Nửa nhóm 0 đơn hoàn toàn với biểu diễn hữu hạn luận văn thạc sỹ toán học

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN SỸ TAM NỬA NHĨM O – ĐƠN HỒN TOÀN VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN SỸ TAM NỬA NHĨM O – ĐƠN HỒN TỒN VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60.46.05 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS LÊ QUỐC HÁN NGHỆ AN - 2011 MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG NỬA NHĨM – ĐƠN HỒN TỒN 1.1 Nửa nhóm – đơn hoàn toàn 1.2 Nửa nhóm ma trận nhóm với phần tử không 1.3 Biểu diễn nửa nhóm – đơn hồn tồn nửa nhóm ma trận Rixơ 11 CHƢƠNG NỬA NHÓM – ĐƠN HOÀN TOÀN VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN 14 2.1 Nửa nhóm tự Vị nhóm tự 14 2.2 Biểu diễn mơ tả nửa nhóm 17 2.3 Nửa nhóm – đơn hoàn toàn với biểu diễn hữu hạn 24 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 LỜI NÓI ĐẦU Giả sử S nửa nhóm Khi tồn bảng chữ A tƣơng đẳng  A+ cho S  A+ /  , A+ nửa nhóm tự sinh A Giả sử R quan hệ hai A+ cho tƣơng đẳng sinh R  Khi cặp đƣợc gọi biểu diễn nửa nhóm S ta ký hiệu P(S) = Một nửa nhóm S thừa nhận nhiều biểu diễn khác nhau, biểu diễn hữu hạn (nghĩa A R tập hữu hạn) đƣợc xem tốt Tuy nhiên, nửa nhóm tùy ý, khơng phải tồn biểu diễn hữu hạn Mục đích luận văn dựa cơng trình “Presentations of semigroups and Inverse semigroups” tác giả Catarina Carvalho Trƣờng Đại học Tổng hợp St Andrew xuất năm 2003 để tìm hiểu vấn đề: Với điều kiện nửa nhóm - đơn hoàn toàn biểu diễn hữu hạn đƣợc Ngoài chúng tơi có tham khảo thêm báo "Completely simple semigroups with nilpotent structure groups" tác giả P Moravec đăng tạp chí Semigroup Forum số 77 năm 2008 Luận văn đƣợc chia làm chƣơng Chƣơng Nửa nhóm - đơn hồn tồn Trong chƣơng chúng tơi trình bày kiến thức nửa nhóm - đơn hồn tồn, nửa nhóm ma trận nhóm với phần tử không, Định lý Rixơ biểu diễn nửa nhóm – đơn hồn tồn ma trận Chƣơng Nửa nhóm - đơn hồn tồn với biểu diễn hữu hạn Đây nội dung luận văn Tiết Hệ thống khái niệm tính chất liên quan đến nửa nhóm tự vị nhóm tự Tiết Trình bày biểu diễn mơ tả nửa nhóm Tiết Trình bày nửa nhóm - đơn hồn toàn với biểu diễn hữu hạn Luận văn đƣợc thực hoàn thành trƣờng Đại học Vinh Nhân dịp tác giả xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán, ngƣời hƣớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Tác giả cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa Sau Đại học nhƣ thầy giáo, cô giáo ộ môn Đại số tạo điều kiện giúp đỡ hƣớng dẫn tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận đƣợc đóng góp q báu thầy, giáo bạn đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn Nghệ An, tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG NỬA NHĨM - ĐƠN HỒN TỒN 1.1 NỬA NHĨM - ĐƠN HỒN TỒN Giả sử E tập hợp tất lũy đẳng nửa