NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HỒNG CÁC LỚP BERNSTEIN VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THỊ THU N LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH X Chuyên ngành: Giải tích hàm Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn: TS Lê Anh Dũng HÀ NỘI, NĂM 2013 LỜI CẢM ƠN Qua luận văn này, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy khoa Tốn, trường Đại học sư phạm Hà Nội nói chung thầy mơn Giải Tích nói riêng tạo điều kiện cho tơi học tập nghiên cứu Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Anh Dũng, người tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình làm luận văn Tôi xin cảm ơn PGS TSKH Đỗ Hồng Tân TS Nguyễn Thị Thanh Hà đọc khóa luận có ý kiến q báu giúp tơi hồn thành khóa luận Tơi mong thầy bạn học viên nhận xét, đóng góp ý kiến để khố luận hồn thiện phát triển Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, năm 2013 Phạm Thị Thu Mục lục LỜI MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Điểm bất động ánh xạ dạng co 1.2 Định lý Caristi nguyên lý biến phân Ekeland 1.3 Điểm bất động ánh xạ không giãn 11 1.4 Ánh xạ Lipschitz số kết khởi đầu ánh xạ Lipschitz 11 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG KHÔNG GIAN GAUGE 2.1 Không gian gauge 2.2 13 Nguyên lý biến phân Ekeland định lý Caristi 13 không gian gauge 14 2.3 Dạng tổng quát định lý cánh hoa định lý giọt nước 20 2.4 Điều kiện "hướng vào" tổng quát 34 NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM SỐ LIPSCHITZ 41 3.1 Khái niệm 41 3.2 Các kết 42 MỤC LỤC Kết luận TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 49 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Năm 1974, Ekeland chứng minh định lý tồn điểm cực tiểu "xấp xỉ" hàm số nửa liên tục không gian mêtric đầy đủ Đặc biệt, định lý cho ta thấy nhiều kết "tương đương" cách nhìn khác như: Định lý Caristi, định lý cánh hoa, định lý giọt nước, Vì ý nghĩa quan trọng nên người ta thường gọi nguyên lý biến phân Ekeland Nguyên lý đạt nhiều kết loại ánh xạ: ánh xạ co, ánh xạ co đa trị, ánh xạ Lipschitz, , không gian khác nhau: không gian lồi địa phương, không gian mêtric, khơng gian gauge, Bởi vai trị quan trọng nguyên lý này, chọn đề tài cho luận văn là: Nguyên lý biến phân Ekeland ánh xạ dạng co Nội dung luận văn gồm ba chương viết dựa kết báo [3], [4], [7] Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương giới thiệu định lý điểm bất động liên quan đến ánh xạ co: nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý Caristi định lý Nadler Tiếp kết liên quan đến ánh xạ không giãn cấu trúc hình học khơng gian Banach, định lý điểm bất động ánh xạ không giãn đơn trị, đa