Bất đẳng thức trong số học và một số dạng toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)

Bất đẳng thức trong số học và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong số học và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong số học và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong số học và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong số học và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong số học và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong số học và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong số học và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong số học và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong số học và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong số học và một số dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ HỒNG THÚY BẤT ĐẲNG THỨC TRONG SỐ HỌC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ HỒNG THÚY BẤT ĐẲNG THỨC TRONG SỐ HỌC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Thái Nguyên - 2018 i Mục lục MỞ ĐẦU ii Chương Các tính tốn tập hữu hạn số nguyên 1.1 Số nguyên tính chất liên quan 1.2 Một số đồng thức số học 1.2.1 Một số đẳng thức hàm d(n), σ(n) ϕ(n) 1.2.2 Đẳng thức tổng bình phương 10 1.2.3 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng lập phương 15 Chương Bất đẳng thức số học 28 2.1 Bất đẳng thức tập số nguyên 28 2.2 Bất đẳng thức lớp hàm số học 32 Chương Một số dạng toán liên quan 60 3.1 Các dạng toán bất đẳng thức số học qua kỳ Olympic 60 3.2 Các đề toán toán rời rạc liên quan 64 3.2.1 Một số toán cực trị tập số nguyên 64 3.2.2 Một số toán sử dụng phương pháp suy luận 68 KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 ii MỞ ĐẦU Chuyên đề số học nội dung quan trọng bậc trung học phổ thơng Các dạng tốn đếm số phần tử, so sánh thứ tự số tập hợp nội dung đề thi HSG quốc gia Olympic toán khu vực quốc tế Đặc biệt lý thuyết số, hàm số học liên quan đến tính toán ước số nguyên, gắn với phép đếm số ước số dạng toán liên quan đến biểu diễn số nguyên trọng tâm khảo sát đẳng thức bất đẳng thức số học Luận văn nhằm mục đích tìm hiểu chi tiết tính chất hàm số học số dạng toán bất đẳng thức cực trị liên quan số học Ngoài phần Mở đầu Kết luận, luận văn chia thành ba chương đề cập đến vấn đề sau đây: Chương trình bày tốn đếm, ước lượng thứ tự Chương trình bày dạng bất đẳng thức tính tốn liên quan đến tập rời rạc hàm số học Chương trình bày số tốn cực trị đề thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic khu vực quốc tế liên quan đến bất đẳng thức số học Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Nhà giáo nhân dân, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới GS - Người thầy nghiêm khắc, tận tâm công việc truyền thụ nhiều kiến thức quý báu kinh nghiệm nghiên cứu khoa học cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu đề tài Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học iii Thái Nguyên, thầy cô giáo tham giảng dạy hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học toán K10C Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tập thể giáo viên tốn trường THPT Lý Nhân Tơng, thành phố Bắc Ninh gia đình tạo điều kiện cho tác giả có hội học tập nghiên cứu Chương Các tính tốn tập hữu hạn số nguyên 1.1 Số nguyên tính chất liên quan Trước tiên, ta xét số hàm số học Định nghĩa 1.1 (Hàm số Euler ϕ(n)) Cho số tự nhiên n ≥ Ta ký hiệu ϕ(n) số số tự nhiên bé n nguyên tố với n Quy ước ϕ(1) = Định lý 1.1 Hàm ϕ(n) có tính chất nhân tính theo nghĩa: Nếu a, b hai số nguyên tố ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) Chứng minh Rõ ràng ta giải thiết a > 1, b > Các số nguyên dương không vượt ab liệt kê sau: a+1 a+2 2a + 2a + ka + ka + (b − 1)a + (b − 1)a + a 2a 3a (k + 1)a ba Các số thành bảng có dạng ax + y , ≤ x ≤ b − 1, ≤ y ≤ a Xét số cột thứ y Ta có (ax + y, a) = (y, a) Vì số nguyên tố với ab nguyên tố với a b, số phải nằm cột thứ y mà (y, a) = Có thảy ϕ(a) cột Xét cột thứ y , với (y, a) = Các số cột y, a + y, 2a + y, , (b − 1)a + y Giả sử rx số dư chia ax + y cho b Như (ax + y, b) = (rx , b) Dễ dàng thấy (a, b) = nên rx1 = rx2 với x1 = x2 Như ta có đẳng thức tập hợp {r0 , r1 , , rb−1 } = {0, 1, , b − 1} Vậy số x mà (ax + y, b) = số x mà (rx , b) = tức ϕ(b) Vậy có ϕ(a)ϕ(b) số nguyên tố với a nguyên tố với b Đó số ngun tố với ab Nói cách khác ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) Từ định lý ta suy cơng thức tính ϕ(n) sau Định lý 1.2 Giả sử n = pα1 pαk k phân tích tiêu chuẩn n > Khi ϕ(n) = n − p1 1− 1 − p2 pk Chứng minh Theo định lý 1.1, ta có ϕ(n) = ϕ(pα1 ) ϕ(pαk k ) Định lý chứng minh ta chứng tỏ ứng với p số nguyên tố ϕ(pα ) = pα (1 − ) Thật vậy, p nguyên tố nên với k ≤ pα p (k, p) = k p Số số k ≤ pα bội p pα = pα−1 p Vậy ϕ(pα ) = pα − pα−1 = pα (1 − ) p Ví dụ 1.1 Với n = 360 = 23 32 ϕ(360) = 360 − 1− 1− = 96 Tầm quan trọng hàm ϕ(n) số học thể định lý Euler Sau suy rộng định lý Euler Định lý 1.3 (Định lý Euler mở rộng) Cho a m hai số tự nhiên Khi ta có am ≡ am−ϕ(m) (mod m) Chứng minh Ta phải chứng minh A = am − am−ϕ(m) = am−ϕ(m) (aϕ(m) − 1) chia hết cho m Giả sử m có phân tích tiêu chuẩn m = q1α1 q2α2 qkαk Ta chứng minh (a, qi ) = (aϕ(m) − 1) q αi , a q am−ϕ(m) q αi , A m Thật vậy, (a, qi ) = theo định lý Euler αi (aϕ(qi ) − 1) qiαi Mặt khác, ϕ(qiαi ) = qiαi (1 − ) qi ước ϕ(m) (suy từ cơng thức tính ϕ(m)) Do αi (aϕ(m) − 1) (aϕ(qi ) − 1) q αi Nếu a qi am−ϕ(m) q m−ϕ(m) Mặt khác, rõ ràng m − ϕ(m) ≥ αi (vì có αi số khơng nguyên tố với m q1α1 q2α2 qiαi ) Do am−ϕ(m) q m−ϕ(m) qiαi Định lý chứng minh Định lý 1.4 (Định lý Fermat) Cho p số nguyên tố a số nguyên không chia hết cho P ta có ap−1 ≡ (mod p) Chứng minh Theo giả thiết, ta có ϕ(p) = p − a nguyên tố với p nên theo định lý Euler ta ap−1 ≡ (mod p) Định lý 1.5 (Định lý Fermat dạng khác) Cho p số nguyên tố a số nguyên tùy ý ta có ap ≡ a (mod p) Chứng minh Nếu a chia hết cho p hiển nhiên ap ≡ a (mod p) Nếu a khơng chia hết cho p theo định lý 1.4 ta có ap−1 ≡ (mod p) sau nhân hai vế đồng dư thức với a ta ap ≡ a (mod p) Ngược lại từ định lý 1.5 ta suy định lý 1.4 Thật vậy, từ ap ≡ a (mod p) a số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p a nguyên tố với p nên cách chia cho a ta ap−1 ≡ (mod p) Chính vậy, người ta nói định lý 1.5 dạng khác định lý Fermat Ví dụ 1.2 Tìm số ngun x để 9x + tích hai số nguyên liên tiếp Lời giải Giả sử 9x + = n(n + 1) với n ∈ Z ⇒ 36x + 20 = 4n2 + 4n suy 36x + 21 = (2n + 1)2 ⇒ 3(12x + 7) = (2n + 1)2 Số phương (2n + 1)2 chia hết chia hết cho Mặt khác (12x + 7) không chia hết 3(12x + 7) không chia hết cho Mâu thuẫn chứng tỏ không tồn số nguyên x để 9x + = n(n + 1) Ví dụ 1.3 Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương x4 + 2x3 + 2x2 + x + Lời giải Đặt x4 + 2x3 + 2x2 + x + = y với y ∈ N Ta thấy y = (x4 + 2x3 + x2 ) + (x2 + x + 3) = (x2 + x)2 + (x2 + x + 3) Đặt x2 + x = a ta có y = a2 + (x2 + x + 3) Từ có y − a2 = x2 + x + = x+ 2 + 11 > ⇒ y > a2 + ⇒ (a + 2)2 > y Do a2 < y < (a + 2)2 ⇒ y = (a + 1)2 Dễ thấy (a + 2)2 − y = x + Suy x4 + 2x3 + 2x2 + x + = (x2 + x + 1)2 Suy x2 + x − = ⇒ x = 1; x = −2 Thử lại, với x = 1; x = −2 biểu thức = 32 Vậy x = 1; x = −2 giá trị cần tìm Ví dụ 1.4 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình xy = z (1.1) Lời giải Giả sử x0 , y0 , z0 thỏa mãn (1.1) có ƯSCLN d Giả sử x0 = dx1 , y0 = dy1 , z0 = dz1 (x1 , y1 , z1 ) thỏa mãn (1.1) Do đó, ta giả sử (x, y, z) = x, y, z đơi ngun tố hai ba số x, y, z có ước chung d số lại chia hết cho d Ta có x.y = z mà (x, y) = nên x = a2 , y = b2 với a, b ∈ N∗ Bởi (1.1) ⇔ z = x.y = (ab)2 ⇔ z = (ab) Như ta biểu thức nghiệm x = ta2 ; y = tb2 ; z = ab (t ∈ N∗ ) Ngược lại, dễ thấy số x, y, z có dạng thỏa mãn (1.1) Vậy công thức cho ta tất nghiệm nguyên dương (1.1) Ví dụ 1.5 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x2 + xy + y = x2 y (1.2) Lời giải (1.2) ⇔ x2 + 2xy + y = x2 y + xy ⇔ (x + y)2 = xy(xy + 1) Ta thấy xy xy + hai số nguyên liên tiếp nên: + Xét xy = 0, ta có xy = x2 + y = ⇔ x = y = + Xét xy + = 0, ta có : xy = −1 x2 + y = ⇔ (x, y) = (1, −1); (−1, 1) Thử lại, ba cặp số (0, 0); (1, −1); (−1, 1) thỏa mãn phương trình cho Vậy phương trình có ba nghiệm ngun (x, y) = (0, 0); (1, −1); (−1, 1) b Hàm tổng ước số tự nhiên Định nghĩa 1.2 (xem [2],[3]) Cho số nguyên dương n Ta ký hiệu σ(n) tổng ước n Định lý 1.6 (xem [2],[3]) Hàm số σ(n) có tính chất nhân tính theo nghĩa: Nếu a, b hai số nguyên tố σ(ab) = σ(a)σ(b) ... HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ HỒNG THÚY BẤT ĐẲNG THỨC TRONG SỐ HỌC VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... tập số nguyên 28 2.2 Bất đẳng thức lớp hàm số học 32 Chương Một số dạng toán liên quan 60 3.1 Các dạng toán bất đẳng thức số học qua kỳ Olympic 60 3.2 Các đề toán toán... số nguyên, gắn với phép đếm số ước số dạng toán liên quan đến biểu diễn số nguyên trọng tâm khảo sát đẳng thức bất đẳng thức số học Luận văn nhằm mục đích tìm hiểu chi tiết tính chất hàm số học