Một lớp bài toán chiếc túi mở rộng với ràng buộc ngẫu nhiên

Mục lục trang Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Một số vấn đề chung việc giải toán quy hoạch phương pháp xấp xỉ 1.1.1 Phương pháp tụt 1.1.2 Phương pháp chuyển đổi toán 1.2 Bài toán túi 10 1.2.1 Bài toán túi cổ điển 10 1.2.2 Bài toán túi mở rộng 12 1.3 Một số kiến thức sở lý thuyết xác suất 13 1.3.1 Các khái niệm 13 1.3.2 Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên 15 1.4 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc ngẫu nhiên 16 1.4.1 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn 16 1.4.2 Ràng buộc ngẫu nhiên dùng cho tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 17 Chương Bài tốn túi tồn phương với ràng buộc ngẫu nhiên 19 2.1 Đặt vấn đề 19 2.2 Bài tốn túi tồn phương với ràng buộc ngẫu nhiên 20 2.2.1 Bài toán 20 2.2.2 Nới lỏng tuyến tính 24 2.2.3 Nới lỏng SDP 25 2.3 Bài toán túi toàn phương ngẫu nhiên hai giai đoạn 28 2.3.1 Bài toán 28 2.3.2 Quyết định giai đoạn thứ 29 2.3.3 Quyết định giai đoạn thứ hai 30 2.3.4 Một số đặc trưng 32 2.4 Một cách tiếp cận giải toán (2.18)-(2.23) 33 2.4.1 Phân tích tốn (2.18)-(2.23) 33 2.4.2 Bài toán tất định tương đương 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Mở đầu Xét tốn quy hoạch tuyến tính min{cT x : aTj x ≤ bi , i = 1, , m; x ≥ 0} aj = (aij ) vectơ cột thứ j ma trận A Nếu liệu aj thông tin không đầy đủ, phụ thuộc vectơ ngẫu nhiên ω = (ωj ) ta có tốn quy hoạch ngẫu nhiên Trong nhiều trường hợp tốn địi hỏi thêm n ci xi max f = i=1 với điều kiện n aj x j ≤ b i ≥ − α P i=1 α > độ tin cậy cần thiết Khi ta có tốn quy hoạch tuyến tính với ràng buộc ngẫu nhiên (with Probability Constraints) Gần đây, nhiều tác giả (chẳng hạn D Bertsimas, X Chen, M Sim, P Sun, O Klopfenstein and D Nace) thu nhiều kết thú vị lớp tốn Trong đáng ý cơng trình khoa học "Knapsack problem with probability constraints" tác giả A A Gaivoronski, A Lisser, R Lopez H Xu, cơng bố tạp chí J Glob Optim., năm 2010 [6] Chúng quan tâm nhiều tới lớp toán túi Một kết tương tự cho lớp toán túi cổ điển tác giả Võ Thị Tố Uyên, trình bày luận văn tốt nghiệp năm 2009 [5] Bước đầu tiếp cận với kết báo nêu [6], chúng tơi nhận thấy lớp tốn túi mở rộng với ràng buộc ngẫu nhiên mang nhiều ý nghĩa khoa học ứng dụng thực tiễn Đó lý chúng tơi chọn đề tài: "Một lớp toán túi mở rộng với ràng buộc ngẫu nhiên" Sự mở rộng đây, đề tài hạn chế phạm vi hàm mục tiêu có dạng toàn phương Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức phương pháp xấp xỉ giải toán quy hoạch, toán túi cổ điển tốn túi mở rộng Đồng thời để có kiến thức sở cho việc nghiên cứu toán quy hoạch ngẫu nhiên, chúng tơi trình bày số khái niệm lý thuyết xác suất, vấn đề lý thuyết quy hoạch tuyến tính nguyên tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên ngun hai giai đoạn Chương Bài tốn túi tồn phương với ràng buộc ngẫu nhiên Chương nội dung luận văn, chúng tơi trình bày tốn túi có tham gia yếu tố ngẫu nhiên tiếp nhận thông tin liệu toán Bài toán xét luận văn khác với toán xét [5] chỗ hàm mục tiêu có