Vị nhóm sắp thứ tự giao hoán và giản ước được với biểu diễn hữu hạn

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THẾ MẠNH VỊ NHÓM SẮP THỨ TỰ GIAO HOÁN VÀ GIẢN ƢỚC ĐƢỢC VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2011 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC………………………………………………………………… LỜI NÓI ĐẦU …………………………………………………………… CHƢƠNG I NỬA NHĨM GIAO HỐN……………………………… .4 1.1 Nửa nhóm giao hốn giản ƣớc đƣợc ………………………………… 1.2 Nửa nhóm giao hốn thứ tự đƣợc ……………………………… 10 1.3 Tƣơng đẳng nhóm giao hốn ………………………… 15 CHƢƠNG II VỊ NHÓM SẮP THỨ TỰ GIAO HOÁN VÀ GIẢN ƢỚC ĐƢỢC VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN………………… 22 2.1.Giả thứ tự giản ƣớc đƣợc vị nhóm vị nhóm giao hốn………………………………………………………22 2.2 Vị nhóm thứ tự giao hốn giản ƣớc đƣợc với biểu diễn hữu hạn…………………………………………………… 32 KẾT LUẬN……………………………………………………………… 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………… 40 LỜI NĨI ĐẦU Các nhóm thứ tự đƣợc đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu năm đầu kỷ XX Năm 1913, F Lévi chứng minh đƣợc nhóm Aben phi xoắn thứ tự đƣợc Năm 1963, Fuchs giải đáp đƣợc câu hỏi: Các nhóm khơng Aben thoả mãn điều kiện thứ tự tồn phần đƣợc? Tuy nhiên, nửa nhóm thứ tự đƣợc đƣợc quan tâm nghiên cứu năm gần Năm 1995, N Keayopulu M Tsingelis bắt đầu khảo sát nửa nhóm thứ tự đƣợc (xem [5], [6]) Sau đó, năm 2000, họ xét số lớp nửa nhóm nhúng đƣợc vào nhóm thứ tự đƣợc (xem [7]) Luận văn dựa báo “On finitely presented, cancellative and commutative ordered monoids” Y Cao đăng tạp chí Semigroup Forum số 82, năm 2011 để tìm hiểu vị nhóm thứ tự giao hoán giản ƣớc đƣợc với biểu diễn hữu hạn Luận văn đƣợc chia thành hai chƣơng: CHƢƠNG I NỬA NHĨM GIAO HỐN Hệ thống vấn đề liên quan đến nửa nhóm giao hốn giản ƣớc đƣợc, nửa nhóm giao hốn thứ tự đƣợc tƣơng đẳng nửa nhóm giao hốn để làm sở cho việc trình bày chƣơng sau CHƢƠNG II VỊ NHĨM SẮP THỨ TỰ GIAO HỐN VÀ GIẢN ƢỚC ĐƢỢC VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN Trình bày cách chi tiết kết sau: Mỗi vị nhóm thứ tự giao hốn giản ƣớc đƣợc với biểu diễn hữu hạn đƣợc xác định giả thứ tự giản ƣớc đƣợc hữu hạn sinh vị nhóm  n  , với số nguyên n Mỗi giả thứ tự giản ƣớc đƣợc nhóm  n n  , đƣợc xác định vị nhóm   n  , hữu hạn sinh nhóm tƣơng ứng vị nhóm aphin  n , Mỗi giả thứ tự sinh   n  , (nghĩa vị nhóm hữu hạn  , ) Luận văn đƣợc hoàn thành Trƣờng Đại học Vinh dƣới hƣớng dẫn PGS TS Lê Quốc Hán Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Lê Quốc Hán, Ngƣời định hƣớng nghiên cứu, thƣờng xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, động viên khích lệ Tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin chân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo chuyên ngành Đại số & Lý thuyết số - Khoa Toán - Trƣờng Đại học Vinh động viên, giúp đỡ trình học tập, trình viết chỉnh sửa Luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song Luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn đƣợc hoàn thiện Nghệ An, tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG I NỬA NHĨM GIAO HỐN 1.1 Nửa nhóm giao hốn giản ƣớc đƣợc 1.1.1 Định nghĩa Nửa nhóm S đƣợc gọi nửa nhóm giao hốn phép tốn S có tính chất giao hốn Khi phép tốn S thƣờng đƣợc ký hiệu theo lối cộng Nếu S vị nhóm đơn vị S thƣờng đƣợc gọi phần tử không ký hiệu Giả sử  S,+  nửa nhóm khơng có đơn vị, S nhúng đƣợc vị nhóm S0 = S  t t ký hiệu không thuộc S thoả mãn điều kiện x + t = t + x = x với x  S0 Khi t trở thành phần tử đơn vị S Giả sử S nhóm A,B tập khác rỗng S Ký hiệu A + B = a + b a  A,b  B Tập khác rỗng T nửa nhóm S nửa nhóm S , thân T nửa nhóm với phép toán S cảm sinh T , nghĩa a,b  T kéo theo a + b  T Giả sử Sα α  I họ nửa nhóm nửa nhóm S cho αI Sα khác rỗng.Thế T := αI Sα nửa nhóm S nửa nhóm nhỏ S chứa Sα ,α  I Giả sử B tập khác rỗng nửa nhóm S Khi giao tất nửa nhóm S chứa B đƣợc gọi nửa nhóm nhỏ S sinh B đƣợc ký hiệu B Rõ ràng B chứa tất phần tử dạng n  bi = b1 + b2 + i=1 + bn bi  B, i = 1,2, ,n Tập khác rỗng I nửa nhóm S đƣợc gọi iđêan S I  s + I, s  S , s + I := s + a a  I Giao họ tuỳ ý iđêan nửa nhóm S iđêan S , giao khác rỗng Giả sử B tập khác rỗng nửa nhóm S Thế B   B + S iđêan S iđêan nhỏ S chứa B Nếu S vị nhóm B   B + S nên B + S iđêan S sinh B Giả sử I iđêan S cho I  S , I đƣợc gọi iđêan nguyên tố S x + y  I kéo theo x  I y  I,  x, y  S Nhƣ iđêan thực I nửa nhóm S iđêan nguyên tố phần bù S \ I I S nửa nhóm S  Giả sử I iđêan nửa nhóm S  tập hợp tất số nguyên dƣơng Khi tập I iđêan s  S  n   cho ns  I + iđêan S đƣợc gọi iđêan S , ký hiệu rad  I  hay I 1.1.2 Định lý Giả sử S nửa nhóm (1) S nhóm S iđêan S (2) Nếu I iđêan S T nửa nhóm S cho I  T = f , tồn iđêan nguyên tố S cho P  I P  I = f (3) Nếu I iđêan S , rad  I  giao tất iđêan nguyên tố chứa I S Chứng minh (1) Giả sử S nhóm I iđêan S Khi I  f nên tồn a  I Vì S nhóm nên tồn b  S cho a + b = , đơn vị S Vì I iđêan S a  I nên = a + b  I Khi với x  S có x = + x  I nên S  I Hiển nhiên I  S nên S = I Giả sử a,b  S Khi a + S iđêan S theo giả thiết ( S iđêan S ) có a + S = S b  S nên b  a + S Suy tồn c  S cho a + c = b , phƣơng trình a + x = b có nghiệm S Vì S giao hốn nên phƣơng trình y + a = b có nghiệm S Vậy S nhóm (2) Theo bổ đề Zorn, ta cần chứng minh I iđêan nguyên tố I tối đại iđêan không giao với T Thật giả sử a,b  I Khi I  a   a + S I  b   b + S iđêan S chứa I nên có giao với T Suy tồn s1,s2  S cho a + s1  T b + s2  T Từ a + s1 + b + s2 = a + b + s1 + s2   T với s1 + s2  S Vì I  T = f nên a + b  T Vậy I iđêan nguyên tố (3) Suy trực tiếp từ định nghĩa rad  I  kết (2) 1.1.3 Định nghĩa Giả sử  S,+  vị nhóm giao hốn có đơn vị Khi phần tử s  S đƣợc gọi khả nghịch tồn x  S cho s + x = Tập hợp G tất phần tử khả nghịch S tạo thành nhóm S nhóm lớn S chứa Một tổng hữu hạn n  si phần tử thuộc S khả nghịch i=1 