Một lớp bài toán tối ưu chi phí đầu tư sản xuất với ràng buộc ngẫu nhiên

Mục lục trang Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Một số vấn đề sở lý thuyết xác suất 1.1.1 Đại lượng ngẫu nhiên 1.1.2 Các số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên 1.1.3 Tính chất số đặc trưng 10 1.2 Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên 11 1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên 11 1.2.2 Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hai giai đoạn 12 1.3 Một số cách tiếp cận giải toán quy hoạch nguyên 14 1.3.1 Phương pháp cắt 14 1.3.2 Phương pháp nhánh cận 15 1.3.3 Phương pháp xấp xỉ 18 Chương Bài tốn tối ưu chi phí đầu tư sản xuất với ràng buộc ngẫu nhiên 23 2.1 Đặt vấn đề 23 2.1.1 Bài toán thực tế 23 2.1.2 Tuyến tính hoá toán 24 2.1.3 Nới lỏng SDP 28 2.2 Một lớp toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên giai đoạn 30 2.2.1 Mơ hình tổng qt 31 2.2.2 Về ràng buộc ngẫu nhiên 32 2.2.3 Bài toán tối ưu chi phí sản xuất hai giai đoạn 33 2.3 Bài toán tương đương tất định phương pháp giải 34 2.3.1 Bài toán tương đương tất định 34 2.3.2 Ràng buộc ngẫu nhiên 35 2.3.3 Hướng tiếp cận giải toán 37 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Mở đầu Trong sản xuất đầu tư sản xuất thông tin liệu biết rõ việc tối ưu lãi suất nhiều cơng trình khoa học nghiên cứu Do nhiều lý khác nhau, mà thông tin liệu không đầy đủ, phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên Lúc toán đặt cần nghiên cứu toán tối ưu ngẫu nhiên Chúng ta lấy tốn sau làm ví dụ: Một xí nghiệp lựa chọn sản xuất n loại sản phẩm, với số vốn có b Các sản phẩm cần ghép cặp đôi vào thiết bị Khi cặp đơi (i, j) ghép cho giá trị lãi cij , (i, j = 1, , n) Chi phí đầu tư sản xuất sản phẩm loại i thường biến động, trở thành đại lượng ngẫu nhiên ωi Hỏi nên đầu tư sản xuất để có tổng số lãi lớn nhất, với chi phí khơng vượt q b Khi ký hiệu xi , (i = 1, , n), sản phẩm loại i sản xuất, (xi loại sản phẩm i lựa chọn sản xuất ngược lại) ta có tốn quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc xác suất là: Tìm x = (xi ) ∈ Rn cho n (P) n cij xi xj max f (x) = i=1 j=1 với điều kiện n ωi xi ≤ b P ≥ − α, i=1 x = (xi ) ∈ {0; 1}n α độ xác cần thiết cho trước Bài toán (P) lớp toán phổ biến đầu tư sản xuất Việc nghiên cứu nhằm tìm lời giải tối ưu đặt cho nhiều nhà khoa học nghiên cứu Tuỳ thuộc vào thể mơ hình tốn (P), cách tiếp cận khác mà nhiều cơng trình khoa học cơng bố Chẳng hạn tác giả D Bertsimas, X Chen, M Sim, P Sun, O Klopfenstein and D Nace, A A Gaivoronski, A Lisser, R Lopez H Xu, thu nhiều kết thú vị lớp toán Gần đây, nhận thấy báo khoa học tác giả A Lisser, R Lopez H Xu: "Stochastic Quadratic Knapsack with recourse", công bố năm 2010 [5], có mơ hình tốn học giống tốn (P) nêu Trong cơng trình nghiên cứu trước đây, kết chủ yếu mơ hình giai đoạn hai thường giữ lại kết giai đoạn 1, có bổ sung biến điều chỉnh giai đoạn hai ("biến phạt") Các toán thực tế đặt khơng có vậy, giai đoạn hai cần bổ sung "biến phạt" mới, đồng thời cần gỡ bỏ biến giai đoạn khơng cịn phù hợp Lúc hàm thu nhập phải trừ khoản loại