Mô hình ngẫu nhiên lời giải chính xác đối với hiện tượng giản ước bởi nhiễu trong laser vòng râmn

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Lê Hữu Vương ii LỜI CẢM ƠN Luận văn thạc sĩ hoàn thành Đại Học Hồng Đức Có luận văn chúng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến Đại Học Hồng Đức, phòng đào tạo sau đại học, đặc biệt PGS.TS Nguyễn Mạnh An trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt, giúp đỡ tác giả với dẫn khoa học quý giá suốt trình triển khai, nghiên cứu hồn thành đề tài Xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo, nhà khoa học trực tiếp giảng dạy, truyền đạt kiến thức khoa học cho tác giả năm tháng qua Chúng mong nhận đóng góp, phê bình q thầy cơ, nhà khoa học đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày tháng năm Tác giả luận văn Lê Hữu Vương iii MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ v MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Bố cục luận văn Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN TRONG QUANG HỌC LƯỢNG TỬ 1.1 Các mơ hình ngẫu nhiên laser 1.1.1 Lade đơn mốt với thăng giáng pha biên độ 1.1.2 Mơ hình laser với thăng giáng bơm 1.1.3 Laser đa mốt ánh sáng ngẫu nhiên 10 1.2 Nhiễu tiền Gauxơ ứng dụng 11 1.2.1 Các khái niệm 11 1.2.2 Nhiễu tiền Gauxơ, phương trình Chapman-Komogorow-Smoluchowski 14 1.2.3 Phương trình Burshtein cho trung bình phụ 18 1.2.4 Trường hợp tuyến tính 20 1.2.5 Trường hợp phi tuyến 23 1.3 Kết luận 24 Chương GIẢN ƯỚC BỞI NHIỄU TRONG LASER VÒNG RAMAN DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA BƠM TIỀN GAUXƠ MỘT ĐIỆN TÍN 25 2.1 Phân bố xác suất dừng cho hệ phi tuyến ảnh hưởng nhiễu điện tín 25 iv 2.2 Giản ước nhiễu laser vịng Raman với nhiễu điện tín 29 2.3 Kết luận 35 Chương GIẢN ƯỚC BỞI NHIỄU TRONG LASER VÒNG RAMAN DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA BƠM TIỀN GAUXƠ HAI ĐIỆN TÍN 36 3.1 Phân bố xác suất dừng cho hệ phi tuyến ảnh hưởng nhiễu hai điện tín 36 3.2 Giản ước nhiễu laser vịng Raman với nhiễu hai điện tín 38 3.3 Kết luận 43 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ Tên hình vẽ TT Trang 1.1 Giản đồ dẫn đến mơ hình trường xạ laser phát 1.2 Hiện thực hóa trình ngẫu nhiên z(t) cho trước 12 1.3 Nhiễu tiền Gauxơ gồm ba điện tín 16 Biểu đồ pha cho ranh giới trạng thái dừng (2.27) 2.1 hàm Δ σ với λ = 106, v = 102 μ = 10-2 33 Mật độ xác suất dừng Ps(x) có ranh giới gần biên xl x2 với giá trị khác σ Δ = 8, λ = 0,1, v = 10-4 2.2 34 -7 μ = 10 Mật độ phân bố xác suất dừng Pns  x  có ranh giới gần 3.1 biên x1 x2   106 ,   ,   0.1 ,   10 4 41   10 7 Mật độ phân bố xác suất dừng Pns  x  có ranh giới gần 3.2 biên x1 x2   5.106 ,   ,   0.1 ,   10 4 42   10 7 Mật độ phân bố xác suất dừng Pns  x  có ranh giới gần 3.3 biên x1 x2   105 ,   ,   0.1 ,   10 4 42   10 7 Mật độ phân bố xác suất dừng cho trường hợp nhiễu hai điện tín Pns  x  có ranh giới gần biên x1 x2 với giá 3.4 trị khác    ,   0.1 ,   10 4   10 7 43 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Thế giới tự nhiên vi mô vô phức tạp, khơng thể nghiên cứu cách trực tiếp mà phải mơ hình hóa trình ngẫu nhiên phụ thuộc thời gian Trong hầu hết mơ hình ngẫu nhiên tại, laser có đặc điểm chung trình ngẫu nhiên dừng Gauxơ với thời gian tương quan hữu hạn Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu lý thuyết áp dụng thành cơng phương pháp trường laser coi trình ngẫu nhiên Độ rộng phổ kết việc lấy trung bình thăng giáng pha biên độ trường quanh giá trị trung bình Nói chung, hầu hết tượng quang học lượng tử Laser nghiên cứu nguồn ngồi hệ ngun tử Những phương trình động lực học chứa tham số trường pha, biên độ hay cường độ trở thành phương trình vi phân ngẫu nhiên Việc lấy trung bình giải tích xác phương trình ngẫu nhiên với nhiễu Gauxơ khó thực với trường hợp đơn giản nhiễu trắng, hầu hết trường hợp chúng lấy trung bình phương pháp gần khác Một phương pháp phương pháp nhiễu tiền Gauxơ đề xuất Wódkiewicz cộng [42], [2], [11], [12], [50], [43], [44] Nhiễu tiền Gauxơ bao gồm số hữu hạn nhiễu điện tín Phương pháp có khả tìm trung bình giải tích xác trường hợp tốn có độ phi tuyến cao Hơn nữa, nhiễu tiền Gauxơ tiệm cận tốt với nhiễu Gauxơ Nhiễu tiền Gauxơ cần chứa vài nhiễu điện tín gần hoàn toàn với nhiễu Gauxơ Như vậy, nhiễu tiền Gauxơ cho triển vọng để xem xét ảnh hưởng nhiễu Gauxơ phương pháp gần khác khơng thực Hơn tính hội tụ nhanh nhiễu đến nhiễu Gauxơ, mong đợi phương pháp cho kết xác phương pháp gần khác Phương pháp nhiễu tiền Gauxơ điện tín sử dụng để nghiên cứu phổ huỳnh quang cộng hưởng đối xứng ảnh hưởng va chạm mô hình hố nhiễu điện tín [41] mở rộng nghiên cứu cho trường hợp phổ huỳnh quang cộng hưởng phụ thuộc vào độ lệch cộng hưởng với vận tốc khí đệm có giá trị khơng đổi tuân theo phân bố MaxwellBoltzmann [35] Dịch chuyển pha cảm ứng nhiễu cho laser vòng Raman nghiên cứu Kitahara cộng [3] Khi trường điện từ ngồi mơ hình hố nhiễu tiền Gauxơ Mơ hình hệ phi tuyến với nhiễu điện tín ngẫu nhiên xem xét tìm phương trình vi phân xác cho phân bố xác suất dừng thăng giáng hệ phi tuyến ảnh hưởng nhiễu điện tín [40] Trong ứng dụng tác giả cách tường minh giản ước nhiễu laser vòng Raman [20] Đây tượng thú vị xuất hệ phi tuyến, cụ thể nhiễu hệ phi tuyến tăng, độ rộng phân bố xác suất dừng lại giảm, khác với hệ tuyến tính Hiệu ứng tương tự với hiệu ứng tìm trước [9] Laser thực khơng đơn sắc hồn tồn Vì vậy, nghiên cứu gần với trạng thái vật lí thực, nghiên cứu ảnh hưởng độ rộng laser lên hiệu ứng xem xét, tạo thêm khả điều khiển chúng Những nghiên cứu đem lại kết bất ngờ, tạo khả cho công nghệ nano lượng tử, đặc biệt nỗ lực thiết kế máy tính lượng tử với ứng dụng tiềm tàng lớn lao Để tiếp tục sâu nghiên cứu tượng thú vị giản ước nhiễu laser vòng Raman với bơm tiền Gauxơ điện tín mở rộng cho bơm tiền Gauxơ hai điện tín so sánh kết thu hai trường hợp chúng tơi chọn "Mơ hình ngẫu nhiên lời giải xác tượng giản ước nhiễu laser vòng Raman" làm đề tài luận văn thạc sĩ để tiếp tục vấn đề mang tính thời cao có ứng dụng tiềm tàng cho cơng nghệ lượng tử Mục đích nghiên cứu Thu phương trình xác phân bố xác suất dừng cho hệ phi tuyến tổng quát ảnh hưởng bơm tiền Gauxơ điện tín ứng dụng cho trường hợp giản ước nhiễu laser vòng Raman Thu phương trình xác phân bố xác suất dừng cho hệ phi tuyến tổng quát ảnh hưởng bơm tiền Gauxơ hai điện tín ứng dụng cho trường hợp giản ước nhiễu laser vòng Raman Khảo sát phụ thuộc hàm phân bố xác suất dừng vào tham số nhiễu Phương pháp nghiên cứu Để thu phương trình xác phân bố xác suất dừng cho hệ phi tuyến tổng quát ảnh hưởng nhiễu một, hai điện tín ứng dụng cho trường hợp giản ước nhiễu laser vòng Raman, sử dụng phương pháp nhiễu tiền Gauxơ Để thực tính số vẽ đồ thị sử dụng số phềm mềm chuyên dụng như: Maple, Mathematica Matlab Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Khảo sát tượng giản ước nhiễu laser vòng Raman ảnh hưởng bơm tiền Gauxơ điện tín hai điện tín Phạm vi nghiên cứu: Trong khn khổ lý thuyết nhiễu tiền Gauxơ Chúng tơi tính tốn thu phương trình xác phân bố xác suất dừng cho hệ phi tuyến tổng quát ảnh hưởng bơm tiền Gauxơ điện tín, hai điện tín ứng dụng cho trường hợp giản ước nhiễu laser vòng Raman Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Các kết nghiên cứu gần với trạng thái vật lí thực, nghiên cứu ảnh hưởng độ rộng laser lên hiệu ứng xem xét, tạo thêm khả điều khiển chúng Những nghiên cứu đem lại kết bất ngờ, tạo khả cho công nghệ nano lượng tử, đặc biệt nỗ lực thiết kế máy tính lượng tử với ứng dụng tiềm tàng lớn lao Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận phụ lục, luận văn gồm chương: Chương Cơ sở lý thuyết ngẫu nhiên Chương Giản ước nhiễu laser vòng Raman ảnh hưởng bơm tiền Gauxơ điện tín Chương Giản ước nhiễu laser vòng Raman ảnh hưởng bơm tiền Gauxơ hai điện tín Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN TRONG QUANG HỌC LƯỢNG TỬ Laser thực khơng đơn sắc hồn tồn Nhưng hầu hết trường hợp xem xét, tính chất đơn sắc laser thường nhắc đến ưu điểm Trong ứng dụng tia laser có tính đơn sắc số ánh sáng Tuy nhiên, thực nghiệm ta cần nghiên cứu ảnh hưởng độ rộng phổ laser tới tượng khác Độ rộng phổ thay đổi từ khoảng 10s 1 đến khoảng 109 s 1 Có vài chế dẫn tới tượng mở rộng vạch phổ Có nhiều cách phân loại khác chế Trong kỹ thuật laser, nhiễu phân thành hai dạng: nhiễu “kỹ thuật”, bao gồm rung động học buồng cộng hưởng loại nhiễu ngoại, nhiễu “cơ bản” thăng giáng lượng tử Việc lấy trung bình nghiệm cho hội để phản ánh ảnh hưởng thăng giáng laser vào đại lượng nguyên tử mà quan tâm Bài toán trở thành toán trung tâm quang học lượng tử kể từ cơng trình Eberly Agarwal [2], [11] Đặc điểm trình ngẫu nhiên mơ tả trường laser phụ thuộc vào mơ hình laser Tất mơ hình laser ngẫu nhiên có đặc tính chung, laser trường điện từ cổ điển, tức trình ngẫu nhiên Gauxơ dừng với thời gian tương quan hữu hạn Tiếp theo xem xét số mơ hình ngẫu nhiên ánh sáng laser, lý thuyết nhiễu tiền Gauxơ ứng dụng 1.1 Các mơ hình ngẫu nhiên laser 1.1.1 Laser đơn mốt với thăng giáng pha biên độ Lý thuyết laser xây dựng khuôn khổ lý thuyết lượng tử tương tác trường điện từ với hệ vật chất hoạt Người ta tranh vi mô để dẫn đến mơ hình ngẫu nhiên ánh sáng laser Tất tham số đặc trưng q trình ngẫu nhiên mơ tả trường laser 36 Chương GIẢN ƯỚC BỞI NHIỄU TRONG LASER VÒNG RAMAN DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA BƠM TIỀN GAUXƠ HAI ĐIỆN TÍN Trong chương trước, xem xét trường hợp bơm điện tín Laser vịng Raman Chúng tơi kết luận công suất Stoke laser có xu hướng ổn định ảnh hưởng bơm Giờ mở rộng xem xét đến trường hợp bơm tiền Gauxơ hai điện tín phương trình xác cho phân bố xác suất dừng hệ phi tuyến tổng quát ảnh hưởng nhiễu hai điện tín suy cách có hệ thống ứng dụng trường hợp giản ước nhiễu laser Raman đơn mốt buồng cộng hưởng vòng 3.1 Phân bố xác suất dừng cho hệ phi tuyến ảnh hưởng nhiễu hai điện tín Chúng ta xét hệ phi tuyến mô tả phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến tổng quát [43], [44]: dx  f a ( x)  zn (t ) g a ( x), dt (3.1) f a  x  g a  x  hai hàm tùy ý biến động lực học x Quá trình ngẫu nhiên zn  t  nhiễu tiền Gauxơ hai điện tín với tính chất: zn (t )  x1 (t)  x2 (t), (3.2) xm (t )  0, (3.3) xm (t ) xn ( s)   exp   t  s  (3.4) Chúng ta đưa đại lượng  x với  ( , t )     x(t )  (3.5) Khi đó, trung bình ngẫu nhiên biến động lực học x viết phân bố xác suất Pn ( , t ) biến x : x    Pn ( , t )d  (3.6) 37 Pn ( , t ) biễu biễn tích phân đường với hàm đơn vị [49] Từ định nghĩa (3.5) phương trình (3.1), ta tìm phương trình Liouville dạng [49]: d    f a ( x)   zn (t ) g a ( x)  dt x x (3.7) Một nghiệm phương trình vi tích phân sau d  Pn (t )   f a ( x) Pn (t )   K  t  s Pn ( s)ds dt x t (3.8) hàm phân bố Pn (t )   (t ) nhân biến đổi Laplace t  0 có dạng   Kˆ  z    e zt K  t  dt  i g a  x  x 2     z    fa  x   i ga  x  i ga  x   x x z  2  f a  x  x x i  ga  x  x (3.9) Ngoài ra, hàm phân bố xác suất dừng Pns nghiệm phương trình:    f a  x   Kˆ    Pns    x  (3.10) Từ phương trình (3.10), ta tìm phương trình vi phân thường bậc hai dạng  f a2  d y  2 ga 3 f a d  f a2  dga  dy  2  d  f a   g           a       y  0, (3.11) 2 ga  dx  f a 2 g a 2 dx  g a  dx  dx  2 g a 2 dx  g a    x y ( x)   f a Pns ga (3.12) Phương trình (3.8) chủ đề phần Để minh họa cho phương pháp mình, chúng tơi xem xét trường hợp có điện tín Khi đó, biểu thức (3.9) trở thành  2    zt ˆ K  z    e K  t  dt  i g a  x  i ga  x   x z   f a  x  x x (3.13) 38 Bằng cách sử dụng phương trình (3.10), ta tìm phương trình cho phân bố dừng dạng  d d   f ( x)  g a ( x)    f a ( x)  a   Pns ( x)  dx   g a ( x)   dx (3.14) Phương trình (3.14) có nghiệm tổng qt   x    ' g a ( x) 1 (3.15) Pns ( x)  N0  exp      2   f ( x' )  g ( x' ) f ( x' )  g ( x' ) dx  a a a   g a ( x)  f a ( x)   a    Công thức mật độ xác suất dừng tương tự với kết tìm trước Kitahara cộng sử dụng cơng trình [47] Tiếp theo, chúng tơi áp dụng phương trình vi phân thường bậc hai (3.11) để tìm cơng thức cho trường hợp giản ước nhiễu laser vòng Raman khảo sát chi tiết tượng giản ước nhiễu 3.2 Giản ước nhiễu laser vịng Raman với nhiễu hai điện tín Bây xem xét laser Raman đơn mốt buồng cộng hưởng vịng Laser mơ tả hệ phương trình vi phân sau: dQp  t  dt dQs  t   Qs  t    Q p  t   G  t   *  Qp  t  Qap  t   Qs  t  dt dQap  t  dt (3.16) ,  Qp  t  Qs*  t   Qap  t  Q p t  , Qs t  , G  t  Qap t  tương ứng trường bơm, trường Stoke, bơm phun buồng cộng hưởng phân cực nguyên tử; /  /  thời gian sống mốt riêng buồng cộng hưởng tương ứng với trường bơm trường Stoke, / thời gian phân cực lệch pha Khi bơm phun G  t  mơ tả ánh sáng màu, ta có:   G  t   0, G  t  G* t '    4 exp  t  t ' , (3.17) 1/  thời gian kết hợp bơm phun điều kiện thực nghiệm đặc thù:    ,  ,  (3.18) 39 Do từ cơng thức (3.16), trường bơm loại trừ đoạn nhiệt Chúng ta rút gọn kết cho trường hợp này:   , (3.19) Qap t  loại trừ đoạn nhiệt nhờ sử dụng điều kiện (3.19) Những loại trừ với kí hiệu x  Qs* t Qs t  dẫn tới phương trình ngẫu nhiên dạng:   G  t   dx x  2    dt  x       (3.20) Rất khó để giải cách xác phương trình ngẫu nhiên (3.20), giải phương trình sử dụng thêm số giả thuyết Chúng ta mong muốn phương trình giải cách xác nhiễu hai điện tín Để đạt mục đích này, giả thuyết G t    G1  iG1  , G1  G0  It , I t nhiễu hai điện tín.Từ đó, tìm phương trình: dx  fa  x   It ga  x  dt (3.21) Trong đó: f a  x   2 x  ga  x   2 (G02  4 )  x   4 2G0  x   2 x x, (3.22) (3.23) Đối với trường hợp điện tín, rút gọn phương trình (3.22), (3.23) chúng vào biểu thức (2.15), dễ dàng thu kết tìm trước chương hai Bây xét trường hợp nhiễu hai điện tín Thay phương trình (3.22) (3.23) vào cơng thức (2.11), nhận phương trình vi phân bậc hai sau: 40 A x d2y dy  B  x  C  x y  , dx dx (3.24) đó:   A  x   x  x      x    G02  4        , (3.25)   32 2 4G02     x    2  x   G02  4  2 G02  4     B  x   x 3  x    32 2 4G02   x    6  x   G02  4        6   x    G  4   4 x  x    4  x  x    G  4   6   x    G  4   4  x  G  4   2   x    G  4   128  xG   x    128  xG   G  4   64  G   x    64  G   x    G  4   ,   3 2  x   G02  4  2  x    4 2 x  x   G02  4 2 2 2 2 2 4 2 2 3 3 2 2 2 2  2 2 (3.26) 2  C  x     x      x     G02  4   2 x   2  2 x   x  2 x    (3.27) Giải phương trình (3.24) phương pháp chuỗi [1] tìm nghiệm dạng: y  x      C1 C  a1 x  b1 x  c1 x3  d1 x   2  a2 x  b2 x  c2 x3  d x  (3.28)  x x Từ biểu thức (2.12), tìm cơng thức mật độ xác suất dừng dạng: Pns  x   2 2G0   G  4     x   2 2 d y  x dx (3.29) Bởi cơng thức mật độ xác suất dừng Pns ( x) phức tạp nhiều so với trường hợp nhiễu điện tín nên khơng trình bày Đồ thị cho phân bố xác suất dừng trình bày hình từ 3.1 đến 3.4 Mật độ xác suất dừng sử dụng đơn vị G02 tham số liên quan khác toán sử dụng đơn vị G0 Để so sánh với kết tìm trước chương 2, chúng tơi giữ ngun giá trị tham số toán trường hợp bơm tiền Gauxơ điện tín Các hình vẽ từ 3.1 đến 41 3.3 mơ tả mật độ xác xuất dừng cho đồng thời hai trường hợp bơm tiền Gauxơ điện tín hai điện tín Hình vẽ 3.4 tổng hợp hình vẽ cho trường hợp bơm tiền Gauxơ hai điện tín Các hình vẽ trình bày cách tường minh giản ước nhiễu hệ phi tuyến trường hợp bơm tiền Gauxơ hai điện tín, cụ thể chúng tơi trình bày phân bố xác suất dừng cho giá trị  giữ nguyên tham số lại Cũng tương tự trường hợp nhiễu điện tín, chúng tơi tìm tượng thú vị giá trị tham số nhiễu  tăng phân bố xác suất dừng co lại co lại nhanh so với trường hợp nhiễu điện tín (xem hình 3.1- 3.3) Cơng suất Stoke có xu hướng ổn định nhờ bơm băng rộng Kết phù hợp với thực nghiệm trường hợp nhiễu Gauxơ, việc tạo nhiễu điện tín dễ dàng nhiều so với nhiễu Gauxơ x1 x x2 Hình 3.1 Mật độ phân bố xác suất dừng Pns  x  có ranh giới gần biên x1 x2   106 ,   ,   0.1 ,   10 4   10 7 Đường liền nét cho trường hợp nhiễu điện tín cịn đường nét đứt cho trường hợp nhiễu hai điện tín 42 x1 x x2 Hình 3.2 Mật độ phân bố xác suất dừng Pns  x  có ranh giới gần biên x1 x2   5.106 ,   ,   0.1 ,   10 4   10 7 Đường liền nét cho trường hợp nhiễu điện tín đường nét đứt cho trường hợp nhiễu hai điện tín x1 x x2 Hình 3.3 Mật độ phân bố xác suất dừng Pns  x  có ranh giới gần biên x1 x2   105 ,   ,   0.1 ,   10 4   10 7 Đường liền nét cho trường hợp nhiễu điện tín cịn đường nét đứt cho trường hợp nhiễu hai điện tín 43 x1 x x2 Hình 3.4 Mật độ phân bố xác suất dừng cho trường hợp nhiễu hai điện tín Pns  x  có ranh giới gần biên x1 x2 với giá trị khác    ,   0.1 ,   10 4   10 7 3.3 Kết luận Chúng tơi xem xét mơ hình hệ phi tuyến với nhiễu điện tín ngẫu nhiên tìm phương trình vi phân xác cho phân bố xác suất dừng thăng giáng hệ phi tuyến ảnh hưởng nhiễu hai điện tín Trong ứng dụng mơ hình này, chúng tơi trình bày cách tường minh tượng giản ước nhiễu Laser vòng Raman Đây tượng thú vị xuất hệ phi tuyến, cụ thể giá trị tham số nhiễu hệ thống phi tuyến tăng, phân bố xác suất dừng co lại Ta thấy rằng, trường hợp bơm tiền Gauxơ hai điện tín, giản ước nhiễu Laser vịng Raman nhanh so với trường hợp nhiễu điện tín Hệ là, kết thu trình vật lý khác hội tụ nhanh đến trường hợp nhiễu màu Gauxơ chúng sử dụng phương pháp nhiễu tiền Gauxơ Cơng suất Stoke Laser vịng Raman có xu hướng ổn định ảnh hưởng bơm điện tín băng rộng Việc xây dựng tín hiệu bơm phun điện tín dễ nhiều so với xây dựng 44 tín hiệu Gauxơ, tượng thực thực nghiệm dễ nhiều so với trường hợp bơm Gauxơ KẾT LUẬN Chúng ta biết rằng, laser thực khơng đơn sắc hồn tồn mà có thăng giáng pha biên độ Vì vậy, cần sử dụng trình ngẫu nhiên để mơ hình hóa ánh sáng laser Khi đó, phương trình động lực học trở thành phương trình vi phân ngẫu nhiên Việc tính trung bình nghiệm giúp cho có hội để phản ánh ảnh hưởng thăng giáng laser vào đại lượng nguyên tử Đây vấn đề trung tâm quang học lượng tử Hầu tất mơ hình ngẫu nhiên laser có đặc điểm chung: laser trường điện từ cổ điển, trình ngẫu nhiên Gauxơ dừng với thời gian tương quan hữu hạn Việc lấy trung bình giải tích xác phương trình ngẫu nhiên với nhiễu Gauxơ có thời gian tương quan hữu hạn cơng việc khó khăn, đơi “nhiệm vụ bất khả thi” Thực tế có trường hợp đặc biệt nhiễu trắng nghiên cứu kỹ lưỡng Trong luận văn này, chúng tơi đề cập đến mơ hình hệ phi tuyến với nhiễu điện tín ngẫu nhiên tìm phương trình vi phân xác cho phân bố xác suất dừng thăng giáng hệ phi tuyến ảnh hưởng nhiễu điện tín hai điện tín Trong ứng dụng chúng, phân bố xác suất dừng thăng giáng tính giải tích tồn chuyển pha cảm ứng nhiễu Laser vịng Raman Đặc biệt, chúng tơi cách tường minh tượng giản ước nhiễu Laser vòng Raman cho hai trường hợp bơm tiền Gauxơ hai điện tín Đây tượng thú vị xuất hệ phi tuyến, cụ thể giá trị tham số nhiễu hệ phi tuyến tăng phân bố xác suất dừng co lại Đối với trường hợp bơm tiền Gauxơ hai điện tín phân bố xác suất dừng co lại nhanh so với trường hợp bơm tiền Gauxơ điện tín Như rằng, hiệu suất 45 Stoke laser vịng Raman có xu hướng ổn định ảnh hưởng bơm điện tín băng rộng Việc xây dựng tín hiệu bơm phun điện tín dễ nhiều so với trường hợp tín hiệu Gauxơ, tượng thực thực nghiệm cách dễ dàng nhiều so với trường hợp bơm Gauxơ Trong tương lai, chúng tơi tìm phương trình vi phân xác cho phân bố xác suất dừng thăng giáng hệ phi tuyến ảnh hưởng nhiễu tiền Gauxơ ba điện tín trở lên Tiếp theo, cách tường minh giản ước nhiễu hệ phi tuyến trường hợp bơm tiền Gauxơ ba điện tín trở lên Chúng tơi tiên đốn q trình giản ước nhiễu laser vòng Raman nhanh so với trường hợp nhiễu hai điện tín Từ khái qt bơm tiền Gauxơ với số điện tín tăng phân bố xác suất dừng co lại nhiều 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO Abramowitz, M., Stegun, I.A (1964), Handbook of Mathematical Functions, Natl Bur Stand, Washington Agarwal, G.S (1976), “Exact Solution for the Influence of Laser Temporal Fluctuations on Resonance Fluorescence”, Phys Rev Lett, 37, pp 1383-1386 Allen L., Eberly J.H., Rzążewski K (1981), Rezonans Optyczny, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa Arnold, L (1974), Stochastic Differential Equations: theory and applications, Wiley-Interscience, New York Białynicki – Birula (1966), “Diagramy Feynmana w fizyce statystycznej”, Postępy Fizyki, XVII, pp 359-374 Dixit S.N., Sahni P (1983), “Nonlinear Stochastic Processes Driven by Colored Noise: Application to Dye-Laser Statistics”, Phys Rev Lett, 50, pp 1273-1276 Dixit S.N., Zoller P., Lambropoulos P (1980), “Non-Lorentzian laser line shapes and the reversed peak asymmetry in double optical resonance”, Phys Rev A, 21, pp 1289-1296 Bui Bang Doan and Cao Long Van (1991), "Noise reduction in ring laser driven by a broad band pump", Internal Report IC/91/234, pp 1-10 Doob, J.L (1942), “The Brownian Movement and Stochastic Equations”, Annals of Math, 43, pp 351-369 10 Doob, J.L (1990), Stochastic Processes, John Wiley and Sons, New York 11 Eberly, J.H (1976), “Atomic Relaxation in the Presence of Intense Partially Coherent Radiation Fields”, Phys Rev Lett, 37, pp 1383-1386 12 Eberly J.H., Wódkiewicz K., Shore B.W (1984), “Noise in strong laseratom interactions: Phase telegraph noise”, Phys Rev A 30, pp 2381-2389 13 Feynman R.P., Hibbs A.R (1964), Quantum Mechanics and Path Integrals, Mc Graw-Hill, New York 47 14 Fox, R.F (1972), “Contributions to the Theory of Multiplicative Stochastic Processes”, J Math Phys, 13, pp 1196-1207 15 Fox, R.F (1978), “Gaussian stochastic processes in physics”, Phys Rep, 48, pp 179-283 16 Georges, A.T (1980), “Resonance fluorescence in Markovian stochastic fields”, Phys Rev A, 21, pp 2034-2049 17 Georges A.T., Lambropoulos P (1979), "Saturation and Stark splitting of an atomic transition in a stochastic field", Phys Rev A, 20, pp 991-1004 18 Graham R., Höhnerbach M., Shenzle A (1982), “Statistical Properties of Light from a Dye Laser”, Phys Rev Lett, 48, pp 1396-1399 19 Louisell, W.H (1973), Quantum Statistical Properties of Radiation, John Wiley and Sons, New York 20 Haken, H (1966), "Theory of Intensity and Phase Fluctuations of a Homogeneously Broadened Laser", Z Phys, 190, pp 327-356 21 Hefter U., Eichert J., and Bergmann K., (1985) (An Optically Pumped Iodine Supersonic Beam Laser) Opt Commun 52, pp 330-335 22 Hu, M.X and Peng, J S., Phys J (1998) B 31, pp L563 – L569 23 Janke E., Emde F., and Lösch F., (1977), Specjalnyje funkcji, Nauka, Moskwa 24 Jones, L.P Gaubatz U., Hefter U., Bergmann K., and Wellegehausen B., (1983) Appl Phys Lett 42, pp - 8; 25 Kaminishi K., Roy R., Short R and Mandel L (1981), “Investigation of photon statistics and correlations of a dye laser”, Phys Rev A, 24, pp 370 379 26 Kazuo Kitahara, Werner Horsthemke, René Lefever and Yukata Inaba, (1980) Prog Theor Phys 64, pp - 27 Kliatskin K., (1980), Stochasticzeskjie urawnienija i wołny w słuczajnonieodnorodnych sriedach, Nauka, Moskwa 48 28 Kubo, I.W.(1963), “Stochastic Liouville Equations”, J Math Phys, 4, pp 174 - 183 29 Kuś, M (1983), Doctoral Thesis, Warsaw University 30 Lewenstein M., and Rzążewski K., (1987) (Noise reduction in Raman ring-laser driven by chaotic pump) Optics Comm 63, pp 174 - 181 31 Novikov, A.E (1965) ( Functionals and the Random-force Method in Turbulence Theory) Soviet phys JETP 20, pp.1290 - 295 32 Roos, L S Mei and Carsten, L.J (2003) Applied Optics 42, pp.5517 5521 33 Sancho, M.J and San Miguel M., (1983)( Some Results in the Description of Systems under the Influence of Dichotomous Noise) Prog Theor Phys 69, pp 1085 - 1088 34 Sancho, M J and SanMiguel M., (1980) Phys Z B 36,pp 357 - 359 35 Sargent, M O Scully and Lamb, E W (1974), Laser Physics, Addison Wesley, Reading 36 Shapiro, E V and Loginov, M V (1978), "Formulae of differentiation” and their use for solving stochastic equations", Physica A 91,pp 563 - 566 37 Short R., Mandel L and Roy R., (1982), “Correlation Functions of a Dye Laser: Comparison between Theory and Experiment”, Phys Rev Lett, 49, pp 647 - 651 38 Simon B., (1979), Functional Integrals and Quantum Physics, Acad Press, New York 39 Teubel A., Rzążewski K., (1989) (Noise reduction in Raman ring laser driven by a chaotic pump: numerical approach) J Opt Soc Am B 6, pp 550 - 554 40 Uhlenbeck, E G and Ornstein, L S (1930), “On the Theory of the Brownian Motion”, Phys Rev, 36, pp 823 - 825 41 Cao Long Van (1987), “Stimulated Raman scattering of pre-gaussian light”, Z Phys B, 65, pp 535-538 49 42 Cao Long Van (1989), Stochastic Models of Isolated Collisions: Applications to Optical Phenomena, LAMP Conference’89, Trieste, Italy 43 Cao Long Van and Janeczko S., (1986), “Dye Laser Model with PreGaussian Pump Fluctuations”, Z Phys B, 62, pp 531-535 44 Cao Long Van and Wódkiewicz K., (1986), ”Multiphoton Ionization in the presence of Pre-Gaussian light”, J Phys B, 19, pp 1925 - 1928 45 Van Kampen, G N (1976), “Stochastic differential equations”, Phys Rep C, 24, 173, pp 171-228 46 Van Kampen, G N (2007), Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North-Holland Publishing Company 47 Cao Long Van and Doan Quoc Khoa, (2012) "An exact soluble equation for the steady state probability distribution in a nonlinear system: application to the noise reduction in Raman Ring Laser", Opt Quant Electron 43, pp 137-145 48 Wang, C M and Uhlenbeck, G E (1945), “On the Theory of the Brownian Motion II”, Rev Mod Phys, 17, pp 323 - 325 49 Wódkiewicz K., (1983) Acta Physica Polonica A 63, pp 191 50 Wódkiewicz K., Shore, W B and Eberly (1984), “Noise in strong laseratom interactions: Frequency fluctuations and nonexponential correlations”, Phys Rev A, 30, pp 2390 - 2395 51 Wódkiewicz K., Shore, W B and Eberly, H J (1984), “Pre-Gaussian noise in strong laser – atom interactions”, J Opt Soc Am B, 1, pp 398-405 52 Wódkiewicz K., Math J., Phys Z., (1971) 20, pp 45 - 49 53 Wódkiewicz K., Phys Z, (1981) B 42, pp 95 - 99 54 Yuan X., Ye W., Zeng C and Ji J., (2010) ( Small-signal analysis of bidirectional operating characteristics in a Raman ring laser with external optical injections) Optics Express 18, pp 19407 – 19412 50 55 Zamzuri, U S Ismail, M H AlMansoori, M S Islam and M A Mahdi, (2011) ( All-optical wavelength conversion based on degenerate four-wave mixing in Raman ring laser) Laser Phys Lett 8, pp 62 56 Zoller P., (1979), “ac Stark splitting in double optical resonance and resonance fluorescence by a nonmonochromatic chaotic field”, Phys Rev A, 20, pp 1019 57 Zoller P., and Ehlotzky F., (1977), “Resonance Fluorescence in Modulated Laser Fields”, J Phys B, 10, pp 3023 58 Zoller P., Alber G and Salvador R., (1981) Phys Rev A 24, 298