dạng tồn phương, chúng tơi đề cập tới mơ hình tốn học dạng tất định mục 1.2.2 Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tâm thầy tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô giáo Bộ mơn Xác suất Thống kê Tốn ứng dụng, thầy cô giáo Hội đồng chấm luận văn, Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Vinh Cũng này, cho phép tơi nói lời cảm ơn tới gia đình bạn bè, quan tâm, góp ý tạo điều kiện thực luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp q thầy giáo bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Chương Kiến thức sở 1.1 Một số vấn đề chung việc giải toán quy hoạch phương pháp xấp xỉ Các phương pháp xác thơng thường có độ phức tạp lớn, cịn phương pháp xấp xỉ lại có độ phức tạp bé nhiều Khi liệu tốn thực tế gần với độ xác cho phép rõ ràng sử dụng phương pháp xấp xỉ, lấy nghiệm gần hợp lý Có nhiều cách để tiếp cận giải tốn quy hoạch phương pháp xấp xỉ Sau chúng tơi trình bày hai phương pháp thơng dụng, xấp xỉ cách tạo dãy phương án tốt dần theo hướng "tụt" phương pháp xấp xỉ toán cho toán khác, đơn giản Việc đánh giá độ xác phương pháp xấp xỉ thông thường xét độ lệch giá trị hàm mục tiêu tương ứng 1.1.1 Phương pháp tụt Xét toán quy hoạch min{f (x) : x ∈ M }, f (x) hàm khả vi, xác định tập lồi đóng M , thơng thường, ta xét hàm f (x) thuộc lớp C 1,1 (M ) (hàm f (x) khả tích đạo hàm thoả mãn điều kiện Lipschitz M ) Quá trình xây dựng dãy điểm x(k) gọi giảm dư x(k) ∈ M f (x(k+1) ) ≤ f (x(k) ), k = 0, 1, Ta giả thiết tập nghiệm M ∗ = ∅, đồng thời giả thiết x(k) ∈ / M ∗ , (vì trường hợp ngược lại x(k) phương án tối ưu cần tìm trình giảm dư kết thúc) Hướng s ∈ Rn chấp nhận từ x ∈ M gọi hướng tụt từ x (hay giảm từ x ) f (x + λs) ≤ f (x), với λ ∈ [0, λ0 ], λ0 > Lúc lược đồ tổng quát phương pháp tụt là: Bước xuất phát Chọn xấp xỉ ban đầu x(0) ∈ M Bước k, (k = 1, 2, ) Tại điểm x(k) , ta chọn hướng tụt (−sk ) (Chẳng hạn chọn sk = x(k) − y (k) , y (k) ∈ M chọn cho f (y (k) ) < f (x(k) )) k.1 Ký hiệu wk xác định theo công thức wk = f (x(k) − βsk ) = f (x(k) − βk sk ) β≥0 k.2 Lấy λk ∈ (0, 1) cho f (x(k) − βk sk ) ≤ (1 − λk )f (x(k) ) + λk wk k.3 Ta xây dựng xấp xỉ thứ k + theo công thức x(k+1) = x(k) − βk sk (∗) Rõ ràng lúc ta có f (x(k+1) ) = f (x(k) − βk sk ) ≤ (1 − λk )f (x(k) ) + λk wk = (1 − λk )f (x(k) ) + λk f (x(k) − βk sk ) ≤ f (x(k) ), (vì λk < 1) Điều chứng tỏ hướng chấp nhận (−sk ) hướng tụt từ x(k) Ký hiệu ∇f (x(k) ), sk αk := ||∇f (x(k) )||.||sk || M0 := x ∈ M : f (x) ≤ f (x(0) ) , µk := f (x(k) ) − f (x∗ ), k = 0, 1, 2, x∗ phương án tối ưu Ta có định lý sau đánh giá sai khác giá trị hàm mục tiêu phương pháp tụt tổng quát nêu 1.1.1.1 Định lý Nếu 1) Hàm lồi f (x) thuộc lớp C 1,1 (M ), x−x 2) diamM0 = sup < ∞, x,x ∈M0 3) Dãy x(k) xây dựng theo công thức (∗), ta có đánh giá m−1 f (x (m) ∗ λk αk2 ) − f (x ) ≤ µ0 + Cµ0 −1 , (m = 1, 2, ), k=0 với C thoả mãn < C ≤ 2Lη , L số Lipschitz Quá trình "tụt" nêu ta dãy phương án tốt dần x(k) Theo định lý 1.1.1.1 f (x(k) ) hội tụ f (x∗ ) k → ∞ Nếu lấy f (x∗ ) ≈ f (x(k) ) ta nghiệm gần với sai số nêu Một