1 mở đầu Lý thuyết tập lồi bao lồi tập hợp vấn đề Toán học lý thú đ-ợc nhiều nhà toán học quan tâm, chẳng hạn [3, 4, 5, 7, 8,.] Trong [7] H Minkowski đà rằng: C tập Compact không gian tuyến tính thực hữu hạn chiều C bao lồi tập ®iĨm cùc biªn cđa nã (C convextC) Ta thấy C tập Compact kết C convextC không nữa, ví dụ đơn giản là: Nếu C tập mở khác rỗng tập điểm cực biên C tập rỗng, ta biểu diễn C qua tập điểm cực biên đ-ợc Do đó, vấn đề đặt tr-ờng hợp tổng quát thay tập điểm cực biên tập khác mà có biểu diễn t-ơng tự nh- kết H Minkowski [7] hay không Vấn đề đà đ-ợc Gs Hoàng Xuân Phú nghiên cứu [9] Trong luận văn này, sở đọc, tìm hiểu tài liệu tham khảo, chủ yếu báo Gs Hoàng Xuân Phú ([9] ) tìm hiểu đề tài "Sự biểu diễn tập lồi bị chặn bao lồi hữu tỉ điểm - cực biên" Khoá luận đ-ợc chia làm ch-ơng Ch-ơng Kiến thức chuẩn bị Trong ch-ơng đ-a định nghĩa, tính chất, ví dụ liên quan đến khái niệm nh-: Không gian mêtric, không gian định chuẩn, tập mở, tập đóng, tập lồi, tập bị chặn, điểm biên Ch-ơng Sự biểu diễn tập lồi bị chặn bao lồi hữu tỉ điểm - cực biên Mục đích ch-ơng tìm hiểu điểm - cực biên, tính chất liên quan đến khái niệm điểm - cực biên biểu diễn tập lồi bị chặn qua tập điểm - cực biên chúng Khoá luận đ-ợc thực tr-ờng Đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn Thạc sỹ Nguyễn Hữu Quang Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy nhiệt tình h-ớng dẫn đà dành cho suốt trình hoàn thành khoá luận 2 Nhân dịp này, xin cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy giáo, cô giáo khoa Toán tr-ờng Đại học Vinh, gia đình bạn bè đà tạo điều kiện thuận lợi để đ-ợc học tập hoàn thành khoá luận Trong trình hoàn thành luận văn, đà cố gắng, song luận văn nhiều sai sót, nên mong nhận đ-ợc ý kiến đóng góp từ thầy giáo, cô giáo, bạn sinh viên nh- tất bạn đọc khác để đề tài đ-ợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Vinh, tháng năm 2009 Tác giả Ch-ơng kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian mêtric Định nghĩa 1.1 Không gian mêtric cặp , , đó: tập hợp : R hàm số xác định thoả mÃn điều kiện sau: 1) (x, y) , víi mäi x, y , (x, y) x y 2) (x, y) ( y, x) víi mäi x, y 3) (x, z) (x, y) ( y, z) , víi mäi x, y, z §iỊu kiƯn: 1) gọi tiên đề đồng 2) gọi tiên đề đối xứng 3) gọi tiên đề tam giác gọi không gian mêtric Mỗi phần tử gọi điểm , ( x, y) khoảng cách ®iĨm x, y VÝ dơ 1.1 TËp hỵp số thực R tập hợp số phức C không gian mêtric, với mêtric (x, y) x y , x, y R (hoặc C ) Không gian Ơclit (Euclide) R k không gian mêtric với mêtric xác định nhsau: NÕu x (x1 , ,x k ) vµ y ( y1 , ,y k ) hai phần tư cđa Rk th× 1/ k 2 ( x , y) x i y i i 1 Gäi Ca, b tập hợp hàm số thực liên tục khoảng đóng hữu hạn a, b Dễ dàng chứng minh đ-ợc Ca, b không