trị ánh xạ Lipschitz Chương II: Nguyên lý biến phân Ekeland ánh xạ dạng co không gian gauge Chương đề cập tới khơng gian gauge, xem khơng gian mêtric "Frechet" trường hợp tổng quát khơng gian mêtric Các kết chương đề cập đến nguyên lý biến phân Ekeland dạng hình học định lý cánh hoa, định lý giọt MỤC LỤC nước không gian gauge Ngoài ra, ta đạt số hệ định lý điểm bất động cho ánh xạ dạng co đa trị Chương III: Nguyên lý biến phân Ekeland với ánh xạ Lipschitz Chương ta đề cập đến nguyên lý biến phân Ekeland dạng yếu ánh xạ Lipschitz khơng gian mêtric đầy đủ Tóm lại, nội dung luận văn chương II chương III Các kết đạt kết "tương tự" nguyên lý biến phân Ekeland ánh xạ dang co lớp khơng gian "mêtric" đủ Ngồi ra, ta đạt dạng hình học nguyên lý biến phân Ekeland như: định lý cánh hoa, định lý giọt nước định lý điểm bất động với điều kiện "hướng vào" dạng cánh hoa, giọt nước không gian mêtric Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ cịn nhiều hạn chế, luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để luận văn hồn chỉnh Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Điểm bất động ánh xạ dạng co Trong luận văn này, nhắc lại số kết khởi đầu tồn điểm bất động ánh xạ dang co Trước hết ta nhắc lại khái niệm ánh xạ co nguyên lý ánh xạ co Banach Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ T từ không gian mêtric (X, d) vào không gian mêtric (Z, ρ) gọi ánh xạ co tồn số k ∈ (0, 1) cho ρ (T x, T y) ≤ kd (x, y) với x, y ∈ X Định lí 1.1.2 ([12]) (Nguyên lý ánh xạ co Banach, 1922) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T ánh xạ co X Khi đó, tồn x∗ ∈ X cho T x∗ = x∗ Ngoài ra, với x◦ ∈ X ta có T n x◦ → x∗ n → ∞ Định nghĩa trường hợp riêng định nghĩa 1.1.1 Định nghĩa 1.1.3 Cho (X, d) không gian mêtric Ánh xạ đơn trị T từ X vào X gọi co tồn số k ∈ (0, 1) cho d (T x, T y) kd (x, y) Định nghĩa 1.1.4 Cho (X, d) không gian mêtric Ta ký hiệu CB (X) họ tập đóng, bị chặn, khơng rỗng X Khi đó, Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ khoảng cách Hausdorff hai tập hợp A, B ∈ CB (X) định nghĩa sau D (A, B) = max sup inf d(x, y), sup inf d(x, y) x∈A y∈B y∈B x∈A Định nghĩa 1.1.5 Ánh xạ đa trị T từ tập hợp X vào tập hợp Y phép gán cho x ∈ X tập hợp T x Y Định nghĩa 1.1.6 Cho (X, d) không gian mêtric Ánh xạ đa trị T từ X vào CB (X) gọi ánh xạ co tồn số k ∈ (0, 1) cho với x, y ∈ X ta có D (T x, T y) ≤ kd (x, y) Định lí 1.1.7 ([12]) (Nadler, 1969) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ, T từ X vào CB (X) ánh xạ co Khi tồn x∗ ∈ X mà x∗ ∈ T x∗ 1.2 Định lý Caristi nguyên lý biến phân Ekeland Trước hết, nêu lại khái niệm hàm liên tục liên tục không gian tô pô Định nghĩa 1.2.1 Cho X