phần tử si khả nghịch Nhƣ S \ G iđêan nguyên tố S G  S Nếu H nhóm tuỳ ý S chứa 0, nhƣ trƣờng hợp nhóm H cảm sinh phân hoạch S thành lớp ghép rời s + H Thực tế, quan hệ ρ S đƣợc xác định aρb a = b + h,h  H đó, ρ quan hệ tƣơng đƣơng S s + H ρ - lớp tƣơng đƣơng chứa s  S 1.1.4 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm Phần tử s  S đƣợc gọi giản ước s + a = s + b kéo theo a = b  a,b  S Giả sử C tập hợp tất phần tử giản ƣớc đƣợc S C   Thế C nửa nhóm S Khi tổng hữu hạn n  si phần tử i=1 thuộc C si  C từ S \ C iđêan nguyên tố S S  C Trong trƣờng hợp S = C ta nói S nửa nhóm giản ước Một kết quan trọng Lý thuyết nhóm sơ cấp phát biểu nhóm giản ƣớc đƣợc hữu hạn nhóm Hiển nhiên, nửa nhóm nhóm giản ƣớc đƣợc Định lý 1.1.5 sau khẳng định kết ngƣợc lại 1.1.5 Định lý Giả sử  S ,  nửa nhóm giao hốn C nửa nhóm S cho phần tử thuộc C giản ước S , tồn phép nhúng f từ S vào vị nhóm giao hốn T cho điều kiện sau thỏa mãn: (1)Với c  C, f  c  có khả nghịch T (mà ta ký hiệu  f  c  ) (2) T   f  s   f  c  s  S ,c  C Hơn nửa vị nhóm T xác định tính chất (1) (2) sai khác đẳng cấu nửa nhóm Nếu S nửa nhóm giản ước S  C T nhóm Chứng minh Chúng ta nêu lên cách xây dựng vị nhóm T tƣơng tự nhƣ cách xây dựng vành số nguyên từ tập hợp tất số nguyên không âm Giả sử A = S× C  s1,c1  s2 ,c2  quan hệ A xác định s1 + c2 = s2 + c1 Vì C giản ƣớc đƣợc nên quan hệ tƣơng đƣơng A Ký hiệu s,c lớp tƣơng đƣơng chứa  s,c  T tập tất lớp tƣơng đƣơng  s,c  với s  S,c  C Thế T với phép toán cho s1,c1  + s2 ,c2  = s1 + s ,c1 + c2  vị nhóm đơn vị  c,c  với c  C Hơn ánh xạ f :S  T xác định f  s  = s + c,c phép nhúng từ S vào T Nếu c  C , f  c  =  2c,c có nghịch đảo c,2c T , phần tử s,c tuỳ ý thuộc T đƣợc viết dƣới dạng s + c,c + c,2c = f s  - f  c  Rõ ràng T đƣợc xác định (Bởi tính chất (1) (2) sai khác đẳng cấu nửa nhóm, nghĩa g :S  T' Là phép nhúng từ S vào vị nhóm giao hốn T cho hai điều kiện (1) (2) đƣợc thoả mãn tồn đẳng cấu nửa nhóm j: T  T’ cho jof = g , nghĩa biểu đồ sau giao hoán f S g T  T’ Hơn nữa, S = C phần tử tuỳ ý [r,c] T có nghịch đảo [c,r] T nên T nhóm Điều kết thúc phép chứng minh 1.1.6 Định nghĩa Vị nhóm thƣơng đƣợc xây dựng phép chứng minh Định lý 1.1.5 đƣợc gọi vị nhóm thương S theo C 10 Vì f đơn cấu nên ta đồng f  s  với s, nhƣ phần tử T đƣợc viết dƣới dạng s - c để thay cho f  s  - f  c  Nếu S giản ƣớc đƣợc, nhóm T Định lý 1.1.5 đƣợc gọi nhóm thƣơngcủa S khơng kể đến sai khác đẳng cấu T nhóm Aben nhỏ mà S đƣợc nhúng vào 1.1.7 Chú ý Từ Định nghĩa 1.1.6 Định lý 1.1.5, ta phân lớp nửa nhóm giao hốn giản ƣớc đƣợc theo thuật ngữ nhóm thƣơng chúng Ta nhắc lại nhóm Aben G đƣợc gọi phi xoắn phần tử G có cấp hữu hạn G đƣợc gọi nhóm xoắn phần tử G có cấp hữu hạn Thế từ Định lý 1.1.5 suy Giả sử S nửa nhóm giao hốn giản ƣớc đƣợc G nhóm thƣơng Thế G nhóm phi xoắn S thoả mãn điều kiện: (*) Đối với nguyên dƣơng n x, y  S tuỳ ý, đẳng thức nx  ny kéo theo x  y Từ ta đến định nghĩa 1.1.8 Định nghĩa Nửa nhóm S đƣợc gọi nửa nhóm phi xoắn điều kiện (*) đƣợc thoả mãn Chú ý Định nghĩa 1.1.8 đƣợc dùng trƣờng hợp S giản ƣớc đƣợc hay không giản ƣớc đƣợc Trong trƣờng hợp nửa nhóm, ngƣời ta tránh dùng thuật ngữ nửa nhóm xoắn mà dùng thuật ngữ nửa nhóm tuần hồn: S nửa nhóm tuần hồn phần tử S có cấp hữu hạn Từ Định lý 1.1.5 trực tiếp suy Hệ quả: 1.1.9 Hệ Nếu S nửa nhóm giao hốn tuần hồn giản ước nhóm thương S nhóm Aben xoắn 27 Thế z + ,z-  n z = z + -z- Rédei [1] chứng tỏ rằng: Nếu (S,+) vị nhóm giao hốn đƣợc sinh s1 ,s2 , ,sn  , S đẳng cấu với hạt nhân φ:Nn S,( x1 , x , , x n ) n σ σ tƣơng đẳng x1 s1 + x s + + x n s n Do định nghĩa Mσ = x - y ( x, y)  σ  ,mà nhóm  M = ( x, y) n nhóm × n tuỳ ý  x - yM tƣơng đẳng đƣợc S giản ƣớc đƣợc n M Mσ n , quan n Đảo lại hệ Rédei chứng minh =σ Sau chúng tơi trình bày kết tƣơng tự vị nhóm thứ tự giản ƣớc đƣợc giao hốn Vì vị nhóm thứ tự giản ƣớc đƣợc giao hốn nhúng đƣợc vào nhóm thứ tự giao hốn [7], xét vị nhóm thứ tự giản ƣớc đƣợc giao hốn tuỳ ý nhƣ vị nhóm thứ tự đƣợc nhóm thứ tự giao hốn Giả sử (A,+) nhóm giao hốn S vị nhóm (A,+) Giả thiết  quan hệ hai S cho (S,+,  ) vị nhóm đƣợc thứ tự Thế C  =y-x x  y, x, y S vị nhóm nhóm (A,+) Vị nhóm C  đƣợc gọi nón dương (S,+,  ) ; đƣợc gọi nhọn C   (- C  )= 0 Nếu (S,+,  ) , với z C   (- C  ) tuỳ ý, tồn a,b,c,dS cho z = b-a ,- z =d-c,a  b c  d từ b+d =a +c  a +d Vì (S,+,  ) giản ƣớc đƣợc nên b  a Thế a = b z = Do C   (- C  ) 0 C  nón nhọn Đảo lại, giả sử C vị nhóm (A,+) thoả mãn C  (- C )= 0 Chúng ta định 28 nghĩa quan hệ hai  C S cách đặt x  c y y-xC Thế cách tính trực tiếp chứng tỏ (S,+,  c ) vị nhóm thứ tự giản ƣớc đƣợc với C nón dƣơng Vị nhóm (S,+,  c ) đƣợc ký hiệu (S,+,0, ) Đặc biệt (A,+,0,  ) nhóm thứ tự với nón dƣơng C Định lý sau xét mối liên hệ giả thứ tự (S,+,  ) vị nhóm  A,+  chứa C  2.1.3 Định lý Giả sử  A,  vị nhóm giao hốn, S vị nhóm  A,   S , ,  vị nhóm thứ tự (i) Đối với giả thứ tự ρ tuỳ ý trên, S , ký hiệu M ρ :  y  x ( x,y )  ρ ,x ,yS ) Thế M ρ vị nhóm ( A, ) chứa nón dương C   S , ,  ( ii ) Đối với vị nhóm M tuỳ ý ( A, ) chứa nón dương C  , k ý hiệu ρM : ( x, y ) S  S y  x M  M :  M (  M ) Thế ρM giả thứ tự giản ước  S , ,  Hơn , ta có ( ii-1) M nhóm ( A, ) ;   ( ii-2) ρM :  ρM  ρM1  ( x , y )S  S x  yM ; ( ii-3) M M   aM  aM vị nhóm nhóm  A ,  thoả  M     mãn  M     M   ,trong A  x  M x A  M ; M  M  M 29 ( ii-4) S S M   S , ,0 , M  vị nhóm thứ tự, ρM  M M   xM x S  M M nón dương vị nhóm thứ tự  S , ,0 , M     M M (iii) Đối với giả thứ tự ρ ( S , , ) , ta có ρ  ρM ρM  ρ ρ ρ ρ giản ước Chứng minh (i) Vì ρ phản xạ nên a S tuỳ ý, ta có 0=a -a  Mρ Nếu ( x, y)Mρ , x = b-a y=d-c với a,b,c,d S thoả mãn  a,b  ,  c,d ρ Từ định nghĩa giả thứ tự suy  a +c,b+d ρ x + y=  b+d  - a +c Mρ Từ M ρ vị nhóm (A,+) Hơn nữa, x C tồn a ,bS cho x = b-a a  b , kéo theo  a,b  ρ từ xMρ Vậy C  Mρ ( ii ) Một tính tốn trực tiếp chứng tỏ ρ M giả thứ tự giản ƣớc đƣợc S , ( ii-1) ( ii-2) M M vị nhóm nhóm   A ,+  thoả mãn  M    -M  = Theo lập luận đoạn văn        M  M  M  cuối cùng, trƣớc định lí thấy  A ,+,0 , M   M M nhóm thứ tự với nón dƣơng M Dễ dàng thấy ψ:x M x +M toàn cấu vị nhóm từ  S,+  lên  S ,+  Hơn nữa, x, yS tuỳ ý ta có x +M = ψ( x )  ψ( y)= y+ M    M  30  y - x + MM  nghĩa  S , +, , M  M  M M y-x M+M  M điều tƣơng đƣơng với từ S ρM  x, y ρM Do ρ(ψ)=ρM  ψ(S) =  S ,+,0 , M  với tƣ cách vị nhóm đƣợc  M M thứ tự (iii) Đối với giả thứ tự tuỳ ý ρ S dễ thấy ρρM Nếu ρMρ =ρ , (ii), ta thấy ρ giản ƣớc đƣợc Đảo lại, giả sử ρ giản ƣớc đƣợc  x, y ρ x, yS y-x = b-a a ,bρ đó, suy x +b=a + y nên  x +b, y+b  =  a + y,b+ y ρ Từ suy  x, y  ρ ρ giản ƣớc đƣợc Do ρMρ =ρ ρ giản ƣớc đƣợc Do Định lý 2.2 (iii) thấy tất giả thứ tự giản ƣớc đƣợc vị nhóm  n n  n  , đƣợc cho ρ M M vị nhóm  , Để xác định giả thứ tự giản ƣớc đƣợc hữu hạn sinh ρ , cần khảo sát điều kiện vị nhóm Mρ cho ρ =ρ Mρ giả thứ tự hữu hạn sinh n Theo ký hiệu Định lý 2.1.3 ta có : 2.1.4 Định lý Giả sử ρ n  hữu hạn sinh vị nhóm n n  Thế ρ tưạ thứ tự giản ước n  , M ρ nhóm aphin , nghĩa M ρ vị nhóm hữu hạn sinh  n  , 31 Chứng minh Điều kiện cần Giả sử ρ giả thứ tự giản ƣớc đƣợc hữu hạn   sinh η=  a1 ,b1  ,  a ,b2  ,  a ,b3  , ,  a s ,bs  nhóm nhóm  n n  n Thế Mρ vị  , theo Định lý 2.1.3 (i) Ký hiệu U=b1 -a1 ,b2 -a , ,bs -a s   n    s  giả sử g  U  =  yi  bi -a i  yi  ,i =1,2, ,s  vị nhóm aphin    i =1  đƣợc sinh U Do U  M nên g  U   Mρ Ta chứng minh n Mρ  g  U  Giả sử z  Mρ Thế z = y-x  x, y ρ=cp  η Từ điều kiện Bổ đề 2.1.2 ta suy tồn w  x + w, y+ w η2 Từ  x + w, y+ w η1k với số nguyên dƣơng sử k =1 , nghĩa a,b,c n  x + w,y+ w η11 n cho k Giả  x + w, y+ w  =  a +c,b+c  với Thế , điều thoả mãn  a ,b η0 , a = b  a ,b η Từ điều kiện z =  y+ w  -  x + w  =  b+c  -  a +c  = b-a ta kết luận đƣợc z = z U từ zg  U  Giả thiết k  v-ug  U   u , v  η1k -1 Bây giờ, giả sử  x + w , y + w η1k Thế tồn s n cho  x + w,s η1k -1  s, y + w  η1 , suy s-  x + w  , y+ w -s g  U  , theo giả thiết quy nạp kết luận k =1 tƣơng ứng.Từ z =  y+ w  -s  + s-  x + w  g  U  nên Mρ  g  U  Mρ =g  U  vị nhóm aphin n Điều kiện đủ Giả sử Mρ đƣợc sinh z1 ,z , zs   n Giả sử η=  a1 ,b1  ,  a ,b2  ,  a ,b3  , ,  a s ,bs  Vì ρ giản ƣớc đƣợc theo Định lý 32 2.1.3 (iii ) nên ρMρ =ρ , ρ  ρMρ ta kết luận đƣợc cp  η ρ Giả sử  a ,b  ρ Thế s b-a  Mρ , kéo theo b-a =  k i  bi -a i  n i =1 s i =1,2,3, ,s kí hiệu b0 =  k i bi  n i =1 s k i  ,a =  k ia i  n Thế i =1 b-a = b0 - a từ a +b0 =a +b Từ  a i ,bi  η tất i =1,2, ,s ta kết luận đƣợc  a ,b0  cp  η , theo định nghĩa cp  η  ,từ suy  a +b0 ,b +b0  =  a +b,b0 +b cp  η  a ,b cp  η từ Vì cp  η  giản ƣớc đƣợc nên ρ  cp  η  Do ρ=cp  η  giả thứ tự giản ƣớc đƣợc sinh η 2.1.5 Hệ Giả sử  n  , , vị nhóm thứ tự giản ước Thế S hữu hạn sinh nón dương C S vị nhóm aphin