bỏ biến bị "phạt" gỡ bỏ Đây điểm cơng trình [5] nêu Đó lý chúng tơi chọn đề tài: "Một lớp toán tối ưu chi phí đầu tư sản xuất, với ràng buộc ngẫu nhiên" Như vậy, mục tiêu đề tài nghiên cứu lớp tốn tối ưu chi phí đầu tư sản xuất, với ràng buộc ngẫu nhiên Trên sở sử dụng phương pháp xấp xỉ để tìm phương án tối ưu cho toán Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết xác suất, vấn đề lý thuyết quy hoạch tuyến tính nguyên tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên ngun hai giai đoạn Chương Bài toán tối ưu chi phí đầu tư sản xuất, với ràng buộc ngẫu nhiên Chương nội dung luận văn, chúng tơi trình bày tốn tối ưu chi phí đầu tư sản xuất, với ràng buộc ngẫu nhiên Trên sở đó, chúng tơi phân tích tốn nhằm chuyển toán trường hợp quen biết Từ nêu hướng tiếp cận để giải tốn đặt Luận văn thực hồn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Xuân Sinh Chúng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tâm thầy suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Nguyễn Văn Quảng, TS Nguyễn Trung Hoà, TS Lê Văn Thành, thầy cô giáo Hội đồng chấm luận văn, khoa Tốn, Phịng Sau Đại học, Trường Đại học Vinh Đồng thời, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn giúp đỡ, tạo điều kiện cho học tập, công tác lãnh đạo đồng nghiệp Trường THPT Cát Ngạn (Thanh Chương) Cũng này, cho phép tơi nói lời cảm ơn tới gia đình bạn bè, quan tâm, góp ý, giúp đỡ tạo điều kiện để thực luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận đóng góp q thầy giáo bạn để luận văn hồn thiện Chúng tơi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 10 năm 2012 Tác giả Chương Kiến thức sở 1.1 Một số khái niệm xác suất 1.1.1 Đại lượng ngẫu nhiên 1.1.1.1 Không gian đo độ đo xác suất Giả sử Ω tập tùy ý khác rỗng F σ-đại số tập Ω Khi cặp (Ω, F) gọi không gian đo Giả sử cho không gian đo (Ω, F) Một ánh xạ P : F → R gọi độ đo xác suất F i) P(A) ≥ với ∀A ∈ F, (tính khơng âm) ii) P(Ω) = 1, (tính chuẩn hóa) iii) Nếu An ∈ F, (n = 1, 2, ), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅, i = j, P ∞ n=1 An = ∞ n=1 P(An ), (tính cộng tính đếm được) Giả sử Ω tập khác rỗng, F σ-đại số tập Ω, P độ đo xác suất F Khi đó, ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất Tập Ω gọi không gian biến cố sơ cấp σ-đại số F gọi σ-đại số biến cố Mỗi A ∈ F gọi biến cố 1.1.1.2 Đại lượng ngẫu nhiên Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất; G σ-đại số σ-đại số F; B σ-đại số Borel R Khi ánh xạ X:Ω→R gọi đại lượng ngẫu nhiên G-đo được, với B ∈ B, ta có X −1 (B) := ω : X(ω) ∈ B ∈ G Đặc biệt, X F-đo X gọi đại lượng ngẫu nhiên 1.1.1.3 Hàm phân phối Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B) đại lượng ngẫu nhiên Với B ∈ B, đặt PX (B) = P(X −1 (B)) = P {ω : X(ω) ∈ B} PX gọi phân phối xác suất X Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, X : Ω → R đại lượng ngẫu nhiên Khi hàm số FX (x) = P(X < x) = P(ω : X(ω) < x) gọi hàm phân phối X 1.1.1.4 Các loại đại lượng ngẫu nhiên ◦ Một đại lượng ngẫu nhiên X gọi đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận số hữu hạn đếm giá trị Người ta liệt kê tất