Một cách tiếp cận giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến

Mục lục trang Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Bài toán quy hoạch phi tuyến 1.1.1 Bài toán 1.1.2 Cực tiểu hố hàm khơng trơn Gradien suy rộng 1.2 Các phương pháp tiếp cận giải quy hoạch phi tuyến 13 1.2.1 Các khái niệm 13 1.2.2 Một số tính chất toán 14 1.2.3 Các phương pháp tiếp cận giải quy hoạch phi tuyến 15 1.3 Một số vấn đề xác suất thống kê 17 1.3.1 Các khái niệm 17 1.3.2 Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên 18 Chương Các phương pháp giải toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến 20 2.1 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến 20 2.1.1 Khái niệm chung 20 2.1.2 Phân loại toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến 21 2.2 Phương pháp giải toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến 25 2.2.1 Phương pháp chiếu tựa Gradien ngẫu nhiên 25 2.2.2 Phương pháp xấp xỉ xác suất 29 2.2.3 Phương pháp trực tiếp giải toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến hai giai đoạn 31 2.3 Một mơ hình tốn quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến 34 2.3.1 Bài toán 34 2.3.2 Mơ hình tốn học 34 2.3.3 Mơ hình tốn quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến 35 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Nhiều toán lĩnh vực tự nhiên xã hội thường dẫn tới toán quy hoạch phi tuyến (Nonlinear Programming Programs) Cho tới nay, chưa có phương pháp tổng quát, hữu hiệu giải toán quy hoạch phi tuyến Tuy nhiên, góc độ lý luận, với giả thiết khác nhau, có nhiều cơng trình nghiên cứu Khi điều khiển tối ưu hệ thống (hệ thống tự nhiên xã hội), thông tin thường phụ thuộc vào nhiễu, không xác định đầy đủ Điều dẫn tới tốn quy hoạch phi tuyến phụ thuộc vào yếu tố ngẫu nhiên Bài toán quy hoạch phi tuyến với tham gia yếu tố ngẫu nhiên gọi toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên (Nonlinear Stochastic Programming Programs) Cũng lý thuyết quy hoạch phi tuyến, việc xét tới toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên gặp nhiều khó khăn Các cơng trình nghiên cứu có kết có tính định hướng tiếp cận theo giả thiết khác nhau, theo lớp toán khác Trong khoá luận tốt nghiệp đại học, bước đầu xem xét toán quy hoạch phi tuyến ngẫu nhiên Trong phần kết luận, chúng tơi đặt cho nhiệm vụ có điều kiện, chúng tơi xem xét tới hướng tiếp cận giải tốn nêu Vì lẽ đó, phạm vi luận văn tốt nghiệp cao học, cố gắng thực phần nhiệm vụ đặt Đó lý chúng tơi lựa chọn đề tài "Một số cách tiếp cận giải toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến" Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương Các kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày nội dung: Bài toán quy hoạch phi tuyến; Các phương pháp tiếp cận giải quy hoạch phi tuyến; Một số vấn đề xác suất thống kê Chương Các phương pháp giải quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến Đây nội dung luận văn Nội dung chương bao gồm: Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến; Các phương pháp tiếp cận giải toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến; Quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến giai đoạn; Một mơ hình tốn quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tâm thầy tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo Bộ mơn Xác suất Thống kê Tốn ứng dụng, Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Vinh Nhân dịp này, cho phép tơi tỏ lịng biết ơn với gia đình bạn bè, quan tâm, góp ý tạo điều kiện thực luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp q thầy giáo bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Chương Kiến thức sở 1.1 Bài toán quy hoạch phi tuyến 1.1.1 Bài toán Bài tốn quy hoạch phi tuyến có dạng min{f (x)} (1.1) f i (x) ≤ 0, i = 1, m (1.2) x ∈ X ⊂ Rn , (1.3) với điều kiện X = {(x1 , x2 , , xn ) | xi ≥ 0, i = 1, n }, hàm f (x), f i (x) đơn trị, khả vi hàm phi tuyến Hàm f (x) gọi hàm mục tiêu, điều kiện (1.2), (1.3) gọi điều kiện buộc Điểm x = (x1 , x2 , , xn ) thoả mãn điều kiện buộc (1.2), (1.3) gọi phương án, ký hiệu tập phương án M Phương án x∗ làm cực tiểu hàm mục tiêu f (x) gọi phương án tối ưu (hoặc nghiệm) tốn Điều có nghĩa x∗ phương án tối ưu toán (1.1)-(1.3) f (x∗ ) = minx∈M f (x), f (x∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ M Điểm x(0) gọi điểm cực tiểu địa phương hàm f (x) tồn tạo lân cận W0 cho f (x(0) ) ≤ f (x), ∀x ∈ M ∩ W0 Ví dụ: Một đơn vị sản xuất loại sản phẩm theo phương pháp Tj , j = 1, , n Trong đơn vị thời gian phương pháp Tj có suất aj (sản suất aj đơn vị sản phẩm) chi phí sản xuất cj Hỏi ni θ hàm lõm, khả vi liên tục theo biến x, y Đồng thời với x θ tồn điểm yên ngựa (y(x, θ), u(x, θ) hàm Lagrange m ui f i (x, y, θ), L(y, u) = f (x, y, θ) + (2.33) i=1 với y ∈ Y, u ≥ i + Ký hiệu fxy , = (fxi , fyi ), i = 0, 1, , m, gradien suy rộng hàm f i (x, y, θ) theo biến (x, y), với θ cố định, fxi , fyi gradien suy rộng hàm f i (x, y, θ) theo biến x, y cố định biến lại + Tập X lồi đóng 2.2.3.2 Phương pháp giải Như nêu, để giải toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến ta chuyển giải toán (2.31)(2.32) (bài toán giai đoạn hai) Việc giải tốn giai đoạn hai (2.31)(2.32) sử dụng phương pháp chiếu tựa gradien ngẫu nhiên 2.2.1 cách đặt m k ξ = fx0 [xk , y(xk , θk ), θk ] ui (xk , θk )fxi [xk , y(xk , θk ), θk ], + (2.34) i=1 θk , k = 1, 2, , phép thử ngẫu nhiên độc lập tương ứng với trạng thái có tác động θ Định lý 2.2 Với giả thiết nêu, hàm F (x) xác định theo (2.31) vectơ ξ k theo (2.34), với x ∈ X ta có F (x) − F (xk ) ≥ E(ξ k |xk ), x − xk , (2.35) 33 E(ξ k |xk ) = Fx (xk ) Chứng minh Theo giả thiết ta có điểm yên ngựa (y(x, θ), u(x, θ) Đặt m ui (x, θ)f i [x, y(x, θ), θ] g(x, θ) = f [x, y(x, θ), θ] + i=1 với x θ Khi ta m k k k k k ui (x, θk )f i [x, y(x, θk ), θk ]− g(x, θ ) − g(x , θ ) = f [x, y(x, θ ), θ ] + i=1 m − f [xk , y(xk , θk ), θk ] − ui (xk , θk )f i [xk , y(xk , θk ), θk ] i=1 ≥ f [x, y(x, θk ), θk ] − f [xk , y(xk , θk ), θk ]+ m ui (xk , θk ) f i [x, y(x, θk ), θk ] − f i [xk , y(xk , θk ), θk ] + i=1 Do giả thiết hàm f i (x, y, θ), i = 0, 1, , m, với θ hàm lõm theo biến x, y) nên suy g(x, θk ) − g(xk , θk ) ≥ fx0 xk , y(xk , θk ), θk + m ui (xk , θk )fxi xk , y(xk , θk ), θk ; x − xk + + i=1 + fy0 xk , y(xk , θk ), θk + m ui (xk , θk )fyi xk , y(xk , θk ), θk ; y(x, θk ) − y(xk , θk ) + i=1 Trong bất đẳng thức nêu đạo hàm thứ hai vế phải có nhờ hàm Lagrange L(y, u) nhận giá trị nhỏ theo y(xk , θk ), nghĩa theo hướng y − y(xk , θk ) hàm L(y, u), điểm y = y(xk , θk ) không giảm Từ suy 34 g(x, θk ) − g(xk , θk ) ≥ m ≥ fx0 k k k k ui (xk , θk )fxi xk , y(xk , θk ), θk ; x−xk (2.36) x , y(x , θ ), θ + i=1 Lấy kỳ vọng tốn có điều kiện vế bất đẳng thức (2.36) với x xk cố định ta nhận bất đẳng thức (2.35) cần chứng minh 2.3 Một mô hình tốn quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến 2.3.1 Bài toán (xem [4], trang 18) Để minh hoạ cho ứng dụng phương pháp giải toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến, mục xin nêu mơ hình tốn quy hoạch dẫn tới tốn quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến Đó Bài toán chế độ làm việc hệ thống lượng Bài toán phát biểu sau Một hệ thống lượng gồm m nhà máy nhiệt điện khác nhau, nối với đường dây tải điện tới trung tâm tiêu thụ điện Bài toán đặt phân phối công suất hoạt động nhà máy nhiệt điện thời điểm cho Sự phân phối tiến hành theo tiêu chuẩn làm cực tiểu tồn chi phí nhiên liệu dùng để phát cơng suất hoạt động 2.3.2 Mơ hình tốn học Ký hiệu xi cơng suất hoạt động phát trạm thứ i Công suất xi nằm giới hạn αi βi điều kiện công nghệ quy định αi xi βi Ngoài cần tuân theo điều kiện cân công suất, nghĩa tổng công suất phát phải tương ứng với công suất tiêu thụ P có tính đến tồn lượng mát đường dây m xi = P + π i=1 Chi phí nhiên liệu phát cơng suất xi hàm mục tiêu Ti (xi ) Nói chung hàm Ti (xi ) hàm lồi định đoạn [αi , βi ] 35 Như vậy, tốn có dạng Tìm m min{f (x) = Ti (xi )} i=1 với điều kiện m xi = P + π i=1 αi ≤ xi ≤ βi , i = 1, 2, · · · , m Mơ hình vừa xây dựng tốn điển hình quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính Lời giải tốn cho xấp xỉ thơ chế độ hoạt động tối ưu hệ thống lượng Với mơ hình vừa nêu, nơi tiêu thụ khơng phải trung tâm tiêu thụ, mà n nơi tiêu thụ tốn dẫn tới mơ hình tốn Ti hàm song tuyến tính xij , (i = 1, m; j = 1, n), tham số điều khiển xij số lượng công suất hoạt động truyền từ trạm i tới trung tâm tiêu thụ điện j Rõ ràng mơ hình điều kiện có dạng phi tuyến Π(xij ) phương trình cân điện 2.3.3 Mơ hình tốn quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến Trong tình thực tế mát hệ thống tất nhiên số mà phụ thuộc vào giá trị công suất truyền tham số đương dây Nói cách khác thông tin mát điện đương dây cân tất định m xi = P + π i=1 Sự cân phụ thuộc vào yếu tố ngẫu nhiên θ tác động vào giá trị π Khi phương trình cân có dạng m xi = P + π(θ) i=1 36 Từ ta có tốn quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến m min{f (x) = Ti (xi )} (2.37) i=1 với điều kiện m xi = P + π(θ) (2.38) i=1 αi ≤ xi ≤ βi , i = 1, 2, · · · , m (2.39) Để giải tốn (2.37)(2.38)(2.39) ta dùng phương pháp xấp xỉ nêu mục 2.2 ... gồm: Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến; Các phương pháp tiếp cận giải toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến; Quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến giai đoạn; Một mơ hình toán quy hoạch ngẫu nhiên phi. .. trình bày + Bài tốn quy hoạch phi tuyến, + Các phương pháp tiếp cận giải toán quy hoạch phi tuyến, + Một số vấn đề xác suất thống kê toán học Phát biểu toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến phân... bày nội dung: Bài toán quy hoạch phi tuyến; Các phương pháp tiếp cận giải quy hoạch phi tuyến; Một số vấn đề xác suất thống kê Chương Các phương pháp giải quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến Đây nội