gian mêtric, víi mªtric (x, y) sup x (t ) y(t ) , x, y Ca, b a t b Định nghĩa 1.2 DÃy {x n } phần tử không gian mêtric , đ-ợc gọi hội tụ đến phần tử x0 cña nÕu lim ( x n , x ) n Khi ®ã, ta viÕt lim x n x hc x n x n x gäi lµ giới hạn dÃy {x n } Mệnh đề 1.1 a) DÃy hội tụ không gian mêtric có giới hạn b) Trong không gian mêtric , nÕu lim x n a vµ lim y n b th× n n lim ( x n , y n ) (a, b) n Chøng minh a) ThËt vậy, giả sử lim x n a lim y n b n n Khi ®ã (a, b) (a, x n ) (x n , b) , víi mäi n V× lim (a, x n ) vµ lim ( x n , b) nên từ bất đẳng thức suy n n (a, b) tøc a b b) Với n, ta cã (a, b) (a, x n ) (x n , y n ) ( y n , b) Tõ ®ã (a, b) (x n , y n ) (a, x n ) ( y n , b) Chứng minh t-ơng tự, ta đ-ợc (x n , y n ) (a, b) (a, x n ) ( y n , b) Từ hai bất đẳng thức suy (x n , y n ) (a, b) (a, x n ) ( y n , b) V× lim (a, x n ) vµ lim ( y n , b) , nên từ bất đẳng thức suy n n lim ( x n , y n ) (a, b) n Định nghĩa 1.3 Giả sử , không gian mêtric, x r số d-ơng Tập hợp B(x , r) x : (x, x ) r gọi hình cầu mở tâm x bán kính r Tập hợp B(x , r) x : (x, x ) r gọi hình cầu đóng tâm x bán kính r Định nghĩa 1.4 Giả sử tập hợp không gian mêtric , Điểm x gọi điểm tập hợp tồn hình cầu B( x , r ) t©m x chøa Tập G đ-ợc gọi tập mở điểm G điểm (hiển nhiên, không gian tập mở) Mệnh đề 1.2 Hình cầu mở tập hợp mở Chứng minh Thật vậy, giả sử x điểm hình cầu mở B( x , r ) Khi ®ã (x, x ) r , ®ã: r (x, x ) Gäi số d-ơng nhỏ r (x, x ) Khi ®ã: B(x, ) B(x , r) ThËt vËy, nÕu u B(x, ) th× ( x o , u ) ( x , x ) ( x, u ) (x , x) r Tõ ®ã u B(x , r) MƯnh ®Ị 1.3 a) Hợp họ tuỳ ý tập hợp mở tập hợp mở b) Giao số hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở 6 Định nghĩa 1.5 Tập hợp không gian mêtric gọi đóng phần bù C \ tập hợp mở Nhận xét 1.1 - Không gian tập hợp đóng - Hình cầu đóng tập hợp đóng Mệnh đề 1.4 a) Giao họ tuỳ ý tập hợp đóng tập hợp đóng b) Hợp họ hữu hạn tập đóng tập hợp đóng Mệnh đề 1.5 Tập hợp F không gian mêtric đóng với dÃy {x n } phần tử F , lim x n x th× x o F n Định nghĩa 1.6 - Hợp tất tập hợp mở chứa gọi phần tập hợp , kí hiệu Int - Giao tất tập hợp đóng chứa gọi bao đóng tập hợp , kí hiệu Nhận xét 1.2 1) Phần tập hợp tập hợp mở, tập hợp mở lớn chứa 2) Tập hợp mở Int 3) NÕu Int Int Giả sử tập hợp không gian mêtric Nhận xét 1.3 - Vì tập hợp đóng chứa nên bao đóng tập hợp luôn tồn - tập hợp đóng tập hợp đóng nhỏ chứa - Một tập hợp đóng vµ chØ - NÕu Mệnh đề 1.6 Giả sử tập hợp không gian mêtric x X Khi x lân cËn U cđa x ®Ịu cã ®iĨm chung víi Chøng minh NÕu x A th× U \ lân cận x điểm chung với Đảo lại, tồn lân cận U x cho U X \ U tập hợp đóng chứa Do \ U VËy x Định lí 1.1 Giả sử tập hợp không gian mêtric x Khi x tồn dÃy {x n } phần tử cña cho lim x n x n Chøng minh NÕu {x n } lim x n x , mệnh đề 1.5 suy x Đảo lại, giả sư n x Theo mƯnh đề 1.6, với n, S( x, ) n Gäi x n lµ mét ®iĨm cđa n»m S( x, ),{x n } dÃy điểm n lim x n x n Định nghĩa 1.7 _ - Gi¶ sư ( , T) không gian tôpô, X TËp hỵp X \ A gọi biên tập hợp - Giả sử tập hợp không gian tôpô Điểm x gọi điểm tụ tập hợp nÕu x \ x NhËn xÐt 1.4 - Điểm x thuộc lân cận U điểm x ta có: U U \ - §iĨm x điểm tụ tập hợp lân cận U x ®Ịu chøa Ýt nhÊt mét ®iĨm y cđa kh¸c điểm x Mệnh đề 1.7 Giả sử tập hợp không gian tôpô Khi a) Int \ b) c) ( ) d) ( ) e) ( \ ) 1.2 Kh«ng gian định chuẩn Định nghĩa 1.8 Cho - không gian vectơ Một chuẩn hàm x x từ vào R thoả mÃn ®iỊu kiƯn sau víi mäi x, y X , mäi 1) x 0, x nÕu vµ chØ nÕu x ; 2) x x ; 3) x y x y Không gian định chuẩn không gian vectơ với chuẩn Ví dụ 1.2 a) Hµm :R R x (x) x x chuẩn R b) Hàm : R n R x (x) max x i , i 1, n còng chuẩn R c) Xét không gian vectơ n Với x (x1 , ,x n ) đặt: 1/ n x xi i 1 n , x xi ; i 1 x sup x i 0i n Ta nhận đ-ợc ba chuẩn khác n Các chuẩn t-ơng đ-ơng với Mệnh đề 1.8 Chuẩn x x hàm liên tục từ vào R Mệnh đề 1.9 Giả sử không gian định chuẩn Khi ánh x¹ (x, y) x y tõ X vµo vµ ( , x) x tõ X vào liên tục Mệnh đề 1.10 Giả sử không gian định chuẩn Khi với a X ánh xạ x a x phép đồng phôi đẳng cự ( tức bảo tồn khoảng cách) từ lên với K, ánh xạ x x phép đồng phôi lên Từ tính chất ta rút hệ Hệ quả1.1 Giả sử không gian định chuẩn Khi điều kiện sau t-ơng đ-ơng a) U lân cận điểm b) U lân cận điểm víi mäi c) a U lµ l©n cËn cđa a víi mäi a 1.3 Mêtric sinh chuẩn Định lí 1.2 Nếu x x chuẩn d( x, y) x y mêtric Mêtric thoả mÃn d(x z, y z) d(x, y) vµ d(x, y) d(x, y) víi mäi x, y, z , Chứng minh Giả sử hàm : R x x x lµ mét chuÈn 10 Hàm d(x, y) x y x y , x, y mêtric Thật vậy, từ điều kiện chuẩn ta có: x y 0, x, y vµ x y x y x y (1) d(x, y) x y x y = y x dy, x (2) Víi bÊt k× x, y, z ta cã: d(x, y) x y x y x z z y x z z y dx, z dz, y (3) Tõ (1), (2), (3) suy d( x, y) x y mêtric Mặt khác d(x z, y z) (x z) ( y z) x y d(x, y) dx, y x y (x y) x y dx, y Víi mäi x, y, z , Định nghĩa 1.9 - Cho C bÊt kú låi kh¸c rỉng cđa , ®ã: diamC : supd(x, y) : x, y đ-ợc gọi đ-ờng kính C C đ-ợc gọi bị chặn diamC - Tập hợp không gian vectơ đ-ợc gọi lồi vectơ x, y vµ mäi sè thùc 0,1 ®Òu cã x 1 y - TËp x 1 y : 0,1 vµ tËp x 1 y : 0,1 đ-ợc gọi đoạn khoảng nối x y - Cho tập không gian , giao tất tập lồi chứa đ-ợc gọi bao lồi ký hiệu conv(A) Mệnh đề 1.11 Nếu tập lồi, đóng bị chặn không gian định chuẩn X conv() , A tập điểm biên 11 Chøng minh DƠ thÊy A ®ãng nên A A nên conv() Ng-ợc lại x int , ta chứng minh x conv(A ) Qua x vẽ đ-ờng thẳng d bất kỳ, đóng, lồi bị chặn nên d phải cắt biên điểm P, Q cho x P, Q Tõ ®ã suy x conv(A) VËy conv() 12 CH-¬ng Sù biĨu diƠn cđa tËp låi bị chặn BởI bao lồi hữu tỉ TậP điểm - cực biên 2.1 Điểm cực biên điểm gamma - cực biên Trong suốt ch-ơng này, ta giả thiết ( ,d) không gian Mêtric tun tÝnh víi dim = n, C lµ tËp lồi, khác rỗng bị chặn (diamC ) Gi¶ sư x, y , ta ký hiƯu: x, y : convx, y, x, y : x, y \ y, x, y : x, y \ x Định nghĩa 2.1 - Điểm x C đ-ợc gọi điểm cực biên C x y, z C kÐo theo x y hc x z Tập điểm cực biên C đ-ợc ký hiệu extC - Giả sử số thực d-ơng cố định, điểm x C đ-ợc gọi điểm - cực biên cña C nÕu x y, z C kÐo theo d(x, y) hc d(x, z) Tập điểm - cực biên C đ-ợc ký hiệu ext C Ví dụ 2.1 NÕu C a, b R vµ b a, extC a, b, ext C a, a b , b Gi¶ sư r , chuẩn Ơclít, d( x, y) x y Th× ext x, r Sx, r ext x, r x, r \ x, ext x, r x, r \ x, r , r2 r x 13 Mệnh đề 2.1 Giả sử S phẳng giá tập lồi C ext C S extC S, ext C S ext C S ( Xem [6], bỉ ®Ị 4.1, p 37) Khẳng định sau mối quan hệ điểm cực biên điểm - cực biên Định lý 2.1 Giả sử C lồi 1) extC ext C ext C C 2) extC ext C vµ chØ C điểm 3) Nếu diamC / th× ext C ext C C , ng-ợc lại ext C ext C C 2 th× diamC / Chứng minh 1) Theo định nghĩa suy extC C , ext C C Gi¶ sư x ext C , suy tån t¹i y, z C cho x y, z , d(x, y) vµ d(x, z) , nªn x y, z , d(x, y) vµ d(x, z) , nên x extC , nghĩa extC ext C Gi¶ sư x ext C , suy tån t¹i y, z C cho x y, z , d(x, y) d(x, z) , nên x y, z , d(x, y) d(x, z) , nên x ext C , nghÜa lµ ext C ext C VËy extC ext C ext C C 2) Nếu C tập điểm extC C, ext C C nªn extC ext C Ng-ợc lại, extC ext C ta chøng minh C lµ tËp mét ®iĨm 1 14 a) NÕu C [ y, z] extC {y, z} , ta lÊy d( y, z) / vµ x trung điểm [ y, z] ext C [ y, z] \ B( x, 1) extC , t-¬ng tù C ]y, z], C ]y, x[ không thoả mÃn giả thiết extC ext C b) NÕu dim( C) k , giả sử x điểm C, ký hiệu P1 phẳng giá C qua x, đặt C1 C P1 , C1 tập lồi, bị chặn dim C1 k áp dụng Mệnh đề 2.1 ta cã extC1 ext C1 TiÕp tôc lý luËn nh- trªn, cuèi cïng ta cã tËp C k có chiều 1, lồi bị chỈn extCk 1 ext Ck 1 Suy C k 1 lµ y, z, y, z, y, z , thuộc dạng từ kết phần a) suy extC ext C , mâu thuẫn Vậy C không chứa điểm nào, hay C tập rời rạc, mà C lồi nên C tập điểm 3) - Nếu diamC / , x điểm thuộc C, giả sử y, z hai ®iÓm bÊt kú thuéc C cho x y, z , ta cã d( y, z) diamC suy d(x, y) diamC / , hc d(x, z) diamC / , suy d(x, y) hc d(x, z) , ®ã C ext C , kÕt hợp với kết suy ext C ext C C - NÕu ext C ext C C , giả sử ng-ợc lại diamC / , tồn y, z C cho d( y, z) 2 XÐt trung ®iĨm x cđa y, z , C låi nªn x C nh-ng x ext C , nghÜa lµ C ext C trái với giả thiết, diamC / 1 Mệnh đề 2.2 Giả sử C lồi x ext C Khi chóng ta cã mét sè kÕt luËn sau: (a) Tån t¹i cho x, C ext C ; (b) NÕu y riC lóc ®ã cã x , x, y víi x, x' ext C riC ; (c) ext C ext C riC 0, víi 15 Chøng minh - (a) Giả sử ng-ợc lại với i , i 1,2, víi i i vµ lim i 0, tån i t¹i x i x, i C \ ext C lóc ®ã chóng ta cã