Ta chứng minh cĩ
thể biểu diễn x dạng tổ hợp lồi của (r—1) điểm thuộc C
+) Nếu {».J; ,y,„,} độc lập afline ta áp dụng trường hợp 1 ta cĩ:
Trang 17-17-
+) Nếu {w,,z; y,,} phụ thuộc affine thì ta lại xét hệ điểm là {>,,; v„ ;}
Sau hữu hạn bước thì dừng đến {2.5 2,} là hệ độc lập affine mà x= DB, , m x;eŒ =p<m+l.l 1.2.6 Mệnh đề (xem [4]) Bao lồi của một tập compact là một tập compact Chứng mình
Giả sử AZ là một tập compact và mot day {*}< co(M) (theo mệnh đề 1.2.3)
tacé: xt =A,,a +A,a + +4,,a", voi a MA, 20,1=0,L 443 Ay =]
k0
k
Do Mx[01j là tập compact nên tổn tại dãy con te } sao cho
hy
Aig a" > mal;a'e M,j,>0,¡= 0,1 k và Yul
Khidé, x" > pao + „ya' + + pa” € co(M) Vậy, co(M) 1a tap compact 1.2.7 Mệnh dé Giả sử 4eE”",beE",kei thì ta cĩ: Ï)_ co(k4)= kco(4) ii) cø(4+ð)= co(A)+b Chúng mình i) Theo định nghĩa 1.1.1.3 thì
etd) {Saini e ia) -lÿs (w).x,< 4k en| = {Ee y, ) yee 4 & keo( 4)
œ1
Trang 18Hàm ngược lại chứng minh tương tự
kco{A dala, Viv, € Ake | {Sato € A,i=1,2, ,m ke al
i=l i=
{Sa = DY, € Ask |< ol)
iat
Suy ra: kca(4}c co(kA) (4)
Vay, Tu (3) và (4) suy ra co(kA) = keo( 4)
ii Theo mệnh đề 1.2.3 ta cĩ:
il
ca(A+B)= [Sass = 9b ASA b= oa -{Sab, + PDA =1,4, €[o,}i= bà, on)
{Ean (Sa)oda =14, efoabi= 12am =
{Say ye ADA, =1;4, e|0,I}¡ = cco(4)+b
a) í=t
Vậy, co(A+b)C co(4)+b @®
Trang 19-19-
= {ea Oy, +B 4, =1;Â, e|o,l]i= L2.) ceo(A+b)
Vậy co(4)+bC ca(4+ b} (6)
Từ (5) và (6) suy ra: co(A+b)= co(4)+b
1.2.8 Định lý
Cho hữu hạn điểm (x,,x,, x„) trong mặt phẳng đ? Khi đĩ eo{(x,,x,, x,) là một hình đa giác lồi mà đỉnh của nĩ thuộc tập hợp điểm {x,,x, x„}
Ching minh
Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n
* Nếu các điểm (x,,x; ,x,) thẳng hàng Giả sử x„x, là hai điểm xa nhau
nhất trong hữu hạn điểm đã cho Khi đĩ è(x,,x;, x„) =[xị.x;]- s$ Xết (x,.x, x„} khơng nằm trên một đường thẳng
+) Với z=3 suy ra định lý luơn đúng Vì khi đĩ eo(x,,x;,x;) là một hình tam giác
XS
+) Giả sử định lý đúng cho ø= & ta chứng minh cho định lý đứng với ø= k +1
Cho xu,x,, x x,,e 1°, Theo giả thiết quy nạp eo(x,x;, x,) phải là
một hình đa giác lồi mà đỉnh của nĩ thuộc tập hợp hữu hạn điểm {x,,x,, x,} Giả
sử D là miễn chứa các điểm x,„,x;, x,; z<* Khi đĩ: đ
Trang 20-20-
Trên đường thẳng 4, cĩ một điểm thuộc tập hợp điểm đã cho xa x,„, nhất
và ta kí hiệu là y,
Cũng tương tự như vậy gọi y, là điểm nằm trên đường thẳng đ, mà xa x,„
nhất, Trên phần của Ð ta cĩ Ay,y;x,„ là một đa giác lồi, phần cịn lại của Ð ta đánh số thứ tự lại cho các đỉnh của nĩ là »„y, y, Khi đĩ x,,,y,y ¥, chính là một
đa giác lỗi mà đỉnh của nĩ nằm trong số {x,z, x,„} Đĩ là bao lồi của
(x›x;: Xz)-