n Chứng minh Điều kiện cần Giả sử C vị nhóm aphin Vì S giản ƣớc đƣợc nên theo Định lý 2.1.3 ( iii ) 2.1.4 tồn tập hữu hạn  a1 ,b1  ,  a ,b2  ,  a3 ,b3 , , as ,bs   n n  n sinh giả thứ tự   , Chúng ta ký hiệu ei n-bộ với zero nơi trừ vị trí thứ i giả thiết a i =  a i1,a i2 , ,a in  ,bi =  bi1,bi2 , ,bin  ,i=1,2, ,s Thế S có biểu diễn hữu hạn n S= e1 ,e2 , ,en n  a ije j   b ije j,i =1,2, ,s j=1 j=1 Điều kiện đủ Giả sử S đƣợc biểu diễn hữu hạn Thế tồn vi  n ,i =1,2, ,m cho  n  , đƣợc sinh v1, v2 , , vm 33   ρ =  z, w    m m j=1 j =1 giả thứ tự hữu hạn sinh vị nhóm m  m  z jv j   w jv j,z =  z1,z , ,z m , w =  w1 , w , , w m    m     , S đẳng cấu với / ρ nhƣ vị nhóm đƣợc thứ tự Do Định lý 2.1.4 ta thấy  Mρ =  w -z  m m  z j v j   w jv j,z,w  j=1 j=1   vị nhóm aphin  n  z jv j  z m  tồn cấu nhóm từ  m Rõ ràng  : z m m toàn cấu vị nhóm từ  m m  ,   n ,   n , , lên j=1 thu hẹp   , lên   Từ m m    Mρ =    w  -   z   z jv j   w jv j ,z, w  j=1 j=1      =   w  -   z    z     w  ,z, w  m m      =C Do C vị nhóm aphin 2.2.Vị nhóm thứ tự giao hốn giản ƣớc đƣợc với biểu diễn hữu hạn 2.2.1.Chú ý Giả sử S vị nhóm thứ tự giao hốn giản ƣớc đƣợc với biểu diễn hữu hạn đƣợc cho (1) Ký hiệu ci =  ci1,ci2 , ,cin  =bi -a i  n ,i=1,s Thế S đƣợc xác định biểu diễn sau: n S= v1, v , , v n   cijv j, i =1,2, ,s j=1 34 Giả sử s trƣờng số hữu tỉ không gian tuyến tính s- chiều    x1, x , , xs  x1, x , , xs    tập hợp số hữu tỉ không âm Trong tiết ta ký hiệu :    M =   yici yi  ,i =1,2, ,s  vị nhóm aphin nhóm   đƣợc sinh c1,c2 , ,cs  n  n ,  ;  n , đƣợc đồng thời chứa  nhóm thƣơng n theo nhóm M ;  vị nhóm n  M = M   -M  vị nhóm lớn  M -M ;  n M  n  M M  = z+ M z n  = z+ M z M n  = z+ M zM     C = c1T ,cT2 , ,csT Mn×s   vị nhóm  ciT M n M ; ; chuyển vị ci , i = 1,2, ,s ;   w , , w    w c + w c + + w c =    w   Cw =      V vị nhóm vị nhóm    ,  V w  Cw =0  không gian ; NC =  s s  1 s  T s s 2 s c  s  T s C  Supp  NC  =  i 1 i  s w i >  w1 , , w s NC gọi giá vị nhóm N C  đƣợc 35 Đối với tồn cấu vị nhóm n   : x1, x , , x n từ  n   x i vi i =1  , lên  S,+  , giả sử ρ= Ρ   =  x, y  n    x    y  S n × η=  a1 ,b1  ,  a ,b2  , ,  a s ,bs  Theo định nghĩa vị nhóm thứ tự biểu diễn đƣợc hữu hạn, thấy ρ giả thứ tự n đƣợc sinh η Vì S đẳng cấu với n ρ nhƣ vị nhóm thứ tự S giản ƣớc đƣợc nên ρ giả thứ tự giản ƣớc đƣợc, suy ρ=cp  η  Từ Định lý 2.1.3 kết luận đƣợc ρ =ρM từ S đẳng cấu với   n 0= M thứ tự  M M M ,+,0, M  nhƣ vị nhóm thứ tự,  M đƣợc cho    a + M  b + M  b + M - a + M M  b -a  M,a, b n M Do để xác định cấu trúc (S,+,  ) cần xác định nhóm M     n  , trƣớc, tiếp đến n M ,+,0, M M M M cuối khảo sát cấu trúc thứ tự  nón dƣơng M  M M 36 2.2.2.