không gian tô pô Hàm f : X → (−∞ + ∞] gọi nửa liên tục x◦ ∈ X với ε > 0, tồn lân cận Ux◦ cho với x ∈ Ux◦ ta có f (x) − f (x◦ ) > −ε Hàm f gọi liên tục f liên tục x◦ ∈ X Định nghĩa 1.2.2 Cho X không gian tô pô Hàm f : X → [−∞, +∞) gọi nửa liên tục x◦ ∈ X với ε > 0, Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ tồn lân cận Ux◦ cho với x ∈ Ux◦ ta có f (x) − f (x◦ ) < ε Hàm f gọi liên tục f liên tục x◦ ∈ X Nhận xét 1.2.1 Cho X không gian tô pô Hàm f : X → (−∞, +∞] nửa liên tục thỏa mãn hai điều kiện sau tương đương sau đây: (i) Tập {x ∈ X : f (x) ≤ α} tập đóng X với α ∈ R (ii) Lim inf f (x) ≥ f (x◦ ), với x◦ ∈ X x→x◦ Hàm f : X → [−∞, +∞) nửa liên tục thỏa mãn hai điều kiện sau tương đương sau đây: (i) Tập {x ∈ X : f (x) ≥ α} tập đóng X với α ∈ R (ii) Lim sup f (x) ≤ f (x◦ ), với x◦ ∈ X x→x◦ Định lí 1.2.3 ([6]) (Caristi, 1976) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ hàm số ϕ : X → (−∞, +∞] nửa liên tục bị chặn Cho ánh xạ T X thỏa mãn điều kiện d (x, T x) ≤ ϕ (x) − ϕ (T x) , ∀x ∈ X Khi đó, T có điểm bất động X Định lí 1.2.4 ([5]) (Ekeland, 1972) Cho M không gian mêtric đầy đủ ϕ : M → R {∞} hàm thực sự, nửa liên tục bị chặn Với c > 0, δ > x◦ ∈ M thỏa mãn φ (x◦ ) ≤ inf φ (M ) + cδ, tồn x∗ ∈ M cho (i) φ (x∗ ) ≤ φ (x◦ ); Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG KHƠNG GIAN GAUGE Ta có αn dn (u, F (x)) + (1 − αn ) ρn (u, F (x)) + γn dn (x, u) ≤ (αn − θn µn ) dn (x, F (x)) + (1 − αn + θn νn ) ρn (x, F (x)) + γn θn ωn ρn (x, F (x)) = αn dn (x, F (x)) + (1 − αn ) ρn (x, F (x)) − θn µn dn (x, F (x)) + θn (γn ωn + νn ) ρn (x, F (x)) < αn dn (x, F (x)) + (1 − αn ) ρn (x, F (x)) − θn µn dn (x, F (x)) + θn an ρn (x, F (x)) ≤ αn dn (x, F (x)) + (1 − αn ) ρn (x, F (x)) − θn µn dn (x, F (x)) + θn µn dn (x, F (x)) = αn dn (x, F (x)) + (1 − αn ) ρn (x, F (x)) Vậy u ∈ Pα,γ (x, F (x)) Kết hợp giả thiết định lý 2.4.3 Dα,σ (x, F (x)) ⊂ Pα,γ (x, F (x)), ∀x ∈ A, ta có giả thiết định lý 2.4.1 Do F có điểm bất động Nhận xét 2.4.1 Nếu F ánh xạ co đơn trị điều kiện (2.9 )viết lại sau ωn kn < µn với νn = 0, an = µn Định lí 2.4.4 Cho A tập đóng X , αn ∈ [0, 1]N F : A → X ánh xạ đa trị với giá trị tập đóng, bị chặn, khơng rỗng cho, với n ∈ N, ánh xạ x → αn dn (x, F (x)) + (1 − αn ) ρn (x, F (x)) nửa liên tục Giả sử tồn k, γ ∈ [0, 1]N cho ≤ kn < γn ≤ 1, với ∀x ∈ A, ta có x ∈ F (x) ∅ = Pα,γ (x, F (x)) ∩ {u ∈ A\{x} : ∀n ∈ N 37 Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG KHÔNG GIAN GAUGE αn sup dn (y, F (u)) + (1 − αn ) sup dn (z, F (x)) ≤ kn dn (x, u) y∈F (x) z∈F (u) Khi F có điểm bất động Bây giờ, xem xét loại khác điều kiện "hướng vào" liên quan đến Pα,γ (x, {y}) , y ∈ F (x) Chú ý {y} tập điểm, Pα,γ (x, {y}) = Pα,γ (x, {y}) với α, α ∈ [0, 1]N Vì thế, ta viết P1,γ (x, {y}) thay cho Pα,γ (x, {y}) với α = (1, 1, ) Định lí 2.4.5 Cho A tập đóng X , F : A → X ánh xạ đa trị với giá trị tập đóng, bị chặn, khơng rỗng có đồ thị đóng Giả sử có dãy khơng giảm {kn } ⊂ [0, 1] γn ∈ [0, 1]N cho kn < γn , với x ∈ A, y ∈ F (x)\{x}, ∅ = P1,γ (x, {y}) ∩ {u ∈ A\{x} : ∃v ∈ F (u) cho dn (y, v) ≤ kn dn (x, u) ∀n ∈ N} Khi F có điểm bất động Chứng minh Với n ∈ N, graphF xác định dãy khoảng cách dn ((x, y) , (x, y)) = kn dn (x, x) + dn (y, y) Do F có đồ thị đóng {kn } dãy không giảm nên (graphF , dn ) không gian gauge đầy đủ với dãy khoảng cách thỏa điều kiện (2.1) Lấy (x◦ , y◦ ) ∈ graph F , với n ∈ N chọn cn > cho (1 + 2cn ) kn ≤ γn Xác định φn :graphF → R φn (x, y) = dn (x, y) Khi φn hàm nửa liên tục bị chặn Theo định lý Bishop-Phelps, tồn (x∗ , y ∗ ) ∈ graphF cho φn (x∗ , y ∗ ) + cn dn ((x◦ , y◦ ) , (x∗ , y ∗ )) ≤ φn (x◦ , y◦ ) ∀n ∈ N 38 Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG KHÔNG GIAN GAUGE (x, y) = (x∗ , y ∗ ) , ∃n ∈ N : φn (x∗ , y ∗ ) < φn (x, y) + cn dn ((x∗ , y ∗ ) , (x, y)) (2.10) Ta chứng minh x∗ điểm bất động F, nghĩa chứng minh x∗ = y ∗ để có x∗ ∈ F (x∗ ) Giả sử trái lại x∗ = y ∗ , theo giả thiết ∅ = P1,γ (x∗ , {y ∗ })∩{u ∈ A\{x∗ } : ∃v ∈ F (u)sao cho dn (y ∗ , v) ≤ kn dn (x∗ , u), ∀n ∈ N} Khi đó, tồn x cho x ∈ P1,γ (x∗ , {y∗ }) x ∈ {u ∈ A\{x∗ }, ∃v ∈ F (u) : dn (y ∗ , v) ≤ kn dn (x∗ , u)}, ∀n ∈ N Hay dn (x, y ∗ ) + γn dn (x, x∗ ) ≤ dn (x∗ , y ∗ ) ∃y ∈ F (x) : dn (y ∗ , y) ≤ kn dn (x∗ , x) , ∀n ∈ N < γn dn (x∗ , x) ≤ dn (x, y ∗ ) + γn dn (x∗ , x) ≤ dn (x∗ , y ∗ ) Ta có dn (x, y) + cn dn ((x∗ , y ∗ ) , (x, y)) = dn (x, y) + cn kn dn (x∗ , x) + cn dn (y ∗ , y) ≤ dn (x, y ∗ ) + dn (y ∗ , y) + cn kn dn (x∗ , x) + cn dn (y ∗ , y) = dn (x, y ∗ ) + cn kn dn (x∗ , x) + (1 + cn ) dn (y ∗ , y) ≤ dn (x, y ∗ ) + cn kn dn (x∗ , x) + (1 + cn ) kn dn (x∗ , x) = dn (x, y ∗ ) + (1 + 2cn ) kn dn (x∗ , x) < dn (x, y ∗ ) + γn dn (x∗ , x) ≤ dn (x∗ , y ∗ ) Tóm lại, tồn (x, y) ∈ graphF cho dn (x, y) + cn dn ((x∗ , y ∗ ) , (x, y)) ≤ dn (x∗ , y ∗ ) , ∀n ∈ N 39 Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG KHÔNG GIAN GAUGE Điều mâu thuẫn với (2.10) Vậy x∗ = y ∗ , kết hợp với (x∗ , y ∗ ) ∈ graphF ta x∗ ∈ F (x∗ ) Hệ 2.4.6 Cho E không gian Frechet trang bị họ nửa chuẩn {||.