giá trị có theo dãy hữu hạn hay vô hạn x1 , x2 , , xn , Tập hợp tất giá trị có đại lượng ngẫu nhiên X ký hiệu X(Ω) Để thể đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X với xác suất tương ứng P(X = xi ) = pi , (i = 1, 2, 3, ), với pi = 1, ta thiết lập bảng phân phối i có dạng: X x1 x2 · · · xn · · · p1 p2 · · · pn · · · P ◦ Một đại lượng ngẫu nhiên X gọi đại lượng ngẫu nhiên liên tục hàm phân phối F (x) hàm liên tục tồn hàm số p(x) cho: p(x) ≥ 0, −∞ < x < +∞, x p(t)dt, −∞ < x < +∞ F (x) = −∞ Hàm số p(x) nêu gọi hàm mật độ xác suất X 1.1.1.5 Các đại lượng ngẫu nhiên độc lập Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất cố định Mỗi tập C F gọi lớp biến cố Họ biến cố (C)i∈I gọi độc lập (độc lập đôi một) với Ai ∈ Ci họ biến cố (Ai )i∈I độc lập (độc lập đôi một) Họ đại lượng ngẫu nhiên (Xi )i∈I gọi độc lập (độc lập đôi một) họ σ-đại số (σ(Xi ))i∈I độc lập (độc lập đôi một) 1.1.2 Các số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên 1.1.2.1 Kỳ vọng Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B) đại lượng ngẫu nhiên Khi tích phân Lebesgue X theo độ đo P (nếu tồn tại) gọi kỳ vọng X ký hiệu EX Lược đồ xây dựng kỳ vọng Lược đồ xây dựng kỳ vọng lược đồ xây dựng tích phân Lebesgue Nếu X biến ngẫu nhiên đơn giản X = n i=1 IAi n P(Ai ) EX := i=1 Nếu X biến ngẫu nhiên không âm X giới hạn dãy tăng biến ngẫu nhiên đơn giản (Xn , n ≥ 1) n2n Xn = k=1 k−1 k I k−1 + nI(X≥n) 2n ( 2n ≤X< 2n ) Khi EX := lim EXn n→∞ Nếu X biến ngẫu nhiên X = X + − X − ; với X + = max(X, 0) ≥ 0; X − = max(−X, 0) ≥ Khi EX := EX + − EX − (nếu có nghĩa) Ta có EX =      k xk pk , X rời rạc, P(X = xk ) = pk , +∞ −∞ xp(x)dx, X liên tục, có hàm mật độ p(x) 10 1.1.2.2 Phương sai Giả sử X đại lượng ngẫu nhiên Khi số DX = E(X − EX)2 (nếu tồn tại) gọi phương sai X Như vậy, phương sai tồn khơng tồn Nếu tồn tính theo cơng thức    X rời rạc P(X = xi ) = pi  (xi − EX) pi i DX = +∞   (x − EX)2 p(x)dx X liên tục có hàm mật độ p(x)  −∞ Từ định nghĩa cho ta biết |X − EX| độ lệch giá trị đại lượng ngẫu nhiên X với EX, phương sai DX = E(X − EX)2 trung bình bình phương độ lệch X EX Trong ứng dụng, √ người ta thường dùng giá trị σX = DX để nghiên cứu mức độ phân tán đại lượng ngẫu nhiên X quanh EX Giá trị σX gọi độ lệch chuẩn X 1.1.3 Tính chất số đặc trưng 1.1.3.1 Tính chất kỳ vọng Nếu X ≥ EX ≥ Nếu X = C EX = C, với C số Nếu tồn EX với số λ, ta có E(λX) = λEX Nếu tồn EX EY E(X ± Y ) = EX ± EY (Định lý P Levy hội tụ đơn điệu) Nếu Xn ↑ X (tương ứng Xn ↓ X) tồn n để EXn− < ∞ (tương ứng EXn+ < ∞) EXn ↑ EX (tương ứng EXn ↓ EX) (Bổ đề Fatou) Nếu Xn ≥ Y, ∀n ≥ EY > −∞ ElimXn ≤ limEXn , Nếu Xn ≤ Y, ∀n ≥ EY < ∞ ElimXn ≥ limEXn , 11 Nếu |Xn | ≤ Y, ∀n ≥ EY < ∞ ElimXn ≤ limEXn ≤ limEXn ≤ ElimXn (Định lý Lebesgue hội tụ bị chặn) Nếu |Xn | ≤ Y, ∀n ≥ 1, EY < ∞ Xn → X X khả tích, E|Xn − X| → EXn → EX, n → ∞ Nếu ϕ hàm lồi, X ϕ(X) khả tích E(ϕ(X)) ≥ ϕ(EX) Nếu X Y độc lập E(XY ) = EX.EY 1.1.3.2 Tính chất phương sai Giả sử X, Y , đại lượng ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P) a, α ∈ R Khi ta có a) DX = EX − (EX)2 b) DX ≥ c) DX = X = EX = số h.c.c