Thuật toán nhánh và cận giải bài toán quy hoạch nguyên hỗn hợp ngẫu nhiên

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Phương pháp nhánh cận giải toán quy hoạch nguyên 1.1.1 Phân nhánh 1.1.2 Tính cận 1.1.3 Lựa chọn loại bỏ 1.2 Một số khái niệm lý thuyết xác suất 1.2.1 Các khái niệm 1.2.2 Tính chất biến ngẫu nhiên 1.2.3 Tính chất kỳ vọng 1.2.4 Các loại hội tụ tính chất 1.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 1.3.1 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên 1.3.2 Tính lồi tốn hai giai đoạn 1.4 Một số yếu tố giải tích 1.4.1 Hàm nửa liên tục 1.4.2 Hàm phân phối tích lũy 1.4.3 Hàm đóng 1.4.4 Hàm Lagrange 5 6 7 10 11 13 13 16 17 17 18 18 18 Thuật toán nhánh-cận giải toán (SL − M ILC) 2.1 Bài tốn đầu tư tài sản xuất điện 2.1.1 Bài toán thực tế 2.1.2 Thiết lập mơ hình tốn học 20 20 20 20 2.2 Bài toán tổng quát (SP − M ILC) 2.2.1 Bài toán 2.2.2 Ký hiệu 2.3 Các tính chất tốn 2.3.1 Định nghĩa 2.3.2 Định lý 2.3.3 Chú ý 2.3.4 Hệ 2.3.5 Định lý 2.3.6 Định lý 2.4 Thuật toán nhánh cận giải toán (SP − M ILC) 2.4.1 Nhận xét 2.4.2 Xác định cận 2.4.3 Phân nhánh 2.4.4 Thuật toán nhánh cận 21 21 23 23 23 24 25 26 26 26 29 29 30 33 34 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Lý thuyết điều khiển tối ưu ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng thực tế Trong thập kỷ gần mơ hình phương pháp tối ưu trở thành yếu tố cần thiết hoạt động người ngày ứng dụng sâu rộng ngành kinh tế, kỹ thuật, cơng nghệ lĩnh vực xã hội khác Chính vậy, người ta đến giải toán quy hoạch, đặc biệt toán quy hoạch nguyên Bài toán quy hoạch nguyên mà liệu phụ thuộc biến cố ngẫu nhiên gọi toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên Trong toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên, lớp toán quy hoạch nguyên hỗn hợp ngẫu nhiên đóng vai trị quan trọng Việc nghiên cứu tốn nhằm phát tính chất thuật tốn để giải vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học thực tiễn rộng lớn Khi nghiên cứu phương pháp giải tốn quy hoạch ngun, chúng tơi ý nhiều đến phương pháp nhánh cận Trong trình học tập, chúng tơi tiếp cận với báo: Stochastic Programs with First-Order Dominance Constaints Induced by Mixed-Integer Linear Recourse, tác giả R Gollmer, F Neuce, R Schultz thuộc khoa Toán, trường Đại học Tổng hợp Duisburg-Essen, Campus Duisburse, cơng bố năm 2007 Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: "Thuật tốn nhánh cận giải toán quy hoạch nguyên hỗn hợp ngẫu nhiên" Hiện nay, toán quy hoạch nguyên hỗn hợp ngẫu nhiên có nhiều thuật tốn giải tin cậy Tuy nhiên, thuật toán nhánh cận có ảnh hưởng nhiều việc giải tốn quy hoạch nguyên ngẫu nhiên Luận văn chia làm hai chương: Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày số vấn đề: Phương pháp nhánh cận giải toán quy hoạch; Một số yếu tố ngẫu nhiên bản;Đại lượng ngẫu nhiên; Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn số yếu tố giải tích có liên quan khái niệm hàm đóng, hàm nửa liên tục Chương xem phần kiến thức chuẩn bị để sử dụng việc trình bày chương Chương Thuật toán nhánh - Cận giải toán (SP - MILC) Đây nội dung luận văn Trong chương chúng tơi trình bày mơ hình thực tế "Đầu tư tài sản xuất điện" Từ dẫn tới tốn quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cảm sinh dạng tuyến tính nguyên hỗn hợp, tính chất thuật tốn nhánh - cận giải tốn Nội dung chương sử dụng nhiều kết [6] Luận văn hoàn thành hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Trần