thĨ chän y i vµ y'i C víi x i yi , yi ' vµ dyi , x i dx i , yi ' HiÓn nhiên, y i y'i chứa tập compăc C B(x, 1 ) V× vËy không tính tổng quát giả thiết lim yi y C , lim y'i y' C i i Tõ ®ã, x y, y' vµ dy, x dx, y' , điều mâu thuẩn với x ext C - (b) Bởi C lồi, x ext C C vµ y riC Ta cã x, y riC (b) đạt đ-ợc nÕu x, x' : x, y x, , cho câu (a) - (c) Giả sử z ext C Vì riC , lÊy bÊt kú mét y riC , lúc từ (b) suy có tồn z' x, z víi z, z' ext C riC HiĨn nhiªn z z, z' (0, ) (ext C riC) (0, ' ) Định lý 2.2 Giả sử C tập lồi không gian tuyến tính định chuẩn d( x, y) x y th× lim (ext C riC) ext C, i.e., tån t¹i cho 0 0, tøc lµ ext C riC ext C (0, ) vµ ext C (ext C riC) (0, ) Tr-íc hÕt ta chøng minh Bỉ ®Ị: Bỉ ®Ị 2.1 Víi giả thiết định lý 2.2, tồn sè mµ nã chØ phơ thc vµo sè chiỊu n' cña bao afin affC cho (x, ) ext C với x ext C riC Chøng minh Gi¶ sư x ext C riC B©y giê chóng ta chøng minh r»ng (x, (n'1) ) ext C (1) 16 Giả sử ng-ợc lại (x, (n'1) ) ext C V× : (x, (n'1) ) C compăc, theo định lý Minkowski [7] suy x convext A Theo định lý m [1] Caratheodory, x i x i , m n'1, x i ext, i 0, víi i 1,2, ,m i 1 m vµ i i 1 NÕu d(x, x i ) (n'1) víi mét sè i nµo đó, lúc từ định nghĩa x ext C , mà mâu thuẩn với (x, (k 1) ) ext C Vì vậy, d(x, x i ) (n'1) phải có i 1,2, ,m Hơn nữa, tồn Ýt nhÊt mét i víi i / m Không tính tổng quát, giả sử i / m m Đặt y : ( i x i ) /(1 1 ) , lóc ®ã y C vµ x 1x1 (1 1 ) y Tõ ®ã i2 d ( x , y) 1 (n '1) d ( x , x1 ) 1 m 1 V× x riC, {x1 , y} C, d(x, x1 ) (n'1) , d(x, y) , tồn x'1 x1 , x vµ y' x, y cho x x'1 , y' C, d(x, x'1 ) d(x, y' ) , điều mâu thuẩn với x ext C Vì vậy, (1) phải Tóm lại cách chọn n'1 có khẳng định bổ đề 2.1 Chứng minh định lý 2.2 Nếu x ext C riC , tõ bé ®Ị cã đ-ợc tồn z (x, ) ext C Râ rµng, d(x, z) vµ z ext C, i.e, x ext C (0, n ) Cho nªn, ext C riC ext C (0, ) Vì vậy, cách chọn / theo định lý 2.1, chóng ta cã ext C riC ext C riC ext C (0, ) ext C (0, ) 0, Mặt khác, từ mệnh đề 2.2 suy ext C (ext C riC) (0, ) Từ đó, định lý đ-ợc chứng minh đầy đủ 17 2.2 Sự biểu diễn tập lồi bị chặn Định nghĩa 2.2 k k i 1 i 1 raco : { i x i : x i , i Q ,1 i k n 1, i 1} đ-ợc gọi bao lồi hữu tỉ X NhËn xÐt 2.1 1) Ta cã raco lµ trï mËt conv (theo định lý caratheodory [1]) 2) lồi vµ chØ conv 3) raco không suy đ-ợc tính lồi Chẳng hạn, racoQ Q , Q tập lồi Mệnh đề 2.3 Nếu tập đóng không gian låi vµ chØ raco Chứng minh Nếu lồi, raco conv , nghÜa lµ raco Mặt khác, raco , raco conv , nghÜa lµ tập lồi Định lý 2.3 Nếu C tập lồi bị chặn raco(ext C) C Chứng minh a) Đầu tiên, chøng tá r»ng y int C suy y raco(ext C) C compăc, theo ®Þnh lý Minkowski, ta cã y conv(ext C) , nghÜa lµ k y { i x i } , i k i 1, i i 1 vµ x i ext C víi i k n Từ mệnh đề 2.1, tồn x 'i víi x i , x'i x i , y ext C, i