d) D(aX) = a2 DX c) Nếu X, Y độc lập D(X ± Y ) = DX + DY 1.2 Bài toán quy hoạch ngun ngẫu nhiên 1.2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun tổng qt có dạng n min(max) f (x) = cj xj j=1 với điều kiện  n   aij xj ≤ (≥, =) bi , i = 1, 2, , n    j=1  xj ≥ 0, j = 1, 2, , n       x ∈ Z, j ∈ I, (I ⊆ {1, 2, , n}) j Nếu xj ∈ Z, j = 1, 2, , n, ta có tốn quy hoạch ngun tồn phần Trong trường hợp ngược lại, ta có toán quy hoạch nguyên hỗn hợp Để đơn giản, xét tốn quy hoạch ngun tồn phần, có 25 pk ≥ − α, (2.5) k∈Λ ωi , i = 1, , n đại lượng ngẫu nhiên thuộc tập H hữu hạn, tức ω k = (ω1k , , ωnk ), k ∈ Λ, với xác suất pk cho pk = 1, pk ≥ k∈Λ Với k = 1, , K, ta đặt    0, k ∈ Λ yk =   1, ngược lại (**) Ký hiệu y = (yk ) Ta lại xét tới toán (KP 2) n (KP 2) với điều kiện n cij xi xj max f (x) = x,y (2.6) j=1 i=1 n wik xi ≤ b + M yk , k = 1, , K (2.7) pk yk ≤ α, (2.8) i=1 k∈Λ M số thoả mãn n wik − b M ≥ max k i=1 Định lý sau cho ta thấy tương đương toán (P), (KP 1) (KP 2) 2.1.2.1 Định lý Các toán (P), (KP 1) (KP 2) tương đương theo biến x Chứng minh Ta cần điều kiện toán tương đương Thật vậy, điều kiện (*) nên điều kiện (2.2) tương đương với (2.4)-(2.5) Điều chứng tỏ tốn (KP ) tương đương toán (KP 1) 26 Mặt khác, giả sử tồn xi thoả mãn điều kiện (2.4)-(2.5) Khi theo (**), với k ∈ Λ yk = 0, nên điều kiện (2.4)-(2.5) tương đương với (2.7)-(2.8) K Trong trường hợp k ∈ / Λ yk = 1, nên pk ≤ α Khi theo (*) ta k=1 có K pk yk ≤ α pk ≥ − α ⇔ k=1 k∈Λ Chú ý điều kiện (2.7) chứa đựng điều kiện (2.4) Do k ∈ Λ (2.4) (2.7) tương đương Khi k ∈ / Λ theo điều kiện tốn túi ta có M ≤ điều chứng tỏ thêm điều kiện (2.7) tốn (KP 2) khơng ảnh hưởng tới toán (KP 1) Định lý chứng minh xong Bài toán P ngẫu nhiên đa nêu tốn thuộc lớp NP-khó Do vậy, cần nới lỏng, tìm cách chuyển tốn tốn quy hoạch tuyến tính đơn giản Từ tốn (KP 2), bỏ qua điều kiện nguyên nhị phân ta có tốn nới lỏng tuyến tính (LKP 1) n (LKP 1) n cij xi xj max f (x) = x,y j=1 i=1 với điều kiện n wik xi ≤ b + M yk , k = 1, , K i=1 pk yk ≤ α, k∈Λ ≤ xi ≤ Đặt Xij = xi xj Xét toán n (LKP 2) n max f (x) = x,y cij Xij j=1 i=1 27 với điều kiện   n  wik xi ≤ b + M yk , k = 1, , K  i=1        k∈Λ pk yk ≤ α,       M ≥ maxk ni=1 wik − b        Xij ≤ xi , i < j = 1, , n   Xij ≤ xj ,        Xij ≥ xi + xj − 1,        ≤ Xij ≤ 1,        ≤ xi ≤ 1, i < j = 1, , n i < j = 1, , n i, j = 1, , n i = 1, , n 2.1.2.2 Định lý Bài tốn nới lỏng tuyến tính (LKP 1) (LKP 2) tương đương Chứng minh Vì Xij = xi xj nên hai hàm mục tiêu Bây ta cần hệ điều kiện tương đương Thật vậy, trước hết ta có điều kiện tốn (LKP 1) có mặt (LKP 2) nên phương án toán (LKP 2) phương án toán (LKP 1) Ta cần điều ngược lại Nghĩa phương án x toán (LKP 1) phương án toán (LKP 2) Rõ ràng x phương án (LKP 1), tức ≤ xi ≤ Do Xij = xi xj ≤ xi ≤ nên ta có Xij ≥ xi + xj − 1, i < j = 1, , n Cũng ta có Xij ≤ xi , i < j = 1, , n, Xij ≤ xj , i < j = 1, , n ≤ Xij ≤ 1, i, j = 1, , n Từ suy điều phải chứng minh định lý Bài toán nới lỏng tuyến tính (LKP 2) sử dụng tính tốn số, làm sở để so sánh giải pháp xác khơng thể tìm thấy Đồng thời cách nhanh chóng để có cận