Xuân Sinh, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy cảm ơn thầy giáo tổ xác suất thống kê giảng dạy, bảo cho suốt thời gian học tập nghiên cứu Cũng xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo giáo khoa tốn, khoa Sau đại học trường Đại học Vinh Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn tới trường THPT - DTNT Tân Kỳ nơi công tác, đồng nghiệp, bạn bè gia đình tạo điều kiện thuận tiện cho tơi hồn thành luận văn Vinh, ngày 06 tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Phương pháp nhánh cận giải toán quy hoạch nguyên Xét toán quy hoạch nguyên n f (x) = cj xj j=1 với điều kiện   n aij xj = bi , i = 1, , m j=1  xj ≥ 0, j ∈ {1, , n}; xj ∈ Z j ∈ {1, , n1 }(n1 ≤ n) Hàm f (x) gọi hàm mục tiêu, điểm x thoả mãn điều kiện toán gọi phương án, ký hiệu tập phương án M Phương án x∗ làm cực tiểu hàm mục tiêu gọi phương án tối ưu nghiệm toán Nếu n1 = n ta có tốn quy hoạch ngun tồn phần Nếu n1 < n ta có tốn quy hoạch ngun hỗn hợp ý tưởng phương pháp thực phân nhánh để chia tập phương án M thành phần nhỏ dần Trên phần nhỏ tập M , xác định cận hàm mục tiêu Từ loại bỏ dần phần khơng có khả chứa nghiệm Như cơng việc phương pháp tìm cách phân nhánh, tính cận lựa chọn loại bỏ cho sau hữu hạn bước lặp có câu trả lời tốn Phương pháp nhánh cận tỏ có hiệu toán quy hoạch nguyên cỡ lớn Mở đầu cơng trình A.A.Land A.G Doig (1960), sau cơng trình R.J Dakin (1965) Nhiệm vụ phương pháp nhánh-và-cận thực "phân nhánh", "tính cận" "loại bỏ" cho trình hội tụ nghiệm cần tìm Chú ý phương pháp nhánh cận khơng áp dụng cho toán quy hoạch tuyến tính ngun mà áp dụng cho số toán quy hoạch rời rạc tổng quát khác 1.1.1 Phân nhánh Việc phân nhánh thực cách chia tập M thành tập M1 , M2 , Mk cho k Mi Mi ∩ Mj = ∅, i = j M= i=1 1.1.2 Tính cận Xét hàm số γ(A) xác định 2M \∅, với γ : 2M \∅ → R thoả mãn + γ(A) ≤ f (x), ∀x ∈ A + γ(A1 ) ≥ γ(A2 ), A1 ⊂ A2 ⊂ M Hàm số γ(A) tập A ⊂ M gọi cận A Từ ta có γ(Mi ) ≥ γ(M ), ∀i = 1, , k Đồng thời f (x∗ ) = min{f (x) : x ∈ M } ≥ γ(Mi ) = γ(Ms ) Dó f (x∗ ) = γ(Ms ) x∗ phương án tối ưu cần tìm 1.1.3 Lựa chọn loại bỏ k Mi Mi ∩ Mj = ∅, i = j + Lựa chọn: Giả sử cho M = i=1 Khi γ(Ms ) = γ(Mi ), i = 1, , k, tức γ(Ms ) ≤ γ(Mi ), ∀i = 1, , k, nên γ(Ms ) ≤ min{f (x) : x ∈ M } Ta hy vọng Ms chứa phương án tối ưu Vì chọn Ms để phân nhánh + Loại bỏ: Việc loại bỏ nhằm thu gọn toán, giảm bớt nhớ Tiêu chuẩn để loại bỏ là: Giả sử bước k, biết phương án x mà f (x) ≤ f (x), với phương án x biết, lúc ta nói x phương án kỷ lục, f (x) giá trị kỷ lục Nếu có Mj mà γ(Mj ) ≥ f (x) Mj bị loại bỏ Chú ý Mj = ∅ Mj bị loại bỏ 1.2 1.2.1 Một số khái niệm lý thuyết xác suất Các khái niệm 1.2.1.1 σ -đại số Giả sử Ω tập tuỳ ý khác rỗng Ký hiệu P(Ω) tập hợp gồm tất tập Ω Lớp A ⊂ P(Ω) gọi đại số nếu: A1) Ω ∈ A, A2) A ∈ A ⇒ A = Ω \ A ∈ A, A3) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A (hoặc A ∩ B ∈ A) Lớp F ⊂ P(Ω) gọi σ -đại số đại số ngồi có A4) Nếu An ∈ F , ∀n = 1, 2, ∞ n=1 An ∈ F ∞ (hoặc n=1 An ∈ F ) 1.2.1.2 Không gian đo Cặp (Ω, F) gọi khơng gian đo, Ω = ∅ bất kỳ, F σ -đại số tập Ω Toàn Ω gọi biến cố chắn, tập ∅ gọi biến cố không, A gọi biến cố đối biến cố A Nếu A ∩ B = ∅, ta nói A B biến cố xung khắc 1.2.1.3 Độ đo xác suất Hàm tập P xác định đại số A gọi độ đo xác suất σ -cộng tính nếu: P1) P(A) ≥ 0, với ∀A ∈ A, P2) P(Ω) = 1, ∞ P3) Nếu Ai ∈ A, i = 1, 2, ,Ai ∩ Aj = ∅, i = j , Ai ∈ A i=1 ∞ ∞ Ai = P i=1 P(Ai ) i=1 Không gian xác suất (Ω, F, P) gọi không gian xác