Định lý Giả sử Supp  NC  i1 , ,it   i  s  i1 < < i t  s Thế ( i ) Tồn w   w1 , ,ws NC thoả mãn wik  w ik  tất k 1, ,t  ( ii ) M  x1 ci  x2 ci   xt cit  n x1 , ,xt   , sinh tập M  C i1   C it  c ,c i1  i2 , , cit Ci1   Cit nhóm   c , c , , c  , nghĩa s Nói riêng M 0 Supp  NC    , nghĩa NC 0  tuyến tính c1t , ,cit (iii) c j tổ hợp j1, ,s \i1 ,i2 , ,it  Chứng minh Khơng tính tổng qt, giả thiết Supp  NC  =1, , t  t  s i ( i ) Do Supp  NC  =1, , t tồn w   =  w i1 , , w it ,0, ,0 N C thoả mãn  w ik  tất k =1, , t w ii >0 i =1, , t Giả sử 1 w  = w + +w k Thế w  0 =  w 01 , , w0t ,0, ,0  NC thoả mãn t wok =  w ik Q+ w ok >0 tất k =1, , t Bây giờ, chọn i =1 số nguyên dƣơng d cho dw ok số nguyên k =1, , t Thế w =dw  0 =  w1 , , w t ,0, ,0 NC Wk = dWok số nguyên dƣơng k =1, , t 37 ( ii ) Giả sử G =  x1c1 +  Trƣớc hết ta chứng minh + x t ct x1, , x t  M  G Giả sử α M , từ α M α  M kết luận đƣợc tồn x1 , , xs , y1 , , ys  α =   y1 c1 + + ys cs  , từ cho α = x1 c1 +  x1 + y1  c1 + + x s cs +  x s + ys  cs =0  x1 + y1, , xs + ys  NC Vì Supp  NC  =1, ,t nên xi+1 +yi+1 = =xs +ys =0 từ điều kiện xi , yi N, 1 i  s kết luận đƣợc xi +1 = + x t ct G = xs =0 Do α= x1 c1 + Bây ta chứng tỏ G  M Giả sử βG Thế tồn y1 , , y t  N cho β = y1 c1 + + y t c t Dễ thấy βM Giả sử m= max y1, , y t  Nếu m=0 β = 0M Giả sử m 1 Do ( i ) tồn w =  w1, , w t ,0, ,0  NC cho w i số nguyên dƣơng j=1, , t Thế kết luận mw =  mw1 , ,mw t ,0, ,0 NC suy  mw1  c1 + đƣợc rằng, +  mw t  ct =0 Từ điều kiện từ kiện mw j - y j  m- y j  tất j=1, , t , suy -β=0-β=  mw1 - y1  c1 + +  mw t - y t  c t  M , nghĩa β- M Từ β M Do G  M nhƣ G = M Theo lập luận M nhóm Ci1 + + Cit M Từ M  Ci1    n  , chứa ci1, ,cit , suy Cit ( iii ) Giả thiết tồn số j cho t +1 j s r1 , ,rt  c j = r1 c1 + cho +rt c t Bằng cách nhân đẳng thức với số nguyên dƣơng k thích hợp ta nhận đƣợc -k c j = k1 c1 + +k t c t k1, , k t  Do (ii) 38 +k t c t  k1 c1 + x1, , x t  Ci1 + + Cit suy =M đó, suy x1 c1 + -kc j = x1c1 + + x tct với + x t ct +k c j = Từ kết luận đƣợc  x1 , , x t ,0, ,0,k,0, ,0  N C , suy j Supp  NC  nhận đƣợc mâu thuẫn Chú ý Nhƣ phép chứng minh Định lý 2.2.2 giả thiết Supp  NC  =1, , t  t  s Thế M =  M S đẳng cấu với   n M t = M =  0 S   n  , S    n ,+,0, M  n + + Ct ,  + k scs + M k t+1, ,k s N = k t+1ct+1 + M C1  nhƣ vị nhóm thứ tự Nói riêng,  M  , ,0 ,M ; t = s M = M nhóm  , ,0 ,   M thứ tự S quan hệ M  2.2.3 Hệ Giả sử S  ( n , , ) vị nhóm thứ tự, + theo thành phần.Thế S không biểu diễn hữu hạn n   thứ tự toàn phần n Chứng minh Giả thiết S  ( n , , ) đƣợc biểu diễn hữu hạn Thế n nón dƣơng C S vị nhóm aphin giản ƣớc đƣợc thứ tự toàn phần C    -C   Ci   j1, ,s\i n cj Giả sử  c1, ,cs  n , theo Hệ 2.1.5 Vì  nên C   (- C  ) 0 tập sinh C thoả mãn Nếu s =1 C  c1 mâu thuẫn với n  Bây giả sử s  Do n  c1    c1   c1 c1 -c2  C   C  ta có 39 c1 -c2  C c1 -c2  C Nếu c1 -c2  C , tồn k1 , , k s  s cho c1 -c2 =  k j c j , nghĩa j c1 s  Nc j c1 = k1c1 + =1 kết luận +  k +1  c2 +k3c3 + +kscs Từ đƣợc j=  k1 -1  c1 +  k +1  c2 + k1  Từ +k scs =0 suy Supp  NC  nhận đƣợc mâu thuẫn với C   -C  0 theo Định lý 2.2.2 Tƣơng