||n : n ∈ N} cho ||x||1 ≤ ||x||2 ≤ ∀x ∈ E Cho A tập đóng E , F : A → X ánh xạ co đa trị với hệ số co {kn }, {kn } dãy không giảm [0, 1) Giả sử với x ∈ A, F (x) ⊂ {x + λ (u − x) : u ∈ A, λ ≥ 1} Khi F có điểm bất động Chứng minh Lấy γ = (1, 1, ) , α = (1, 1, ) hiển nhiên kn < γn Với u ∈ A y = x + λ (u − x) ∈ F (x) , λ ≥ ta chứng minh thỏa mãn giả thiết định lý 2.4.5 Đầu tiên, ta chứng minh u ∈ P1,γ (x, {y}) Với n ∈ N, ta có dn (u, y) + dn (x, u) = dn (u, x + λ (u − x)) ≤ dn (u, x) + dn (x, x + λ (u − x)) = dn (x, x + λ (u − x)) Tiếp theo, ta chứng minh u ∈ {p ∈ A\{x}, ∃v ∈ F (p) : dn (y, v) ≤ kn dn (x, p) , ∀n ∈ N} Chọn v = x + λ (u − x) ∈ F (u) , với n ∈ N ta có dn (y, v) ≤ dn (F (x) , F (u)) ≤ kn dn (x, u) Vậy giả thiết định lý 2.4.5 thỏa mãn Khi F có điểm bất động 40 Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM SỐ LIPSCHITZ 3.1 Khái niệm Cho không gian mêtric X , ta ký hiệu: Với x ∈ X α > ta ký hiệu Bd (x, α) hình cầu mở tâm x bán kính α Ký hiệu: bao đóng tập A X cl (A) , P◦ (X) tập không rỗng X, C◦ (X) tập đóng khơng rỗng X, F◦ (X) tập hữu hạn không rỗng X Với A ∈ P◦ (X) , ta ký hiệu hàm số khoảng cách d (., A), xác định d (x, A) = inf d (x, a) , x ∈ X a∈A Khi đó, d (., A) ánh xạ không giãn Định nghĩa 3.1.1 Nếu F : X → [−∞, +∞] , ta định nghĩa đồ thị đồ thị sau: epi (f ) = {(x, α) , x ∈ X, α ∈ R : α ≥ f (x)} , hypo (f ) = {(x, α) , x ∈ X, α ∈ R : α ≤ f (x)} Nhận xét 3.1.1 41 Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM SỐ LIPSCHITZ (i) Hàm f nửa liên tục epi (f ) tập đóng khơng gian tích (ii) Hàm f nửa liên tục hypo (f ) tập đóng khơng gian tích Do đó, hàm số với giá trị thực liên tục hai đồ thị đồ thị tập đóng khơng gian tích 3.2 Các kết Sau đây, đề cập đến trường hợp đặc biệt định lý 1.2.4 Định lí 3.2.1 (Nguyên lý biến phân Ekeland) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ Hàm f : X → (−∞, +∞] hàm thực sự, nửa liên tục bị chặn Cho x ∈ X thỏa mãn f (x) ≤ inf X f + ε Khi tồn v ∈ X có tính chất sau: (1) f (v) ≤ f (x) ; (2) d (x, v) ≤ 1; (3) Với x = v, f (v) − εd (x, v) < f (x) Định nghĩa 3.2.2 Cho (X, d) không gian mêtric λ > Nón mêtric nghịch đảo với độ nghiêng −λ đỉnh (x, α) ∈ X × R tập khơng gian tích: λ C(x,α) := {(ω, β) , ω ∈ X, β ∈ R : β ≤ α − λd (x, ω)} Nhận xét: Điều kiện ( 3) định lý 3.1.2 viết lại sau ε (3) C(v,f (v)) ⊆ hypo (f ) x = v ⇒ (x, f (x)) ∈ C(v,f (v)) / ε Để thấy rõ quan hệ ánh xạ λ − Lipschitz với nón ta có mệnh đề sau 42 Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM SỐ LIPSCHITZ Mệnh đề 3.2.3 Cho (X, d) không gian mêtric λ > Khi f : X → R λ − Lipschitz với x ∈ X , λ C(x,f (x)) ⊆ hypo (f ) λ Chứng minh Giả sử f λ − Lipschitz , lấy x ∈ X (u, v) ∈ C(x,f (x)) Khi v ≤ f (x) − λd (u, x) Do f λ − Lipschitz nên với u, x ∈ X ta có |f (x) − f (u) | ≤ λd (u, x) f (x) − f (u) ≤ λd (u, x) − (f (x) − f (u)) ≥ −λd (u, x) Ta có v ≤ f (x) − λd (u, x) ≤ f (x) − (f (x) − f (u)) = f (u) Vậy v ≤ f (u) hay (u, v) ∈ hypo (f ) λ Giả sử C(x,f (x)) ⊆ hypo (f ) , ∀x ∈ X Lấy x, y ∈ X theo giả thiết λ C(x,f (x)) ⊆ hypo (f ) λ C(y,f (y)) ⊆ hypo (f ) Vì f (y) − λd (x, y) = f (y) − λd (x, y) nên λ (x, f (y) − λd (x, y)) ∈ C(y,f (y)) ⊆ hypo (f ) (x, f (y) − λd (x, y)) ∈ hypo (f ) f (y) − λd (x, y) ≤ f (x) f (y) − f (x) ≤ λd (x, y) Vì f (x) − λd (x, y) = f (x) − λd (x, y) nên λ (y, f (x) − λd (x, y)) ∈ C(x,f (x)) ⊆ hypo (f ) 43 Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM SỐ LIPSCHITZ Lập luận tương tự ta f (x) − f (y) ≤ λd (x, y) Kết hợp lại ta có |f (x) − f (y) | ≤ λd (x, y) ∀x, y ∈ X Vậy f λ − Lipschitz Sau kết chương Kết cho ta thấy mối liên hệ nguyên lý biến phân Ekeland dạng yếu hai lớp ánh xạ: nửa liên tục λ − Lipschitz Định lí 3.2.4 Cho (X, d) khơng gian mêtric Khi điều kiện sau tương đương: (i) Với hàm f : X → (−∞, +∞] hàm thực sự, nửa liên tục bị chặn x ∈ X thỏa mãn f (x) ≤ inf X f + ε tồn v ∈ X cho f (v) ≤ f (x) với x = v ta có f (v) − εd (x, v) < f (x) (ii) Với λ > f : X → R λ − Lipschitz với inf X (f ) > −∞, ε tồn ε ∈ (0, λ) , v ∈ X cho C(v,f (v)) ⊆ hypo (f ) Chứng minh (i) =⇒ (ii) Cho λ > f : X → R λ − Lipschitz với inf X (f ) > −∞ Lấy x ¯ f (x) λ xấp xỉ cực tiểu hàm số Lipschitz f, tức inf f + λ Chọn ε = λ , theo (i) tồn v ∈ X với f (v) ≤ f (x) 2 x = v ta có f (v) − εd (x, v) < f (x) Nghĩa λ C(x,α) := {(ω, β) , ω ∈ X, β ∈ R : β ≤ α − λd (x, ω)} Vậy (ii) chứng minh ε Với C(v,f (v)) ⊆ hypo (f ) ta có ε ∀x ∈ X, (x, f (v) − εd (x, v)) ∈ C(v,f (v)) ⊆ hypo (f ) 44 Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM SỐ LIPSCHITZ ∀x ∈ X, (x, f (v) − εd (x, v)) ∈ hypo (f ) f (v) − εd (x, v) ≤ f (x) ε Vậy C(v,f (v)) ⊆ hypo (f ) tương đương với ∀x ∈ X, f (v) − εd (x, v) ≤ f (x) (ii) =⇒ (i) Giả sử f : X → (−∞, +∞] hàm thực sự, nửa liên tục bị chặn dưới, x ∈ X thỏa mãn f (x) ≤ inf X f + ε Định nghĩa f◦ : X → (−∞, +∞] sau, f◦ (x) = f (x) f (x) ≤ f (x) f◦ (x) = ∞ trường hợp khác Khi f◦ hàm thực sự, nửa liên tục bị chặn Định nghĩa g : X → R g (x) = inf f◦ (ω) + ωd (x, ω) Khi g ω∈X ε − Lipschitz quy f◦ Theo (ii) tồn v ∈ X, δ ∈ (0, ε) cho ∀x ∈ X, g (x) ≥ g (v)−δd (x, v) Ta có g (v) = inf f◦ (v) + εd (v, v) = inf f◦ (v) nên g (v) ≤ f◦ (v) v∈X v∈X Bây ta chứng minh g (v) ≥ f◦ (v) phản chứng Giả sử g (v) < f◦ (v), chọn α ∈ R với g (v) < α < f◦ (v) Do f◦ nửa liên tục nên tồn µ > cho d (x, v) < µ ⇒ f◦ (x) > α Khi đó, d (x, v) < µ f◦ (x) + εd (v, x) > α d (x, v) ≥ µ f◦ (x) + εd (v, x) ≥ g (x) + δd (v, x) + µ (ε − δ) ≥ g (v) + µ (ε − δ) Kết hợp hai đánh giá ta có inf f◦ (x) + εd (v, x) x∈X {α, g (v) + µ (ε − δ)} > g (v) Điều mâu thuẫn với định nghĩa g (v) Vậy g (v) = f◦ (v), từ ta có g (v) = f (v) ≤ f (x) Cuối cùng, cho x = v Nếu f (x) ≥ f (x), ta có f (x) > f (v) > f (v) − εd (x, v) Nếu f (x) ≤ f (x), ta có f (x) = f◦ (x) ≥ g (x) ≥ g (v) − δd (v, x) > f (v) − εd (v, x) 45 Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM SỐ LIPSCHITZ Vậy (i) chứng minh Trên không gian C◦ (X) , ta định nghĩa khoảng cách Hausdorff hai tập D (A, B) X không gian đầy đủ (C◦ (X) , D) khơng gian mêtric đầy đủ Ngồi ra, khơng gian C◦ (X) , chúng tơi cịn đề cập khoảng cách sau: ∞ ρAW (A, B) := { 1, sup { |d (x, A)−d (x, B) | : x ∈ Bd (x◦ , n) } } 2n n=1 x◦ ∈ X cố định cho trước Để thấy rõ mối liên hệ khoảng cách với nguyên lý biến phân Ekeland dạng yếu hàm Lipschitz ta có kết thứ hai Định lí 3.2.5 Cho (X, d) khơng gian mêtric Khi điều kiện sau tương đương: (1) Mêtric d đầy đủ; (2) Với λ > f : X → R λ − Lipschitz với inf X (f ) > −∞, ε tồn ε ∈ (0, λ) , v ∈ X cho C(v,f (v)) ⊆ hypo (f ) ; (3) Bất kỳ An dãy giảm tập đóng khơng rỗng X mà ρAW − Cauchy , ∩∞ An = ∅; n=1 (4) An dãy giảm tập đóng khơng rỗng X mà D − Cauchy, ∩∞ An = ∅ n=1 Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử d mêtric đầy đủ, theo định lý 3.1.2 ta suy (2) (2) =⇒ (3) Dãy d (., An ) UBd (X) − Cauchy Cb (X, R) Do hội tụ tập bị chặn đến f : X → R Do hội tụ 46 Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM SỐ LIPSCHITZ theo điểm nên f hàm không giãn không âm Theo (2) , tồn ε ∈ (0, 1) v ∈ X cho ∀x ∈ X, f (x) ≥ f (v) − εd (x, v) (3.1) Ta chứng minh f (v) = phản chứng Giả sử f (v) > 0, với n ∈ N chọn an ∈ An cho d (v, An ) ≤ d (v, an ) < d (v, An ) + n Từ f (v) = lim d (v, An ), ta thấy {an : n ∈ N} tập bị chặn X n→∞ Tiếp theo, ta chứng minh lim f (an ) = n→∞ (3.2) Thật vậy, cho δ > hội tụ {an : n ∈ N} nên chọn n◦ ∈ N đủ lớn cho ∀k ≥ n◦ , ∀n ∈ N, |d (an , Ak ) − f (an ) | < δ Đặc biệt, cho n = k với k ≥ n◦ , có |f (an ) | < δ với n ≥ n◦ Vậy lim f (an ) = n→∞ Mặt khác, chứng minh lim f (v) − εd (an , v) > n→∞ (3.3) Thật lim f (v) − εd (an , v) = f (v) − ε lim d (v, An ) = (1 − ε) f (v) n→∞ n→∞ Ta thấy kết hợp (3.2) (3.3) mâu thuẫn với (3.1), f (v) = Vậy v ∈ ∩∞ An n=1 (3) =⇒ (4) Điều hiển nhiên tính D− mêtric mịn tính ρAW − mêtric 47 Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM SỐ LIPSCHITZ (4) =⇒ (1) Lấy xn dãy Cauchy X Áp dụng điều kiện (4) dãy D− Cauchy An , với n ∈ N, An = cl ({xk : k ≥ n}) ta tìm p ∈ ∩∞ An Khi p điểm tụ xn n=1 Vậy định lý chứng minh Ví dụ 3.2.6 Cho X = [0, ∞] trang bị mêtric Euclid d Lập dãy giảm C◦ (X) cách đặt An = k :k ≥n ∪ 4− k : k ≥ n ∪ {4} Khi d (., An ) hội tụ tồn cục đến f ∈ L1 (X, R) xác định bởi, f (x) = x x ≤ 2, f (x) = |4 − x| x > Vì An D− Cauchy Ta có ∩∞ An = {4}, An khơng hội tụ đến giao điểm n=1 d (1, An ) = − n d (1, {4}) = d (1, 4) = 48 Kết luận Luận văn "Nguyên lý biến phân Ekeland ánh xạ dạng co" tập trung nghiên cứu