nhóm S Trên E xác định quan hệ  cho e  f ef = fe = e Thế  thứ tự phận E Nếu S chứa phần tử zero  e với e  E Lũy đẳng f thuộc nửa nhóm S đƣợc gọi nguyên thủy f  e  f kéo theo e = e = f 1.1.1 Định nghĩa (i) Nửa nhóm S (khơng chứa phần tử zero 0) đƣợc gọi đơn S khơng chứa iđêan thực hai phía (ii) Nửa nhóm S với phần tử zero đƣợc gọi nửa nhóm - đơn S2  {0} S chứa hai iđêan {0} S (iii) Nửa nhóm S với phần tử zero đƣợc gọi nửa nhóm đơn (0 - đơn) hồn tồn S nửa nhóm đơn (0 - đơn) chứa lũy đẳng nguyên thủy Từ Định nghĩa 1.1.1 suy nửa nhóm đơn (0 - đơn) hữu hạn đơn (0 - đơn) hoàn toàn Thật vậy, S hữu hạn nên S chứa lũy đẳng, E = E(S)   Hơn E  {0} trái lại phần tử S lũy linh, (vì S hữu hạn) nên S nửa nhóm lũy linh (nghĩa tồn số nguyên dƣơng n để Sn = 0, trái với giả thiết S2 = S Khi tập hữu hạn thứ tự phận E \{0} chứa phần tử tối tiểu lũy đẳng nguyên thủy) Từ Định nghĩa 1.1.1 trực tiếp suy ra: Nếu S nửa nhóm - đơn S\{0} nửa nhóm đơn S 1.1.2 Định nghĩa (i) Giả sử S nửa nhóm khơng chứa phần tử M iđêan S Khi M đƣợc gọi iđêan tối tiểu khơng chứa iđêan thực S (ii) Giả sử S nửa nhóm với phần tử M iđêan S Khi M đƣợc gọi iđêan - tối tiểu M  {0} {0} iđêan thực S đƣợc chứa M 1.1.3 Mệnh đề [1] Giả sử S nửa nhóm - đơn Khi S nửa nhóm - đơn hồn tồn S chứa iđêan trái - tối tiểu iđêan phải - tối tiểu 1.1.4 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Ta định nghĩa quan hệ L, R, T H S nhƣ sau: aL b  S1a = S1b aRb  aS1 = bS1 aT b  S1a S1 = S1b S1 S1a, aS1, S1a S1 iđêan trái, phải iđêan S sinh a Khi quan hệ L, L0R = R, T quan hệ tƣơng đƣơng S, R0L Thế D := L0R (= R0L ) H := L  R quan hệ tƣơng đƣơng S L, R, T, D H đƣợc gọi quan hệ Grin nửa nhóm S 1.1.5 Định nghĩa Một nửa nhóm S đƣợc gọi D – đơn song đơn S gồm D – lớp Ta ý nửa nhóm đơn trái (phải) gồm L – lớp (tƣơng ứng R – lớp) nửa nhóm đơn gồm T – lớp Vì D đơn Hơn R   T nên nửa nhóm song đơn nửa nhóm D, L  D nên nửa nhóm đơn phải nửa nhóm đơn trái song đơn 1.1.6 Mệnh đề Mỗi nửa nhóm - đơn hồn tồn - song đơn quy Chứng minh Giả sử S nửa nhóm - đơn hồn tồn Giả sử a b phần tử khác thuộc S Ta chứng tỏ aDb Thật vậy, S hợp iđêan trái (phải) - tối tiểu S nên a thuộc iđêan trái - tối tiểu L S b thuộc iđêan phải - tối tiểu R S Khi L = Sa R = bS Ta có La=L\0 Rb=R\0 Từ a thuộc L b thuộc R suy bSa  R  L Vì S nửa nhóm - đơn a  0, b  nên SaS = S SbS = S Do S = S2 = SbSSaS  S (bSa) S, nên bSa  Vì Rb  La chứa tập khác rỗng bSa\0 nên aDb Theo định nghĩa nửa nhóm - đơn hoàn toàn, D - lớp S\0 chứa lũy đẳng (nguyên thủy) Theo định nghĩa phần tử S\0 quy Vì quy nên S nửa nhóm quy Ta nhắc lại nửa nhóm bixyclic vị nhóm C = C(p,q) sinh hai ký hiệu p, q cho hệ thức xác định pq = 1.1.7 Định lý Nửa nhóm bixyclic C = C (p,q) nửa nhóm ngược song đơn chứa đơn vị Các lũy đẳng phần tử en = qnpn (n = 0,1,2,…) Chúng thỏa mãn bất đẳng thức = e0 > e1 > e2 > … > en > en+1 > …, C khơng chứa lũy đẳng nguyên thủy Chứng minh Thử đƣợc hai phần tử qkpl qmpn thuộc nửa nhóm C (k, l, m, n số nguyên không âm) nhân với nhƣ sau: (qkpl) (qmpn) = qipj, đó, i = k + m - (l, m), j = l + n - (l, m) Chú ý i  k Do i  k qipj thuộc iđêan bên phải R(qkpl) sinh phần tử qkpl Đảo lại, i  k qipj  R(qkpl); cần lấy m = l + i - k, n = j Nếu ta viết phần tử thuộc C thành bảng q q2 p qp q2p p2 qp2 q2p2 mơ tả R(qkpl) nhƣ hợp tập tất dòng bảng dòng thứ k + trở xuống Từ suy R - lớp chứa qkpl trùng với dòng thứ k + Tƣơng tự L - lớp chứa qkpl trùng với cột thứ l + Vậy R - lớp nửa nhóm C dịng, cịn L - lớp C cột bảng Do H - lớp C tập gồm phần tử Vì R - lớp giao với L - lớp nên D - lớp C C, C song đơn Bây giả thiết qmpn lũy đẳng Khi qmpn = qipj với i = 2m - min(m, n) j = 2n - min(m, n) Từ suy m = i n = j Điều kéo theo m = min(m, n) n = min(m, n), tức m = n Đảo lại, dễ thấy en = qnpn lũy đẳng Nếu m < n tính tốn trực tiếp ta thấy emen = enem = en, nên em  en Mà em  en m  n Do m < n kéo theo em > en rõ ràng khơng chứa lũy đẳng ngun thủy Vì C chứa lũy đẳng gồm D - lớp nên C qui Vì emen = enem = en với m < n nên lũy đẳng C giao hốn với nhau, C nửa nhóm ngƣợc 1.2 NỬA NHĨM MA TRẬN TRÊN MỘT NHĨM VỚI PHẦN TỬ KHƠNG 1.2.1 Định nghĩa Giả sử G nhóm, G0 = G 0 nhóm với phần tử khơng thu đƣợc từ G cách ghép thêm phần tử không (  G ) Giả sử I  tập tùy ý Ta định nghĩa I X  ma trận Rixơ G0 ánh xạ I G0 cho (i, ) ai có khơng q phần tử a i khác không Nếu a  G, i  I,     a i I X  ma trận Rixơ G0 có a nằm dịng i cột  cịn vị trí khác Với i  I,    ký hiệu  i I X  ma trận không, ký hiệu 10 Bây giả sử P =  p i  X I ma trận tùy ý nhƣng cố định G0 Ta dùng P để định nghĩa phép tốn hai ngơi (o) tập I X  ma trận Rixơ G0 nhƣ sau: AoB = APB Nếu A B I X ma trận Rixơ G0 Ao Thật vậy, A =  a i , B =  b  j  a i o  b  j =  ap b  j j , (a, b  G; i, j  I;  ,    ) (1) Hơn nữa, phép toán (o) có tính kết hợp: Ao(BoC) = AP(BPC) = (APB)PC = (AoB)oC Vì tập tất I X ma trận Rixơ G0 nửa nhóm phép tốn (o); gọi nửa nhóm I X  ma trận Rixơ nhóm với phần tử không G0 với ma trận đệm P, ký hiệu M (G; I,  ; P) Khi G đƣợc gọi nhóm sở M 1.2.2 Mệnh đề Nửa nhóm I X  ma trận Rixơ M (G; I,  ; P) nhóm với phần tử không G0 với ma trận đệm P nửa nhóm quy dịng cột P chứa phần tử khác không Chứng minh Giả sử P =  p i ; a, b  G; i, j  I;  ,    Khi  a i o  b  j  o  a i =  ap j bpi a  Vế phải  a i p j bpi  a 1 i Với  a i cho, tồn phần tử  b i nhƣ thuộc M p j  0 pi  với j  I,    đó, điều xảy dòng thứ  cột thứ i P chứa phần tử khác không G0  Do Mệnh đề 1.2.2, ta gọi ma trận P nhóm với phần tử khơng quy dòng cột P chứa phần tử khác không 22 Thật vậy, giả sử M = {a, a2, …, an, …, an+r-1} nửa nhóm đơn diễn