Một cách tiếp cận giải bài toán chiếc túi có ràng buộc ngẫu nhiên

Mục lục trang Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề lý thuyết xác suất thống kê 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên 1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính 10 1.2.1 Các khái niệm 10 1.2.2 Tính chất toán phương pháp giải 11 1.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 12 1.3.1 Bài toán 12 1.3.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn 12 1.3.3 Bài toán túi 13 Chương Một cách tiếp cận giải toán túi có ràng buộc ngẫu nhiên 17 2.1 Bài tốn túi có ràng buộc ngẫu nhiên 17 2.1.1 Bài toán 17 2.1.2 Ví dụ 18 2.2 Bài toán tương đương với toán (SKP ) 19 2.2.1 Bài toán tương đương 19 2.2.2 Tính chất 19 2.2.3 Về tập phương án toán (SKP ) toán (RKP ) 20 2.3 Về mối liên hệ toán (SKP ) (RKP ) 22 2.3.1 Bài toán (RKP (I , Γ)) 22 2.3.2 Tính chất toán (RKP (I , Γ)) 23 2.4 Giải toán (SKP ) 30 2.4.1 Thuật toán giải toán (RKP ) 30 2.4.2 Độ phức tạp toán (RKP ) 30 2.4.3 Ví dụ 34 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Mở đầu Bài toán quy hoạch với tham gia yếu tố ngẫu nhiên gọi toán quy hoạch ngẫu nhiên Trong toán quy hoạch ngẫu nhiên, toán với ràng buộc ngẫu nhiên mơ hình dành cho nhiều toán thực tế Tuy nhiên, việc trực tiếp giải nhiều khó khăn Dựa vào kết gần tối ưu hoá (Robust Optimization), người ta nhận kết đáng ý lớp toán với ràng buộc ngẫu nhiên Cũng lý thuyết quy hoạch, việc xét tới tốn quy hoạch ngun gặp nhiều khó khăn Trong lớp tốn quy hoạch ngun, đại diện cho tốn túi (Knapsack), điều kiện thơng tin đầy đủ, nghiên cứu với nhiều thuật tốn giải hữu hiệu Khi thơng tin liệu khơng đầy đủ, ta tốn túi ngẫu nhiên Gần đây, nhiều tác giả (chẳng hạn D Bertsimas, X Chen, M Sim, P Sun, O Klopfenstein and D Nace [6], [7], [8]) thu nhiều kết thú vị lớp toán Bước đầu tiếp cận với kết tác giả O Klopfenstein and D Nace [8], nhận thấy lớp tốn túi ngẫu nhiên có ràng buộc ngẫu nhiên có nhiều ý nghĩa khoa học ứng dụng thực tiễn Đó lý chúng tơi chọn đề tài: "Một cách tiếp cận giải toán túi có ràng buộc ngẫu nhiên" Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm lý thuyết xác suất - thống kê, vấn đề lý thuyết quy hoạch tuyến tính ngun tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nguyên hai giai đoạn Đồng thời để làm sáng rõ thêm nội dung chương 2, chúng tơi đề cập tới tốn túi - tốn quy hoạch tuyến tính ngun có dạng đặc biệt Sang Chương 2, nội dung luận văn, chúng tơi trình bày tốn túi có tham gia yếu tố ngẫu nhiên tiếp nhận thông tin liệu tốn Do thời gian lực có hạn, hạn chế đề tài, xét lớp tốn túi cổ điển có ràng buộc ngẫu nhiên Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tâm thầy tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô giáo Bộ môn Xác suất Thống kê Tốn ứng dụng, thầy giáo Hội đồng chấm luận văn, Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Vinh Cũng này, cho phép tơi nói lời cảm ơn tới gia đình bạn bè, quan tâm, góp ý tạo điều kiện thực luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp quý thầy cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề lý thuyết xác suất thống kê 1.1.1 Các khái niệm • Đại số σ - đại số Giả sử Ω tập tùy ý khác rỗng Ký hiệu P (Ω) tập tất tập Ω Lớp A ⊂ P (Ω) gọi đại số A1) Ω ∈ A, A2) A ∈ A ⇒ A¯ = Ω\A ∈ A, A3) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A (hoặc A ∩ B ∈ A) Lớp F ⊂ P(Ω) gọi σ-đại số đại số thoả mãn A4) Nếu An ∈ F, ∀n = 1, 2, ∞ ∞ An ∈ F, (hoặc n=1 An ∈ F) n=1 • Khơng gian đo không gian xác suất Cặp (Ω, F) gọi không gian đo, (Ω, F, P ) gọi khơng gian xác suất, Ω = ∅ bất kỳ, F σ-đại số tập Ω • Độ đo xác suất Giả sử (Ω, F) không gian đo Một ánh xạ P : F → R gọi độ đo xác suất F P1) P (A) ≥ 0, ∀A ∈ F, (tính khơng âm), P2) P (Ω) = 1, (tính chuẩn hố) P3) Nếu Ai ∈ F, i = 1, 2, , Ai ∩ Aj = ∅, i = j ∞ P ∞ Ai = i=1 P (Ai ), i=1 (tính cộng tính đếm được) • Biến ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất, G σ-đại số σđại số F; B σ-đại số Borel đường thẳng thực R Khi ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên G - đo với B ∈ B(R) ta có X −1 (B) ∈ G Biến ngẫu nhiên X gọi đại lượng ngẫu nhiên X • Hàm Borel Hàm ϕ : (Rn , B(Rn )) → (R, B(R)) gọi hàm Borel, hàm B(Rn ) - đo được, nghĩa ϕ−1 (B) ∈ B(Rn ), với B ∈ B(R) • Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P ), nhận giá trị R Hàm số FX (x) = P [X < x], (x ∈ R) gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X 1.1.2 Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên • Định nghĩa Kỳ vọng hay giá trị trung bình biến ngẫu nhiên X số EX, xác định EX = Xdp Ω • Các tính chất Nếu X ≥ EX ≥ Nếu X = C EX = C, với C số Nếu tồn EX với số λ, ta có E(λX) = λEX Nếu tồn EX EY E(X ± Y ) = EX ± EY   k xk pk , X rời rạc, P (X = xk ) = pk , EX =  +∞ xp(x)dx, X liên tục, có hàm mật độ p(x) −∞ (Định lý P Levy hội tụ đơn điệu) Nếu Xn ↑ X (tương ứng Xn ↓ X) tồn n để EXn− < ∞ (tương ứng EXn+ < ∞) EXn ↑ EX (tương ứng EXn ↓ EX) (Bổ đề Fatou) Nếu Xn ≥ Y, ∀n ≥ EY > −∞ ElimXn ≤ limEXn , Nếu Xn ≤ Y, ∀n ≥ EY < ∞ ElimXn ≥ limEXn , Nếu |Xn | ≤ Y, ∀n ≥ EY < ∞ ElimXn ≤ limEXn ≤ limEXn ≤ ElimXn (Định lý Lesbesgue hội tụ bị chặn) Nếu |Xn | ≤ Y, ∀n ≥ 1, EY < ∞ Xn → X X khả tích, E|Xn − X| → EXn → EX, n → ∞ Nếu ϕ hàm lồi, X ϕ(X) khả tích E(ϕ(X)) ≥ ϕ(EX) 10 Nếu X Y độc lập E(XY ) = EX.EY • Định nghĩa Phương sai biến ngẫu nhiên X, ký hiệu DX (hay varX) số xác định DX = E(X − EX)2 Khi DX =   k (xk  +∞ −∞ (x − EX)2 pk , X rời rạc, P (X = xk ) = pk , − EX)2 p(x)dx, X liên tục, có hàm mật độ p(x) 10 • Các tính chất DX ≥ 0, DX = X = C số Với số λ D(λX) = λ2 DX DX = EX − (EX)2 Nếu X, Y độc lập D(X ± Y ) = DX + DY Với số λ, ta có E(X − λ)2 ≥ E(X − EX)2 Dấu xảy EX = λ 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính 1.2.1 Các khái niệm Cho ma trận A = (aij ) cấp m × n x = (xj ) cấp n × b = (bi ) cấp m × c = (cj ) cấp × n Ta xét tốn min{f (x) = cx} (1.1) Ax ≥ b (1.2) với điều kiện Nghĩa n aij xj ≥ bi , i = 1, m j=1 Bài toán (1.1)(1.2) gọi tốn quy hoạch tuyến tính, hàm f (x) gọi hàm mục tiêu Ax ≥ b gọi hệ điều kiện buộc Điểm x ∈ Rn thoả mãn hệ điều kiện buộc, gọi phương án (hay điểm chấp nhận) toán Ký hiệu tập phương án M Phương án x∗ thoả mãn f (x∗ ) = 11 f (x), x ∈ M , tức f (x∗ ) ≤ f (x), x ∈ M , gọi phương án tối ưu (hay lời giải hay nghiệm) toán Để nghiên cứu toán (1.1), (1.2), ta xét lớp tốn