tạo nên ràng buộc xấp xỉ Để có giới hạn chặt chẽ hơn, chúng tơi sử dụng thay nới lỏng dựa toán nửa xác định 28 2.1.3 Nới lỏng SDP Bài tốn quy hoạch tồn phương nêu với ràng buộc ngẫu nhiên sử dụng số lượng quan trọng biến nhị phân làm cho việc giải toán lớn cách sử dụng phương pháp xác khơng thực tế Hai vấn đề đặt ra: Thứ thời gian Trung tâm điều khiển cần thiết để giải trường hợp lớn q lâu Ví dụ, nhu cầu định thực nhanh chóng, kết xác ngày dài (tháng, chí hàng năm) tính tốn Vấn đề thứ hai phương pháp phân nhánh tìm kiếm, nút tìm kiếm cần phải lưu trữ nhớ Trong số trường hợp, liệu đạt tới giới hạn mà hệ thống xử lý, khơng thể tính tốn Khi tính tốn giải pháp xác, tính tốn ràng buộc nới lỏng cách sử dụng tối ưu toán nửa xác định (Semi-Definite relaxations Program SDP) thú vị, địi hỏi nhớ thời gian đa thức với đầu vào Điều làm cho ta công cụ phù hợp, làm tăng cường thực tế mà mang lại giới hạn cho tốn nhị phân tồn phương Trước hết đưa ký hiệu + m = n + K + C ma trận cấp m × m , với cột riT = (ci1 , cin , 0, , 0) + z vectơ m chiều xác định z T = (x1 , , xn , y1 , , yK ) + gk vectơ m chiều xác định gkT = (w1k , , wnk , 0, , −M, , 0) Hằng số −M đặt toạ độ thứ n + k + q vectơ m chiều xác định q T = (0, , 0, p1 , , pK ) + Wk = (w1k , , wnk ), P = (p1 , , pK ) + Ký hiệu ma trận     T C zz z ; P =   C= T 0 z 29 Để đơn giản cho SDP nới lỏng, toán (KP 2) viết lại thành tốn (SDP 1) sau: (SDP 1) với điều kiện max T race(C · X)    T race(Wk · X) ≤ b, k = 1, , K        T race(P · X) ≤ α   diag(zz T ) = z        X ≥ 0, T raceX ký hiệu cho vết ma trận X, diagX ký hiệu cho đường chéo ma trận X X ≥ nghĩa phần tử X không âm Tuy nhiên, nới lỏng biết đến yếu: Rendl Helmberg báo cho thấy trường hợp tốn túi tồn phương Rendl Sotirov tìm thấy kết tương tự cho tốn chuyển nhượng tồn phương Thắt chặt ràng buộc cần thiết để đạt kết nới lỏng Thắt chặt nới lỏng cần thiết để tránh biến nhị phân xa 1, nhằm xây dựng để cung cấp cho cận hẹp Để thắt chặt nới lỏng, thêm ràng buộc bất đẳng thức hợp lệ cho toán này, hạn chế tập phương án Các ràng buộc bất đẳng thức thêm vào tốn, giúp thắt chặt nới lỏng Chúng ta thêm vào ràng buộc đa diện bậc hai Xij ≤ zi Xij ≤ zj để tăng cường nới lỏng Chúng ta đạt nới lỏng SDP sau đây, tốn (SDP 2): (SDP 2) max T race(C · X) 30 với điều kiện    T race(Wki · X) ≤ 0, k = 1, , K, i = 1, , n, n + k        T race(Wki · X) ≤ b, k = 1, , K, i = 1, , n, n + k        T race(Qj · X) ≤ 0, j = 1, , K,        T race(Qj · X) ≤ α, j = 1, , K,   T race(Tij · X) ≤ 0, < i < j < n + K        T race(Tij · X) ≤ 0, < i < j < n + K        diag(zz T ) = z        X ≥ 0, Wki ; Qj ma trận thiết lập từ gk q; Tij Tij ma trận mơ hình ràng buộc đa diện bậc hai nêu Phương pháp nới lỏng cho ta kết chặt hơn, theo lại tăng thêm ràng buộc Trong thực tế, ràng buộc toán ban đầu, ta tăng thêm 2n lần ràng buộc Cũng vậy, thay ràng buộc ngẫu nhiên, ta lại tăng số ràng buộc lên gấp K lần 2.2 Một lớp toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên giai đoạn Trong mục 2.1, xét tới toán tối ưu đầu tư sản xuất với ràng buộc ngẫu nhiên Bước đầu, có hướng tiếp cận