cấp n + r – chu kỳ n, đƣợc sinh a Khi r số nguyên dƣơng nhỏ nhất, k, cho ak đƣợc lặp lại, n+r lũy thừa lặp lại r, M thỏa mãn hệ thức ar = an+r Giả thiết M thỏa mãn hệ thức a p1  a p2 , giả thiết a p2 lặp lại a p1 Chúng ta chứng tỏ hệ thức hệ hệ thức ar = an+r Nếu p1 = p2 a p1  a p2 , suy kết cần chứng minh Do giả thiết p2 > p1 mà khơng tính tổng quát Chúng ta chứng minh khẳng định sau đây: Nếu p1, p2  r p1  p2 (mod n) a p1  a p2 đƣợc dẫn xuất từ an+r = ar Thật trƣờng hợp viết p2 – p1 = kn với k  N Thế a p1  a kn p2  a knr a p2 r  a( k 1) n a nr a p2 r  a( k 1) n a r a p2 r  a( k 2) n a nr a p2 r  a( k 2) n a r a p2 r  …  a r a p2 r  a p2 , kết luận đƣợc a p1  a p2 đƣợc dẫn xuất từ an+r = ar Vì r lũy thừa nhỏ a đƣợc lặp lại M nên p1  r Nhƣ p1, p2  r Giả thiết n ƣớc p2 – p1, p2 – p1 = kn + q với k  N < q < n, ta có: a p1 = a p1 r a r = a p1 r a nr = … = a p1 r a knr = a p1  kn = a p2 q , a p1 = a p2 q p2 - q < p2 mâu thuẫn với a p2 lặp lại a p1 Vậy phải có p2  p1 (mod n) kết luận đƣợc a p1 = a p2 hệ an+r = ar Theo Mệnh đề 2.2.4 biểu diễn xác định M Kết sau chứng tỏ luôn nhận đƣợc biểu diễn nửa nhóm bảng nhân 2.2.6 Mệnh đề Một nửa nhóm tùy ý xác định biểu diễn Chứng minh Giả sử S nửa nhóm tùy ý xác định bảng chữ A = {as | s  S} Khi A tƣơng ứng một với S Tập hợp R = {axay = axy| x, y  S} đƣợc chứa A+ x A+ nên xét biểu diễn Giả sử 23 T nửa nhóm đƣợc xác định biểu diễn S thỏa mãn tất hệ thức R (theo định nghĩa nửa nhóm) nên theo Mệnh đề 2.2.2, S ảnh đồng cấu T, nghĩa tồn toàn cấu  :T  S , a s  s Giả sử u, v  A+ cho u  v , tồn x, y  S cho u = ax v = ay T ta có a x  ay  x  y , điều kéo theo ax = ay , u = v T Nhƣ  - từ S đẳng cấu với T, nên S đƣợc biểu diễn 2.2.7 Chú ý Giả sử A bảng chữ Chúng ta định nghĩa biểu diễn vị nhóm hồn tồn giống nhƣ biểu diễn nửa nhóm cách thay A+ A* Một biểu diễn nhóm đƣợc định nghĩa nhƣ biểu diễn nửa nhóm nhƣng thay A GF(A), GF(A) nhóm tự sinh A 2.2.8 Nhận xét (1) Giả sử S vị nhóm đƣợc xác định biểu diễn , S đƣợc xác định biểu diễn nửa nhóm Giả sử S vị nhóm đƣợc xác định biểu diễn nửa nhóm Tồn phần tử w A+ biểu diễn đơn vị S S đƣợc xác định biểu diễn vị nhóm (2) Giả sử nhóm G đƣợc xác định biểu diễn nhóm Khi G đƣợc xác định biểu diễn vị nhóm 2.2.9 Phƣơng pháp tìm biểu diễn nửa nhóm cho trƣớc Cho nửa nhóm S, phƣơng pháp để nhận đƣợc biểu diễn S bao gồm bƣớc sau: 24 *) Tìm tập hợp phần tử sinh A S; *) Tìm tập hợp R hệ thức mà chúng đƣợc thỏa mãn phần tử sinh A, đủ để xác định S; *) Tìm tập hợp W  A+ cho từ thuộc A+ đƣợc biến đổi thành từ thuộc W cách áp dụng hệ thức thuộc R; *) Chứng minh từ phân biệt thuộc W biểu diễn phần tử phân biệt thuộc S Tập W đƣợc mô tả nhƣ đƣợc gọi tập hợp dạng tắc hay dạng chuẩn tắc S Phƣơng pháp để tìm biểu diễn nhƣ thuộc N.Ruskue (1995), kết sau chứng tỏ biểu diễn mà nhận đƣợc biểu diễn S 2.2.10 Mệnh đề Giả sử S nửa nhóm, A tập sinh S, R  A+ x A+ W  A+ Giả thiết rằng: (i) Các phần tử sinh A S thỏa mãn tất hệ thức từ R; (ii) Đối với từ w  A+ tồn từ w’  W cho w = w’ hệ R; (iii) Nếu u,v  W cho u v u  v S; xác định S theo phần tử sinh A R thỏa mãn S, nên cần chứng tỏ hệ thức tùy ý S hệ R Giả sử Chứng minh Tập hợp A sinh nửa nhóm S w1, w2 phần tử tùy ý thuộc S cho w1 = w2 S Thế tồn w1, w2  W cho hệ thức w1 = w’1; w2 = w’2 hệ R Từ w1 = w2 ta có (theo (iii)) w1  w2 Do w1 = w’1 = w’2 = w2 hệ R Nhƣ S đƣợc xác định biểu diễn 25 2.2.11 Các phép biến đổi Tietze Một phƣơng pháp để liên hệ hai biểu diễn khác nửa nhóm (nửa nhóm ngƣợc, vị nhóm, nhóm …) phép biến đổi Tietze Chúng bốn toán tử đƣợc áp dụng để từ biểu diễn cho phép nhận đƣợc biểu diễn khác có cấu trúc Cho trƣớc biểu diễn , có thể: T1) Bổ sung hệ thức: Cho trƣớc u,v  A+ cho u = v khơng phụ thuộc vào R, nhƣng hệ hệ thức R Khi biểu diễn xác định cấu trúc nhƣ T2) Khử hệ thức: Nếu u = v hệ thức cho hệ hệ thức R\{(u,v)}; cấu trúc đƣợc xác định đƣợc xác định biểu diễn T3) Bổ sung phần tử sinh: Cho trƣớc ký hiệu b không nằm A từ w nằm A+, định nghĩa hệ thức b = w, biểu diễn xác định cấu trúc T4) Khử phần tử sinh: Cho trƣớc a  A, u  (A\{a})+ cho a = u nằm R, thay a u tất hệ thức R nơi mà a xuất hiện, khử a từ tập hợp phần tử sinh loại bỏ hệ thức a = u khỏi R Chúng ta nhận đƣợc biểu diễn , xác định cấu trúc nhƣ , R’ R với tất xuất a đƣợc thay u Kết sau đƣợc nêu [4] (trang 29) 26 2.2.12 Mệnh đề Hai biểu diễn hữu hạn xác định cấu trúc nửa nhóm biểu diễn nhận từ biểu diễn khác cách áp dụng số hữu hạn phép biểu diễn Tietze Chú ý biểu diễn đƣợc gọi biểu diễn hữu hạn A R hữu hạn Ngoài cần ý đến hai kết sau (đƣợc suy trực tiếp từ Nhận xét 2.2.8) 2.2.13 Mệnh đề Một vị nhóm biểu diễn hữu hạn vị nhóm biểu diễn hữu hạn nửa nhóm 2.2.14 Mệnh đề Một nhóm biểu diễn hữu hạn nhóm biểu diễn hữu hạn vị nhóm 2.2.15 Hệ Một nhóm biểu diễn hữu hạn nhóm biểu diễn hữu hạn nửa nhóm 2.3 NỬA NHĨM - ĐƠN HOÀN TOÀN VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN Để tiện theo dõi, ta nhắc lại số khái niệm kết liên quan trình bày chƣơng trƣớc biết Một nửa nhóm khơng có phần tử zero đƣợc gọi đơn khơng có iđêan thực Một nửa nhóm S với phần tử zero đƣợc gọi - đơn S có iđêan {0} S, S2  Một nửa nhóm - đơn (đơn) đƣợc gọi - đơn hoàn toàn (tƣơng ứng đơn hoàn toàn) chứa lũy đẳng nguyên thủy (là lũy đẳng tối tiểu tập lũy đẳng khác không) Từ Định lý Rixơ, ta có kết sau 2.3.1.Mệnh đề Giả sử Go(G) - nhóm (nhóm) Giả sử I,  tập hợp khác rỗng giả sử P =(pu) I x  ma trận với thành phần Go (tương ứng G) Giả thiết khơng có dịng cột P bao gồm thành phần zero Giả sử 27 S = (G x I x  )  {0} (tương ứng S = G x I x  ) định nghĩa S phép toán nhân sau: ( gp j h, i,  ); p j  (g, i,  )(h, j,  ) =  0; p j    (tương ứng (g, i,  )(h, j,  ) = ( gp j h, i,  ) ) Thế S nửa nhóm - đơn hoàn toàn (tương ứng đơn hoàn toàn) Nửa nhóm S ký hiệu M (G; I,  ; P) (tương ứng M(G; I,  ; P)) Đảo lại nửa nhóm - đơn hồn tồn (đơn hồn tồn) đẳng cấu với nửa nhóm ma trận xây dựng (Các nửa nhóm ma trận gọi nửa nhóm ma trận Rixơ) Trong cơng trình [5], J.M.Howie N.Ruskue chứng minh đƣợc kết sau 2.3.2 Mệnh đề Giả sử M(G; I,  ; P) nửa nhóm ma trận Rixơ, G nhóm P  ( Pi ) I   ma trận chuẩn tắc với thành phần G Giả sử biểu diễn nửa nhóm G, giả sử e  A+ từ khác từ rỗng biểu diễn phần tử đơn vị G, B = A  {yi | i  I\{  }}  { z |    \{1} } Thế S có biểu diễn nửa nhóm: < B|R, yie = yi; eyi = e, z e  e; ez  z ; z yi  1i ,(i  I \{1},  \{1}) > Trong [7], N Ruskue chứng minh đƣợc mệnh đề sau 2.3.3 Mệnh đề Một nhóm với số hữu hạn nửa nhóm ngược hữu hạn sinh (tương ứng biểu diễn hữu hạn được) hữu hạn sinh (tương ứng biểu diễn hữu hạn được) Chú ý số tập nửa nhóm ngƣợc đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Giả sử S nửa nhóm ngƣợc X tập khác rỗng S Các lớp (cosets) X S tập hợp dạng Xs, s  S cho tồn t  S thỏa mãn Xst = S Chúng ta biểu diễn tập tất lớp X 28 S C = {Ci: I  I} Số phần tử C đƣợc gọi số X đƣợc ký hiệu [S:X] Bây ta chứng minh kết tiết 2.3.4 Định lý Một nửa nhóm - đơn hoàn toàn S = M(G; I,  ; P) biểu diễn hữu hạn I  Chứng minh S nửa nhóm (G x I x hữu hạn  )  {0} với phép nhân: ( gp j h, i,  ); p j  (g, i,  )(h, j,  ) =  0; p j    0(g, i,  ) = (g, i,  )0 = 00 = Điều kiện cần Giả thiết S biểu diễn đƣợc hữu hạn, S hữu hạn sinh, giả sử {(g1, i1,  1),( g2, i2,  2),…,( gk, ik,  k)}  {0} tập sinh S Theo định nghĩa phép nhân S xem I  tập hợp: I = {i1, i2, …, ik}  = {  1,  2,…,  k} Do chúng tập hữu hạn Giả sử cố định phần tử khác không P P i , ý P i  G Trƣớc hết ta chứng minh khẳng o o o o định sau Khẳng định (G, io,  0) nhóm tối đại S Chứng minh Ánh xạ  : (G, io,  0)  G xác định (g, io,  0)  = p 10i0 gp 20i0 xác định p0i0  p0i0 , g  G Giả sử (g, io,  0), (h, io,  0)  (G, io,  0) Khi đó: ((g, io,  0), (h, io,  0))  = ( gp i h, io , o )  = p 1 i gp i hp 2 i và: 0 00 0 0 (g, io,  0)  (h, io,  0) = p1 i gp 2 i p 1 i hp 2 i  p 1 i gp i hp 2 i 0 0 0 0 0 nên  đẳng cấu Giả thiết (g, io,  0)  = (h, io,  0) p 10i0 gp 20i0  p 10i0 hp 20i0 suy p i p1 i gp2 i p2 i  p i p 1 i hp2 i p 2 i , từ g = h (12) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 29 G nhóm Do (g, io,  0) = (h, io,  0) nên  đơn ánh Đối với g  G tùy ý, có g = ( p1 i p i ) g ( p2 i p2 i )  p1 i ( p i gp2 i ) p2 i  ( p i gp 2 i , io , o ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 nên  toàn ánh Vậy  song ánh nên  đẳng cấu Từ (G, io,  0) đẳng cấu với G, mà G nhóm nên (G, io,  0) nhóm S Giả sử T nhóm S cho (G, io,  0)  T T có dạng (G, I’,  ’) với io  I’    ’ Giả sử (e, i,  ) đơn vị T Khi (g, io,  0)( e, i,  ) = (g, io,  0)  ( gp i e, io,  0) = (g, io,  0) 0    o gp0i0 e = g  g 1 gp0i0 e  g 1 g  p0i0 e  e  p 10i0  e Tƣơng tự từ (e, i,  ).(g, io,  0) = (g, io,  0) suy i = io, ( p 1 i , io,  0) đơn vị 0 T Đối với (g, i,  )  T tùy ý, có (g, i,  )( p 1 i , io,  0) = (g, i,  )  0 ( gp i p 1 i , i,  0) = (g, i,  ) suy  =  0, tƣơng tự nhận đƣợc 0 0 i = io Do T = (G, io,  0) từ suy (G, io,  0) nhóm tối đại S Bây ta chứng minh khẳng định thứ hai Khẳng định (G, io,  0) có số hữu hạn lớp Chứng minh Giả sử (g, i,  )  S cho p i  Bằng cách xét o phần tử (h, j,  0) S, ta có: (G, io,  0) (g, i,  )(h, j,  0) = (G, io,  )(h, j,  0) = (G, io,  0) Do (g, i,  )  S tùy ý cho p i  , tập hợp (G, io,  0) (g, i,  ) o lớp (G, io,  0) S Theo phép nhân đƣợc định nghĩa S, ta biết p i  (G, io,  0)(g, i,  ) lớp, o lớp (G, io,  0) tập hợp (io, G,  )    Vì  hữu hạn nên ta kết luận đƣợc (G, io,  0) có hữu hạn lớp S Trở lại chứng minh điều kiện cần Định lý Theo khẳng định 2, (G, io,  0) nhóm với số hữu hạn S, mà theo giả thiết S biểu 30 diễn hữu hạn đƣợc, theo Mệnh đề 2.3.4, (G, io,  0) biểu diễn hữu hạn đƣợc Vì G  (G, io,  0) nên G biểu diễn hữu hạn đƣợc Điều kiện đủ Đảo lại, giả thiết I,  tập hữu hạn G biểu diễn hữu hạn đƣợc Theo Mệnh đề 2.2.13 2.2.14, G biểu diễn hữu hạn đƣợc nhƣ nhóm biểu diễn hữu hạn đƣợc nhƣ nửa nhóm, giả sử biểu diễn hữu hạn xác định G nhƣ nửa nhóm Chúng ta xếp lại phần tử P cho p11 đơn vị G Giả sử e  A+ từ biểu diễn đơn vị G ta định nghĩa tập hợp: B = A  {yi: i  I\{1} }  {z  :    \{1}} Theo Mệnh đề 2.3.3, biểu diễn S là: A, R, I  hữu hạn nên S biểu diễn hữu hạn đƣợc Giả sử A tập hợp A* vị nhóm tự A Một hệ thống chép lại R A tập A*xA* Đối với w1, w2  A*, viết w1  w2 chúng từ đồng Chúng ta nói w1 đƣợc chép lại thành w2 tồn b, c  A* (u, v)  R cho w1  buc w2  bvc, ký hiệu w1  w2 Chúng ta ký hiệu bao đóng bắc cầu phản xạ  * ~ quan hệ tƣơng đƣơng sinh  Đối với từ w ta nói w khả quy có từ z cho w  z; * trƣờng hợp ngƣợc lại ta nói w bất khả quy Nếu w   y y bất khả quy, ta nói y dạng bất khả quy w Một hệ thống chép lại R đƣợc gọi kết thúc khơng có dãy vơ hạn (wn) cho wn  wn+1 tất n  Chúng ta ký hiệu độ dài từ w |w| Chúng ta gọi rút gọn độ dài uv tất 31 (u, v)  R Rõ ràng R hệ chép lại rút gọn độ dài, R hệ chép lại kết thúc Chúng ta nói R suy biến x, y, z  A* tùy ý cho * * * * * x   y, x   z, tồn w  A cho y   w, z   w Một hệ chép lại R đƣợc gọi đầy đủ R vừa suy biến vừa kết thúc Đối với tồn (r, s)  R cho, định nghĩa R1  A bao gồm tất r  A* cho R s  A* Hệ R đƣợc gọi rút gọn (r, s)  R có R1  A*rA* = {r} s R - bất khả quy Một hệ thống chép lại đầy đủ đƣợc rút gọn R  A* x A* gọi hệ thống chép lại có kết thúc Kết sau đƣợc