Gọi G lồi chứa tập hợp điểm {x,,x;, x,} = G 2 eo(xị,x;, x/ )
+) Nếu xeÐD, Sxeco(x,x;, x,)C Œ
+) Nếu xex,»,, Khi đĩ ta nối x,„ với điểm x cất đường thẳng y„y, tại
một điểm là y nào đĩ mà y <y»y, co D,.oG ox, cGorxeG
1.2.9 Định lý Helly và ứng dụng 1.2.9.1 Bổ dé
Cho các điểm x,,x,, x,e<E" Khi đĩ các điều kiện sau đây là tương đương
ÿ Hệ {x,,x,, x,} doc lap affine
ii) Với mỗi j =12, k thì hệ véctơ {x,—x, hey độc lập tuyến tính
11) Nếu z,e[l, ¡ =L2,.k sao cho: th +Ø,x, + +t#,x, =Ũ đ,+d, + +, =0 Thì ø,=z;= =ø, Chứng mình % i) © ii)
i) => ii) V6i méi 7 cố định ta luơn c6 aff(x,,x, %,)=x,+L, tong dé
Trang 21-21- vécto con ca #” Do hệ Íx,,x;, x,} độc lập affine nén dim {x,,x,, x,}=4-1 => dimi=k-1 Mặt khác, cơ sở của khơng gian véctơ con ¿ là {x,-x, } „và đim¿# =k-—1 Do đĩ hệ véctơ c, —x,}_, độc lập tuyến tính
ii) = Ù Với mỗi ¿ =12, + thì hệ véctơ ‡x - x,j, độc lập tuyến tính thì dimẲ, ~ x,,x; —x,„ 0, xy =x,Ì=&—1 khi và chỉ khi đím Íx,,x,, x, }= & —1 khi và
chỉ khi hệ {x,,x; x,} độc lập affine
* ii) © iii),
ii) = iii), Voi mỗi 7 =1,2 &, gid sit hé vécto {x,-x, Ses độc lập tuyến tinh
Ị |#iXi +Ø;x; + +d,x, =0 2 + ae %
và { mee đi +, + +đy = rk" (trong d6 a,@,, ,@,5") Khi đĩ, ta cĩ
= OX, + OX, + +O, (Ty, +e, TT, T8 -øb, FO yyy X pay tent UX
=a,(x, -x,)+@,(x, =x, )et ale; -x,)+ jaa (Xj =x, )4.+a,lr, ~x,) Theo giả thiết hệ véctơ (x, -x, lu độc lập tuyến nên
a =a, = =ơ, =0, trdé suy ra a, =a, = = a
ii) => Ì) Giả sử /,/,.„/Ø,„8,„, „/6,eD mà
Babe, -,)+ Blas — x, )+ t By ley 25) Bult ay) +t Boley a, 20
Bix, + Bory t+ By ty + CB Be - By 1 — Bra Brey + Byatt Bete = 8
Vihé 86 8+ 8,+ 4+ 8.4 +8) +B + + 8, =0
với 2, =-B, - B, B41 - Bya ~-— 8, thõa mãn điều kiện cha ménh dé iii) Từ đĩ suy ra B, = f, = = By, = By = = , =0,
Vậy, hệ véctơ Íx, — x, k„ độc lập tuyến tính
1.2.9.2 Định lý (Dinh ly Helly xem [2])
Trang 22-22-
cứ mỗi zø+1 tập hợp nằm trong @2 giao khác rỗng, Khi đĩ các tập của @ cĩ
giao khác rỗng
Chứng mình
Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp đối với m
s* Rõ ràng với ø = ø+1, theo giả thiết thì định lý đúng
s* Giá sử định lý đúng với ;:= kÍt >ø+1) ta chứng mỉnh định lý đúng với
Trang 23-23-
Kíhiệu: 4= 4⁄4⁄^A;^Á,= 43A; ha OAc Mee VA,, Vi A 1a tap Idi va y 12
tổ hợp lơi các phần tử của 4 nên theo mệnh để 1.1.1.4 ta cĩ:
„SA iO^A, AI =A, (7)
kel
DEX
feral
Chứng minh tương tự với y = ta CĨ ye€4,SA;/A, (8) Từ (7) và (8) ta suyra ye44“Á; A,,, Ð.p.c.m
1.2.9.3 Các ví dụ về ứng dụng định lý Helly
Trang 24-24-
tương ứng song song Chứng mỉnh rằng nếu hai cạnh chữ nhật bất kỳ trong chúng giao khác rỗng thì cả hệ cĩ giao khác rỗng
Chứng minh