giải việc tuyến tính hố nới lỏng SDP cho phép ta chuyển toán phi tuyến tốn đơn giản hơn, giải phương pháp biết Trong mục này, xét tới tốn nêu, có ý tới ràng buộc tiền vốn không số mà vectơ Đồng thời, xét tới toán điều chỉnh từ giai đoạn sang giai đoạn hai có truy đổi (recourse) Nghĩa ý xem xét tới sản phẩm đưa vào sản xuất giai đoạn một, để lại phải loại bỏ giai đoạn 31 hai Đây xem điểm khác biệt kết có [5] 2.2.1 Mơ hình tổng qt Chúng ta trở lại với tốn P với ký hiệu x = (x1 xn ) ∈ Rn , C = (cij ) ∈ Rn×n xT Cx = n i=1 n j=1 cij xi xj Trong toán lập kế hoạch sản xuất, khả tiền vốn b khơng loại mà vectơ, chẳng hạn b = (b1 bm ) ∈ Rm , tương ứng chi phí A = (aij ) ∈ Rm×n Lúc tốn lập kế hoạch sản xuất trở thành max n xT Cx (P) x∈{0;1} với điều kiện Ax ≤ b Khi toán quy hoạch ngẫu nhiên giai đoạn hai (xem chương 1) max x∈{0;1}n xT Cx + Eω Q(u, ω) (2.9) với điều kiện Ax ≤ b, (2.10) Q(u, ω) := max uT D(ω)u (2.11) W (ω)u + T (ω)x ≤ h(ω), (2.12) u với điều kiện W ∈ Rm×m , thơng thường lấy ma trận đơn vị; T (ω) := A ∈ Rm×n phần tử A đại lượng ngẫu nhiên Tương tự, T (ω) := b, u biến phạt biến y nêu chương Bây xét mơ hình tốn lập kế hoạch sản xuất P liệu phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên ω = (ωj ) thực điều chỉnh n n max x∈{0;1}n cij xi xj + Eω Q(u, ω) i=1 j=1 (2.13) 32 với điều kiện n ωj xj ≤ b, (2.14) j=1 Để phân tích tốn, thay ký hiệu cho hàm Q(u, ω) (1.3), sang giai đoạn hai, giá trị chi phí sản phẩm thứ i, j có thay đổi, ta ký hiệu cij := bij (ω), aj := vj (ω) Qua giai đoạn thứ nhất, sản phẩm lựa chọn, ta cần gỡ bỏ Trong trường hợp này, ta ký hiệu u− j sản phẩm thứ j lấy giá trị giữ lại bị gỡ bỏ Tương tự, ta cần bổ sung sản phẩm thứ i giai đoạn bị từ chối, ta ký hiệu ui biến nhị phân, nhận giá trị chọn, cịn giá trị khơng chọn Đồng thời sản phẩm j bị loại bỏ phải chịu hình phạt lượng b− ij (chẳng hạn tiêu tốn thời gian chi phí để loại bỏ) Khi tổng giá trị phải giảm bớt lượng tổng số n i=1 chi phí bị phạt n − − − j=1 bij (ω)ui uj Điều cho phép cần định giai đoạn hai với hàm Q(u, ω) xác định n Q(u, ω) := n − − b− ij (ω)ui uj bij (ω)ui uj − max u,u− ∈{0;1}n n n i=1 j=1 (2.15) i=1 j=1 với điều kiện ui ≥ xi − u− i , i = 1, , n (2.16) u− i ≤ xi , i = 1, , n (2.17) n vi (ω)(ui + xi − u− i ) ≤ h(ω) (2.18) i=1 Như vậy, thay nhiệm vụ giải tốn "Tối ưu đầu tư chi phí sản xuất", cần giải toán (2.13)-(2.18) 2.2.2 Về ràng buộc ngẫu nhiên Chúng ta xét mơ hình tổng qt tốn chi phí sản xuất nêu mục 2.1.2 Cũng nêu mục 2.2.1 điều kiện buộc (2.14) n j=1 ωj xj ≤ b cần định hình lại ràng buộc xác suất cho phù hợp 33 sau: n ωj (φ)xj ≤ b P ≥ (1 − α1 ), (2.19) j=1 φ vectơ ngẫu nhiên biết phân phối xác suất thể không chắn cho việc lựa chọn sản phẩm sản xuất α1 nguy bỏ qua hạn chế khả thích ứng Cũng tương tự, điều kiện (2.18) thay đổi giai đoạn thứ hai Chúng ta cần thay đổi xác suất độ lệch hai vế n vi (ω, ψ)(ui + xi − u− i ) ≤ h(ω, ψ)|ω P ≥ (1 − α2 ) (2.20) i=1 φ đại lượng ngẫu nhiên giai đoạn phụ thuộc vào điều kiện ω α2 nguy bỏ qua hạn chế khả thích ứng điều kiện (2.18) 2.2.3 Bài tốn tối ưu chi phí sản xuất hai giai đoạn Như vậy, toán