chứng minh [3] (trang 132) 2.3.5 Mệnh đề Giả sử R hệ thống chép lại có kết thúc Thế điều kiện sau tương đương: (i) R suy biến (từ R đầy đủ) (ii) Đối với (r1r2, s12), (r2r3, s23)  R tùy ý, r2 khác từ rỗng, * * tồn từ w  A* cho: s12r3   w, r1s23   w; (r1r2r3, s12), (r2, s23)  R tùy ý, tồn từ w  A* cho: * * s12   w, r1s23r3   w (iii) Từ w  A* có dạng bất khả quy Hơn nữa, w ~ w’ w,w’ có dạng bất khả quy 2.3.6 Định nghĩa Chúng ta định nghĩa phủ cặp đƣợc thứ tự dạng [(r1r2, s12), (r2r3, s23)] [(r4r5r6, s45), (r5, s56)], (r1r2, s12), (r2r3, s23), (r4r5r6, s45), (r5, s56)  R r2, r5 từ rỗng 32 2.3.7 Chú ý Trong biểu diễn Mệnh đề 2.3.3 có số phủ, chẳng hạn [yie = yi, eyi = e], mà chứng tỏ tập hợp hệ thức hệ thống chép lại có kết thúc Bây xây dựng biểu diễn với hệ chép lại có kết thúc hệ thức Chúng ta lấy biểu diễn bảng Caylay, nghĩa A = G R = {(x1, x2, x3) | x1, x2, x3 A; x1x2 = x3 G } Khi R hệ thống chép lại có kết thúc A Giả sử x0  A biểu diễn đơn vị G Thế cách lấy e  x0 bổ sung hệ thức mới: xyi = x, z  x = x, yiyi’ = yi z  z  ’ = z  ’ (x  A\{x0}; i, i’  I\{1},  ,  ’   \{1}) mà chúng thỏa mãn S, nhận đƣợc biểu diễn: xác định nửa nhóm S = M(G; I,  ; P) Để dễ ký hiệu, ta giả thiết G hữu hạn A = {x0, x1, …, xm} Hơn giả thiết thành phần p  I ma trận P đƣợc biểu diễn từ với độ dài Ta nhận đƣợc kết sau 2.3.8 Định lý Giả sử bảng Caylay nhóm hữu hạn G x0 biểu diễn phần tử đơn vị Với ký hiệu trên, biểu diễn: P = i xác định nửa nhóm đơn hữu hạn S = M(G; I,  ; P), có hệ thống chép lại với kết thúc hệ thức B Chứng minh Giả sử Q tập hợp quan hệ P Ta nhắc lại tất quy tắc chép lại Q rút gọn độ dài; Q có kết thúc Rõ 33 ràng Q rút gọn đƣợc Để chứng minh q suy biến, ta cần đƣa danh sách phủ: U1,k,k’,k’’ = [(xkxk’, x1), (xk’xk’’,x1’)]; U2,k,k’,i = [(xk’xk, x1), (xkyi,xk)]; … U21,i,i’,  = [(z  yi, p  i), (yiyi’,yi)]; (i, i’  I\{1},  ,  ’   \{1};  k,k’,k’’  m) Thế cách áp dụng Mệnh đề 2.2.7 (ii) ta suy Q suy biến từ Q hệ thống chép lại có kết thúc hệ thức B Từ Định lý 2.3.8, ta nhận đƣợc kết biểu diễn nửa nhóm đơn hữu hạn sau 2.3.9 Định lý Nửa nhóm ma trận Rixơ S = M(G; I,  ; P) với |I| = m; |  | = n biểu diễn hữu hạn đƣợc biểu diễn sau đây: P = i Chứng minh Trƣớc hết ta nhận xét từ Mệnh đề 2.3.8 suy biểu diễn nửa nhóm ma trận Rixơ S = M(G; I,  ; P) với ma trận đệm chuẩn tắc P có dạng P1 =< B | R; yie=yi, eyi=e (2  i  n), (1) z e = e; ez  z (2    n), (2) z yi  p (2  i  m;2    n)> i e từ khác rỗng biểu diễn đơn vị G, I ={1, 2, , m},  ={1, 2, , n} Từ (1) suy yiyi+1 = (yie)yi+1  yi(eyi+1) = yie = yi (2  i  m-1) Tƣơng tự, từ (2) có z z 1  z 1 (2    n-1) 34 Hơn nữa, từ (1) (2) có ymzne = yme = ym Do đó, hệ thức P S Bây chứng tỏ hệ thức P1 hệ hệ thức P Theo quy nạp, từ hệ thức R, ey2=e, yiyi+1=yi (2  i  m-1) P suy yi yi  yi (2  i