Trên mặt phẳng, chọn hệ trục toạ độ x0y sao cho các cạnh của hình chữ nhật song song với trục toạ độ tương ứng Kí hiệu:
H ={[H,!H,,¡ =L2, ,n là các hình chữ nhật đã cho}
P={?,/?,,k =1/2, ,w là hình chiếu của hình chữ nhật #, trên trục O x }
Ĩ= lừng, /m,,k = L2, ,n là hình chiếu của hình chữ nhật #, trên trục Oy } Rõ ràng 2, và m„ là các đoạn thẳng Theo giả thiết thì hai hình chữ nhật bất kỳ cĩ giao khác rỗng, nghĩa là: H,OH,xg.Vi* ji1,/<1={12, n} Do đĩ tơn tại điểm A⁄(x,y)e H, ¬^H,, tức là: £, < x < f,;m, < y<m, Từ đĩ suy Tả: 0,5 £, # đ;ịm, cm, “ĩc Sử dụng định lý Helly thì fĐ£:#%:f\”› z # ket ke! Điều đĩ cho thấy tơn tại z` e(]#, và tồn tại yˆ e[ ), Như vậy ta được ket kel điểm m(x",y") thudc tất cá các hình chữ nhật nêu trên Đĩ là điều phải chứng minh
Ví dụ 3 Trên đường thẳng chọn ø đoạn thẳng, mọi cặp hai đoạn thẳng cĩ
điểm chung Khi đĩ, tồn tại một điểm chung cho tất cả các đoạn thẳng
Chứng minh
Ta cĩ mọi tập lồi 4 trên đường thắng được thể hiện hoặc là một đoạn
thẳng, hoặc là một tia hoặc là cả đường thẳng Trong trường hợp này với giả thiết
Trang 25-25-
cũng đưa về trường hợp tất cả là đoạn thẳng)
Mỗi đoạn thẳng 4, trên dường thẳng số được xác định bởi hai số tại hai điểm cuối là a„b, và a <ð, Số a, gọi là đầu trái của đoạn thẳng 4,, cịn ø, gọi là đầu phải của đoạn thẳng 4, Lấy # là số nhỏ nhất của 5,„¡ =I,2, m; a là số lớn nhất của z,„í =I,2, ,z Ta sẽ chứng minh rằng z<b
Thật vậy, giả sử z>ø Vì theo cách xác định ở trên thì số z trùng với một 1rong những số nào đĩ trong a,,¡ =,2, z, số » trùng với một trong những số nào đĩ trong ð,,¡=1,2, ø, thì a, =ø, ở, =b mà theo giả thiết z>ø nên a, >¿, Khi đĩ trong những đoạn thẳng 4, (với đầu trái a,) va 4, (với dầu phải ¿, ) khơng cĩ điểm chung mâu thuẫn với giả thiết của định lý Helly Vậy z< s Đpcm
Ví dụ 4 Cho một nửa đường trịn đường kính 4% và một họ dây cung, biết rằng cứ hai dây cung bất kỳ thì cĩ giao khác rỗng Chứng minh rằng tất cả
các dây cung đĩ cĩ giao khác rống
Nhận xét Hình chiếu vuơng gĩc của các dây cung trên đường thẳng là
các đoạn thẳng
Chúng minh
Gọi {¢,},, lA ho cdc dây cung đã cho
Gọi [a,,b, | là hình chiếu họ dây cung {¢,} et lên đường kính 48
Theo giả thiết ⁄,¬/ zø theo nhận xết ở trên thì ta suy ra
[a.][a,,b, ]=#.( # 7ä, / e7) Theo định ly Helly nếu hai đoạn thẳng bất kỳ cĩ
giao khác rỗng thì họ các đoạn thẳng cĩ khác rỗng Chiếu ngược lại lên dây cung thì tất cả các dây cung đĩ cĩ giao khác rỗng, suy ra (\/, =ø
Trang 26-26-
Chương II Một số dạng tốn phủ đa giác lơi
2.1 Phủ hình 2.1.1 Định nghĩa (xem [I])
Ta nĩi hình z7 được phủ bởi các hình #,,/,, ,/„ nếu mỗi điểm của hình
ï điều thuộc ít nhất một trong các hình ;,,7,, ,/7„ Nĩi cách khác, hình z là