k Rõ ràng, tồn số hữu tỉ d-ơng q i cho 18 x"i : i qi x i (1 i qi k k j1 i 1 ) y x i , x 'i ext C Cho pi : q i / q j Q , ta cã y pi x i " Tõ ®ã, y raco(ext C) C b) Chúng ta quay lại khẳng định định lý 2.3 V× raco(ext C) C , ta chØ cần chứng minh y C dẫn đến y raco(ext C) Chúng ta làm điều ph-ơng pháp quy nạp theo chiều Víi n 1, y ext C y int C Vì vậy, khẳng định có từ a) Giả sử khẳng định có đ-ợc với n k B©y giê chóng ta chøng minh với n k Vì a) ta cần kiểm tra tr-ờng hợp y C đây, tồn mặt phẳng giá S cđa C víi y C S vµ dim( C S) k V× vËy, theo giả thiết quy nạp mệnh đề 2.1 suy y raco(ext (C S)) raco(ext C S) raco(ext C) Tõ ®ã, khẳng định định lý 2.3 đ-ợc chứng minh Từ khẳng định ta suy đ-ợc kết sau: Hệ 2.1 tập lồi bị chỈn cđa C gåm cã Ýt nhÊt mét điểm cực biên C conv(ext C) 19 Kết luận Khoá luận nghiên cứu điểm cực biên ứng dụng việc biểu diễn tập lồi bị chặn Các kết - Thiết lập đ-ợc mối quan hệ điểm cực biên điểm cực biên (định lý 2.1) - Thiết lập đ-ợc biểu diễn tập lồi bị chặn bao lồi hữu tỉ điểm cực biên (định lý 2.3) bao lồi điểm cực biên (hệ 2.1) 20 Tài liệu tham khảo Tiếng việt Nguyễn Xuân Liêm, Tô pô đại c-ơng - Độ đo tích phân, NXB Giáo dục Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, NXB Giáo dục Phan Huy Khải - Đỗ Văn L-u, Giải tích lồi, NXB Giáo dôc TiÕng anh C Caratheodory, Uber den Variablitatsbereich der Fourierschen Konstanten Von positiven haeinonischen Funktionen, Rend, Cire, Mat Palermo 32 (1911), 193 - 127 K Jacobs, Extremalpunkte, konvexer Mengen, in Selecta Mathematica III, Springer - Verlag, Berlin - Heidelberg - new York, 1971 V L Klee, extremal structures of convex sets I, Arch Math (1957), 234 240 V L Klee, extremal structures of convex sets II, Math Z 69 (1958), 90 - 104 M G Krein and D P Milman, On extreme points of regulary convex sets Studia Math (1940), 133 - 138 K LeichtweiB Konvexe Mengen, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1980 10 H Minkowski, Gesammelte Abhandlungen, Leipzig und Berlin, 1911 11 S Starszewicz, Uber exponierte Punkte abgeschlossener Punktmengen Fund, Math 24 (1935), 139 - 143 12 Numer Funct Anal And optimiz., 15(7&8), 915 - 920 (1994) ... đóng, lồi bị chặn nên d phải cắt biên điểm P, Q cho x P, Q Tõ ®ã suy x conv(A) VËy conv() 12 CH-¬ng Sự biểu diễn tập lồi bị chặn BởI bao lồi hữu tỉ TậP điểm - cực biên 2.1 Điểm cực. .. Thiết lập đ-ợc mối quan hệ điểm cực biên điểm cực biên (định lý 2.1) - Thiết lập đ-ợc biểu diễn tập lồi bị chặn bao lồi hữu tỉ điểm cực biên (định lý 2.3) bao lồi điểm cực biên (hệ 2.1) 20... kết sau: Hệ 2.1 tập lồi bị chặn C gồm có điểm cực biên C conv(ext C) 19 KÕt luËn Kho¸ luận nghiên cứu điểm cực biên vµ øng dơng cđa nã viƯc biĨu diƠn mét tập lồi bị chặn Các kết - Thiết