ví dụ minh hoạ cho phương pháp xấp xỉ nêu phương pháp Monte Carlo quen thuộc 1.1.2 Phương pháp chuyển đổi tốn Thay giải tốn phức tạp hơn, người ta xấp xỉ toán cho tốn đơn giản Từ đánh giá sai khác hàm mục tiêu hai toán phương án Với sai khác cho đó, ta xác định hàm mục tiêu toán xấp xỉ phù hợp Tiếp theo ta giải toán xấp xỉ, phương án tối ưu x ∗ Phương án tối ưu x ∗ lấy làm nghiệm gần tốn cho Ví dụ Xét tốn quy hoạch ngẫu nhiên giai đoạn hai (2SSLP ): (2SSLP ) min{g(x) = cT x + Ew [Q(x, w)]} với điều kiện A(w)x = b(w), x ≥ 0, 10 Q(x, w) = min{q(w)T y : D(w)y = b(w) − A(w)x; x, y ≥ 0}, c, x ∈ Rn ; q, y ∈ Rm , w biến ngẫu nhiên thuộc không gian xác suất (Ω, F, P ), với Ω ∈ Rk ; Ew [Q(x, w)] kỳ vọng Q(x, w) lấy theo biến ngẫu nhiên w ∈ Ω Lúc đó, người ta đưa tốn (P): (P ) f (z) : z ∈ M M := {z : Ax = z, x ∈ M ∗ } k pi ψ(z, wi ), f (z) = φ(z) + i=1 với ψ(z, wi ) = min{q(wi )T y : D(wi )y = b(wi ) − z; y ≥ 0}; wi xác định với xác suất P(w = wi ) = pi Ký hiệu z ∗ phương án tối ưu (P ) x∗ phương án tối ưu toán min{cT x : x ∈ M, Ax = z ∗ } Bài tốn (P ) tốn tất định giải phương pháp biết Định lý sau cho ta mối quan hệ toán toán (2SSLP ) toán (P ): 1.1.2.1 Định lý Giả sử z ∗ x∗ ký hiệu nêu Khi giá trị tối ưu hàm mục tiêu toán (P ) toán (2SSLP ) Đồng thời x∗ phương án tối ưu toán (2SSLP ) 1.2 Bài toán túi 1.2.1 Bài toán túi cổ điển Cho n đồ vật, trọng lượng tương ứng đồ vật thứ i có giá trị ci (i = 1, n) Ta xếp đồ vật vào túi có tải trọng b, cho tổng trọng lượng không vượt b đạt giá trị lớn 11 Ta tóm tắt tốn sau: Ký hiệu I = {1, 2, , n}: tập số đồ vật Ký hiệu xi , i = 1, n số đồ vật thứ i xếp vào túi, xi ∈ {0, 1} Khi ta có tốn: Tìm xi , i ∈ I cho: ci xi max f (x) = (1.1) i∈I với điều kiện    xi ≤ b, (1.2) i∈I   x ∈ {0; 1}n Điều thú vị toán túi cổ điển khơng tốn thực tế hay gặp mà giá trị khoa học Người ta chứng minh tốn quy hoạch tuyến tính rời rạc chuyển toán túi Để giải toán túi cổ điển người ta thường dùng công thức đệ quy phương pháp quy hoạch động Cụ thể sau: Với số nguyên k h, (k = 1, n, h = 0, b), ta đặt k k Fk (h) = max xi ≤ h; xi ∈ {0; 1}, i = 1, k ci xi : i=1 (1.3) i=1 Điều có nghĩa Fk (h) giá trị lớn hàm f đồ vật chọn từ k lần trọng lượng túi h Với k = 1, ta có F1 (h) = max c1 x1 : x1 ∈ {0; 1} = c1 = c1 ; h = 0, b Đối với k = 2, n; h = 0, b, cơng thức (1.3) viết lại k Fk (h) = max k−1 xi ≤ h − ak xk ; xi ∈ {0; 1}, i = 1, k ci xi : i=1 i=1 Khi ta có k−1 Fk (h) = max xk ∈{0;1} ck xk + max xi ∈{0;1} ci xi i=1 , 25 Thật vậy, trước hết ta có điều kiện tốn (LKP 1) có mặt (LKP 2) nên phương án toán (LKP 2) phương án toán (LKP 1) Ta cần điều ngược lại Nghĩa phương án x toán (LKP 1) phương án toán (LKP 2) Rõ ràng x phương án (LKP 1), tức ≤ xi ≤ Do Xij = xi xj ≤ xi ≤ nên ta có Xij ≥ xi + xj − 1, i < j = 1, , N Cũng ta có Xij ≤ xi , i < j = 1, , N , Xij ≤ xj , i < j = 1, , N ≤ Xij ≤ 1, i, j = 1, , N Từ suy điều phải chứng minh định lý Bài toán nới lỏng tuyến tính (LKP 2) sử dụng tính tốn số Để có giới hạn chặt chẽ hơn, sử dụng thay nới lỏng dựa toán nửa xác định 2.2.3 Nới lỏng SDP Bài tốn túi tồn phương với ràng buộc ngẫu nhiên sử dụng số lượng lớn biến nhị phân làm cho việc giải tốn lớn phương pháp xác khơng thực tế Hai vấn đề đặt ra: Thứ thời gian Trung tâm điều khiển cần thiết để giải trường hợp lớn lâu Thứ hai phương pháp phân nhánh tìm kiếm, nút tìm kiếm cần phải lưu trữ nhớ Trong số trường hợp, liệu đạt tới giới hạn mà hệ thống xử lý, khơng thể tính tốn Khi tính tốn giải pháp xác, tính tốn ràng buộc nới lỏng cách sử dụng tối ưu toán nửa xác định thú vị, địi hỏi thời gian đa thức với đầu vào Điều làm cho ta công cụ phù hợp, làm tăng cường thực tế mà mang lại giới hạn cho tốn nhị phân tồn phương Trước hết đưa ký hiệu + m = N + K + C ma trận cấp m × m , với cột riT = (ci1 , cin , 0, , 0) 26 + z vectơ m chiều xác định z T = (x1 , , xN , y1 , , yK ) k , 0, , −M, , 0) + gk vectơ m chiều xác định gkT = (w1k , , wN Hằng số −M đặt toạ độ thứ N + k + q vectơ m chiều xác định q T = (0, , 0, p1 , , pK ) k ), P = (p1 , , pK ) + Wk = (w1k , , wN Với ký hiệu trên, tốn (SDP ) nới lỏng, viết lại thành toán max z T Cz (2.9) z với điều kiện m gik zi ≤ d, k = 1, , K, (2.10) i=1 m qk zk ≤ α (2.11) k=1 Bây ta ký hiệu ma trận C= C 0 ; X= zz T z zT ; Wk P tương ứng ma trận hình thành từ gk q Khi tốn (SDP ) nới lỏng, viết lại đơn giản thành toán (SDP 1) sau: (SDP 1) với điều kiện max T race(C · X)    T race(Wk · X) ≤ d, k = 1, , K       T race(P · X) ≤ α   diag(zz T ) = z       X 0, (2.12) T raceX ký hiệu cho vết ma trận X, diagX ký hiệu cho đường chéo ma trận X 27 Tuy nhiên, nới lỏng biết đến yếu: Rendl Helmberg báo cho thấy trường hợp tốn túi toàn phương Thắt chặt ràng buộc cần thiết để đạt kết nới lỏng Thắt chặt nới lỏng cần thiết để tránh biến nhị phân xa 1, nhằm xây dựng để cung cấp cho cận hẹp Để thắt chặt nới lỏng, thêm ràng buộc bất đẳng thức hợp lệ cho toán này, hạn chế tập phương án Các ràng buộc bất đẳng thức thêm vào tốn, giúp thắt chặt nới lỏng Tuy nhiên, xây dựng nới lỏng số lượng hạn chế làm tăng biến tốn trở nên phức tạp Vì nhân ràng buộc (2.10) với xi (1 − xi ), i = 1, , N Tương tự với yk (1 − yk ), k số ràng buộc, nhân với ràng buộc (2.11) với yj (1 − yj ) cho tất j = 1, , K Những ràng buộc gọi ràng buộc Sherali-Adams Chúng ta thêm vào ràng buộc đa diện bậc hai Xij ≤ zi Xij ≤ zj để tăng cường nới lỏng Chúng ta đạt nới lỏng (SDP ) sau đây, tốn (SDP 2): (SDP 2) max T race(C · X) với điều kiện    T race(Wki · X) ≤ 0, k = 1, , K, i = 1, , N, N + k        T race(Wki · X) ≤ d, k = 1, , K, i = 1, , N, N + k       T race(Qj · X) ≤ 0, j = 1, , K,       T race(Qj · X) ≤ α, j = 1, , K,   T race(Tij · X) ≤ 0, < i < j < N + K        T race(Tij · X) ≤ 0, < i < j < N + K       diag(zz T ) = z       X 0, (2.13) 28 Wki ; Qj ma trận thiết lập từ gk q theo mơ hình ràng buộc Sherali-Adams đề cập trên, Tij Tij ma trận mơ hình ràng buộc đa diện bậc hai nêu Phương pháp nới lỏng cho ta kết chặt hơn, theo lại tăng thêm ràng buộc Trong thực tế, ràng buộc toán ban đầu, ta tăng thêm 2N lần ràng buộc Cũng vậy, thay ràng buộc ngẫu nhiên, ta lại tăng số ràng buộc lên gấp K lần 2.3 Bài toán túi toàn phương hai giai đoạn Bây xét tới tốn (KP ) thứ hai, tốn túi tồn phương ngẫu nhiên với ràng buộc ngẫu nhiên Trong phần mở rộng mơ hình phát triển phần trước cho trường hợp toán định mở rộng đến hai giai đoạn Quyết định ban đầu thực trình giai đoạn trước biết tham gia biến ngẫu nhiên Sau đó, tham gia biến ngẫu nhiên cho thấy cần sửa chữa giai đoạn định đầu tiên, có tính đến thơng tin Mơ hình gọi quy hoạch ngẫu nhiên có độ tin cậy Ngồi ra, chúng tơi giới thiệu ràng buộc ngẫu nhiên giai đoạn thứ hai Đáng ý mơ hình chưa nghiên cứu trước Chúng bắt đầu cách xây dựng quy hoạch ngẫu nhiên toàn phương tổng quát, với ràng buộc ngẫu nhiên giai đoạn thứ hai 2.3.1 Bài tốn Bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên tồn phương giai đoạn hai mơ tả sau: max{xT Cx + Eω Q(x, ω)} (2.14) Rx ≤ s, (2.15) x với điều kiện (2.15) ràng buộc tuyến tính, R ma trận cấp 29 m × n, s ∈ Rm Giá trị Q(x, ω) xác định mục tiêu tối ưu toán Q(x, ω) := max uT D(ω)u (2.16) P W (ω, ψ)u + T (ω, ψ)x ≤ h(ω, ψ)|ω ≥ − α (2.17) u Trong mơ hình này, không chắn mô tả hai vectơ ngẫu nhiên ω ψ, với phân phối xác suất có điều kiện phụ thuộc ω Khi định giai đoạn thực hiện, hai ω ψ chưa để ý tới Sau định, phần thông tin xuất thiếu rõ ràng, điều tương ứng với việc tham gia vectơ ngẫu nhiên ω Quyết định giai đoạn hai thực sau đó, với hiểu biết ω định giai đoạn x, khơng có hiểu biết tham gia vectơ ngẫu nhiên ψ Điều tương ứng với ràng buộc (2.17), cần lấy xác suất có điều kiện phụ thuộc ω Không giống kết có, có thêm vectơ ngẫu nhiên ψ giai đoạn hai 2.3.2 Quyết định giai đoạn thứ Bây làm quen với mơ hình tổng qt tốn túi Giống trường hợp tĩnh, chúng tơi giả sử có N đồ vật có trọng lượng ωi , i = 1, , N Mỗi cặp đồ vật đặc trưng tương tự giá trị cij nó, (xem phần 2.1 để biết thêm chi tiết giá trị cặp đồ vật) Mục đích tốn tối đa hố giá trị đồ vật đóng túi với ràng buộc túi có khả giới hạn d Việc lựa chọn đồ vật giai đoạn cho biến nhị phân định xi , nhận giá trị đồ vật thứ i lựa chọn ngược lại Công thức định giai đoạn thứ toán cho sau N N max{ x cij xi xj + Eω Q(x, ω)} i=1 j=1 (2.18) 30 N wi xi ≤ d (2.19) i=1 Ràng buộc (2.19) mô tả khả túi Hàm mục tiêu gồm hai phần: Giá trị đồ vật túi giai đoạn giá trị dự kiến túi giai đoạn thứ hai Giá trị dự kiến phụ thuộc vào đồ vật chọn giai đoạn (vectơ x) tham gia thực vectơ ngẫu nhiên ω 2.3.3 Quyết định giai đoạn thứ hai Sau định giai đoạn thứ thực hiện, giá trị đồ vật trọng lượng thay đổi Trong giai đoạn thứ hai, đồ vật thứ i có giá trị bii (ω) có trọng lượng vi (ω, ψ) Mỗi cặp đồ vật (i, j) có giá trị bij Tương tự giai đoạn có ràng buộc sức chứa túi, yếu tố thay đổi Chúng ta ký hiệu giới hạn túi h(ω, ψ) Tương tự với trường hợp tĩnh, toán đòi hỏi xác suất chênh lệch thay đổi không bé giá trị (1 − α) Việc tham gia thực vectơ ω biết trước, giai đoạn hai thực phân phối ψ biết phụ thuộc ω Quyết định giai đoạn hai cho phép ta thay đổi định ban đầu để sửa chữa sai sót, việc tiến hành sau biết thêm thơng tin Có hai khả xảy ra: Thứ đồ vật lựa chọn chu kỳ thứ bị di chuyển Trong trường hợp mô tả biến nhị phân − u− i , ui đồ vật thứ i chuyển vào túi ngược lại Thứ hai đồ vật bị loại trước đó, chọn lại Trong trường hợp ta dùng biến nhị phân ui , ui lựa chọn đồ vật i chu kỳ thứ hai ngược lại Lưu ý đồ vật thứ i lựa chọn chu kỳ thứ nhất, 31 sau khơng chuyển vào túi chu kỳ thứ hai xét chọn lại (nghĩa ui = 1) chu kỳ hai Khi đồ vật thứ i di chuyển, sinh giá định, khơng bao gồm việc khấu trừ giá trị nó, mà cịn gồm chi phí khác, chẳng hạn thời gian giá cả, thao tác cần thiết để xếp lại túi Điều cho phép ta xây dựng toán định giai đoạn thứ hai sau: N N N − − b− ij (ω)ui uj bij (ω)ui uj − Q(x, ω) := max − u,u N i=1 j=1 (2.20) i=1 j=1 với điều kiện ui ≥ x i − u− i , i = 1, , N (2.21) u− i ≤ xi , i = 1, , N (2.22) N vi (ω, ψ)(ui + xi − u− i ) ≤ h(ω, ψ)|ω P ≥ − α (2.23) i=1 Hàm mục tiêu (2.20) nói chúng tơi muốn tối đa hoá giá trị túi, sau tính đến chi phí việc di chuyển đồ vật chọn trước Hai ràng buộc (2.21) (2.22) liên hệ định giai đoạn giai đoạn hai Hai ràng buộc (2.21) (2.22) liên kết giai đoạn định giai đoạn thứ hai: Nếu đồ vật thứ i lựa chọn giai đoạn thứ khơng loại bỏ chọn, sau thiết phải xem xét lựa chọn giai đoạn thứ hai Ngược lại, ràng buộc (2.22) có nghĩa có đồ vật được lựa chọn giai đoạn thứ lại lựa chọn Ràng buộc (2.23) trình bày lại xác suất tối thiểu (1 − α) điều kiện ràng buộc giới hạn hiệu lực 32 2.3.4 Một số đặc trưng Bài toán (2.20)-(2.22) đủ tổng quát cho mơ hình với đặc tính bổ sung, mà từ trước tới quan tâm tới Mơ hình nêu có đặc trưng sau đây: 2.3.4.1 Thành phần tập đồ vật xếp vào túi giai đoạn giai đoạn hai khác Vì trọng lượng đồ vật giới hạn túi thay đổi (theo ω) hai chu kỳ nên cho phép mơ hình hố trường hợp mà số đồ vật thừa nhận chu kỳ cịn lại Chẳng hạn, để trình bày trường hợp mà đồ vật thứ i khơng thừa nhận chu kỳ thứ hai, đặt vi (ω, ψ) > h(ω, ψ) Ví dụ, cần định lựa chọn thức ăn để cứu trợ nhân đạo, trường hợp mà người sản xuất thức ăn gửi phản hồi sản phẩm không phù hợp để sử dụng Tương tự vậy, đồ vật thứ i vắng mặt chu kỳ đầu có hiệu lực chu kỳ hai, wi > d Điều cho phép có tập đồ vật khác có mặt hai chu kỳ giống mơ hình có độ tin cậy truyền thống: Những đồ vật chọn pha có giá trị lựa chọn b− ij đạt giá trị lớn (để tránh chọn lại) giá trị giai đoạn hai bij đặt (nghĩa việc lựa chọn pha thứ hai tối ưu phận ảnh hưởng đến trọng lượng mà không ảnh hưởng tới tổng giá trị) 2.3.4.2 Giá trị đồ vật phụ thuộc biến ngẫu nhiên Chẳng hạn, giá trị giai đoạn thứ phụ thuộc vào ω, cij = cij (ω) giá trị giai đoạn thứ hai chi phí di chuyển phụ thuộc ψ, − tức bij (ω) = bij (ω, ψ), b− ij (ω) = bij (ω, ψ) Trong trường hợp này, xem xét giá trị hàm mục tiêu Khi (2.18) định dạng lại N N cij (ω)xi xj + Q(x, ω) max Eω x i j (2.24) 33 (2.20) định dạng lại N N N N bij (ω, ψ)ui uj − Q(x, ω) := max Eψ − u,u i j i j − − b− ij (ω, ψ)ui uj |ω (2.25) Bây đặt − cij := Eω [cij (ω)]; bij := Eψ [bij (ω, ψ)|ω]; bij := Eψ [b− ij (ω, ψ)|ω] thay cij cij (2.18), bij (ω), b− ij (ω) bij (ω), bij (ω) (2.20), thu công thức (2.18)-(2.23) ban đầu 2.3.4.3 Ràng buộc ngẫu nhiên giới hạn túi giai đoạn định dạng lại Trường hợp tương tự toán túi tĩnh Nếu trọng lượng giai đoạn phụ thuộc vào vectơ ngẫu nhiên ω, (wi = wi (ω)), ràng buộc (2.19) thiết lập sau: N wi (ω)xi ≤ d P ≥ − α (2.26) i=1 2.4 Một cách tiếp cận giải tốn (2.18)-(2.23) Như thấy, cơng thức (2.18)-(2.23) toán túi ngẫu nhiên với độ tin cậy tổng quát, bao gồm nhiều trường hợp thực tế Bây bàn tới tốn phát biểu lại để sử dụng kỹ thuật giải Đầu tiên, để xây dựng lại toán, viết lại tốn dạng tất định tương đương Sau đó, áp dụng phương pháp nới lỏng nửa xác định vào tốn 2.4.1 Phân tích tốn (2.18)-(2.23) Để viết lại tốn túi tồn phương ngẫu nhiên với độ tin cậy dạng tất định, cần xét trường hợp phân phối có điều kiện vectơ ngẫu nhiên ω ψ tập trung vào số hữu hạn điểm ωk , k = 1, , K, với xác suất pk Chúng ta gán cho điểm "kịch bản" Với "kịch bản" phân biệt biến 34 định ui uik Trong trường hợp tốn (2.18)-(2.23) viết lại sau: N N K x pk Q(x, k) cij xi xj + max i=1 j=1 (2.27) k=1 với điều kiện N wi xi ≤ d, (2.28) i=1 N N N N − − b− ijk uik ujk bijk uik ujk − Q(x, k) = max − u,u i=1 j=1 (2.29) i=1 j=1 uik ≥ xi − u− ik , i = 1, , N, k = 1, , K, (2.30) u− ik ≤ xi , i = 1, , N, k = 1, , K, (2.31) N vik (ψ)(uik + xi − u− ik ) ≤ hk (ψ)|ω = ωk P ≥ − α, (2.32) i=1 Q(x, k) = Q(x, ωk ); bijk = bij (ωk ); b− ijk = bij (ωk ), vik (ψ) = vi (ωk , ψ); hk (ψ) = h(ωk , ψ) Thay (2.29) vào (2.27) nhóm ràng buộc "kịch bản" có toán (2.33)-(2.37) N max− x,uik ,uik N K cij xi xj + i=1 j=1 N N N bijk uik ujk − pk k=1 N i=1 j=1 i=1 j=1 − − b− ijk uik ujk (2.33) với điều kiện N wi xi ≤ d, (2.34) i=1 uik ≥ xi − u− ik , i = 1, , N, k = 1, , K, (2.35) u− ik ≤ xi , i = 1, , N, k = 1, , K, (2.36) 35 N vik (ψ)(uik +xi −u− ik ) ≤ hk (ψ)|ω = ωk P ≥ 1−α, k = 1, , K (2.37) i=1 Ràng buộc ngẫu nhiên (2.37) xây dựng lại giống ràng buộc ngẫu nhiên (2.2) toán túi ngẫu nhiên tĩnh Giả sử vectơ ngẫu nhiên ψ tập trung số hữu hạn điểm ψkr , k = 1, , K; r = 1, , R, với xác suất pkr thoả mãn R pkr = 1, pkr ≥ 0, k = 1, , K r=1 Khi ta tốn (A) N (A) max − x,uik ,uik ,Λk N K cij xi xj + i=1 j=1 k=1 N N N N bijk uik ujk − pk i=1 j=1 i=1 j=1 − − b− ijk uik ujk với điều kiện  N    i=1 wi xi ≤ d,      uik ≥ xi − u−  ik , i = 1, , N, k = 1, , K,   u− ik ≤ xi , i = 1, , N, k = 1, , K,     N −   i=1 vikr (uik + xi − uik ) ≤ hkr , r ∈ Λk , k = 1, , K,      r∈Λk pkr ≥ − α, k = 1, , K, vikr = vik (ψkr ), hkr = hk (ψkr ) Λk ⊂ {1, , R} 2.4.2 Bài toán tất định tương đương Cuối cùng, tốn phát biểu toán tối ưu nhị phân cách đưa vào biến phụ nhị phân ykr r = 1, , R với "kịch bản" k = 1, , K   0, r ∈ Λk ykr =  1, r ∈ / Λk Điều dẫn đến tốn tất định sau 36 N max− x,uik ,uik ,y N K cij xi xj + i=1 j=1 N N N N bijk uik ujk − pk i=1 j=1 k=1 i=1 j=1 − − b− ijk uik ujk (2.38) với điều kiện N wi xi ≤ d, (2.39) i=1 uik ≥ xi − u− ik , i = 1, , N, k = 1, , K, (2.40) u− ik ≤ xi , i = 1, , N, k = 1, , K, (2.41) N vikr (uik + xi − u− ik ) ≤ hkr + M ykr , r = 1, , R, k = 1, , K (2.42) pkr ykr ≤ α, k = 1, , K, (2.43) i=1 R r=1 Mk số thoả mãn N Mk ≥ max r 2vikr − hkr i=1 2.4.2.1 Định lý Các toán (2.27) − (2.32), (2.33) − (2.37), toán (A) toán (2.38) − (2.43) tương đương với Chứng minh Sự tương đương toán nêu phép biến đổi thay định dạng lại từ toán sang tốn kia, phép biến đổi tương đương Bài toán toán nhị phân tồn phương khơng thể giải xác số lớn phép thử hạn chế thời gian nhớ Vì vậy, lần ta lại sử dụng phương pháp nới lỏng SDP toán Tương tự toán túi tồn phương tĩnh phương pháp nới lỏng nửa xác định giải toán (SDP 1) (SDP 2) áp dụng cho tốn (2.38)-(2.43), sử dụng toán nới lỏng (LP ) để làm sở so sánh 37 Như vậy, để giải tốn túi tồn phương ngẫu nhiên (2.27)-(2.32) đặt ra, ta giải tốn tất định (2.38)-(2.43) Tuy nhiên, nêu trên, cần sử dụng phương pháp giải gần Một phương pháp gần hiệu quả, phương pháp Monte Carlo quen thuộc Quá trình thực phải theo chương trình thuật tốn thể máy tính 38 Kết luận Luận văn giải số vấn đề sau: Trình bày cách hệ thống khái niệm kiến thức sở nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu vấn đề có liên quan luận văn Cụ thể trình bày vấn đề: phương pháp giải gần toán quy hoạch, toán túi cổ điển toán túi mở rộng, khái niệm nội dung cần thiết lý thuyết xác suất, toán túi với ràng buộc ngẫu nhiên Xem xét toán túi ngẫu nhiên toàn phương phương diện thực tế vận dụng thực tế để thể điều kiện buộc Chuyển đổi toán đặt dạng tương đương Đặc biệt dạng tương đương thuộc lớp tốn có liệu tất định Hình thành hướng tiếp cận giải tốn đặt Khi có điều kiện cho phép, cố gắng tiếp tục nghiên cứu: ◦ Xây dựng phần mềm giải toán nêu ◦ Tìm kiếm mơ hình ứng dụng toán thực tế 39 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Xuân Sinh (2005), Các phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch, Bài giảng dùng cho Cao học chuyên ngành Xác suất Thống kê toán học, Đại học Vinh [3] Trần Xuân Sinh (1998), Một mở rộng tốn "Chiếc túi", Tạp chí Tin học điều khiển học, Tập 14, Số (1998), 45-51 [4] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Võ Thị Tố Uyên (2009), Một cách tiếp cận giải toán túi có ràng buộc ngẫu nhiên, Luận văn tốt nghiệp Cao học Thạc sĩ, chuyên ngành Xác suất thống kê toán học, trường Đại học Vinh [6] A Alexei Gaivoronski, Abdel Lisser, Rafael Lopez, Hu Xu (2010), Knapsack problem with probability constraints, J Global Optimazation, DOI 10.1007/s10898-010-9566-0 [7] X Chen, M Sim and P Sun (2005), A Robust Optimization Perspective of Stochastic Programming, Submitted to Oper Res [8] O Klopfenstein and D Nace (2006), A Robust Approach to the Chanceconstrained Knapsack Problem, 60205 Compiègne Cedex, France ... phương pháp giải gần toán quy hoạch, toán túi cổ điển toán túi mở rộng, khái niệm nội dung cần thiết lý thuyết xác suất, toán túi với ràng buộc ngẫu nhiên Xem xét toán túi ngẫu nhiên toàn phương... toán túi mở rộng với ràng buộc ngẫu nhiên mang nhiều ý nghĩa khoa học ứng dụng thực tiễn Đó lý chúng tơi chọn đề tài: "Một lớp tốn túi mở rộng với ràng buộc ngẫu nhiên" Sự mở rộng đây, đề tài... Chương Bài toán túi toàn phương với ràng buộc ngẫu nhiên 2.1 Đặt vấn đề Trong Chương 1, nói tới toán túi cổ điển toán túi mở rộng (đó mơ hình tĩnh tốn túi tồn phương) Khi tốn có tham gia yếu tố ngẫu