tối ưu chi phí sản xuất hai giai đoạn có dạng n n cij xi xj + Eω Q(u, ω) max x∈{0;1}n với điều kiện (2.21) i=1 j=1 n ωj (φ)xj ≤ b P ≥ (1 − α1 ), (2.22) j=1 n Q(u, ω) := n n − − b− ij (ω)ui uj bij (ω)ui uj − max u,u− ∈{0;1}n n i=1 j=1 (2.23) i=1 j=1 với điều kiện ui ≥ xi − u− i , i = 1, , n (2.24) u− i ≤ xi , i = 1, , n (2.25) n vi (ω, ψ)(ui + xi − u− i ) ≤ h(ω, ψ)|ω P ≥ (1 − α2 ) i=1 Nhiệm vụ cần giải toán (2.21)-(2.26) (2.26) 34 2.3 Bài toán tương đương tất định phương pháp giải Trong mục này, chúng tơi trình bày tốn tương đương tất định với tốn (2.21)-(2.26) nhằm có hướng tiếp cận giải toán đặt 2.3.1 Bài toán tương đương tất định Bây viết lại toán (2.21)-(2.26) dạng tất định Chúng ta xét trường hợp mà phân phối biến ngẫu nhiên φ, ω, ψ tập trung số hữu hạn điểm Giả sử vectơ ngẫu nhiên ω tập trung số hữu hạn điểm ωk , k = 1, , K với xác suất pωk Chúng ta coi điểm "kịch bản" (scenarios) Trong trường hợp tốn (2.13)-(2.18) viết lại sau: Trước hết, để đơn giản, ta gán ký hiệu − Q(u, ωk ) := Q(u, k); bij (ωk ) := bijk ; b− ij (ωk ) := bijk ; vi (ωk ) := vik ; h(ωk ) := hk K ω k=1 pk Q(u, k) Khi kỳ vọng Eω Q(u, ω) := Do hàm mục tiêu (2.13) lúc n n pωk Q(u, k) , cij xi xj + max x∈{0;1}n K i=1 j=1 (2.27) k=1 với định giai đoạn thứ hai n Q(u, k) := n n − − b− ijk uik ujk bijk uik ujk − max u,u− ∈{0;1}n n (2.28) i=1 j=1 i=1 j=1 Ràng buộc giai đoạn thứ hai thay n vik (uik + xi − u− ik ) ≤ hk , ∀k = 1, , K (2.29) i=1 Thay (2.28) vào (2.27) gom điều kiện lại dùng cho "kịch bản", ta có tốn n n max− x,uik ,uik K cij xi xj + i=1 j=1 n n pωk k=1 n n − − b− ijk uik ujk bijk uik ujk − i=1 j=1 , i=1 j=1 (2.30) 35 với điều kiện n ωi xi ≤ b, (2.31) i=1 uik ≥ xi − u− ik , i = 1, , n (2.32) u− ik ≤ xi , i = 1, , n (2.33) n vik (uik + xi − u− ik ) ≤ hk , k = 1, , K, (2.34) i=1 m x ∈ {0; 1}n ; uik , u− ik ∈ {0; 1} (2.35) 2.3.1.1 Định lý Khi đại lượng ngẫu nhiên (ω) rời rạc tốn cho (2.13) − (2.18) tương đương với toán (2.30) − (2.35) Chứng minh Hai toán nêu tương đương phép biến đổi phép thay tương đương 2.3.2 Ràng buộc ngẫu nhiên Cũng xét với toán (2.13)-(2.18), ràng buộc ngẫu nhiên (2.19), (2.20) định dạng lại thành ràng buộc tương đương Giả sử vectơ ngẫu nhiên φ ψ nhận giá trị hữu hạn điểm φl , l = 1, , L ψkr , k = 1, , K, r = 1, , R với xác suất pφl , pψkr cho L pφl = 1, pφl ≥ 0, l=1 R pψkr = 1, pψkr ≥ 0, k = 1, , K r=1 Khi điều kiện (2.19) tương đương với cặp điều kiện  n   ωil xj ≤ bl , l ∈ Γ  i=1    pkr ≥ − α1 , k = 1, , K, l∈Γ ωil := ωi (φ); bl := b(φ) Γ tập "kịch bản" tập {1, , L}, theo điều kiện khả vốn thoả mãn Còn tập {1, , L}\Γ tương ứng với "kịch bản" rủi ro xảy 36 Các ràng buộc định dạng lại điều kiện biến ψ "kịch bản" l = 1, , L quan sát nhị nguyên ylφ ykr r = 1, , R "kịch bản" k = 1, , K sau    0, l ∈ Γ φ yl =   1, ngược lại Điều cho phép ta định dạng lại ràng buộc (2.19) tương đương với  n   ωil xj ≤ bl + Mlφ ylφ ,  i=1 (2.27) L  φ φ  p l yl ≤ α ,  l=1 Mlφ số tuỳ ý thoả mãn n Mlφ ≥ ωil − bl i=1 Bây ký hiệu vikr := vik (ψkr ); hkr := hk (ψkr ); Λk tập tập {1, , R} Khi ràng buộc (2.20) tương đương với  n   vikr (uik + xi − u−  