tập hợp con của hợp các hình /,,1,, ,1„: C20, 0.2/,
2.1.2.Ví dụ
Ví dụ 1 Cho một ngũ giác lồi cĩ tất cả các gĩc là gĩc tù Chứng minh rằng tồn tại hai đường chéo của ngũ giác sao cho hai hình trịn là cĩ đường kính là các đường chéo đĩ phủ kín ngũ giác
Chứng mình
Cách ! Xét ngũ giác lỗi 4BCDE cĩ các gĩc tù Kẻ DH L 48 Xét hai trường hợp:
a) Trường hợp # thuộc 4# (hình 2) Hình trịn cĩ đường kính 4Ð phủ tứ
giác ANHDE (vì gĩc AHD =90° nên ïï thuộc đường trịn, gĩc ZAED > 90° nén E nằm trong đường trịn) Tương tự hình trịn cĩ đường kính 5Ð phủ tứ giác BHDC Như vậy 42,8Đ là hai đường chéo phải tìm
Trang 27-27-
b) Trường hợp H nằm ngồi cạnh 4#, khi đĩ 2H cắt cạnh 4E hoặc cắt cạnh BC, chang han DH c&t cạnh 4Z (hình 3)
Hình trịn cĩ đường kính 4Ð phủ A4ÐE (vì gĩc ⁄4ED >90° nên E nam
trong đường trịn), hình trịn cĩ đường kính 8Ð phủ tứ giác 45CP (vì gĩc
⁄BAD >90°, gĩc ⁄ZBCD >90° nên 4,C nằm trong đường trịn) Như vậy 4D,BÐ là hai đường chéo phải tìm
Cách 2 Gọi 48 là cạnh lớn nhất
của ngũ giác lồi 4BCDE cĩ các gĩc tù Kẻ các đường thẳng 4x,By vuơng gĩc với 4P, tạo thành một dải (hình 4) Khi đĩ z và € nằm ngồi dai đĩ vì gĩc ⁄BAE >90°, gĩc ⁄4BC >90°, cịn D
thì nằm trong dải, vì nếu chẳng hạn D
Hình 4 ở vị trí Ð cùng phía với Œ đối với By
thì ED > AB, trái với cách chọn cạnh 4# là lớn nhất Kẻ DH 1 4# thì # thuộc cạnh 4Z Hình trịn cĩ đường kính 4Ð phủ tứ giác AHDE, hinh tron co đường kính 8Ð phủ tứ giác 8#⁄DC Như vậy: 4Ð,BD là hai đường chéo phải fìm
Vi du 2 Cho 100 điểm trên mặt phẳng, hai điểm nào cũng cĩ khoảng cách khơng quá 1, ba điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác tù Chứng minh rằng tồn tại một hình trịn cĩ bán kính bằng ; phủ 100 điểm đã cho
Chứng mình
Giả sử hai điểm 4 và ø là hai điểm
xa nhất trong 100 điểm đã cho và fa cĩ 48 <1
(hình 9) Vẽ đường trịn cĩ đường kính 4B,
hình trịn này cĩ bán kính khơng quá >
Trang 28- 28 -
điểm đã cho Thật vậy, vẽ hai đường thẳng vuơng gĩc với 4# tại 4 và tại 8 tạo thành một dải
Nếu tốn tại một điểm Œ trong 100 điểm đã cho nằm ngồi dai thì 4C > 4B
hoặc 8C > 8A mâu thuẫn với cách chọn hai điểm 4ø lớn nhất Suy ra khơng tồn
tại điểm Nếu tồn tại một điểm œ trong 100 điểm đã cho nằm trên dải và nằm
ngồi hình tron thi 0.48C là tam giác khơng cĩ gĩc tù lại mâu thuẫn với giả thiết,
Suy ra, khơng tổn tại điểm € như vậy Đpcm
2.2 Một số dạng tốn phủ đa giác lơi 2.2.1 Phủ đa giác lỏi bằng những đa giác vị tự với chính nĩ 2.2.1.1 Định nghĩa
Giả sử ,,H,, H, là những ảnh của đa giác lổi # qua phép vị tự cĩ tỷ số vị tự 4„k,, k, (tương ứng) nhỏ hơn l và 77 c Z1 277,Á2 42//„ Khi đĩ, ta nĩi
