nhiên phi tuyến hai giai đoạn
Trong luận văn tốt nghiệp Cao học, các tác giả Lê Thanh Hoa, Đậu Thị Minh Hảo, Trần Anh Việt (Cao học 13), Đoàn Văn Tùng, Đậu Văn Phi (Cao học 14), chuyên ngành Xác suất thống kê toán học, đã quan tâm bài toán quy hoạch ngẫu nhiên tuyến tính hai giai đoạn với những tình huống khác nhau trên mỗi bài toán. Tuy nhiên, bài toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến hai giai đoạn thì còn ít người đề cập tới. Trong luận văn tốt nghiệp Cao học của mình, tác giả Phan Trọng Hùng, đã có đề cập tới một mô hình ứng dụng (bài toán phản ứng nhiệt hạch) dẫn tới bài toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến. Nhưng trong mô hình được nêu ra vẫn chưa đưa ra được thuật toán giải.
Trong mục này, chúng ta xét tới bài toán bài toán quy hoạch phi tuyến 2 giai đoạn, với một số giả thiết chấp nhận được, sẽ được giải bằng phương pháp chiếu tựa gradien ngẫu nhiên (2.16)(2.17) (mục 2.2.1).
2.2.3.1. Các giả thiết và ký hiệu Chúng ta giả thiết và ký hiệu:
+ Phương án x và dịch chỉnh y của nó với mọi θ phải thoả mãn
fi(x, y, θ) ≤ 0, i = 1,2, ..., m, (2.28)
x ∈ X ⊂ Rn;y ∈ Y ⊂ Rr. (2.29) + Giá trị hàm mục tiêu phụ thuộc phương án x và dịch chỉnh y của nó trong trạng thái có tác động của biến ngẫu nhiên θ, ký hiệu là
f0(x, y, θ). (2.30)
+ Ký hiệuy(x, θ) là dịch chỉnh mà việc tìm cực tiểu hàm mục tiêu (2.30), với các điều kiện (2.28)(2.29). Khi cố định θ thì kỳ vọng chi phí thực hiện
x và dịch chỉnh y(x, θ) sẽ là
Lúc này bài toán chuyển thành "tìm phương án x sao cho cực tiểu hàm mục tiêu (2.31), với điều kiện
x ∈ X. (2.32)
+ Các hàm fi(x, y, θ), với mỗi θ là hàm lõm, khả vi liên tục theo các biến x, y. Đồng thời với mỗi x và θ tồn tại điểm yên ngựa (y(x, θ), u(x, θ) của hàm Lagrange L(y, u) =f0(x, y, θ) + m X i=1 uifi(x, y, θ), (2.33) với y ∈ Y, u ≥ 0.
+ Ký hiệu fbxyi ,= (fbxi,fbyi), i = 0,1, ..., m, là gradien suy rộng của hàm
fi(x, y, θ) theo các biến (x, y), với θ cố định, trong đó fbxi,fbyi là các gradien suy rộng của hàm fi(x, y, θ) theo từng biến x, y khi cố định các biến còn lại.
+ Tập X là lồi và đóng. 2.2.3.2. Phương pháp giải
Như đã nêu, để giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên phi tuyến ta chuyển về giải bài toán (2.31)(2.32) (bài toán giai đoạn hai).
Việc giải bài toán giai đoạn hai (2.31)(2.32) có thể sử dụng phương pháp chiếu tựa gradien ngẫu nhiên 2.2.1 bằng cách đặt
ξk = fbx0[xk, y(xk, θk), θk] + m
X
i=1
ui(xk, θk)fbxi[xk, y(xk, θk), θk], (2.34) trong đó θk, k = 1,2, ..., là các phép thử ngẫu nhiên độc lập tương ứng với các trạng thái có tác động của θ.
Định lý 2.2. Với các giả thiết đã nêu, hàm F(x) xác định theo (2.31) và vectơ ξk theo (2.34), với mọi x ∈ X ta có
hay là
E(ξk|xk) = Fbx(xk).
Chứng minh. Theo giả thiết ta có điểm yên ngựa (y(x, θ), u(x, θ). Đặt
g(x, θ) =f0[x, y(x, θ), θ] + m
X
i=1
ui(x, θ)fi[x, y(x, θ), θ] với mọi x và θ. Khi đó ta được
g(x, θk)−g(xk, θk) = f0[x, y(x, θk), θk] + m X i=1 ui(x, θk)fi[x, y(x, θk), θk]− −f0[xk, y(xk, θk), θk]− m X i=1 ui(xk, θk)fi[xk, y(xk, θk), θk] ≥ f0[x, y(x, θk), θk]−f0[xk, y(xk, θk), θk]+ + m X i=1 ui(xk, θk)fi[x, y(x, θk), θk]−fi[xk, y(xk, θk), θk].
Do giả thiết các hàm fi(x, y, θ), i = 0,1, ..., m, với mỗi θ là hàm lõm theo các biến x, y) nên suy ra
g(x, θk)−g(xk, θk) ≥ Dfbx0xk, y(xk, θk), θk+ + m X i=1 ui(xk, θk)fbxixk, y(xk, θk), θk;x−xk E + +Dfby0xk, y(xk, θk), θk+ + m X i=1 ui(xk, θk)fbyixk, y(xk, θk), θk;y(x, θk)−y(xk, θk) E .
Trong bất đẳng thức nêu trên thì đạo hàm thứ hai của vế phải có được là nhờ hàm Lagrange L(y, u) nhận giá trị nhỏ nhất theo y(xk, θk), nghĩa là theo hướng y −y(xk, θk) hàm L(y, u), tại điểm y = y(xk, θk) không giảm. Từ đó suy ra
g(x, θk)−g(xk, θk) ≥ ≥Dfbx0xk, y(xk, θk), θk+ m X i=1 ui(xk, θk)fbxixk, y(xk, θk), θk;x−xkE. (2.36) Lấy kỳ vọng toán có điều kiện 2 vế của bất đẳng thức (2.36) với x và xk
cố định ta nhận được bất đẳng thức (2.35) cần chứng minh.