suất đầy đủ tập biến cố có xác suất không biến cố Để đơn giản, từ sau, nói đến khơng gian xác suất (Ω, F, P) ta ln xem không gian xác suất đầy đủ Chú ý Điều kiện (P2) định nghĩa đảm bảo biến cố chắn có xác suất Tuy nhiên, sau ta gặp biến cố có xác suất chưa biến cố chắn Những biến cố gọi biến cố hầu chắn 1.2.1.4 Biến ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F) không gian đo, R = [−∞, +∞] Hàm thực X = X(ω) xác định Ω lấy giá trị R gọi hàm F -đo biến ngẫu nhiên suy rộng {ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B) ∈ F với B ∈ B(R) (với B(R) σ - đại số tập Borel R) Nếu X : Ω −→ R = (−∞; +∞) X gọi biến ngẫu nhiên 1.2.1.5 Hàm Borel Hàm ϕ : (Rn , B(Rn )) −→ (R, B(R)) gọi hàm Borel, B(Rn )-đo được, nghĩa ϕ−1 (B) ∈ B(Rn ), với B ∈ B(R) 1.2.1.6 Hàm phân phối biến ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, X : Ω → R biến nhẫu nhiên Khi đó, hàm số FX (x) = P(X < x) = P(ω : X(ω) < x) gọi hàm phân phối X Nhận xét FX (x) = P[X −1 (−∞, x)] = PX [(−∞, x)] 1.2.1.7 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Định nghĩa Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B(R)) biến ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo P (nếu tồn tại) gọi kỳ vọng X ký hiệu EX Vậy EX = XdP Ω Nếu tồn E | X |p < ∞ (p > 0), ta nói X khả tích bậc p Đặc biệt, E | X |< ∞, X gọi biến ngẫu nhiên khả tích Lược đồ xây dựng kỳ vọng Lược đồ xây dựng kỳ vọng lược đồ xây dựng tích phân Lebesgue Nếu X biến ngẫu nhiên đơn giản X = ni=1 IAi n EX := P(Ai ) i=1 Nếu X biến ngẫu nhiên khơng âm X giới hạn dãy tăng biến ngẫu nhiên đơn giản (Xn , n ≥ 1) n2n Xn = k=1 k−1 k I k−1 + nI(X≥n) 2n ( 2n ≤X< 2n ) Khi EX := lim EXn n→∞ Nếu X biến ngẫu nhiên X = X + − X − ; với X + = max(X, 0) ≥ 0; X − = max(−X, 0) ≥ Khi EX := EX + − EX − (nếu có nghĩa) 1.2.2 Tính chất biến ngẫu nhiên 1) Giả sử X : Ω −→ R Khi mệnh đề sau tương đương a) X biến ngẫu nhiên b) {ω : X(ω) < x} ∈ F với x ∈ R c) {ω : X(ω) ≤ x} ∈ F với x ∈ R d) {ω : a ≤ X(ω) < b} ∈ F với a < b 2) Giả sử X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F) ϕ(t1 , , tn ) hàm Borel giá trị thực Khi Y = ϕ(X1 , X2 , , Xn ) biến ngẫu nhiên 10 3) Giả sử X, Y biến ngẫu nhiên Khi X ± Y, X.Y, max(X, Y ), min(X, Y ), X + = max(X, 0), X − = max(−X, 0), |X| = X + + X − biến ngẫu nhiên Đặc biệt, Y không triệt tiêu X/Y biến ngẫu nhiên 4) Giả sử (Xn , n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên sup Xn , inf Xn n n hữu hạn Ω Khi sup Xn , inf Xn , lim sup Xn , lim inf Xn n n n n biến ngẫu nhiên Đặc biệt tồn lim Xn = X n→∞ X biến ngẫu nhiên 1.2.3 Tính chất kỳ vọng X ≥ EX ≥ X = C EX = C tồn EX với C ∈ R, ta có E(CX) = C EX tồntại EX EY E(X ± Y ) = EX ± EY  i xi pi X rời rạc nhận giá trị x1 , x2 , , với P(X = xi ) = pi 5) EX =  +∞ −∞ xp(x)dx X liên tục có hàm mật độ p(x) Tổng quát:  Nếu f : R → R hàm đo Y = f (X)  i f (xi )pi X rời rạc nhận giá trị x1 , x2 , với P(X = xi ) = pi EY =  +∞ −∞ f (x)p(x)dx X liên tục có hàm mật độ p(x) 6) (Định lý P Levi hội tụ đơn điệu) Nếu Xn ↑ X (tương ứng Xn ↓ X) tồn n để EXn− < ∞(tương ứng EXn+ < ∞) EXn ↑ EX(tương ứng EXn ↓ EX) 7) (Bổ đề Fatou) Nếu Xn ≥ Y với n ≥ EY > −∞ 1) 2) 3) 4) Nếu Nếu Nếu Nếu ElimXn ≤ limEXn 23 2.2.2 Ký hiệu • Một biến ngẫu nhiên X (giá trị thực) gọi cực tiểu cấp hàm h tốt biến ngẫu nhiên Y Eh(X) ≤ Eh(Y ) với hàm không giảm h, với hai kỳ vọng tồn Ký hiệu: X Y Người ta chứng minh kết tương đương sau X Y P[{ω : X(ω) ≤ η}] ≥ P[{ω : Y (ω) ≤ η}], ∀η ∈ R (2.7) • Cho