vấn đề sau: Trình bày cách đầy đủ hệ thống kết liên quan đến nguyên lý biến phân Ekeland dạng hình học khơng gian gauge Ngồi ra, ta đạt hệ định lý điểm bất động cho ánh xạ co đa trị Trình bày nguyên lý biến phân Ekeland dạng yếu ánh xạ Lipschitz không gian mêtric đầy đủ Mặc dù cố gắng, vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả luận văn mong muốn nhận góp ý kiến thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh 49 Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà, Các định lý điểm bất động, NXB Đại học Sư phạm, (2003) [2] S Banach, Sur les operations dans les ensembles abstraits et leurs applications, Fund Math (1922), 133-181 [3] E Bishop and R R Phelps, the support functional of a convex set In: Proc Sympos Pure Math., Vol VII, Amer Math Soc., Providence, RI, (1963), 27-35 [4] F E Browder, Nonexpansive nonlinear operations in a Banach space, Proc Nat Acad Sci USA 54 (1965), 1041-1044 [5] E Casini and E Maluta, Fixed points of uniformly Lipschitzian mapping in Space with uniformly normal stencture, Nonlinear Analysis (1985), 103-108 [6] J Caristi, Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions Trans Amer Math Soc 215 (1976), 241-251 [7] J Danes, Agesmetric theorem useful in nonlinear functional analysis Boll Un Mat Ital (4) (1972), 369-375 [8] K Goebel and W A Kirk, A fixed point theorem for transformations whose itrates have uniform Lipschitz constant, Studia Math 47 (1973), 135-140 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO [9] D.Gohde, Zum Prinzip der contraktiven Abbindung, Math Nachr 30 (1965), 251-258 [10] W A Kirk, A fixed point theorem for mappings which not increase distances, Amer Math Monthly 72 (1965), 1004-1006 [11] E A Lifschitz, Fixed point theorems for operations in strongly convex space, Gos Univ Trudy Mat Fak 16 (1975), 23-28 [12] S B Nadler, Multivalued contractive mappings, Proc Amer Math Soc 20 (1969), 458-468 [13] J P Penot, The drop theorem, the petal theorem and Ekeland’s Variational principle Nonlinear Anal 10 (1986), 813-822 51 ... "tương tự" nguyên lý biến phân Ekeland ánh xạ dang co lớp không gian "mêtric" đủ Ngồi ra, ta đạt dạng hình học nguyên lý biến phân Ekeland như: định lý cánh hoa, định lý giọt nước định lý điểm bất... 48 Kết luận Luận văn "Nguyên lý biến phân Ekeland ánh xạ dạng co" tập trung nghiên cứu vấn đề sau: Trình bày cách đầy đủ hệ thống kết liên quan đến nguyên lý biến phân Ekeland dạng hình học khơng... f (x) = x với x Khi ta có φn (x) ≥ φn (f (x)) + dn (x, f (x)) , 19 Chương NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI ÁNH XẠ DẠNG CO TRONG KHÔNG GIAN GAUGE mâu thuẫn với nguyên lý biến phân Ekeland áp