có tính chất đặc biệt sau đây: (GL1): Trong tập lồi đóng D ⊂ M , f (x) có cực tiểu D có đỉnh cực tiểu phải đạt đỉnh D Cho hàm f xác định tập hợp lồi M Điểm x0 ∈ M gọi điểm cực tiểu địa phương f M tồn lân cận ωx0 x0 cho f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ M ∩ ωx0 (GL2): Mọi điểm cực tiểu địa phương hàm f (x) tập lồi đóng D ⊂ M phải điểm cực tiểu tồn D 1.2.2 Tính chất toán phương pháp giải 1.2.2.1 Định lý Hàm tuyến tính f (x) xác định tập lồi M , có đỉnh, có đầy đủ tính chất (GL1) (GL2) Từ định lý 1.2.2.1, có ý tưởng giải tốn quy hoạch tuyến tính sau: • Lấy điểm x0 M , đem so sánh f (x0 ) với điểm khác M Nhờ tính chất (GL2), việc so sánh đơn giản nhiều, ta cần xét x0 có phải cực tiểu địa phương f M hay không (Chúng ta nhớ phương pháp đạo hàm để tìm cực trị hàm miền ràng buộc nó, cho ta cực trị địa phương) • Hoặc nhờ tính chất (GL1), lấy phương án cực biên x0 M , đem so sánh f (x0 ) với giá trị hàm mục tiêu f phương án cực biên khác M Chúng ta ý số phương án cực biên tập lồi đa diện hữu hạn, việc so sánh tiến hành hữu hạn bước Đó ý tưởng phương pháp đơn hình biết 1.2.2.2 Định lý Để phương án cực biên x0 M tối ưu, điều kiện 12 cần đủ cạnh M , kề x0 có điểm y ∈ M, y = x0 , cho f (y) ≥ f (x0 ) 1.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 1.3.1 Bài tốn Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt đưa dạng min{f (x) = cx}   Ax = b với điều kiện  x ≥ 0, j = 1, 2, , n, (LP ) j x = (x1 x2 xn )T ma trận cấp n × c = (c1 c2 cn ) ma trận cấp × n b = (b1 b2 bm )T ma trận cấp m × A = (aij ) ma trận cấp m × n Bài tốn quy hoạch tuyến tính nêu trên, có phần tử ma trận A, b, c xác định ngẫu nhiên gọi tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên (Stochastic Linear Programs) Để nghiên cứu tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, tuỳ theo yêu cầu thực tế mà có nhiều cách tiếp cận khác Thông thường, người ta xét tới lớp tốn: 1.3.1.1 Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên giai đoạn 1.3.1.2 Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn 1.3.1.3 Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn 1.3.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn Bài tốn quy hoạch tuyến tính giai đoạn có dạng giai đoạn min{cx + E(Q(x, z))}   Ax = b với điều kiện  x ≥ 0, 23 Bài toán (2.14)-(2.16) ký hiệu (RKP (I , Γ)) Bài tốn (RKP (I , Γ)) xem tốn (RKP ) với tất trọng lượng phần tử thuộc tập I \ I cho khả xấu nhất, khơng có chắn cho giá trị Do vậy, thay xét toán (RKP ), ta xét toán (RKP (I , Γ)) Chú ý với hai tập I , I” I mà I ⊆ I” có nghĩa phương án (RKP (I , Γ)) phương án (RKP (I”, Γ)) Do phương án (RKP (I , Γ)) phương án (RKP (I, Γ)) Đồng thời xem xét Γ ≤ Γ với phương án (RKP (I , Γ)) phương án tốn (RKP (I , Γ )) 2.3.2 Tính chất toán (RKP (I , Γ) 2.3.2.1 Bổ đề Lấy Γ ∈ {0, , n} Giả sử x∗ phương án tối ưu (RKP (I, Γ)) Khi (i) Γ ≤ |I(x∗ )| x∗ phương án tối ưu (RKP (I(x∗ ), Γ)), (ii) Γ ≥ |I(x∗ )| x∗ phương án tối ưu (RKP (I, n)) Chứng minh (i) Giả sử Γ ≤ |I(x∗ )| Vì I(x∗ ) ⊆ I nên phương án toán (RKP (I(x∗ ), Γ)) phương án toán (RKP (I, Γ)) Nhưng thấy x∗ phương án toán (RKP (I(x∗ ), Γ)) Do x∗ phương án tối ưu tốn (RKP (I, Γ)) nên