P(Rs ), P(R) tập độ đo xác suất Borel Rs R tương ứng Lấy µ ∈ P(Rs ) ν ∈ P(R) ký hiệu độ đo xác suất sinh biến ngẫu nhiên z(ω) d(ω) m • Chúng ta cố định ν , hàm đa trị C : P(Rs ) −→ 2R với C(µ) := {x ∈ Rm : f (x, z) d, x ∈ X} • Trở lại tốn quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn (2.1) tập hợp (2.4), giả thiết chi phí chuẩn ngẫu nhiên d(ω) nhận Với x ∈ X "chấp nhận được", hàm f (x, ω) tương ứng tối ưu khơng vượt q chi phí chẩn ngẫu nhiên chuẩn ban đầu d(ω) Lúc x ∈ X chấp nhận làm tối ưu hàm g : Rm −→ R Điều dẫn đến quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cảm sinh dạng tuyến tính nguyên hỗn hợp min{g(x) : f (x, ω) d(ω), x ∈ X} (2.8) x Bài toán (2.8) ký hiệu (SP − M ILC), (Stochastic Program with firstorder dominance induced by Mixed-Integer Linear Constraint) 2.3 2.3.1 Các tính chất tốn Định nghĩa Một dãy {µn } P(Rs ) gọi hội tụ yếu tới µ ∈ P(Rs ), với hàm liên tục bị chặn h : Rs −→ R thỏa mãn h(z)µn (dz) −→ Rs w Ký hiệu: µn −→ µ h(z)µ(dz) n −→ ∞ Rs 24 2.3.2 Định lý Giả sử (A1 ) (A2 ) thoả mãn Khi C hàm đóng, đa trị P(Rs ) Điều có nghĩa với µ ∈ P(Rs ) tùy ý dãy µn ∈ P(Rs ), xn ∈ w C(µn ), với µn −→ µ xn → x x ∈ C(µ) Chứng minh Giả sử xn ∈ C(µ), với n theo (2.7) ta có ν[d ≤ η] ≤ µn [f (xn , z) ≤ η], ∀η ∈ R, (2.9) ta ký hiệu d ≤ η f (xn , z) ≤ η tập {d ∈ R : d ≤ η} {z ∈ Rs : f (xn , z) ≤ η}, tương ứng Ký hiệu Mη (x) := {z ∈ Rs : f (x, z) > η} Theo giả thiết (A1 ) (A2 ), hàm Φ f (x, •) nửa liên tục Vì vậy, Mη (x) mở với η ∈ R x ∈ Rm Với ký hiệu (2.9) nói lên với n ν[d ≤ η] + µn [Mη (xn )] ≤ 1, ∀η ∈ R (2.10) Từ Mη (x) mở, kết có ta suy µ[Mη (x)] ≤ lim inf µn [Mη (x)], ∀η ∈ R n (2.11) Tính nửa liên tục hàm Φ cho thấy Mη (x) ⊆ lim inf Mη (xn ), ∀η ∈ R, n (2.12) ” lim inf ” có nghĩa giới hạn Mη , chẳng hạn, đặt tập tất n điểm tùy ý thuộc vào số hữu hạn tập Mη (xn ) Cố định n, (2.12) nửa liên tục độ đo xác suất ta suy µn [Mη(x) ] ≤ µn [lim inf Mη (xk )] ≤ lim inf µn [Mη (xk )] ∀η ∈ R k k Lấy giới hạn vế theo n ta lim inf µn [Mη (x)] ≤ lim inf lim inf µn [Mη (xk )] ≤ lim inf µn [Mη (xn )] ∀η ∈ R n n n k (2.13) Đối với bất đẳng thức cuối chọn dãy đường chéo với n = k Từ (2.11) (2.13) ta có µ[Mη (x)] ≤ lim inf µn [Mη (xn )], ∀η ∈ R n (2.14) 25 Lấy giới hạn theo n (2.10) từ (2.14) ta có ν[d ≤ η] + µ[Mη (x)] ≤ ν[d ≤ η] + lim inf µn [Mη (xn )] ≤ 1, ∀η ∈ R n Từ (2.10), (2.9) (2.7), suy f (x, z) d Do tính đóng X, xn → x, xn ∈ X với n suy x ∈ X Từ suy x ∈ C(µ) Đó điều phải chứng minh 2.3.3 Chú ý Chú ý (Về biến ν ) Cho P(R) trang bị với hội tụ hàm phân phối (hội tụ theo Kolmogrov - Smirnov), (2.9), theo định lý m 2.3.2, hàm đa trị C : P(Rs ) × P(R) −→ 2R thể C(µ, ν) := {x ∈ Rm : f (x, z) d, x ∈ X} Nếu νn hội tụ ν theo Kolmogorov - Smirnov, νn [d ≤ η] → ν[d ≤ η], ∀η ∈ R Chú ý (Về hội tụ yếu P(Rs )) Cho lớp biến ngẫu nhiên khác nhau, người ta xây dựng kết xác điều kiện ràng buộc tối ưu bậc nhất, có hội tụ khơng gian tương ứng P(Rs ) Cho chuỗi phân kỳ So với kết có Định lý 2.3.2 cho ta biến ngẫu nhiên tập trung với khái niệm hội tụ yếu P(Rs ) Cụ thể là, hội tụ yếu độ đo xác suất thay hội tụ sinh tính phân kỳ kết có Chú ý (Về hội tụ yếu P(R)) Định lý 2.3.2 phân nhỏ đến biến ν trang bị cho P(R), với hội tụ yếu Để có điều này, đặt η = lấy µ, x, Φ cho − µ[M0 (x)] = 12 Giả sử νn , ν độ đo xác suất riêng biệt đến n1 Khi đó, νn hội tụ yếu ν ta có = νn [d ≤ 0] ≤ − µ[M0 (x)] = , ∀n Mặt khác ta có 1 − µ[M0 (x)] = Định lý 2.3.2 suy C(µ) tập đóng với µ ∈ P(Rs ) = ν[d ≤ 0] 26 2.3.4 Hệ Giả sử (A1 ) (A2 ) thoả mãn Khi C(µ) tập đóng Rm , µ ∈ P(Rs ) Vì vậy, tốn tối ưu hóa (2.8) có tính khả thi Chẳng hạn hàm nửa liên tục g , X bị chặn tập C(µ) khác rỗng, giá trị tối ưu đạt hữu hạn Điều rõ ràng tính chất nửa liên tục tập ánh xạ khái niệm xây dựng chương Chúng ta kết thúc phần với kết luận: Xem (2.8) tốn quy hoạch tham số có phân bố xác suất µ biến ngẫu nhiên z(ω) nhập vào tham số P(µ) min{g(x) : x ∈ C(µ)} 2.3.5 Định lý Giả sử (A1 ) (A2 ) thoả mãn, X khác rỗng compact, g hàm nửa liên tục Lấy µ ∈ P(Rs ) cho P(µ) có phương án tối ưu Khi đó, hàm giá trị tối ưu ϕ(µ) := inf{g(x) : x ∈ C(µ)} nửa liên tục µ w Chứng minh Cho µn −→ µ khơng tính tổng quát giả sử C(µn ) = ∅, ∀n Mặt khác, ta có ϕ(µn ) = +∞ khơng ảnh hưởng đến kết lim inf n ϕ(µn ) ≥ ϕ(µ) Lấy ε > cố định tùy ý, tồn xn ∈ C(µn ) cho g(xn ) ≤ ϕ(µn ) + ε Do tính compact X nên tồn điểm tụ x xn Do tính đóng C(µ) (theo định lý 2.3.2), kéo theo x ∈ C(µ) Kết hợp với tính nửa liên tục g , ta suy ϕ(µ) ≤ g(x) ≤ lim inf g(xn ) ≤ lim inf ϕ(µn ) + ε n n Do ε > lấy tùy ý, nên từ suy điều kết luận định lý Định lý chứng minh xong 2.3.6 Định lý Lấy z(ω) d(ω) (2.9) có phân phối riêng biệt zl , (l = 1, L) dk , (k = 1, K) với xác suất πl , (l = 1, L pk , (k = 1, K), 27 tương ứng Cho g(x) := g T x hàm tuyến tính X bị chặn Giả sử (A1 ) (A2 ) thoả mãn Khi đó, tồn số M cho toán (SP − M ILC) tương đương với tốn quy hoạch tuyến tính ngun hỗn hợp min{g(x) = g T x} (2.15)  T c x + q T ylk − dk ≤ M θlk , ∀l, ∀k      Qx + W ylk = zl , ∀l, ∀k L với điều kiện πl θlk ≤ dk , ∀k    l=1   m x ∈ X, ylk ∈ Zm + × R+ , θlk ∈ {0, 1}, ∀l, ∀k dk := − ν[d ≤ dk ], k = 1, K Chứng minh Do (2.7) nên điều kiện buộc f (x, z) d tương đương với ν[d ≤ η] ≤ µ[f (x, z) ≤ η], ∀η ∈ R (2.16) Ta suy điều tương đương với ν[d ≤ dk ] ≤ µ[f (x, z) ≤ dk ] với k = 1, 2, , K (2.17) Sự cần thiết (2.17) hiển nhiên Đối với giả thiết đầy đủ dk thứ tự tăng dần xét η thỏa mãn dk ≤ η ≤ dk+1 Khi ta có ν[d ≤ η] = ν[d ≤ dk ] ≤ µ[f (x, z) ≤ dk ] ≤ µ[f (x, z) ≤ η] Trong đó, đẳng thức d riêng biệt có nhiều điểm nằm dk dk+1 Bất đẳng thức hai (2.17) bất đẳng thức cuối tính đơn điệu hàm phân phối tích lũy Cho η < dl , vế trái (2.16) 0, vậy(2.16) Cho η > dk (2.17) k = K , với tính đơn điệu hàm phân phối tích lũy dẫn tới vế phải (2.16), mà (2.17) Điều khẳng định lại tính tương đương Bây ta ý tới việc xây dựng số M nêu định lý Ta đặt M sau: M > sup{cT x + Φ(zl − Qx) − dk : x ∈ X, l ∈ {1, , L}, k ∈ {1, , K}} Do ϕ hàm đơn điệu tăng nên vế phải bất đẳng thức hữu hạn Do (A1 ), (A2 ), nên tồn số bất biến α > 0, β > cho bất đẳng thức sau thỏa mãn với t1 , t2 ∈ Rs | Φ(t1 ) − Φ(t2 ) |≤ α t1 − t2 +β 28 Ngoài ra,(A2 ) kéo theo Φ(0) = Điều ước lượng sau |cT x + Φ(zl − Qx) − dk | ≤ |cT x| + |Φ(zl − Qx) − Φ(0)| + |dk | ≤ c x + α zl − Qx + β + |dk | ≤ c x + α zl + α Q x + β + |dk | Từ X bị chặn, suy tính hữu hạn cận Bằng cách xét biến cố đối vế phải, ta viết lại (2.16) sau: µ[f (x, z) > dk ] ≤ − ν[d ≤ dk ] =: dk , với k = 1, 2, K (2.18) Với k ∈ {1, 2, , K}, ta xét hai tập hợp sau S1 :={x ∈ X : µ[f (x, z) > dk ] ≤ dk } m S2 :={x ∈ X : ∃θl ∈ {0, 1}, ∃yl ∈ Zm + × R+ , l = 1, L}, θl yl thỏa mãn thêm điều kiện  T c x + q T yl − dk ≤ M θl    Qx + W y = zl l L   πl θl ≤ dk ,  l=1 với M chọn Chúng ta chứng minh cách S1 = S2 Thật vậy, bắt đầu ta chứng minh bao hàm thức S1 ⊆ S2 Lấy x ∈ S1 xét I := {l ∈ {1, , L} : cT x + Φ(zl − Qx) > dk } πl ≤ dk Đặt θl := với l ∈ I Khi đó, định nghĩa