ik ) ≤ hkr , r ∈ Λk , k = 1, , K, i=1    pkr ≥ − α2 , k = 1, , K r∈Λk Đặt biến nhị phân ψ ykr =    0, r ∈ Γk   1, ngược lại, lúc ta có ràng buộc (2.20) tương đương với ràng buộc  n ψ ψ   vikr (uik + xi − u−  ik ) ≤ hkr + Mk ykr , r = 1, R, k = 1, K, i=1    r∈Λk ψ pψkr ykr ≤ α2 , k = 1, , K, Mkψ số tuỳ ý thoả mãn n Mkψ ≥ max r vikr − hkr i=1 (2.28) 37 2.3.3 Hướng tiếp cận giải toán Từ mục 2.3.1 2.3.2 cho thấy rằng, để giải toán "Tối ưu chi phí đầu tư sản xuất, với ràng buộc ngẫu nhiên" đặt cần giải tốn (2.30)(2.32)(2.33)(2.35)(2.36) Đây tốn tất định dùng phương pháp nêu chương để giải Chẳng hạn phương pháp cắt, nhánh cận, xấp xỉ Đó phương pháp sử dụng có hiệu Các tác giả A Lisser, R Lopez and H Xu, báo cơng bố, cho biết giải tốn nêu mục 2.3.2 phần mềm CPLEX hiệu 38 Kết luận Luận văn giải số vấn đề sau: Trình bày cách hệ thống khái niệm kiến thức sở lý thuyết xác suất, toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên hướng tiếp cận giải Xem xét tốn tối ưu chi phí đầu tư sản xuất, với chi phí đầu tư biến động ngẫu nhiên: Nêu mơ hình thực tế thiết lập mơ hình tốn học Phân tích xác lập tính chất tốn Từ chuyển việc giải tốn quy hoạch ngẫu nhiên cho giải toán quy hoạch tất định Trình bày hướng tiếp cận giải tốn đặt Do thời gian trình độ có hạn nên số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu bao gồm: - Xây dựng thuật tốn hồn chỉnh tìm kiếm phần mềm CPLEX để thử nghiệm lại ví dụ số - Mở rộng, nghiên cứu số toán thực tế khác (chẳng hạn toán lý thuyết định tối ưu thuộc lĩnh vực tài chính, giao thơng vận tải ) 39 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình xác suất, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [2] Trần Xuân Sinh (2004), Các phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch, Đại học Vinh [3] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Việt Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] A Gaivoronski, A Lisser and R Lopez (2010) , Knapack Problem with Probability Constraints, J Glob Optim DOI 10.1007/s10898-010-9566-0 [5] A Lisser, R Lopez and H Xu (2010), Stochastic Quadratic Knapsack with recourse, Laboratoire de Recherche en Informatique, Universite ParisSud XI Bat 490, Universit Paris-Sud, 91405 Orsay France [6] L Létocart, A Nagih and G Plateau (2010), Reoptimization in Lagrangian methods for the 0-1 quadratic knapsack problem, Institut Galilée, Université Paris 13, 99 Avenue J-B Clément 93430 Villetaneuse, France lucas.letocart, gerard.plateau@lipn.univ-paris13.fr ... chọn đề tài: "Một lớp tốn tối ưu chi phí đầu tư sản xuất, với ràng buộc ngẫu nhiên" Như vậy, mục tiêu đề tài nghiên cứu lớp tốn tối ưu chi phí đầu tư sản xuất, với ràng buộc ngẫu nhiên Trên sở... ngẫu nhiên nguyên hai giai đoạn Chương Bài tốn tối ưu chi phí đầu tư sản xuất, với ràng buộc ngẫu nhiên Chương nội dung luận văn, chúng tơi trình bày tốn tối ưu chi phí đầu tư sản xuất, với ràng. .. Chương Bài tốn tối ưu chi phí đầu tư sản xuất với ràng buộc ngẫu nhiên 2.1 Đặt vấn đề 2.1.1 Bài toán thực tế Chúng ta xét toán thực tế đặt sau: Một xí nghiệp lựa chọn sản xuất n loại sản phẩm, với