phương án tối ưu toán (RKP (I(x∗ ), Γ)) (ii) Bây giả sử Γ ≥ |I(x∗ )| Khi tồn S ⊆ I có số Γ mà I(x∗ ) ⊆ S Vậy nên wi x∗i = i∈I wi x∗i = i∈I(x∗ ) wi x∗i + i∈S wi x∗i ≤ b i∈S / Ta có bất đẳng thức cuối x∗ phương án toán (RKP (I, Γ)) Do vậy, x∗ phương án tốn (RKP (I, n)) Nhưng từ Γ ≤ n, ta có tốn (RKP (I, Γ)) nới lỏng toán (RKP (I, n)) 24 Cuối cùng, thấy trường hợp Γ = |I(x∗ )| hai trường hợp (i) (ii) thực Trong trường hợp toán (RKP (I(x∗ ), Γ)) (RKP (I, n)) có phương án tối ưu Bổ đề chứng minh xong 2.3.2.2 Định lý Giả sử ∀i ∈ I, wi − wi = δ > 0, {wi /δ}i∈I b/δ số nguyên Khi tồn I ∗ ⊆ I Γ∗ ∈ {0, , |I ∗ |} cho phương án tối ưu (RKP (I ∗ , Γ∗ )) phương án tối ưu (SKP ) Chứng minh Giả sử x∗ phương án tối ưu toán (SKP ) Ta ký hiệu I ∗ = I(x∗ ) Vì x∗ phương án nên P (w.x∗ ≤ b) = P wi ≤ b ≥ − ε i∈I ∗ Ký hiệu V = {w ∈ W : wi ≤ b} i∈I ∗ Xét toán max{f = c.x}   w.x ≤ b, ∀w ∈ V, với điều kiện  x ∈ {0; 1}n (2.17) Trước hết, cần chứng minh phương án tối ưu toán (2.17) phương án tối ưu tốn (SKP ) Vì P (w.x∗ ≤ b) = P (w ∈ V ) ≥ − ε nên phương án x (2.17) phương án (SKP ) Do cần (2.17) có giá trị tối ưu giống (SKP ) Điều rõ ràng theo việc xây dựng toán cho phép ta có x∗ phương án tối ưu toán với hàm mục tiêu Bây ta cần tìm Γ∗ ∈ {0, , |I(x∗ )|} cho (2.17) tương đương với 25 (RKP (I ∗ , Γ∗ )) Ta thấy ηi ≤ (b − w∈V ⇔ i∈I ∗ i∈I ∗ ký hiệu Γ∗ = min{|I ∗ |; (b − wi )/δ i∈I ∗ wi )/δ} Chúng ta có ηi ≤ Γ∗ w∈V ⇔ i∈I ∗ Chú ý V = ∅, điều có nghĩa (b − wi )/δ ≥ i∈I ∗ Mặt khác, từ giả thiết Γ∗ số nguyên, có tốn (2.17) tương đương với toán (RKP (I ∗ , Γ∗ )) Bây chứng minh x phương án (2.17) x phương án (RKP (I ∗ , Γ∗ )) Cho x phương án (2.17) Đối với tập S ⊆ I ∗ , |S| = Γ, cần i∈I / ∗ i∈I ∗ \S i∈S wi xi ≤ b wi xi + w i xi + Giả sử w(S) ký hiệu cho vectơ trọng lượng với toạ độ wi i ∈ I ∗ \ S wi i ∈ / I ∗ Chúng ta có w(S)i = i∈I ∗ wi = Γ∗ δ + wi + i∈S wi ≤ b i∈I ∗ i∈I ∗ \S Từ ta w(S) ∈ V Vậy x phương án (2.17) w i xi + w(S).x = i∈S wi xi ≤ b w i xi + i∈I ∗ \S i∈I / ∗ Từ suy x phương án (RKP (I ∗ , Γ∗ )) Giả sử x khơng phải phương án (2.17) Lúc tồn w ∈ V cho w.x > b Ta cần chứng minh tồn S ⊆ I ∗ , |S| = Γ∗ mà wi xi + i∈S wi xi + i∈I ∗ \S w i xi = i∈I / ∗ wi xi + i∈I ∗ δxi + i∈S wi xi > b i∈I / ∗ 26 Ta xét I(x) ∩ I ∗ Lúc xảy ra: Nếu |I(x) ∩ I ∗ | ≥ Γ∗ (a), xây dựng S, |S| = Γ∗ cho S ⊆ I(x) ∩ I ∗ Nếu |I(x) ∩ I ∗ | < Γ∗ (b), lấy S mở rộng I(x) ∩ I ∗ I ∗ với số Γ∗ , tức I(x) ∩ I ∗ ⊆ S ⊆ I ∗ , |S| = Γ Vậy xảy (a) có wi xi + i∈I ∗ wi xi = δxi + i∈S wi xi + δΓ + i∈I ∗ i∈I / ∗ ≥ i∈I / ∗ wi xi + i∈I ∗ ≥ wi xi ηi δ + i∈I ∗ wi xi + i∈I ∗ wi xi i∈I / ∗ ηi δxi + i∈I ∗ wi xi i∈I / ∗ = w.x > b Bất đẳng thức thứ bắt nguồn từ w ∈ V ; bất đẳng thức cuối cùng, nhớ lại wi = wi + ηi δ Nếu xảy (b) có w i xi + i∈I ∗ δxi + i∈S wi xi + δ|I(x) ∩ I ∗ | + w i xi = i∈I ∗ i∈I / ∗ ≥ wi xi + i∈I ∗ = w i xi i∈I / ∗ ηi δxi + i∈I(x)∩I ∗ wi xi + i∈I ∗ ηi δxi + i∈I ∗ wi xi i∈I / ∗ wi xi i∈I / ∗ = w.x > b Bằng phản chứng, kết chứng tỏ phương án toán (RKP (I ∗ , Γ∗ )) phương án (2.17) Điều chứng tỏ x 27 phương án (2.17) x phương án (RKP (I ∗ , Γ∗ )) Hai tốn có hàm mục tiêu nên toán tương đương (phương án tối ưu nhau) Từ suy phương án tối ưu (2.17) phương án tối ưu toán (SKP ) Như vậy, phương án tối ưu (RKP (I ∗ , Γ)) phương án tối ưu (SKP ) Một điểm mạnh Định lý nêu khơng địi hỏi giả thiết phân bố xác suất cho trọng lượng Điều kiện {wi /δ}i∈I b/δ nguyên cần thiết cho việc lựa chọn Γ nguyên Người ta nhận thấy trường hợp tổng quát Γ chọn khơng phải nguyên Trong trường hợp Định lý phát biểu khái quát mà không cần điều kiện nguyên {wi /δ}i∈I b/δ Tuy nhiên, thực tế, trường hợp thường xảy với δ bé Trong phần lại mục này, hai trường hợp cụ thể nhấn mạnh cách chi tiết hơn, trọng lượng (hay lợi ích ci ) giống Trong trường hợp, định lý xác định rõ, thấy có số Γ cho tất phương án tối ưu (RKP (I, Γ)) tối ưu (SKP ) 2.3.2.3 Bổ đề Giả sử trọng lượng lợi ích xếp: i < j ⇒ wi ≤ wj ; ci ≥ cj , tất i ∈ I : wi − wi = δ > 0, biến ngẫu nhiên {ηi }i∈I độc lập phân bố Khi tồn phương án tối ưu x∗ toán (SKP ) cho I(x) = {1, , |I(x∗ )|} Chứng minh Giả sử x phương án tối ưu (SKP ) Chúng ta xây dựng x∗ cho I(x∗ ) = {1, , |I(x∗ )|} Vì |I(x∗ )| = |I(x)| lợi ích ci xếp không tăng nên c.x∗ ≥ c.x(x tối ưu) Ngoài thoả mãn điều 28 kiện i∈I(x∗ ) w i ≤ i∈I(x) w i P (w.x∗ ≤ b) = P Vậy ta wi ≤ b = P δ i∈I(x∗ ) ηi ≤ b − = P δ wi i∈I(x∗ ) wi (a) i∈I(x∗ ) i∈I(x) ηi ≤ b − ≥ P δ ηi ≤ b − i∈I(x∗ ) wi (b) i∈I(x) i∈I(x) wi ≤ b = P (w.x ≤ b) =P i∈I(x) Vì biến ngẫu nhiên {ηi }i∈I độc lập, phân bố giống từ |I(x∗ )| = |I(x)| nên biến ngẫu nhiên i∈I(x) ηi i∈I(x∗ ) ηi phân bố giống Điều bảo đảm cho (a) (b) hệ trực tiếp i∈I(x) w i i∈I(x∗ ) w i ≤ Như x phương án (SKP ) x∗ phương án (SKP ) Vậy x∗ phương án tối ưu (SKP ) 2.3.2.4 Định lý Giả sử trọng lượng lợi ích xếp: i < j ⇒ wi ≤ wj ; ci ≥ cj , tất i ∈ I : wi − wi = δ > 0, {wi /δ} b/δ nguyên, biến ngẫu nhiên {ηi }i∈I độc lập phân bố Khi tồn Γ∗ ∈ {0, , n} cho phương án tối ưu toán (RKP (I, Γ∗ )) phương án tối ưu (SKP ) Chứng minh Từ Định lý 2.3.2.2, biết tồn I ∗ ⊆ I Γ∗ ∈ {0, , |I ∗ |} cho phương án tối ưu toán (RKP (I ∗ , Γ∗ )) tối ưu (SKP ) Ngoài từ chứng minh Định lý, thấy I ∗ chọn để I ∗ = I(x∗ ) phương án tối ưu x∗ (SKP ) Γ∗ chọn theo Γ∗ = min{|I ∗ |; (b − i∈I ∗ wi )/δ} Khơng tính tổng qt, từ Bổ đề 2.3.2.3, xét I(x∗ ) = {1, , |I ∗ |} Trước hết ta giả thiết Γ∗ = |I ∗ | Trong trường hợp toán (RKP (I ∗ , Γ∗ )) (RKP (I, n)) tương đương 29 Bây giả sử Γ∗ = (b − i∈I ∗ wi )/δ < |I ∗ | Chúng ta cần chứng minh phương án tối ưu (RKP (I ∗ , Γ∗ )) tối ưu (SKP ) Giả sử x phương án tối ưu (RKP (I ∗ , Γ∗ )) Nếu |I(x )| ≤ Γ∗ , x phương án (RKP (I, n)) P (w.x ≤ b) = Do vậy, trường hợp x phương án (SKP ) Bây ta xét cho |I(x )| ≥ Γ∗ + 1, ta chứng minh x phương án (SKP ) Giả sử i∈I(x ) w i > i∈I ∗ wi Vậy với tập S ⊆ I(x ) có số Γ∗ cho ta i∈S w i + Γ∗ δ wi xi = wi xi + i∈I(x ) i∈I\S wi + Γ∗ δ = b − Γ∗ δ + Γ∗ δ = b > i∈I ∗ Điều mâu thuẫn với x phương án (RKP (I ∗ , Γ∗ )) Như ta có i∈I(x ) w i ≤ i∈I ∗ ∗ wi Hơn nữa, I tập hợp |I ∗ | giá trị bé wi , điều |I(x )| ≤ |I ∗ | Mặt khác, I ∗ ⊆ I, x∗ phương án (RKP (I ∗ , Γ∗ )), có c.x∗ ≤ c.x , nghĩa i∈I ∗ ci ≤ i∈I(x ) ci Vì I ∗ tập hợp |I ∗ | giá trị lớn wi , điều |I(x )| ≥ |I ∗ | Vậy i∈I(x ) w i i∈I ∗ ≥ i∈I ∗ wi Như ta |I(x )| = |I ∗ | i∈I(x ) w i = wi Bây x phương án (SKP ) Ta có P (w.x ≤ b) = P δ ηi ≤ b − i∈I(x ) wi i∈I(x ) ηi ≤ b − = P δ wi (a) wi (b) i∈I(x∗ ) i∈I(x ) ηi ≤ b − = P δ i∈I(x∗ ) i∈I(x∗ ) = P (w.x∗ ≤ b) (a) suy từ i∈I(x ) w i = i∈I ∗ wi ; (b) suy 30 từ |I(x )| = |I ∗ | tính ngẫu nhiên biến ηi Điều x phương án toán (SKP ) Cuối thấy c.x∗ ≤ c.x nên x phương án tối ưu (SKP ) Đó điều phải chứng minh Hệ Giả sử tất i ∈ I : wi = w > wi − wi = δ > 0, {w/δ} b/δ nguyên, biến ngẫu nhiên {ηi }i∈I độc lập phân bố Khi tồn Γ∗ ∈ {0, , n} cho phương án tối ưu toán (RKP (I, Γ∗ )) phương án tối ưu (SKP ) Hệ Giả sử tất i ∈ I : ci = ρ > wi − wi = δ > 0, tất i ∈ I, wi /δ b/δ nguyên, biến ngẫu nhiên {ηi }i∈I độc lập phân bố Khi tồn Γ∗ ∈ {0, , n} cho phương án tối ưu toán (RKP (I, Γ∗ )) phương án tối ưu (SKP ) 2.4 Giải toán (SKP ) 2.4.1 Thuật toán giải (RKP ) Trong phần này, ta xét toán (RKP (I, Γ)) ký hiệu đơn giản (RKP ) Ngoài tất liệu {wi }i∈I , {wi }i∈I b giả thiết ngun, khơng âm Điều thuật tốn quy hoạch động giải toán túi cổ điển áp dụng 2.4.1.1 Thuật toán lặp Trong thuật toán sau đây, giá trị Γ tăng dần phương án tối ưu toán (RKP (I, Γ)) phương án toán (SKP ) Đầu vào: Bài toán (RKP (I, Γ)), giá trị ε > đủ bé Đầu ra: Phương án xấp xỉ tối ưu với độ xác ε 31 Bước Đặt k = Bước Giải toán (RKP (I, k)), phương án tối ưu x(k) Bước Đặt I = I(x(k) ) Xác định Γ giá trị lớn {0, , |I |} cho x(k) phương án toán (RKP (I , Γ )) Bước Tính cận B ≤ P wi ≤ b i∈I Nếu B ≥ − ε, x(k) phương án (SKP ) Dừng lại Ngược lại, sang bước Bước Gán k := Γ + 1, trở lại bước Chú ý bước 4, ta có P wi ≤ b = P (w.x(k) ≤ b) Do i∈I thuật toán dừng với phương án (SKP ) Ngoài ra, x(k) phương án (RKP (I , k)) (xem lại Bổ đề 2.3.2.1), có Γ ≥ k Do vậy, việc tăng số k vòng lặp đảm bảo hội tụ thuật toán (thực k = n = |I| xác suất để x(n) phương án, 1, thuật toán dừng bước 4, k khơng thể vượt q giá trị này) 2.4.1.2 Bổ đề Thuật toán nêu cho ta phương án (SKP ) cách giải nhiều n + toán tối ưu hoá túi Chú ý Trước hết, từ bước lặp k, khơng cần phải xem xét tốn (RKP (I, l)), với k + ≤ l ≤ Γ Thực x(k) phương án (RKP (I, Γ )) từ phương án (RKP (I , Γ )) Đó lý mà ta xem xét trực tiếp Γ + từ bước Mặt khác Γ bước tính tốn thời gian tuyến tính Thực tế Γ giá trị tối ưu toán max {Γ} với điều kiện wi + i∈I (wi − wi ) ≤ b max S⊆I : |S|=Γ i∈S Γ ∈ {0, , n} Điều đủ để xem xét tập S = ∅ điền đầy đủ số biến thiên trọng lượng (wi − wi ) Ngay i∈S (w i − w i ) > b− i∈I wi , chúng 32 ta có Γ = |S| + Để tính cận B bước 4, tham khảo ví dụ cận xác suất [6] Chất lượng cận có ảnh hưởng trực tiếp lên số lần lặp thuật toán Đồng thời lưu ý |I | = Γ xác suất để phương án thuật toán dừng (Bổ đề 2.3.2.1) 2.4.2 Độ phức tạp toán (RKP ) 2.4.2.1 Định lý Bài tốn (RKP ) thuộc lớp NP-khó (tồn thuật tốn đa thức khơng đơn định giải ) Chứng minh Trong trường hợp đặc biệt Γ = 0, toán túi cổ điển với liệu trọng lượng = wi Do vậy, với tốn túi cổ điển N P -khó nên toán RKP , trường hợp này, N P -khó Mặt khác, thuật tốn quy hoạch động cổ điển chấp nhận để giải tốn (RKP ) Ký hiệu (RKPk (Γ, h)) toán (RKP ) với tham số Γ ∈ {0, , n} dung lượng h ∈ {1, , b}, xét với phần tử Ik = {1, , k}, k ∈ I Ký hiệu Fk (Γ, h) giá trị tối ưu hàm mục tiêu bước k Không tổng quát ta giả sử phần tử I xếp, tức với i < j (wi − wi ) ≤ (wj − wj ) Với k, giả sử h < Fk (., h) = −∞ Với k = 1, F1 xác định sau:   0, với h < w Γ = F1 (0, h) =  c , với h ≥ w , 1   0, với h < w1 Γ ≥ F1 (Γ, h) =  c , với h ≥ w 1 Xét h ∈ {1, , b} Γ ∈ {1, , n} Vậy giá trị tối ưu hàm mục tiêu tốn (RKPk (Γ, h)) tính theo công thức Fk (Γ, h) = max{Fk−1 (Γ, h); ck + Fk−1 (Γ − 1, h − wk )} 33 Chúng ta chứng minh Fk (Γ, h) giá trị tối ưu hàm mục tiêu toán (RKPk (Γ, h)) Kết rõ ràng với k = Ta xét với k ≥ Trước hết, phương án x(k−1) ∈ {0; 1}k−1 toán (RKPk−1 (Γ, h)) toán (RKPk−1 (Γ − 1, h − wk )) mở rộng thành phương án x(k) ∈ {0; 1}k toán (RKPk (Γ, h)) cách bổ sung thêm toạ độ thứ k cho x(k−1) (k) Nếu x(k−1) phương án (RKPk−1 (Γ, h)) toạ độ xk = để x(k) phương án toán (RKPk (Γ, h)) (k) Nếu x(k−1) phương án (RKPk−1 (Γ − 1, h − wk )) toạ độ xk = để x(k) phương án tốn (RKPk (Γ, h)) Từ có (k) (k) (wi − wi )xi : S ⊆ Ik , |S| ≤ Γ wi xi + max i∈Ik i∈S (k−1) = wi xi (k−1) (wi − wi )xi + wk + max : S ⊆ Ik−1 , |S| ≤ Γ − i∈S i∈Ik−1 Điều suy từ giả thiết biến trọng lượng Kết hợp lại ta (k−1) w i xi (k−1) (wi − wi )xi + max i∈Ik−1 : S ⊆ Ik−1 , |S| ≤ Γ − ≤ h − wk i∈S Từ cho thấy x(k) phương án toán (RKPk (Γ, h)) Ngược lại, giả sử x(k) phương án (RKPk (Γ, h)), k −1 toạ độ đầu phương án toán (RKPk−1 (Γ, h)) toán (RKPk−1 (Γ − 1, h − wk )) Ký hiệu x(k) phương án (RKPk (Γ, h)) Giả sử x(k−1) ∈ {0; 1}k−1 vectơ lấy k − toạ độ đầu x(k) Lúc xảy ra: (k) (a) xk = 0, x(k−1) phương án (RKPk−1 (Γ, h)) (k) (b) xk = 1, chứng minh phản chứng Ta coi x(k−1) phương án (RKPk−1 (Γ − 1, h − wk )) Giả sử tồn S ⊆ Ik−1 với |S| = Γ − cho (k−1) wi xi i∈Ik−1 (k−1) (wi − wi )xi + i∈S > h − wk 34 Đặt S = S ∪ {k}, có (k) (k) (wi − wi )xi = w i xi + i∈Ik i∈S (k) = (k) (wi − wi )xi + (wk − wk ) wi xi + i∈S i∈Ik (k−1) = w i xi i∈Ik−1 (k−1) (wi − wi )xi + + wk > h i∈S Do x(k) phương án toán (RKPk (Γ, h)) Cuối cùng, tập hợp vectơ bao gồm k − toạ độ đầu phương án x(k) toán (RKPk (Γ, h)) tất phương án riêng toán (RKPk−1 (Γ, h)) (RKPk−1 (Γ − 1, h − wk )) Từ có Fk (Γ, h) = max{Fk−1 (Γ, h); ck + Fk−1 (Γ − 1, h − wk )} Từ cho thấy để tìm Fn (Γ, b) tính tốn với độ phức tạp thời gian đa thức theo thuật tốn khơng đơn định O(nΓb) Từ Bổ đề 2.4.1.2 Định lý 2.4.2.2 ta có hệ sau: Hệ Thuật toán nêu chạy thời gian đa thức khơng đơn định nhờ việc sử dụng thuật tốn quy hoạch động Chú ý trường hợp với i ∈ I, wi = w > (wi − wi ) = δ > 0, người ta chứng minh Mệnh đề sau đây: 2.4.2.2 Mệnh đề Giả sử với i ∈ I, wi = w > (wi − wi ) = δ > Khi phương án tối ưu x∗ (RKP (I, Γ)) thoả mãn   min{n; [b − Γδ/w]}, Γ(w + δ) ≤ b ∗ xi =  [b/(w + δ)], trường hợp khác i∈I ký hiệu [a] phần nguyên a 2.4.3 Ví dụ (xem [3]) 35 Xét toán 10 max f = 10 wi xi ≤ 80; x ∈ {0; 1}10 , ixi : i=1 i=1 tất trọng lượng wi phân bố đoạn [8, 12], nghĩa wi = 8, wi = 12, với i ∈ I = {1, 2, , 10} δ = Giả sử lấy ε = 0, 1, tức cần tìm x tốn túi với xác suất tối thiểu 90% Chú ý theo giả thiết xác suất nêu, xác suất P i∈I wi ≤ b biết theo phân tích tất tập I ⊆ I Sau đây, ta (i) (i) (i) ký hiệu e(i) = (ej ) vectơ 0-1, với ei = ej = 0, i = j Ta có: • k = 0: Từ Mệnh đề 2.4.2.2, biết x(0) = 10 i=1 wi P 10 (i) i=1 e P 10 i=2 wi ≤ 80 = (chỉ tình w = w) (1) 10 (i) i=2 e i∈I P 10 i=3 wi = [(80 − 4)/8] = 9, ≤ 80 = 0, 001 < − 0, = 0, 10 (i) i=3 e (3) i∈I = [(80 − 12)/8] = 8, xi Chúng ta có Γ = [(80 − ∗ 8)/4] = 4, tính ≤ 80 = 0, < 0, (5) • k = 5: Từ Mệnh đề 2.4.2.2, x(5) = xi Chúng ta có Γ = [(80 − ∗ 8)/4] = 2, tính • k = 3: Từ Mệnh đề 2.4.2.2, x(3) = xi = [80/8] = 10, Chúng ta có Γ = [(80 − 10 ∗ 8)/4] = 2, tính • k = 1: Từ Mệnh đề 2.4.2.2, x(1) = (0) i∈I 10 (i) i=4 e i∈I xi = [(80 − 20)/8] = 7, 10 i=4 wi Chúng ta tính P ≤ 80 = 0, 99 > 0, Dừng lại Trả lời x(5) phương án (RKP (I, Γ)), phương án tối ưu (SKP ) (5) Từ đó, để tìm x(5) = (xi ) ta giải toán 10 10 (5) ixi max{f = i=1 (5) xi = 7; x ∈ {0; 1}10 } : i=1 Dễ dàng ta nhận phương án tối ưu là: x∗ = (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), với max f = + + + + + + 10 = 28 36 Kết luận Kết nghiên cứu, thực đề tài, Luận văn giải số vấn đề sau: Trình bày cách hệ thống khái niệm kiến thức sở nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu vấn đề có liên quan luận văn Cụ thể trình bày + Một số vấn đề xác suất thống kê toán học, + Bài tốn quy hoạch tuyến tính tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, + Bài tốn quy hoạch nguyên toán túi cổ điển với thuật tốn quy hoạch động Trình bày toán túi với ràng buộc ngẫu nhiên toán tương đương Phát biểu chứng minh số tính chất tốn xét Từ nêu thuật toán giải tương ứng Phát biểu chứng minh tính phức tạp của thuật tốn nêu Đưa ví dụ số để thể hiệu thuật tốn Khi có điều kiện cho phép, cố gắng tiếp tục nghiên cứu: ◦ Xây dựng phần mềm giải tốn thuật tốn nêu ◦ Xây dựng mơ hình ứng dụng tốn thực tế 37 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Quảng, (2007), Giáo trình xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Xuân Sinh, (2005), Các phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch, Bài giảng dùng cho Cao học chuyên ngành Xác suất Thống kê toán học, Đại học Vinh [3] Trần Xuân Sinh, Nguyễn Thị Thanh Hiền, Nguyễn Văn Hưng (2009), Một lớp tốn đầu tư tài chính, Tạp chí Khoa học, Đại học Vinh, Tập XXXVIII, Số 2A (2009), 55-61 [4] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Đức Nghĩa, (1994), Tối ưu hoá, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội [6] D Bertsimas and M Sim, (2004), The Price of Robustness, Oper Res., Vol.52, No 1(2004), 35-53 [7] X Chen, M Sim and P Sun, (2005), A Robust Optimization Perspective of Stochastic Programming, Submitted to Oper Res [8] O Klopfenstein and D Nace, (2006), A Robust Approach to the Chanceconstrained Knapsack Problem, 60205 Compiègne Cedex, France ... túi có ràng buộc ngẫu nhiên 2.1 Bài tốn túi có ràng buộc ngẫu nhiên Trong chương 1, nói tới tốn túi cổ điển Khi tốn có tham gia yếu tố ngẫu nhiên tốn túi xảy nhiều tình khác ảnh hưởng yếu tố ngẫu. .. đầu Bài toán quy hoạch với tham gia yếu tố ngẫu nhiên gọi toán quy hoạch ngẫu nhiên Trong toán quy hoạch ngẫu nhiên, toán với ràng buộc ngẫu nhiên mơ hình dành cho nhiều tốn thực tế Tuy nhiên, ... có biến động ngẫu nhiên, tác giả Trần Xuân Sinh Nguyễn Thị Thanh Hiền chuyển tốn túi với ràng buộc ngẫu nhiên Chúng tơi trình bày đầy đủ lớp tốn chương 17 Chương Một cách tiếp cận giải tốn túi