tự với c1 -c2  C ta kết luận đƣợc 1Supp  NC  nhận đƣợc mâu thuẫn Chúng ta nhắc lại nửa nhóm số vị nhóm   ,  sinh ,  (xem Rosales Garcia- Sanchez  9 ) Đối với số nguyên dƣơng e1 , , es thoả mãn gcd  e1 , , es  =1, ký hiệu nửa nhóm sổ đƣợc  s sinh e1, ,es N  e1, ,es  , nghĩa N  e1, ,es  =  x iei x i , , x s  i =1    Bằng cách sử dụng định lý trực tiếp ta suy Hệ 2.2.4.Hệ Giả sử S vị nhóm thứ tự giao hốn, giản ước biểu diễn hữu hạn với phần tử sinh Thế tồn số nguyên dương s ,d ,e1 , ,es thoả mãn gcd  e1 , ,es  1 cho S đẳng cấu với  vị nhóm thứ tự  d ,  , modun d d  ,  , d  , ,0,d  e1 , ,es   ,  , ,0, d  e1 , ,es   ,  nhóm xyclic thơng thường lớp đồng dư  e1 , ,es    dx x  e1 , ,es  40 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau: Hệ thống hoá khái niệm tính chất nửa nhóm giản ƣớc đƣợc, nửa nhóm giao hốn thứ tự đƣợc tƣơng đẳng nửa nhóm giao hốn Trình bày khái niệm giả thứ tự giả thứ tự hữu hạn sinh nửa nhóm giao hốn Trình bày chứng minh giả thứ tự  n nhóm tƣơng ứng vị nhóm aphin  , hữu hạn sinh  n  , (Định lý 2.1.4) Trình bày khái niệm nửa nhóm thứ tự giao hốn hữu hạn sinh với biểu diễn hữu hạn Chứng minh nửa nhóm giao hốn đƣợc xác định giả thứ tự giản ƣớc đƣợc hữu hạn sinh vị nhóm với số nguyên n ( Định lý 2.2.2)  n ,  41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1 A H Cliphơt G B Preston (1970), Lý thuyết nửa nhóm, dịch Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội  2 Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngơn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 3 Lê Quốc Hán (2008), Lý thuyết nửa nhóm Lý thuyết nhóm, Đại học Vinh Tiếng Anh  4 Y.Cao (2011) “On finitely presented, cancellative and commutative ordered monoids” , Semigroup Forum, 82 , 121 – 130  5 N Keayopulu, M Tsingelis (1995), On subdirectly irreducible ordered Semigroups, Semigroup Forum, 50, 161 – 177  6 N Keayopulu, M Tsingelis (1995), Pseudoorder in ordered semigroups, Semigroup Forum, 50, 389 – 392 7 N Keayopulu, M Tsingelis (2000), The embedding of some ordered semigroups into orderer groups , Semigroup Forum, 60, 344 – 350  8 R Gilmer (1984), Commutative semigroup rings, The University of Chicago Press  9 J C Rosales, P A Garcia-Sanchez (2010), Nummerial semigroups, Developmént in Mathematics, Vol 20 Springer, Berlin ... THỨ TỰ GIAO HOÁN VÀ GIẢN ƢỚC ĐƢỢC VỚI BIỂU DIỄN HỮU HẠN………………… 22 2.1.Giả thứ tự giản ƣớc đƣợc vị nhóm vị nhóm giao hốn………………………………………………………22 2.2 Vị nhóm thứ tự giao hốn giản ƣớc đƣợc với biểu. .. nhóm thứ tự giản ƣớc đƣợc giao hốn nhúng đƣợc vào nhóm thứ tự giao hốn [7], xét vị nhóm thứ tự giản ƣớc đƣợc giao hốn tuỳ ý nhƣ vị nhóm thứ tự đƣợc nhóm thứ tự giao hốn Giả sử (A,+) nhóm giao. ..    =C Do C vị nhóm aphin 2.2 .Vị nhóm thứ tự giao hoán giản ƣớc đƣợc với biểu diễn hữu hạn 2.2.1.Chú ý Giả sử S vị nhóm thứ tự giao hốn giản ƣớc đƣợc với biểu diễn hữu hạn đƣợc cho (1) Ký