rằng ¿7 được phủ bởi các đa giác vị tự với nĩ: H,,H,, H„
2.2.1.2 Bài tốn
Với tam giác 48C bất kỳ cĩ tổn tại một phủ theo định nghĩa trên khơng? Giải
Ta đựng những đoạn thẳng 4,8, // AB, A,C, // AC và C,B, CB (hình 6) Nếu A.B,,A,C, và C,8, đủ gần các cạnh tương ứng 4B,4C và C# Khi đĩ những tam giác 4,E,C,A,BC, và 4B,C, sẽ phủ tam giác ABC
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng khơng
Trang 29-29-
vị tự với tam gidc ABC v6i tỷ số vị tự nhỏ hơn 1 phủ nhiều nhất được một đỉnh của tam giác 48C Cho nên để cĩ thể phủ theo điều kiện đã cho, phải cĩ ít nhất ba tam giác vị tự Từ đĩ ta cĩ thể mở rộng cho đa giác là một hình bình hành
Ta xét hình bình hành 4#ŒCÐ (hình 7) D
Bằng cách chứng minh tương tự như phần ở trên cũng đưa đến kết luận phải cĩ ít nhất bốn hình bình hành vị tự với hình bình hành mới phủ được nĩ Hình 7 2.2.1.3 Định lý (xem[2])
Cho 4 là một đa giác lồi khơng phải là hình bình hành Khi đĩ, số lượng
nhỏ nhất những đa giác vị tự với 4 đủ để phủ A/ là 3 2.2.1.4 Bổ đề
Trong một đa giác lồi khác hình bình hành tồn tại ba cạnh, mà kéo dài ba
cạnh này tạo ra một tam giác, tam giác này chứa đa giác đã cho
Chứng mình
Giả thiết rằng đa giác lồi A7 khơng phải là tam giác hoặc hình bình hành
Khi đĩ sẽ tồn tại hai cạnh khơng song song với nhau và cũng khơng cĩ điểm
chung Nếu M cĩ số cạnh là năm hoặc nhiều hơn, thì từ khẳng định trên suy ra từ
điều khơng cĩ ba cạnh nào song song với nhau Ta sẽ kéo dài cạnh tìm được như vậy và nhận được đa giác cĩ số cạnh nhỏ hơn (hình 8)
Hình § Hình 9
Trang 30-30-
hình bình hành, nhưng đa giác xuất phát từ khơng phải là hình bình hành, thì điểm nào đĩ trong các điểm 4,B,C, khơng phải là đỉnh của (hình 9) Thật vậy, nếu 4,B,C,Ð là các đỉnh của A7, thì đa giác AZ sẽ chứa 4BCD, nhưng vì theo cách dựng ở trên, 4#CÐ chứa 4⁄, ta nhận được 2⁄Z là hình bình hành 48CD, mâu thuẫn với giả thiết
Giả sử D khơng thuộc 3 (hình 9) Ta xét cạnh 42 và kí hiệu K là đỉnh thuộc 4 gần nhất đối với 2 Qua K cĩ hai cạnh đi qua Một trong những cạnh này giao với AD va CD tai K,L Kéo dài KL Vì 3 lơi, thì M sẽ nằm hồn tồn về một phía của K¿ và cả về một phía của cạnh 4Ø Suy ra 48,BC và K¿ là tam giác ta phải tim
Chứng mình định lý 2.2.1.3
Ta sẽ chứng minh rằng mọi đa giác lồi khơng phải là hình bình hành cĩ thể phủ được ba đa giác vị tự Theo bổ đề 2.2.1.4 Cho tam giác 48C chứa đa
BIÁc A,ú4, A,(hình 10) Giả sử 44, nằm trên cạnh 4C, 4,⁄4,„, nằm trên cạnh AB và A44, nằm trên cạnh #C Trên các cạnh 444,, 4,4,„ và 4,4,, ta chon tương ứng ba điểm P,Q,8 và nối chúng với một điểm trong Ø của
đa giác đã cho (hình 10) Những đoạn thẳng ĨP,OQ,OR chia đa giác M thành ba phần m,,m,,m,
Để phủ m,, ta dùng phép vị tự tâm 4 va hé s6 k=1-5, 5>0 Néu đ là một số đủ nho thi anh 4; va 4,,, tuong img cia 4, va 4,,,
với phép vị tự này là những điểm nằm trong
tương ứng của các đoạn thẳng 4P và 4,„0
Ngồi ra, nếu ð là một số đủ nhỏ, thì ảnh của
Trang 31-31-
phủ mm Hồn tồn tương tự cho các phép vị tự cĩ tâm tại ® và Œ, ta nhận được các đa giác vị tự tương ứng phủ m,,m,
Ta chỉ cịn chứng minh rằng đa giác M' khơng thể phủ bằng hai đa giác vị tự với nĩ Giả sử af phủ được bởi hai đa giác A⁄, và A⁄,, mà chúng là ảnh của 3ƒ qua các phép vị tự cĩ tâm tương ứng là 7, và /,
Ta dựng đường thẳng ¢ di qua 7, và 7, và kí hiệu # là một trong các điểm
thuộc 4 cĩ khoảng cách xa nhất tới đường thẳng 2 Khi đĩ, # khơng thể phủ bởi một trong hai đa giác A⁄, và 4Z, Điều này mâu thuẫn với giả thiết là hai đa giác phủ đa giác đã cho Vậy số lượng nhỏ nhất những đa giác vị tự với A đủ để phủ 47 là 3 ÐĐpcm
2.2.2 Phú đa giác lỗi bằng những đa giác đồng đạng với nĩ
2.2.2.1 Định nghĩa
Giả sử Z!,,/!,, ,„ là những đa giác đồng dạng với đa giác lồi A voi ty số đồng dạng là &,,k,, x, (tuong tg) khéc 1 va HCH, UA, V UH, Khi dé, ta nĩi rằng # được phủ bởi các đa giác đơng dạng với nĩ là: H,,H,, H„ 2.2.2.2 Bổ đề (xem [2]) Mọi hình bình hành cĩ thể phủ được bằng ba hình bình hành đồng dạng với nĩ Chứng mình Ta xét hình bình hành 48CD (hình 11) Cĩ ít nhất một trong hai đường chéo lớn hơn øzC Ta giả sử đĩ là đường chéo 4C Kí hiệu @
và O, tương ứng là hai trung điểm
Trang 32
-32-
đoạn thẳng 0,4 =Ĩ,C = we „Với &<) va sau đĩ dung nhimg doan thang 0,2
vA O,D' sao cho O,B' =O,D’ =" và gĩc ⁄40,B = ⁄AOB
Hình bình hành 4#? sẽ phủ BC và một hình bình hành nhỏ như
A'BCD' (hình 11) Như vậy dễ thấy rằng với hai hình bình hành vị tự với ABCD
và cĩ tâm vị tự tương ứng tại 4 và Ð cĩ thể phủ phần cịn lại là 422 Và đĩ là những hình bình hành 44'#F và GHD'D
2.2.2.3 Định lý
Mọi đa giác lồi cĩ thể phủ được bằng ba đa giác đồng dạng với nĩ
Chứng mình
Ta xét bài tốn khi đa giác là một
tam giác 4øC Nếu 48C là một tam giác đều, thì khơng cĩ khả năng phủ
đồng thời hai đỉnh của nĩ bằng một
tam giác đều, mà cạnh của nĩ nhỏ
hơn cạnh của tam giác đã cho Nguyên
nhân khơng được là ở chỗ khoảng cách Hình 12
giữa hai điểm bất kỳ trong tam giác như vậy thật sự nhỏ hơn cạnh tam giác đều
đã cho
Như vậy, ta cần đến ba tam giác Nếu tam giác khong déu, thi ta cĩ thể phủ bằng hai tam giác đồng dạng Thật vậy, cho 4ð > #C, ta dựng tam giác 4#€C' đồng dạng với tam giác 4#C sao cho 8C nằm trên cạnh 4# = k4 > 8C,k <1 (hình 12) Tam giác 48C ' sẽ phủ một tứ giác nhỏ nào đĩ, ví dụ như tứ giác
Trang 33-33-
2.2.3 Một số dạng tốn phủ đa giác lỗi
Bài tốn 1 Trong mặt phẳng cho 25 điểm Biết rằng giữa 3 điểm bất kỳ trong số các điểm đã cĩ thể chọn được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn I, Chứng minh rằng giữa những điểm này cĩ thể chọn được 13 điểm phủ bởi
đường trịn bán kính bằng 1
Giải
+) Nếu khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong các điểm đã cho đều nhỏ
hơn 1, thì khẳng định của bài tốn đúng
+) Gia sử tồn tại cặp điểm 4 và Ю sao cho độ dài của đoạn thẳng 48 lớn
hơn 1 Khi đĩ, những điểm cịn lại chia làm hai lớp a va f, trong dé ø bao
gềm tất cả những điểm x nằm cách điểm 4 một khoảng nhỏ hơn 1, cịn Ø gồm tất cả những điểm Y nằm cách điểm 8 một khoảng nhỏ hơn 1 Theo cách gợi
như vậy thì mỗi điểm đã cho rơi vào một trong hai lớp trên Vì giả thiết cho số
lượng các điểm là 25, thì ít nhất một trong những lớp trên sẽ chứa khơng ít hơn 13 điểm Ðpcm
Bài tốn 2 Trong mặt phẳng cho một số hữu hạn điểm khơng cùng nằm trên một đường thẳng Chứng minh rằng tồn tại một đường trịn đi qua ba điểm trong chúng và nĩ phủ tất cả các điểm cồn lại
Giải
Từ tập hợp hữu hạn điểm đã cho ta
dựng một bao lồi 7 Vì các điểm khơng nằm trên một đường thẳng nên bao lồi của chúng khơng phải là một đường thang Ta xét tất cả những tam giác cĩ những đỉnh giữa các đỉnh của M và chọn một tam giác cĩ bán kính đường trịn ngoại tiếp lớn nhất Giả sử đĩ là tam giác
Trang 34
-34-
ABC thinh 13)
Giả sử tồn tại một đính D của bao lồi nằm ngồi đường trịn ngoại tiếp tam giác 4#C Khi đĩ, đỉnh Ð nằm ngồi 48C Suy ra tồn tại ít nhất một đỉnh của tam giác 48C giả sử đĩ là 8, sao cho B vA D nim ở hai nữa mặt phẳng khác nhau đối với cạnh đối điện 4C của nĩ (cần chú ý rằng vì tính bao lỗi của M nên khơng một đỉnh nào của nĩ cĩ thể nằm ở các vùng ø) Ngồi ra, một trong những gĩc ⁄84C hoặc ⁄8ŒC4 là tù, Khơng mất tính tổng quát ta cho gĩc ⁄BAC tù Khi đĩ ⁄ŒDB < ⁄B4C, điều này cĩ nghĩa là, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CDE lớn hơn bán kính đường trịn ngoại tiếp tam gide BCA, mau thuẫn với giả thiết ban đầu ta chọn đường trịn ngoại tiép tam gidc BCA Vay bai
tốn trên luơn đúng
Chú ý Cho đoạn thẳng 4B và hai điểm C va D khơng thuộc đường thẳng
trên Ta xét xem trường hợp nào thì đường trịn ¿#, ngoại tiếp tam giác 48D cĩ đường kính lớn hơn đường trịn ¿, ngoại tiếp tam giác 48C
j Cho ⁄4DB và ⁄4CE là những gĩc nhọn Khi đĩ dễ thấy »„>», chỉ khi
ZADB < ZACB
ii) Nếu một trong các gĩc là tù, giả sử là ⁄4Ðð tù, cịn gĩc kia khơng tù, thi †a sẽ cĩ ø >r, khi và chỉ khi ⁄⁄4DB >180° - ⁄4ŒB
1i) Nếu cả hai gĩc là tù, thì r, >„, khi ⁄4Ð8 > ⁄ACB
Bài tốn 3 Cho đa giác lồi Chứng minh rằng tồn tại đường trịn xác định từ ba đỉnh cạnh nhau của đa giác và đường trịn đĩ phủ đa giác này
Giải
Theo bài I.2 thì tổn tại đường trịn phủ đa giác lơi nĩi trên Chỉ cịn chứng minh ba đỉnh kể nhau trên đường trịn Thật vậy,
1) Nếu đường trịn phú *# ngoại tiếp một tam giác 42C khơng tù
(hình 14), ta cĩ như sau Nếu điểm X nam trong &, thi Z4XC >180°- ZABC theo
Trang 35-35-
lớn hơn của đường trịn x, điều này vơ lý với cách chọn của # Khi đĩ, khả năng duy nhất cho X là X ek, nghia là đa giác nội tiếp trong š
C
Hình l4 Hình 15
2) Nếu đường trịn phủ £ ngoại tiếp một tam giác ABC ta (hinh 15), giả sử ⁄4ŒB >90° Nếu điểm Y nằm trong & và thuộc cùng cung HC, ta cĩ bất đẳng thức ⁄CTY8 >180"-⁄C48' sẽ khơng xảy ra được, bởi vì ⁄Œ 4 < 90° và £ là đương trịn phủ đa giác đã cho Suy ra hoặc Y nằm trên đường trịn £# hoặc nằm về phía cung 178
Bài tốn 4 Chứng minh rằng mỗi đa giác lồi cĩ diện tích bằng 1 cĩ thể phủ bằng một hình bình hành cĩ diện tích bằng 2 Chứng minh rằng một tam giác cĩ điện tích bằng I khơng thể phủ bằng một hình bình hành cĩ diện tích bằng 2
Giải
Trang 36- 36-
đ4ơAB=M, 0t,=H, tnAB=N, từ đĩ ta thu duoc hinh binh hanh MNHK
Ta 66, Suge = FS aac’ Sane = 5S owe mà 4DC và 4D,C là những đa giác
cịn 4MKC và 4ANHC là những hình bình hành Suy ra đa giác lồi cĩ diện tích
Trang 37-37-
KẾT LUẬN
Trong thời gian hồn thành Khĩa luận tơi đã thu được một số kết quả sau : 1) Trình bày cĩ hệ thống các khái niệm tập lồi, phần trong đại số và bao đĩng đại số (Định nghĩa 1.1.1.1, định nghĩa 1.1.2.1 va 1.1.3.1)
2) Chứng minh chỉ tiết các tính chất cơ bản của tập lồi và bao lồi (mệnh đề I.1.1.5 và mệnh đề 1.2.2, định lý(Carathéodory), định lý Helly, mệnh đê
1.2.7)
3) Tập hợp một số ví dụ ứng dụng định lý Helly (Các ví dụ 1.2.9.3)
4) Trình bày cĩ hệ thống các khái niệm phủ hình, phủ đa giác lổi bằng những đa giác vị tự với nĩ và phủ đa giác lồi bằng những đa giác đồng dạng với
nĩ (Định nghĩa 2.11, 2.2.1.1 va 2.2.2.1)
5) Tập hợp một số đạng tốn phủ hình (Mộí số dạng tốn phú đa giác lơi 2.2.3) Những tính chất trên đây hầu hết được nêu ra ở các tài liệu tham khảo khác dưới tĩm tắt, chú ý hoặc bài tập
Trang 38-38-
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng việt
[1] Vũ Hữu Bình, Các bài tốn hình học tổ hợp, NXBGD, 2001,
[2] Nguyễn Hữu Điển, Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXBGD, 2005
[3] Vũ Đình Hịa, Một số kiến thúc cơ sở về hình học tổ hợp, (tái bản lần thit 2), NXBGD, 2003
[4] Đỗ Văn Lưu — Phan Huy Khải, Giải tích tồi, NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 2000
Tiéng Anh
[5] Janvan Tiel, convex analysis, John wiley and sons
Trang 39-30-
Mục Lục
LỜI MỞ ĐẦU