S1 ta có l∈I θl = với l ∈ / I Điều cho ta L πl ≤ dk πl θl = l=1 l∈I m Với l ∈ / I ta có: cT x + Φ(zl − Qx) ≤ dk Do tồn yl ∈ Zm + × R+ kéo theo cT x + q T yl − dk ≤ = M θl Qx + W yl = zl 29 m T Với l ∈ I ta lấy yl ∈ Zm + × R+ cho Qx+W yl = zl q yl = Φ(zl −Qx) Từ cách chọn M có: cT x + q T yl − dk ≤ M = M θl Điều chứng tỏ x ∈ S2 Bây ta chứng minh S2 ⊆ S1 Lấy x ∈ S2 xét I := {l ∈ {1, , L} : m θl = 0} Với l ∈ I tồn yl ∈ Zm + × R+ cho cT x + q T yl − dk ≤ Qx + W yl = zl Do cT x + Φ(zl − Qx) ≤ dk với l ∈ I Vì {l ∈ {1, L} : cT x + Φ(zl − Qx) > dk } ⊆ {l ∈ {1, , L} : θl = 1} Điều cho thấy L T µ[c x + Φ(z − Qx) > dk ] ≤ πl θl ≤ dk πl θl = l∈I / l=1 Vì x ∈ S1 Từ ta suy điều phải chứng minh 2.4 Thuật toán nhánh cận giải toán (SP − M ILC) 2.4.1 Nhận xét Từ chứng minh định lý 2.3.6 cho thấy với khơng gian xác suất hữu hạn, tốn quy hoạch ngẫu nhiên có điều kiện ràng buộc tối ưu (2.8) tương đương với tốn tối ưu hóa sau có điều kiện ràng buộc theo xác suất hữu hạn min{g T x : x ∈ X, µ[f (x, z) ≤ dk ] ≥ ν[d ≤ dk ], k = 1, 2, K} So với tốn quy hoạch ngẫu nhiên có điều kiện ràng buộc truyền thống, khó khăn phát sinh thêm hàm f (x, z) cho hàm giá trị tốn cực trị khác có tính giải tích yếu 30 Thực tế cho thấy rằng, với khơng gian xác suất hữu hạn, tính tối ưu ngẫu nhiên giảm đến số hữu hạn điều kiện ràng buộc xác suất hình thành Có biến ngẫu nhiên khác nhiều tác giả xem xét Như biết, toán quy hoạch tuyến tính nguyên hỗn hợp, vấn đề tối ưu hóa định lý 2.3.6, giải phần mềm đa giải toán quy hoạch tuyến tính nguyên hỗn hợp Tuy nhiên, với việc cho liệu L K tăng phân phối chuẩn, hy vọng phương pháp cho ta tiếp cận với tính giới hạn Nhớ rằng, giá trị L điều kiện ràng buộc nảy sinh khơng gian xác suất riêng biệt tốn quy hoạch ngẫu nhiên truyền thống (2.5), giống khác dẫn đến điều kiện ràng buộc cT x + q T ylk − dk ≤ M θlk , ∀l, ∀k Qx + W ylk = zl , ∀l, ∀k Ta thấy cố định K , ràng buộc liên kết rõ ràng biến ylk , θlk , tùy thuộc vào l ∈ {1, 2, , L} Sự liên kết thiết lập biến x có mặt khắp nơi Những biến phải không phụ thuộc vào l k Vì với K cho dẫn đến phân tử L Điều kiện ràng buộc L πl θlk ≤ dk ∀k (2.19) l=1 cung cấp liên kết nhiều biến tùy thuộc vào giá trị khác l ∈ {1, 2, L}, mơ hình đầy đủ, không tuân theo cấu trúc tập I 2.4.2 Xác định cận ý tưởng thuật tốn tìm cận chúng tơi nhờ nới lỏng phù hợp để tìm ra; cận thực nhờ khám phá kỹ thuật riêng gồm hai công việc "phân nhánh" "tính cận" sơ đồ tốn tối ưu toàn cục phương pháp nhánh cận 2.4.2.1 Cận Sự nới lỏng thực theo phương pháp "gấp đôi": ẩn x trở nên giảm nhẹ cách xuất xl , (l = 1, 2, , L) Điều 31 kiện ràng buộc (2.19) chịu nới lỏng Lagrange Điều thực sau: Chúng ta đặt x = Ll=1 πl θl ; đồng thời với điều kiện ràng buộc (2.19), ta sử dụng nhân tử Lagrange λk ≥ 0, k = 1, 2, , K Với hàm Lagrange cho T L(x, θ, λ) = L K L l=1 k=1 L K l=1 L πl g T xl + = πl θlk − dk ) λk ( πl g xl + λk (πl θlk − πl dk ) l=1 k=1 l=1 L Ll (xl , θl , λ), = l=1 K T Ll (xl , θl , λ) := πl g xl + πl λk (θlk − dk ) k=1 Điều dẫn đến toán Lagrange đối ngẫu max{D(λ) : λ ∈ RK + }, D(λ) = min{L(x, θ, λ)} với điều kiện  T  c xl + q T ylk − dk ≤ M θlk , ∀l, ∀k Qxl + W ylk = zl , ∀l, ∀k  m xl ∈ X, ylk ∈ Zm + × R+ , θlk ∈ {0, 1}, ∀l, ∀k Bây giờ, toán tối ưu D(λ), chia theo l ta L D(λ) = min{Ll (xl , θl , λ)} l=1 với điều kiện  T c xl + q T ylk − dk ≤ M θlk , ∀k Qxl + W ylk = zl , ∀k  m xl ∈ X, ylk ∈ Zm + × R+ , θlk ∈ {0, 1}, ∀k (2.20) 32 Đối ngẫu Lagrange toán cực đại hàm lõm (hoặc cực tiểu hàm lồi) không trơn cho giá trị tối ưu cận giá trị tối ưu quy hoạch tuyến tính nguyên hỗn hợp định lý 2.2.6 Đối với việc giải toán đối ngẫu Lagrange người ta thường dùng thuật tốn "bó" tối ưu hóa lồi khơng trơn, (chẳng hạn phương pháp bó cơnic C Helmberg K C Kiwiel đề xuất Do lặp lại phương pháp cần có hàm giá trị D(λ) cân từ ∂D(λ) Trong tính tách trở thành cốt yếu, dẫn đến phân hoạch tốn tối ưu hóa D(λ) thành tốn tương ứng zl , l = 1, 2, L cho hàm phân phối zl Theo nguyên tắc, phương pháp xây dựng cận cải thiện nới lỏng Lagrange khơng với (2.19) mà cịn ẩn x, điều biểu thị đồng thức x1 = x2 = = xL Tuy nhiên, điều dẫn đến gia tăng mạnh số chiều đối ngẫu Lagrange, cụ thể từ K đến K + m.(L − 1) Nhớ lại L số hàm phân phối zl , K số hàm phân phối chuẩn dk Từ việc quan sát trước đó, ta thừa nhận L lớn K Chẳng hạn, người ta thử nghiệm với L nhận giá trị hàng trăm chí hàng nghìn, K dao động quanh 20, chí cịn thấp 2.4.2.2 Cận Một cận giá trị tối ưu (2.15) xác định tìm kiếm sau nhằm mục đích tìm kiếm phương pháp khả thi cho (2.15) Nguồn vào tìm kiếm bao gồm xl phần xl phương án tối ưu toán (2.20) cho ta λ tối ưu gần tối ưu Thuật tốn tìm cận Bước 1: Ta có xl , l = 1, 2, L xuất phát x lựa chọn "ứng cự viên hợp lý" x, chẳng hạn lấy phương án phát sinh thường xuyên nhất, với hàm Ll (xl , θl , λ), (hàm tối thiểu) xl trung bình, l = 1, 2, , L, làm tròn đến số nguyên cần thiết Bước 2: Kiểm tra tốn sau có khả thi khơng l = 1, 2, L min{g T x} (2.21) 33 với điều kiện  T  c x + q T ylk − dk ≤ M θlk Qx + W ylk = zl  m ylk ∈ Zm + × R+ , θlk ∈ {0, 1}, k = 1, 2, , K + Nếu x không thỏa mãn (2.15) trình tìm kiếm dừng lại, với cận +∞ + Ngược lại, sang bước Bước 3: Kiểm tra θlk , tìm thấy (2.21) cách kiểm tra bất đẳng thức L πl θlk ≤ dk , k = 1, 2, , K l=1 + Nếu đúng, phương án của( 2.15) tìm thấy Quá trình tìm kiếm dừng lại với cận g T x + Ngược lại, chuyển sang bước Bước 4: Giải toán (với l = 1, 2, , L) sau: K θlk k=1 với điều kiện  T  c x + q T ylk − dk ≤ M θlk Qx + W ylk = zl  m ylk ∈ Zm + × R+ , θlk ∈ {0, 1}, k = 1, 2, , K Bước 5: Trở lại bước với θlk tìm thấy bước + Nếu phần kiểm tra đúng, việc tìm kiếm dừng lại, với cận g T x + Ngược lại, trình tìm kiếm dừng lại, với cận +∞ Mục đích bước "loại bỏ" θlk để thực (2.19) Sự bổ sung bước tiếp tục với phương án tìm thấy bước Tác động bước đặc biệt, bước 2, lựa chọn θlk "tồi" làm cho việc kiểm tra bước thất bại, x thỏa mãn (2.15) với θlk khác 2.4.3 Phân nhánh Phương pháp thực tính cận nhóm lại thành sơ đồ nhánh cận, nhánh thực phân tích tập X với 34 độ mịn tăng dần (X ngày chi tiết hơn) Bất đẳng thức tuyến tính dùng để phân nhánh phải đảm bảo mô tả tốn quy hoạch tuyến tính ngun hỗn hợp Chúng ta ký hiệu P tập toán xét ϕLB (P ) cận giá trị tối ưu toán P ∈ P Ngoài ra, ϕ ký hiệu cho cận tốt đến giá trị tối ưu (2.15) X(P ) phần tử phân chia X tùy thuộc vào P Như kết định lý 2.3.6 cho thấy, để giải toán (SP − M ILC), ta cần giải toán tương đương (2.15) min{g(x) = g T x} với điều kiện (2.15)  T c x + q T ylk − dk ≤ M θlk , ∀l, ∀k      Qx + W ylk = zl , ∀l, ∀k L πl θlk ≤ dk , ∀k,      l=1 m x ∈ X, ylk ∈ Zm + × R+ , θlk ∈ {0, 1}, ∀l, ∀k dk := − ν[d ≤ dk ], k = 1, K 2.4.4 Thuật toán nhánh cận Bước 1: (Khởi đầu) Đặt P = {(2.16)} ϕ := +∞ Bước 2: (Kết thúc) Nếu P = ∅ x, với ϕ = g T x, phương án tối ưu cần tìm Bước 3: (Tìm cận) Lựa chọn xóa bỏ tốn P P Tìm cận ϕLP (P ) phương pháp tìm cận áp dụng thuật tốn 2.4.2.2 để tìm phương án chấp nhận x ∈ P Bước 4: (Loại bỏ) + Nếu ϕLP (P ) = +∞ (không gặp toán (2.20)) ϕLP (P ) > ϕ(kém P), trở lại bước + Nếu ϕLP (P ) = g T x (tối ưu P ) kiểm tra g T x < ϕ có thỏa mãn khơng - Nếu thỏa mãn ϕ := g T x Trở lại bước - Nếu ngược lại ϕ := g T x Sang bước Bước 5: (Phân nhánh) Tạo hai toán P1 , P2 phân chia tập X(P ) Gán P := P∪{P1 , P2 } Trở lại bước 35 Để kiểm tra tính hiệu thuật toán, báo công bố, tác giả R Gollmer, F Neuce, R Schultz, 1999, thử nghiệm giải mơ hình thực tế Mơ hình có tính định với khoảng 17500 biến (9000 biến Boolean 8500 biến liên tục) 22000 điều kiện ràng buộc 36 KẾT LUẬN I Luận văn trình bày kết sau đây: 1.1 Trình bày cách có hệ thống kiến thức bản, cần thiết cho việc nghiên cứu nội dung luận văn 1.2 Tìm mơ hình thực tế tốn đầu tư tài sản xuất điện nhằm dẫn đến toán tổng quát cần nghiên cứu 1.3 Nêu tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, với ràng buộc cảm sinh dạng tuyến tính nguyên hỗn hợp, cần nghiên đề tài 1.4 Trình bày tính chất tốn Trong đáng ý Định lý 2.3.6 cho phép ta chuyển việc giải toán quy hoạch ngẫu nhiên giải toán quy hoạch tất định 1.5 Trên sở kết nêu, chúng tơi trình bày thuật nhánhvà-cận giải toán đặt Về "Bài tốn đầu tư tài sản xuất điện", mục 2.1, gửi đăng "Kỷ hiệu Hội thảo khoa học Toán - Tin ứng dụng" Đại học Vinh, 26/11/2011 II Sau hoàn thành luận văn, chúng tơi nhận thấy cịn số nội dung cần tiếp tục nghiên cứu bao gồm: - Thuật toán cần chi tiết hơn, trình bày ví dụ thuật toán cụ thể số - ứng dụng thuật toán 2.4.4 vào việc giải toán thực tế 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Văn Phi (2008), Phương pháp nhánh cận giải toán quy hoạch ngẫu nhiên giai đoạn, Luận văn tốt nghiệp Cao học 14, Đại học Vinh [2] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình xác suất, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [3] Trần Xuân Sinh (2004), Các phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch, Bài giảng dùng cho Sau Đại học, chuyên ngành XSTK Toán học, Đại học Vinh [4] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] X Chen, M Sim, P Sun (2005), A robus optimizacion perspective of stochastic programming, Working paper National University of Singapore [6] R Gollmer, F Neuce, R Schultz (2007), Stochastic Programs with First-Order Dominance Constaints Induced by Mixed-Integer Linear Recourse, Department of Mathematics University of Duisburg-Essen, Campus Duisburse [7] P Kall and S W Wallace (2003), Stochastic Programming, John & Sons, February 4, 2003 [8] S Ahmed, M Tawarmallani and N V Sahinidis (2000), A finite branch and bound algorithm for two-stage stochastic integer programs, Department of Mechanical Engineering, University of Illinois and Department of Chemical Engineering, University of Illinois ... đến giải toán quy hoạch, đặc biệt toán quy hoạch nguyên Bài toán quy hoạch nguyên mà liệu phụ thuộc biến cố ngẫu nhiên gọi toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên Trong toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên, ... Hiện nay, toán quy hoạch nguyên hỗn hợp ngẫu nhiên có nhiều thuật tốn giải tin cậy Tuy nhiên, thuật tốn nhánh cận có ảnh hưởng nhiều việc giải toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên Luận văn chia làm... Tổng hợp Duisburg-Essen, Campus Duisburse, cơng bố năm 2007 Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: "Thuật toán nhánh cận giải toán quy hoạch nguyên hỗn hợp ngẫu nhiên" Hiện nay, toán quy hoạch