LIPSCHITZ
3.1 Khái niệm
Cho không gian mêtric X, ta ký hiệu:
Với x ∈ X và α > 0 ta ký hiệu Bd(x, α) là hình cầu mở tâm x bán kính α.
Ký hiệu: bao đóng của tập con A của X là cl(A), P◦(X) là các tập con không rỗng của X, C◦(X) là các tập con đóng không rỗng của X, và
F◦(X) là các tập con hữu hạn không rỗng của X.
Với A∈ P◦(X), ta ký hiệu hàm số khoảng cách d(., A), xác định bởi
d(x, A) = inf
a∈Ad(x, a), x ∈ X.
Khi đó, d(., A) là ánh xạ không giãn.
Định nghĩa 3.1.1. Nếu F : X → [−∞,+∞], ta định nghĩa trên đồ thị và dưới đồ thị của nó như sau:
epi(f) ={(x, α), x ∈ X, α ∈ R : α ≥ f (x)}, hypo(f) ={(x, α), x ∈ X, α ∈ R : α ≤f (x)}.
Chương 3.NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM SỐ LIPSCHITZ
(i) Hàm f là nửa liên tục dưới khi và chỉ khi epi(f) là tập con đóng của không gian tích.
(ii) Hàm f là nửa liên tục trên khi và chỉ khi hypo(f) là tập con đóng của không gian tích.
Do đó, một hàm số với giá trị thực là liên tục khi và chỉ khi cả hai trên đồ thị và dưới đồ thị của nó đều là tập con đóng của không gian tích.
3.2 Các kết quả
Sau đây, chúng tôi đề cập đến một trường hợp đặc biệt của định lý
1.2.4
Định lí 3.2.1. (Nguyên lý biến phân Ekeland) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ. Hàm f : X → (−∞,+∞] là hàm thực sự, nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Cho x ∈ X thỏa mãn f (x) ≤ infXf +ε. Khi đó tồn tại v ∈ X có các tính chất sau:
(1) f (v) ≤ f (x) ;. (2) d(x, v) ≤ 1;.
(3) Với mỗi x 6= v, f (v)−εd(x, v) < f (x).
Định nghĩa 3.2.2. Cho (X, d) là một không gian mêtric và λ > 0. Nón mêtric nghịch đảo với độ nghiêng −λ và đỉnh (x, α) ∈ X ×R là tập con dưới đây của không gian tích:
C(λx,α) := {(ω, β), ω ∈ X, β ∈ R :β ≤ α −λd(x, ω)}.
Nhận xét: Điều kiện ( 3) trong định lý 3.1.2 có thể viết lại như sau (3) C(εv,f(v)) ⊆ hypo(f) và x =6 v ⇒(x, f(x)) ∈/ C(εv,f(v)).
Để thấy rõ hơn quan hệ của ánh xạ λ−Lipschitz với nón trên ta có mệnh đề sau.
Chương 3.NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM SỐ LIPSCHITZ
Mệnh đề 3.2.3. Cho (X, d) là không gian mêtric và λ > 0. Khi đó f : X → R là λ − Lipschitz khi và chỉ khi với mỗi x ∈ X, thì C(λx,f(x)) ⊆ hypo(f).
Chứng minh. Giả sử f là λ −Lipschitz, lấy x ∈ X và (u, v) ∈ C(λx,f(x)). Khi đó v ≤ f (x)−λd(u, x).
Do f là λ−Lipschitz nên với u, x ∈ X ta có |f (x)−f (u)| ≤ λd(u, x)
f (x)−f (u) ≤ λd(u, x)
−(f (x)−f (u)) ≥ −λd(u, x).
Ta có
v ≤f (x)−λd(u, x) ≤ f (x)−(f (x)−f (u)) = f (u).
Vậy v ≤f (u) hay (u, v) ∈ hypo(f).
Giả sử C(λx,f(x)) ⊆hypo(f),∀x ∈ X. Lấy x, y ∈ X theo giả thiết
C(λx,f(x)) ⊆ hypo(f) C(λy,f(y)) ⊆ hypo(f).
Vì f (y)−λd(x, y) = f (y)−λd(x, y) nên
(x, f (y)−λd(x, y)) ∈ C(λy,f(y)) ⊆hypo(f) (x, f (y)−λd(x, y)) ∈ hypo(f)
f (y)−λd(x, y) ≤f (x) f (y)−f (x) ≤λd(x, y).
Vì f (x)−λd(x, y) = f (x)−λd(x, y) nên
Chương 3.NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM SỐ LIPSCHITZ Lập luận tương tự như trên ta được
f (x)−f (y) ≤λd(x, y).
Kết hợp lại ta có |f (x)−f (y)| ≤ λd(x, y)∀x, y ∈ X. Vậy f là λ−Lipschitz.
Sau đây là các kết quả chính của chương này. Kết quả chính đầu tiên cho ta thấy mối liên hệ của nguyên lý biến phân Ekeland dạng yếu đối với hai lớp ánh xạ: nửa liên tục dưới và λ−Lipschitz.
Định lí 3.2.4. Cho (X, d) là không gian mêtric. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(i) Với mọi hàm f : X → (−∞,+∞] là hàm thực sự, nửa liên tục dưới và bị chặn dưới và x ∈ X thỏa mãn f (x) ≤ infXf +ε thì tồn tại v ∈ X sao cho f (v) ≤ f (x) và với mọi x 6= v ta có f (v)−εd(x, v) < f (x). (ii) Với mọi λ > 0 và f : X → R là λ −Lipschitz với infX (f) > −∞,
thì tồn tại ε ∈ (0, λ), v ∈ X sao cho C(εv,f(v)) ⊆hypo(f).
Chứng minh. (i) =⇒ (ii). Cho λ > 0 và f : X → R là λ−Lipschitz với
infX (f) > −∞. Lấy x¯ là λ2 xấp xỉ cực tiểu đối với hàm số Lipschitz f, tức là f (x) 6 inff + λ2. Chọn ε = λ2, theo (i) tồn tại v ∈ X với f (v) ≤f (x)
và mọi x 6= v ta có
f (v)−εd(x, v) < f(x).
Nghĩa là
C(λx,α) := {(ω, β), ω ∈ X, β ∈ R :β ≤ α −λd(x, ω)}.
Vậy (ii) được chứng minh. Với C(εv,f(v)) ⊆ hypo(f) ta có
Chương 3.NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM SỐ LIPSCHITZ ∀x ∈ X,(x, f(v)−εd(x, v)) ∈ hypo(f)
f (v)−εd(x, v) ≤ f (x).
Vậy C(εv,f(v)) ⊆hypo(f) tương đương với ∀x∈ X, f(v)−εd(x, v) ≤f (x) (ii) =⇒ (i). Giả sử f : X → (−∞,+∞] là hàm thực sự, nửa liên tục dưới và bị chặn dưới, x ∈ X thỏa mãn f (x) ≤ infXf + ε. Định nghĩa
f◦ : X → (−∞,+∞] như sau, f◦(x) = f (x) nếu f (x) ≤ f (x) và
f◦(x) = ∞ trong các trường hợp khác. Khi đó f◦ cũng là hàm thực sự, nửa liên tục dưới và bị chặn dưới.
Định nghĩa g : X → R bởi g(x) = inf
ω∈Xf◦(ω) + ωd(x, ω). Khi đó g là
ε−Lipschitz chính quy của f◦.
Theo(ii)tồn tạiv ∈ X, δ ∈ (0, ε)sao cho∀x ∈ X, g(x) ≥ g(v)−δd(x, v).
Ta có g(v) = inf
v∈Xf◦(v) +εd(v, v) = inf
v∈Xf◦(v) nên g(v) ≤ f◦(v). Bây giờ ta chứng minh g(v) ≥ f◦(v) bằng phản chứng.
Giả sửg(v) < f◦(v), chọn α ∈ R với g(v) < α < f◦(v). Do f◦ là nửa liên tục dưới nên tồn tại µ > 0 sao cho d(x, v) < µ ⇒ f◦(x) > α. Khi đó, nếu
d(x, v) < µ thì f◦(x) +εd(v, x) > α và nếu d(x, v) ≥ µ thì
f◦(x) +εd(v, x) ≥ g(x) +δd(v, x) +µ(ε−δ) ≥g(v) +µ(ε−δ).
Kết hợp hai đánh giá này ta có
inf
x∈Xf◦(x) +εd(v, x) > min{α, g(v) +µ(ε−δ)} > g(v).
Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của g(v). Vậy g(v) =f◦(v), từ đây ta có g(v) =f (v) ≤f (x).
Cuối cùng, cho x 6= v bất kỳ. Nếu f (x) ≥f (x), ta có
f (x) > f (v) > f (v)−εd(x, v).
Nếu f (x) ≤ f (x), ta có
Chương 3.NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM SỐ LIPSCHITZ Vậy (i) được chứng minh.
Trên không gian C◦(X), ta đã định nghĩa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập là D(A, B) và nếu X là không gian đầy đủ thì (C◦(X), D)
là không gian mêtric đầy đủ. Ngoài ra, trong không gian C◦(X), chúng tôi còn đề cập khoảng cách sau:
ρAW(A, B) := ∞ X n=1 1 2n min{ 1,sup{ |d(x, A)−d(x, B)| :x ∈ Bd(x◦, n)} } ở đây x◦ ∈ X là cố định cho trước.
Để thấy rõ hơn về mối liên hệ của các khoảng cách trên với nguyên lý biến phân Ekeland dạng yếu của hàm Lipschitz ta có kết quả chính thứ hai.
Định lí 3.2.5. Cho (X, d) là không gian mêtric. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(1) Mêtric d là đầy đủ;
(2) Với mỗi λ > 0 và f : X → R là λ −Lipschitz với infX (f) > −∞, thì tồn tại ε ∈ (0, λ), v ∈ X sao cho C(εv,f(v)) ⊆hypo(f) ;
(3) Bất kỳ hAni là một dãy giảm các tập con đóng không rỗng của X mà là ρAW −Cauchy, thì ∩∞n=1An 6= ∅;
(4) bất kỳ hAni là một dãy giảm các tập con đóng không rỗng của X mà là D −Cauchy, thì ∩∞n=1An 6= ∅.
Chứng minh. (1) =⇒(2). Giả sử d là mêtric đầy đủ, theo định lý 3.1.2 ta suy ra (2).
(2) =⇒ (3). Dãy hd(., An)i là UBd(X) −Cauchy trong Cb(X,R). Do đó nó hội tụ đều trên các tập con bị chặn đến f : X → R. Do sự hội tụ
Chương 3.NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM SỐ LIPSCHITZ
theo từng điểm nên f là hàm không giãn và không âm. Theo (2), tồn tại
ε ∈ (0,1) và v ∈ X sao cho
∀x∈ X, f (x) ≥ f (v)−εd(x, v). (3.1) Ta chứng minh f (v) = 0 bằng phản chứng. Giả sử f (v) > 0, với mỗi
n∈ N chọn an ∈ An sao cho
d(v, An) ≤d(v, an) < d(v, An) + 1 n.
Từ f (v) = lim
n→∞d(v, An), ta thấy {an : n ∈ N} là tập con bị chặn của X. Tiếp theo, ta chứng minh
lim
n→∞f (an) = 0. (3.2)
Thật vậy, cho δ > 0 bởi sự hội tụ đều trên {an : n∈ N} nên chọn n◦ ∈ N đủ lớn sao cho
∀k ≥ n◦,∀n∈ N,|d(an, Ak)−f (an)| < δ.
Đặc biệt, cho n = k với mỗi k ≥ n◦, chúng ta có |f (an)| < δ với mọi
n≥ n◦. Vậy lim n→∞f (an) = 0. Mặt khác, chúng ta chứng minh lim n→∞f (v)−εd(an, v) > 0. (3.3) Thật vậy lim n→∞f (v)−εd(an, v) =f (v)−ε lim n→∞d(v, An) = (1−ε)f (v).
Ta thấy sự kết hợp của (3.2) và (3.3) mâu thuẫn với (3.1), do đó f (v) = 0. Vậy v ∈ ∩∞n=1An.
(3) =⇒ (4). Điều này là hiển nhiên vì tính đều của D− mêtric mịn hơn tính đều của ρAW− mêtric.
Chương 3.NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND ĐỐI VỚI HÀM SỐ LIPSCHITZ
(4) =⇒(1). Lấy hxni là một dãy Cauchy trong X. Áp dụng điều kiện (4)
đối với dãyD−CauchyhAni,ở đây với mỗi n∈ N, An = cl({xk : k ≥n})
ta tìm được p∈ ∩∞n=1An. Khi đó p là điểm tụ của hxni. Vậy định lý được chứng minh.
Ví dụ 3.2.6. Cho X = [0,∞] được trang bị mêtric Euclid d. Lập dãy giảm trong C◦(X) bằng cách đặt An = k1 : k ≥ n ∪
4− k1 : k ≥ n ∪ {4}. Khi đó hd(., An)i hội tụ đều toàn cục đến f ∈ L1(X,R) xác định bởi, f (x) = x nếu x ≤ 2, f (x) = |4− x| nếu x > 2. Vì thế hAni là D−
Cauchy. Ta có ∩∞n=1An = {4}, nhưng hAni không hội tụ đến giao điểm vì d(1, An) = 1− 1
Kết luận
Luận văn "Nguyên lý biến phân Ekeland đối với ánh xạ dạng co" tập trung nghiên cứu vấn đề sau:
1. Trình bày một cách đầy đủ và hệ thống các kết quả chính liên quan đến nguyên lý biến phân Ekeland và các dạng hình học của nó không gian gauge. Ngoài ra, ta đạt được các hệ quả là các định lý về điểm bất động cho ánh xạ co đa trị.
2. Trình bày nguyên lý biến phân Ekeland dạng yếu đối với ánh xạ Lipschitz trong không gian mêtric đầy đủ.
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do vấn đề được đề cập trong luận văn là tương đối phức tạp và thời gian có hạn, vì vậy luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả luận văn mong muốn nhận được sự góp ý kiến của thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn.