Phương pháp cắt benders và thuật toán nhánh cận giải bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn

Mục lục trang Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Một số yếu tố ngẫu nhiên 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Tính chất 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên 1.2.1 Bài toán 1.2.2 Phương pháp nhánh cận 1.2.3 Phương pháp cắt 11 1.3 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn 12 Chương Phương pháp nhánh cận giải toán QHTT nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn 16 2.1 Phương pháp cắt Benders 16 2.2 Một lớp toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên giai đoạn 17 2.2.1 Bài toán 17 2.2.2 Tính chất 18 2.3 Thuật toán nhánh cận 24 2.3.1 Kỹ thuật phân nhánh 25 2.3.2 Tính cận 26 2.3.3 Lựa chọn 31 2.3.4 Thuật toán 31 2.4 Tính hữu hạn thuật tốn 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 Mở đầu Xét toán quy hoạch min{f (x) = cT x : Ax = b, x ≥ 0, x ∈ Zn } c, A, b ma trận số thực Khi số thông tin liệu c, A, b không xác định, phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên w ta có tốn quy hoạch ngẫu nhiên Thơng thường sản xuất, xét với liệu đầy đủ, ta có phương án tối ưu xác định x∗ Việc thực tìm phương án tối ưu xem giai đoạn Do liệu phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên nên Ax b có sai khác, x∗ khơng cịn tối ưu Người ta cần điều chỉnh lại phương án tối ưu, trình điều chỉnh xem giai đoạn Lúc ta có tốn quy hoạch hai giai đoạn Trong lớp toán quy hoạch ngẫu nhiên, toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn đóng vai trị quan trọng Việc nghiên cứu toán nhằm phát tính chất thuật tốn để giải vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học thực tiễn rộng lớn Khi tiếp cận với cơng trình khoa học A finite branch and boud algorithm for two-stage stochastic integer programs tác giả S Ahmed, M Tawarmallani N V Sahinidis [4], đề xuất đề tài: "Phương pháp cắt Benders thuật toán nhánh - cận giải toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn" Hiện nay, toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn có nhiều thuật tốn giải tin cậy Tuy nhiên, thuật tốn nhánh cận có ảnh hưởng nhiều việc giải toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn Luận văn trình bày chương: Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày số vấn đề phương pháp nhánh cận giải toán quy hoạch, đại lượng ngẫu nhiên, toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn Chương xem phần kiến thức chuẩn bị để thuận lợi cho việc trình bày chương hai Chương Thuật toán nhánh cận giải tốn quy hoạch tuyến tính ngun ngẫu nhiên hai giai đoạn Chương nội dung luận văn Trong chương chúng tơi trình bày kỹ thuật phân rã Benders; toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn, tính chất thuật tốn nhánh cận giải tốn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, PGS.TS Trần Xuân Sinh Nhân dịp tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy cảm ơn thầy giáo tổ Xác suất thống kê giảng dạy, bảo cho suốt thời gian học tập nghiên cứu Cũng xin gửi lời cảm ơn thầy giáo, giáo khoa Tốn, khoa Sau đại học, bạn bè gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Chương Kiến thức sở 1.1 Một số yếu tố ngẫu nhiên 1.1.1 Khái niệm 1.1.1.1 σ- đại số Giả sử Ω tập tuỳ ý khác rỗng Ký hiệu P(Ω) tập hợp gồm tất tập Ω Lớp A ⊂ P(Ω) gọi đại số nếu: A1) Ω ∈ A, A2) A ∈ A ⇒ A = (Ω \ A) ∈ A, A3) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A (hoặc A ∩ B ∈ A) Lớp F ⊂ P(Ω) gọi σ - đại số đại số ngồi có: A4) Nếu An ∈ F, ∀n = 1, 2, n i=1 Ai ∈ F (hoặc n i=1 ∈ F) 1.1.1.2 Không gian đo Cặp (Ω, F) gọi không gian đo, Ω = Ø bất kỳ, F σ - đại số tập Ω 1.1.1.3 Biến ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F) không gian đo , R = [−∞, +∞] Hàm thực X = X(ω) xác định Ω lấy giá trị R gọi hàm F - đo biến ngẫu nhiên suy rộng {ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B) ∈ F với B ∈ B(R) (với B(R) σ-đại số tập Borel trục R) Nếu X : Ω −→ R = (−∞; +∞) X gọi biến ngẫu nhiên 1.1.1.4 Hàm Borel Hàm ϕ : (Rn , B(Rn )) −→ (R, B(R)) gọi hàm Borel, B(Rn ) - đo được, nghĩa ϕ−1 (B) ∈ B(Rn ), với B ∈ B(R) 1.1.1.5 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P) nhận giá trị R Hàm số FX (x) = P[X < x], (x ∈ R) gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X 1.1.1.6 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Nếu X biến ngẫu nhiên đơn giản xác định (Ω, F, P), có nghĩa n X= xk IAk k=1 với xk ∈ R, Ak ∈ F, (k = 1, 2, , n) Ak Al = O, (k = l) kỳ vọng X ký hiệu EX (hoặc đơn giản EX) định nghĩa sau n EX = xk P(Ak ) k=1 Nếu biến ngẫu nhiên X giới hạn dãy tăng biến ngẫu nhiên đơn giản, không âm Xn cho ≤ Xn ↑ X EX := lim EXn n→∞ Giả sử X biến ngẫu nhiên bất kỳ, X biểu diễn dạng X = X + − X −, với X + , X − biến ngẫu nhiên đơn giản, không âm (X + = max{X, 0}, X − = max{−X, 0}) Nếu min(EX + , EX − ) < ∞ EX := EX + − EX − Trong trường hợp EX + EX − hữu hạn X gọi có kỳ vọng hữu hạn 1.1.2 Tính chất 1.1.2.1 Định lý Giả sử X : Ω −→ R Khi mệnh đề sau tương đương: a) X biến ngẫu nhiên b) {ω : X(ω) < x} ∈ F với x ∈ R c) {ω : X(ω) ≤ x} ∈ F với x ∈ R d) {ω : a ≤ X(ω) < b} ∈ F với a < b 1.1.2.2 Định lý Giả sử X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F) ϕ(t1 , , tn ) hàm Borel giá trị thực Khi Y = ϕ(X1 , X2 , , Xn ) biến ngẫu nhiên 1.1.2.3 Hệ Giả sử X, Y biến ngẫu nhiên Khi X ± Y, X.Y, X ∨ Y, X ∧ Y, X + = X ∨ 0, X − = (−X) ∨ 0, |X| = X + + X − biến ngẫu nhiên Đặc biệt, Y khơng triệt tiêu X/Y biến ngẫu nhiên 1.1.2.4 Định lý Giả sử Xn , n ≥ dãy biến ngẫu nhiên sup Xn , inf Xn n n hữu hạn Ω Khi sup Xn , inf Xn , lim sup Xn , lim inf Xn n n n n biến ngẫu nhiên Đặc biệt lim Xn = X n→∞ hữu hạn X biến ngẫu nhiên 1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun 1.2.1 Bài tốn Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun tổng quát có dạng n f (X) = cj xj (1.1) j=1 với điều kiện    n j=1 aij xj (≤, ≥, =) bi , i = 1, 2, , m  xj ≥ 0, j = 1, , n, xj ∈ Z, j = 1, , k, k ≤ n Hàm f (X) gọi hàm mục tiêu; điểm X ∈ Rn thoả mãn điều kiện toán gọi phương án, ký hiệu tập phương án toán cho D; phương án X đạt cực tiểu hàm mục tiêu gọi phương án tối ưu (hoặc nghiệm) tốn Nếu k = n ta có tốn quy hoạch ngun tồn phần Nếu k < n ta có tốn quy hoạch ngun phận Chú ý phân rã Benders tách biến khơng ngun, để tốn quy hoạch tuyến tính ngun tồn phần Do vậy, khơng sợ nhầm lẫn từ nói tới tốn quy hoạch tuyến tính ngun tồn phần 1.2.1.1 Định lý Nếu tốn quy hoạch tuyến tính ngun có phương án tối ưu tồn đỉnh thuộc bao lồi D(convD) tối ưu Chứng minh Chúng ta ý bao lồi điểm nguyên tập lồi có đỉnh nguyên Mặt khác, tốn quy hoạch tuyến tính, với tập phương án convD, có phương án tối ưu tồn đỉnh convD tối ưu Từ suy điều phải chứng minh 1.2.2 Phương pháp nhánh cận ý tưởng phương pháp thực phân nhánh để chia tập phương án M thành phần nhỏ dần Trên phần nhỏ tập M , xác định cận hàm mục tiêu Từ loại bỏ dần phần khơng có khả chứa nghiệm Như vậy, cơng việc phương pháp tìm cách phân nhánh, tính cận lựa chọn loại bỏ cho sau hữu hạn bước lặp có câu trả lời toán Nhiệm vụ phương pháp nhánh cận thực "phân nhánh", "tính cận"và "loại bỏ" cho q trình hội tụ nghiệm cần tìm 1.2.2.1 Phân nhánh 10 Việc phân nhánh thực cách chia tập phương án M thành tập M1 , M2 , , Mk cho k Mi , Mi ∩ Mj = ∅, (i = j) M= i=1 1.2.2.2 Tính cận Hàm số γ(A) gọi cận hàm f (x) A γ(A) thoả mãn hai điều kiện: +) γ(A) ≤ f (x), ∀x ∈ A +) γ(A1 ) ≥ γ(A2 ) A1 ⊂ A2 ⊂ M Từ ta có γ(Mi ) ≥ γ(Mj ), ∀i = 1, 2, , k Đồng thời f (x ) = min{f (x) : x ∈ M } ≥ γ(Mi ) = γ(Ms ) Do f (x ) = γ(Ms ) x phương án tối ưu cần tìm 1.2.2.3 Lựa chọn loại bỏ + Lựa chọn: Giả sử k M= Mi i=1 Mi ∩ Mj = ∅, i = j Khi γ(Ms ) = γ(Mi ), i = 1, 2, , k, tức γ(Ms ) ≤ γ(Mi ), ∀i = 1, 2, , k, 11 nên γ(Ms ) ≤ min{f (x) : ∀x ∈ M } Ta hy vọng Ms chứa phương án tối ưu Vì chọn Ms để phân nhánh + Loại bỏ: Việc loại bỏ nhằm thu gọn toán, giảm bớt nhớ Tiêu chuẩn để loại bỏ là: Giả sử bước k, biết phương án x mà f (x) ≤ f (x), với phương án x biết, lúc ta nói x phương án kỷ lục,f (x) giá trị kỷ lục Nếu có Mj mà γ(Mj ) ≥ f (x) Mj bị loại bỏ (chú ý Mj = ∅ Mj bị loại bỏ) 1.2.3 Phương pháp cắt 1.2.3.1 Nhát cắt hợp cách Nội dung phương pháp là: Bỏ qua điều kiện ngun, giải tốn quy hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình phương án tối ưu x(0) Nếu xoj nguyên (j = 1, , n) x(0) phương án tối ưu cần tìm Nếu ngược lại, bổ sung vào tốn quy hoạch tuyến tính điều kiện n dj xj ≤ e L(x) = (1.2) j=1 L(x) phải thoả mãn hai tính chất: + x(0) khơng thoả mãn (1.2) + Mọi phương án nguyên thoả mãn (1.2) Điều kiện (1.2) gọi nhát cắt hợp cách Người ta đưa nhiều nhát cắt hợp cách giải toán quy hoạch nguyên có hiệu Sau ta trình bày thuật tốn với nhát cắt Gomory 22 2.2.2.4 Bổ đề Với s = 1, 2, , S, j = 1, 2, , m2 , Ψs (χj ) nửa liên tục không giảm χj 2.2.2.5 Bổ đề Với kjs ∈ Z, Ψs (χj ) không đổi khoảng χj ∈ (kjs − hsj − 1; kjs − hsj ] với s = 1, 2, , S j = 1, 2, , m2 Chứng minh Từ giả thiết (A7), Ds nguyên, (Ds y)j > hsj + χj đưa đến (Ds y)j ≥ [hsj + χj ] Như vậy, với kjs ∈ Z, Ψs (χj ) không đổi miền {(hsj + χj )|[hsj + χj ] = kjs } = {(hsj + χj )|kjs − < hsj + χj ≤ kjs } Một cách tương tự, Ψs (kjs ) không đổi khoảng χj ∈ (kjs − hsj − 1; kjs − hsj ], với kjs ∈ Z Đó điều phải chứng minh 2.2.2.6 Định nghĩa Cho B tập hợp Rn I tập số Tập M := {Mi : i ∈ I}, Mi ⊆ B, gọi phân hoạch B B = i∈I Mi Mi Mj = ∂(Mi ) ∂(Mj ) với i, j ∈ I, i = j S ) ∈ ZSm2 vectơ 2.2.2.7 Định lý Cho k = (k11 , , kjS , , km nguyên Với k, đặt S C(k) = {χ ∈ R m2 m2 (kjs − hsj − 1; kjs − hsj ]} : χ= s=1 j=1 Những khẳng định sau đúng: (i) Nếu C(k) = Ø cl(C(k)) siêu hộp có chiều đầy đủ, nghĩa dim(C(k)) = m2 (ii) {C(k)|k ∈ ZSm2 } phân hoạch Rm2 (iii) Nếu C(k) = Ø Ψ(χ) khơng đổi C(k) 23 Chứng minh (i) Chú ý m2 s j=1 (kj − hsj − 1; kjs − hsj ] tích Đề khoảng siêu hộp Sự giao trực giao tất siêu hộp siêu hộp Phần đầu khẳng định sau từ kiện biết bao lồi tập Ci với i ∈ I, cl( i∈I ) = i∈I cl(Ci ) cl( i∈I Ci ) = i∈I cl(Ci ) Như vậy, ta thấy siêu hộp có chiều đầy đủ, chứng minh C(k) = Ø viết sau m2 S [kjs − hsj − 1; kjs − hsj ] C(k) = j=1 s=1 Với j, S [kjs − hsj − 1; kjs − hsj ] s=1 giao có hạn chiều dài khoảng trái mở phải đóng Như vậy, giao chiều dài khoảng C(k) tích Đề khoảng xác định có chiều đầy đủ (ii) Ta kiểm tra lại cách dễ dàng χ ∈ Rm2 có tồn k ∈ ZSm2 cho χ ∈ C(k) Hơn nữa, với k = k , C(k) C(k ) rời rạc Như {C(k)|k ∈ ZSm2 } phân hoạch Rm2 (iii) Với k cho, từ bổ đề 2.2.2.5, với s, Ψs (χ) không đổi siêu chữ nhật m2 s s s s j=1 (kj −hj −1; kj −hj ] Do C(k) tập không trống tất siêu chữ nhật (với s) Ψ(χ) không đổi C(k) Ψ(χ) 2.2.2.8 Định lý Cho M ∈ Rm2 K := {k ∈ ZSm2 |C(k) ∩ M = Ø} Khi đó, M compact, |K| < ∞ Chứng minh Từ χ compact, đạt cận có hạn lj uj cho lj ≤ χj ≤ uj với M Bây giờ, giả sử S T k = (k11 , , kjS , , km ) , tồn χ = C(k) ∩ M Khi đó, từ định nghĩa 24 C(k) χ compact, với j có lj ≥ kjs − hsj với s Từ suy kjs ≥ [lj + hsj ] Một cách tưng tự, có kjs − hsj − ≤ uj Khi kjs ≤ [uj + hsj + 1] Vì [lj + hsj ] ≤ kjs ≤ [uj + hsj + 1] Chúng ta có thành phần cận vectơ k với C(k) ∩ M = Ø Từ k vectơ nguyên, số hữu hạn cận thoả mãn Đó điều phải chứng minh Kết trên, với Định lý 2.2.2.7, cho thấy tập compact M phủ hoàn toàn số hữu hạn phân hoạch siêu hộp chữ nhật Hơn nữa, phủ giai đoạn 2, hàm giá trị không đổi Trong mục 2.3 sử dụng tính chất để đưa thuật toán nhánh cận giải toán (T P ) 2.3 Thuật toán nhánh cận giải toán (2SSP ) Trong mục này, chúng tơi trình bày thuật tốn giải toán (2SSIP ) Như nêu mục 2.2 (Định lý 2.2.3), thay việc giải tốn (2SSIP ), giải toán (T P ) 25 Sử dụng phương pháp nhánh cận miền liên tục cho ta kết gần đúng, q trình khơng hữu hạn hội tụ Hơn nữa, toán (T P ), cần đến cách riêng để giải với tính khơng liên tục hàm mục tiêu Nhiệm vụ khó khăn tìm kết hợp cận kỹ thuật phân nhánh vận dụng hàm mục tiêu không liên tục mang lại thuật toán hữu hạn Theo hướng này, khai thác cấu trúc kết phần 2.2 phân chia nghiên cứu không gian miền có dạng m2 j=1 (lj ; uj ], lj điểm giai đoạn 2, hàm giá trị Ψ(χj ) khơng liên tục Nhớ lại Ψ(χj ) khơng liên tục điểm χj nơi (hsj +χj ) nguyên với vài s Vì phân chia không gian nghiên cứu theo giá trị χ Sự phân nhánh cách lập miền qua giai đoạn hàm giá trị không đổi kể từ giải tốn cách xác 2.3.1 Kỹ thuật phân nhánh 2.3.1.1 Ký hiệu L: Danh sách toán mở k: Số phép lặp; sử dụng để lựa chọn toán P k : Phân hoạch tương tự đến k αk : Cận đạt phép lặp k β k : Cận toán k χk : Một phương án khả thi tốn k U : Cận tồn cục giá trị tối ưu L: Cận toàn cục giá trị tối ưu χ : Phương án tối ưu tồn cục 2.3.1.2 Kỹ thuật 26 Như nói trên, ta nghĩ đến phân hoạch lớp m2 j=1 (lj ; uj ], lj thoả mãn hsj + lj số nguyên với vài s Khi đó, xây dựng phân hoạch m1 (lj0 ; u0j ] ⊇ M P := j=1 cách: + Xây dựng phân hoạch đóng m2 j=1 [lj , uj ] ⊇ M sau: Với thành phần j χ, đặt lj := min{χj | χ ∈ M }; uj := max{χj | χ ∈ M } M đa diện tốn tốn quy hoạch tuyến tính + Với s j, tìm kjs ∈ Z cho kjs − hsj − < lj ≤ kjs − hsj Nếu lj + hsj nguyên, đặt kjs = lj + hsj , cách khác, đặt kjs = [lj + hsj + 1] Cho lj0 = maxs=1,2, S {kjs − hsj − 1} Đặt u0j = uj Như trên, nới lỏng lj đến lj0 cho điểm lj0 gần đến lj , với (lj0 + hsj ) nguyên với vài s Từ nay, thuận tiện, rõ phân hoạch phần (lj ; uj ] (l, u], với l = (l1 , l2 , , lm2 )T u = (u1 , , um2 )T 2.3.2 Tính cận 2.3.2.1 Tính cận Cho phân hoạch P k := m2 k k j=1 (lj , uj ], lj thoả mãn (hsj + ljs ) nguyên với vài s Chúng ta đạt cận toán tương ứng giải toán (LB) sau đây, nhờ vào nhát cắt Benders (2.1): (LB) fL (P k ) = cT x + θ (2.6) 27 với điều kiện x ∈ X, T x = χ l k ≤ χ ≤ uk S ps [(hs + χ)us ] θ≥ (2.1) s=1 Chú ý nhát cắt Benders (2.1) thay nhát cắt S ps Ψs (lk + ε) θ≥ (2.7) s=1 Ψs (χ) = f s y (2.8) với điều kiện Ds y ≥ hs + χ y ∈ Y ∩ Zn2 Với toán (LB), ε đủ nhỏ cho Ψs (.) không đổi (lk , lk + ε] với s Từ có cách xác đặc điểm miền mà Ψs (.) khơng đổi Lúc tính tốn ε Để tính ε, ta thực theo thủ tục sau đây: Phép tính ε: • Do for j = 1, , m2 - Đặt s = 1, D = ∅ Chọn kj1 ∈ Z - Cho χ0j = kj1 − h1j − χ1j = χ0j + - Gán D := D ∪ {χ0j , χ1j } - Do for s = 2, , S - Chọn kjs ∈ Z cho χ0j < kjs − hsj ≤ χ1j , nghĩa đặt kjs = [χ1j + hsj ] 28 - Chọn χj = kjs − hsj - Nếu D ∩ {χsj } = ∅ gán D := D ∪ {χsj } End - Thứ tự phần tử D xếp χ0j = ε0j < ε1j < < εnj = χ1j , với n ≤ S - Chọn εj = mini=1, ,n {εij − εi−1 j } End • Đặt ε = 0, × minj=1, ,m2 {εj } thủ tục trên, xác định nửa khoảng (χ0j , χ1j ] để có [h1j + χj ], mà Ψ1 (χj ) không đổi với χj ∈ (χ0j , χ1j ] Khi đó, s = 2, , S, tìm χsj để có [hsj + χj ], mà Ψ1 (χj ) không đổi với χj ∈ (χ0j , χ1j ] Bằng cách này, điểm thích hợp điểm gián đoạn (χ0j , χ1j ] nhận biết tập D Những điểm gián đoạn xuất (χ0j , χ1j ] lặp lại theo hướng vng góc đến bên phải χ1j với chu kỳ Khi đủ để lựa chọn điểm có khả gián đoạn (χ0j , χ1j ] để đạt chiều dài εj khoảng nhỏ dọc theo trục j hàm Ψs (χj ) đảm bảo liên tục với s Cuối chọn giá trị ε nhỏ εj Tiếp theo chứng tỏ (LB) toán cận đắn Chú ý tập phương án (LB) đóng bị chặn, tồn giá trị nhỏ 2.3.2.2 Định lý Với phân hoạch P k = (lk , uk ] ta có β k := fL (P k ) ≤ inf{f (χ) | χ ∈ P k ∩ M } Chứng minh Khẳng định rõ ràng P k ∩ M = ∅ Bây giả 29 sử có χ ∈ P k ∩ M Lấy S T ps Ψs (χ), ∀s x ∈ arg min{c x | T x = χ, x ∈ X}, θ = s=1 Do S ps Ψs (χ) = cT x + θ f (χ) = Φ(χ) + s=1 Bây chứng tỏ (x, χ, θ) phương án toán (LB), x χ rõ ràng phương án Từ xây dựng ε định nghĩa lk , biết với s, Ψs (χ) không đổi (lk , lk + ε] Khi đó, đặc tính đơn điệu Ψs (Bổ đề 2.2.2.4), Ψs (χ) ≥ Ψs (lk + ε), từ χ ≥ lk Do đó, S S s s ps Ψs (lk + ε) p Ψ (χ) ≥ θ= s=1 s=1 điều kiện (2.7) (LB) thoả mãn Từ (x, θ) phương án, fL (P k ) ≤ cT x + θ = f (χ) Đó điều phải chứng minh Để giải toán (LB), trước hết cần giải giai đoạn gồm S toán (2.8) với việc xây dựng nhát cắt (2.7) Bài tốn chủ (2.6) giải với ý đến biến (x, χ, θ) Chú ý X đa diện, (2.5) tốn quy hoạch tuyến tính Nếu biến giai đoạn đầu có tính ngun, (2.6) tốn hỗn hợp tuyến tính ngun Mỗi tốn tốn chủ giải cách hồn tồn độc lập, giai đoạn hồn thành phân tích hoàn tất 2.3.2.3 Định lý Cho P k phân hoạch qua giai đoạn 2, hàm giá trị Ψ(.) không đổi tồn x ∈ arg min{f (χ) | χ ∈ P k ∩ M }, 30 nghĩa infimum đạt Giả sử χk phương án tối ưu cận toán (LB) qua phân hoạch Khi đó, f (χk ) ≤ f (χ ) Chứng minh Cho (xk , χk , θk ) đáp án tối ưu cận toán (LB) phân hoạch P k = (lk , uk ] Chú ý χk ∈ M ∩ cl(P k ) Khi fL (P k ) = cT xk + Ψ(lk + ε), từ Ψ(.) liên tục P k Do đó, f (χk ) = fL (P k ) Mặt khác, χkj = ljk với j = 1, 2, , m2 Ψ(χk ) ≤ Ψ(lk + ε), đặc tính đơn điệu Do f (χk ) ≤ fL (P k ) Từ fL (P k ) ≤ f (χ ) (Định lý 2.3.2.2), suy điều phải chứng minh 2.3.2.4 Cận Cho phân hoạch P k cho P k ∩ M = ∅, cho χk đáp án tối ưu tốn (LB) Chú ý χk ∈ M đáp án khả thi Chúng ta ước tính cận αk := f (χk ) ≥ min{f (χ) : χ ∈ M } 2.3.2.5 Chú ý Một kế hoạch điển hình phân hoạch P k gồm có lựa chọn chia cắt theo j tương ứng với cạnh dài siêu hộp chữ nhật P k Mặc dầu kế hoạch thấu đáo khơng tách phân hoạch khơng có điểm gián đoạn nắm lấy thuận lợi Định lý 2.3.2.6 Để tách mẫu gián đoạn giai đoạn hai hàm giá trị, mong muốn đến phân chia theo trục j điểm χj , cho Ψs (.) gián đoạn χj với s Trong làm lựa chọn χj , cho hsj + χj nguyên với s đó, làm tốt xác định giá trị χj , nơi mà đáp án giai đoạn trở nên làm Như 31 điểm có khả điểm mà Ψs (.) gián đoạn Kế hoạch trạng thái thức Chúng ta có y s đáp án giai đoạn hai toán (IP ) đáp án cận toán (LB) Sắp xếp nhánh: - Với j = 1, , m2 tính tốn pj := {(Ds y s )j − hsj } s=1, ,S - Cho j ∈ arg max{pj − ljk } j - Tách m2 k (ljk , ukj ] P = j=1 thành hai phân hoạch P k1 = (ljk , pj ] (ljk , ukj ]; P k2 = (pj , ukj ](ljk , ukj ] j=j 2.3.3 Lựa chọn Trong thuật toán, phép lặp k, cần lựa chọn toán con, từ danh sách toán mở L, sau để ý cận phân hoạch Một điều kiện tới hạn hội tụ thuật tốn nhánh cận lựa chọn phép tính làm cho cận tốt dần Điều làm xong chọn tốn đạt cận tối thiểu, nghĩa là, lựa chọn k ∈ L cho β k = L 2.3.4 Thuật toán Bước khởi tạo Xử lý trước toán xây dựng siêu hộp m1 (lj0 ; u0j ] ⊇ M, P := j=1 32 toán min{f (χ) | χ ∈ M ∩ P } để tiến tới danh sách L toán mở Gán U := +∞ k := Bước lặp k, k = 1, 2, Giả sử bước k, ta biết phương án kỷ lục χ Bước k.1 Nếu L = Ø, kết thúc với đáp án χ Nếu không, lựa chọn toán k, định nghĩa theo inf{f (χ) | χ ∈ M ∩ P k }, từ danh sách L toán mở Gán L := L \ {k} Chú ý giá trị nhỏ hàm mục tiêu (min) thay inf từ miền khả thi (tập phương án) toán khơng thiết đóng Bước k.2 Tính cận infimum tốn k từ vị trí thấp hơn, nghĩa tìm β k thoả mãn β k ≤ inf{f (χ) | χ ∈ M ∩ P k } Nếu M ∩ P k = ∅, β k = +∞ quy ước Chọn phương án χk ∈ M tìm cận αk ≥ min{f (χ) : χ ∈ M } cách đặt đặt αk = f (χk ) Bước k.2a Gán L := mini∈L∪{k} β i Bước k.2b Nếu αk < U , gán χ := χk U := αk Bước k.2c Soát lại danh sách toán con, nghĩa gán L := L \ {i | β i ≥ U } Nếu β k ≥ U quay lại bước k.1 lựa chọn toán khác 33 Bước k.3 Phân nhánh, cách phân chia P k thành P k1 P k2 Đặt L := L ∪ {k1 , k2 }, nghĩa thêm hai toán inf{f (χ) | χ ∈ M ∩ P k1 } inf{f (χ) | χ ∈ M ∩ P k2 }, vào danh sách toán mở Với lựa chọn kết quả, gán β k1 , β k2 := β k Gán k := k + quay lại bước k.1 2.4 Tính hữu hạn thuật tốn 2.4.1.1 Định lý Nếu với phân hoạch P k , giai đoạn hai hàm giá trị Ψ(.) khơng đổi, phân hoạch P k đo trình thuật toán Chứng minh Từ chứng minh định lý 2.3.2.3 ta có αk := f (χk ) ≤ fL (P k ) = β k Trong cận bước k.2.a thuật toán, đặt U = min{U, αk } Do bước k.2.c, chiều phân hoạch P k thoả mãn β k ≥ U đo Đó điều phải chứng minh Định nghĩa Phép tính cận gọi hạn chế đặc bước phân hoạch to lớn vơ yếu tố phân tử làm mịn nữa, dãy xếp lồng vào {P kq } liên tiếp phân hoạch làm mịn yếu tố phân tử hữu hạn 2.4.1.2 Bổ đề Trong thủ tục nhánh cận, giả sử phép tính cận hữu hạn Khi thủ tục kết thúc sau hữu hạn bước 2.4.1.3 Bổ đề Phép tính cận đề xuất thuật tốn nhánh cận hữu hạn 34 Chứng minh Lưu ý phân hoạch P k lớn vơ Bằng định lý 2.4.1.1 giai đoạn hai hàm giá trị gián đoạn phân hoạch Do bước phân nhánh làm mịn nó, cách làm thoả mãn điều kiện hạn chế đặc Nhánh dọc theo điểm gián đoạn phân chia dẫn đến hai phân hoạch hoàn toàn nhỏ Bằng Định lí 2.2.2.8, số gián đoạn P k hữu hạn Bởi dãy xếp lồng vào {P kq } sinh nhánh dọc theo điểm gián đoạn P k hữu hạn 2.4.1.4 Định lý Thuật toán đề xuất kết thúc với tối thiểu toàn cục sau hữu hạn bước Chứng minh Từ Bổ đề 2.4.1.2 2.4.1.3, thấy thuật toán kết thúc sau hữu hạn bước Cho χ ∈ P giá trị thấp toàn thể Khi có hữu hạn dãy xếp lồng vào {P kq }Q q=1 chiều dài Q cho χ ∈ P với q = 1, 2, 3, , Q Rõ ràng P kq không chứa đựng điểm gián đoạn, mặt khác làm mịn Hơn nữa, χ ∈ arg min{f (χ) : χ ∈ M ∩ P kq } Cho χ đáp án cận toán P kq Khi Định lý 2.3.2.3, f (χk ) ≤ f (χ ) Từ χk ∈ M, χk phải minimum tồn cục Từ cho ta điều phải chứng minh 35 Kết luận I Đóng góp Luận văn Kết luận văn bao gồm: Trình bày kiến thức bản, cần thiết cho việc nghiên cứu đề tài bao gồm: Một số yếu tố ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất; Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên số phương pháp tiếp cận giải; Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn Tìm mối liên hệ tốn quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn xét (2SSIP ) tốn (T P ) thơng qua Định lý 2.2.2.3 Chứng minh tồn nghiệm tốn (T P ) (Định lý 2.2.2.2) Trình bày nhát cắt Benders nhằm phục vụ cho việc thực thuật toán nhánh cận Nêu thuật toán nhánh cận giải toán quy hoạch ngẫu nhiên ngun thơng qua giải tốn (T P ) Chứng minh hội tụ thuật toán II Hướng mở luận văn Trong thời gian tới, có điều kiện, chúng tơi cố gắng phát triển kết luận văn theo hướng: - Nghiên cứu để đưa giả thiết làm chặt cận đạt cho toán - Nghiên cứu ứng dụng thuật toán nêu trường hợp quy hoạch nguyên hỗn hợp biến giai đoạn hai 36 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình xác suất, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [2] Trần Xuân Sinh (2004), Các phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch, Bài giảng dùng cho Sau Đại học, chuyên ngành XSTK Toán học, Đại học Vinh [3] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] S Ahmed, M Tawarmallani and N V Sahinidis (2000), A finite branch and boud algorithm for two-stage stochastic integer programs, Department of Mechanical Engineering, University of Illinois and Department of Chemical Engineering, University of Illinois www.isye.gatech.edu/people/faculty/Alex-Shapiro/SPbook.pdf [5] X Chen, M Sim, P Sun (2005), A robus optimizacion perspective of stochastic programming, Working paper National University of Singapore [6] A Shapiro, D Dentcheva and A Ruszczy´ nski (2010), Lectures on Stochastic Programming Modeling and Theory, Mathematical Programming Society Philadelphia www.isye.gatech.edu/people/faculty/Alex-Shapiro/SPbook.pdf ... đề tài: "Phương pháp cắt Benders thuật toán nhánh - cận giải toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn" Hiện nay, toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn có nhiều thuật tốn giải tin... tố ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất; Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên số phương pháp tiếp cận giải; Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn Tìm mối liên hệ toán quy hoạch nguyên ngẫu. .. để giải toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn, thực tế có nhiều thuật tốn tin cậy Trong chương hai, tìm hiểu kỹ vấn đề 16 Chương Thuật toán nhánh cận giải toán quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu