Sự hiệu chỉnh đầy đủ và nửa đầy đủ trong các phương pháp xấp xỉ giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức lý thuyết xác suất 1.1.1 Không gian xác suất tổng quát 1.1.2 Biến ngẫu nhiên hàm phân phối 1.1.3 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.2 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn 1.3 Một số khái niệm hiệu chỉnh đầy đủ hiệu chỉnh nửa đầy đủ 1.3.1 Sự hiệu chỉnh đầy đủ 1.3.2 Sự hiệu chỉnh nửa đầy đủ 6 10 13 15 15 16 Các phương pháp xấp xỉ giải toán quy hoạch ngẫu nhiên 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Phép xấp xỉ quy tắc định Quy tắc định tuyến tính 2.2.1 Khái niệm 2.2.2 Tính chất 2.2.3 Tính khơng khả thi quy tắc định tuyến tính Quy tắc định tuyến tính lệch 2.3.1 Khái niệm 2.3.2 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với quy tắc định tuyến tính lệch 2.3.3 Tính chất 2.3.4 Tính bị chặn hàm mục tiêu 2.3.5 Phép xấp xỉ nón bậc hai với quy tắc định tuyến tính lệch Quy tắc định tuyến tính cô lập 2.4.1 Khái niệm 2.4.2 Tính chất 2.4.3 Mơ hình yếu tố ngẫu nhiên cô lập, U2 Quy tắc định tuyến tính lệch-cơ lập 2.5.1 Khái niệm 2.5.2 Tính chất 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 25 26 26 27 29 30 30 31 2.6 Mơ hình nhiều giai đoạn 32 Sự hiệu chỉnh đầy đủ hiệu chỉnh nửa đầy đủ 3.1 Vài nét giới thiệu nội dung chương 3.2 Một số tính chất ma trận hiệu chỉnh đầy đủ, ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ 3.2.1 Ma trận hiệu chỉnh đầy đủ 3.2.2 Ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ 3.2.3 Mối quan hệ ma trận hiệu chỉnh đầy đủ ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ 3.2.4 Thiết lập ma trận hiệu chỉnh đầy đủ ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ 34 34 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 45 35 35 40 41 42 LỜI NĨI ĐẦU Quy hoạch tuyến tính đời vào năm 1974, Dantzig công bố phương pháp đơn hình để giải tốn xuất phát từ việc lập kế hoạch cho khơng qn Mỹ Kể từ đến nay, lĩnh vực tối ưu hóa phát triển mạnh mẽ lý thuyết thực tiễn ứng dụng Dữ liệu toán quy hoạch xuất phát từ thực tiễn áp dụng vào thực tiễn nên phụ thuộc vào yếu tố ngẫu nhiên Bài toán quy hoạch tuyến tính với tham gia yếu tố ngẫu nhiên gọi toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên Trong tốn quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn điển hình, định xây dựng giai đoạn thứ mang yếu tố ngẫu nhiên Đôi yếu tố ngẫu nhiên thực hiện, định giai đoạn thứ hai tối ưu định hiệu chỉnh đưa Sự tối ưu ngẫu nhiên, đặc biệt mơ hình nhiều giai đoạn địi hỏi ghi rõ xác phân phối xác suất yếu tố ngẫu nhiên, điều thường khơng khả dụng Việc tìm phương án chấp nhận cho toán quy hoạch ngẫu nhiên tốn khó Cho nên quan trọng phát triển phương pháp luận dễ xử lí để chấp nhận xấp xỉ quy hoạch ngẫu nhiên Rất nhiều nhà khoa học nghiên cứu công bố nhiều báo giải tốn tối ưu ngẫu nhiên, kể đến như: Ben-Tal, Nemirovski, Bertsimas, El-Ghaoui, Shapiro, Campi, Farias, Van Roy, Erdoˇgan, Iyengar, Henrion, Lagoa, Dyer Stougie, Đặc biệt năm gần nhóm nghiên cứu gồm Xin Chen, Melvyn Sim, Peng Sun, Ziawei Zhang đề xuất phương pháp xấp xỉ hữu dụng cho lớp tổng quát toán tối ưu ngẫu nhiên nhiều giai đoạn mà liệu thông tin phân phối như: trung bình, giá, hiệp phương sai Chen cộng quy tắc định tuyến tính dẫn tới trường hợp khơng khả thi cho toán tối ưu ngẫu nhiên với hiệu chỉnh đầy đủ Việc đòi hỏi làm mịn quy tắc định tuyến tính từ Chen nhóm nghiên cứu đề xuất hai phép xấp xỉ Xấp xỉ "những quy tắc định tuyến tính lệch", phù hợp cho toán tối ưu ngẫu nhiên với biến hiệu chỉnh nửa đầy đủ Xấp xỉ thứ hai "những quy tắc định tuyến tính lập", phù hợp cho tốn tối ưu ngẫu nhiên với hiệu chỉnh tổng quát Điểm đặc biệt liên hệ hai quy tắc chúng kết hợp với tạo "quy tắc định tuyến tính lệch-cơ lập" xấp xỉ tốt (mịn hơn) xấp xỉ tuyến tính xấp xỉ tuyến tính lệch Chen cộng ma trận hiệu chỉnh đầy đủ ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ Vấn đề hiệu chỉnh đầy đủ hiệu chỉnh nửa đầy đủ sử dụng phép xấp xỉ mà nhóm Xin Chen nghiên cứu đặt cho số vấn đề trội sau Thứ nhất, với điều kiện ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ ma trận hiệu chỉnh đầy đủ? Hai là, định nghĩa ma trận hiệu chỉnh đầy đủ khó để kiểm tra khó để thiết lập so với định nghĩa ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ, làm để khắc phục điều này? Ba là, toán quy hoạch ngẫu nhiên với hiệu chỉnh đầy đủ chấp nhận quy tắc định tuyến tính lệch, nhiên quy tắc định tuyến tính lệch chấp nhận thiếu hiệu chỉnh đầy đủ - biến hiệu chỉnh nửa đầy đủ khơng hiệu chỉnh đầy đủ, điều xảy nào? Bốn là, làm để thiết lập ma trận hiệu chỉnh đầy đủ ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ cách tổng quát? Năm là, mối quan hệ triệt để hai loại hiệu chỉnh gì? Chính vậy, chọn đề tài: "Sự hiệu chỉnh đầy đủ nửa đầy đủ phương pháp xấp xỉ giải toán quy hoạch ngẫu nhiên" Nội dung luận văn bao gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày vấn đề sau: 1) Một số kiến thức lý thuyết xác suất 2) Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn 3) Một số khái niệm hiệu chỉnh đầy đủ hiệu chỉnh nửa đầy đủ Chương 2: Các phương pháp xấp xỉ giải toán quy hoạch ngẫu nhiên Chương với Chương nội dung luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp xấp xỉ giải toán quy hoạch ngẫu nhiên, cải tiến cho quy tắc định tuyến tính Chúng tơi trình bày vấn đề sau: 1) Phép xấp xỉ quy tắc định 2) Quy tắc định tuyến tính 3) Quy tắc định tuyến tính lệch 4) Quy tắc định tuyến tính lập 5) Quy tắc định tuyến tính lệch-cơ lập 6) Mơ hình nhiều giai đoạn Trong hai xấp xỉ: quy tắc định tuyến tính lệch quy tắc định tuyến tính lập quy tắc định tuyến tính chìa khóa cho phép cấu sử dụng cho mơ hình nhiều giai đoạn Xấp xỉ đầu tiên, tư tưởng để thu mơ hình quy hoạch ngẫu nhiên chưa biết ràng buộc cố định, thích hợp phạt vi phạm ràng buộc hàm mục tiêu Sử dụng quy tắc định tuyến tính xấp xỉ cố định hàm mục tiêu (với kỳ hạn phạt), mơ hình vận hành quy hoạch nón bậc hai (SOC), điều mà thu hiệu lý thuyết thực hành tính tốn Xấp xỉ thứ hai, tư tưởng đưa vào quy tắc định, hàm tuyến tính khúc yếu tố ngẫu nhiên Chương 3: Sự hiệu chỉnh đầy đủ hiệu chỉnh nửa đầy đủ Trong Chương chúng tơi trình bày nội dung sau: 1) Vài nét giới thiệu nội dung chương 2) Một số tính chất ma trận hiệu chỉnh đầy đủ, ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ Luận văn thực hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tâm thầy tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Nguyễn Văn Quảng, PGS TS Phan Đức Thành, TS Nguyễn Trung Hoà thầy giáo tổ Xác suất Thống kê Tốn ứng dụng, thầy Khoa Tốn, Khoa Sau Đại học Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình bạn bè quan tâm, động viên tạo điều kiện tốt để tác giả thực luận văn Mặc dù cố gắng nhiều, song luận văn tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Một số kiến thức lý thuyết xác suất Không gian xác suất tổng quát 1.1.1.1 Đại số σ-đại số Giả sử Ω tập tùy ý khác rỗng Ký hiệu P(Ω) tập hợp gồm tất tập Ω Khi đó, lớp A ⊆ P(Ω) gọi đại số nếu: (i) Ω ∈ A, (ii) A ∈ A ⇒ A = Ω \ A ∈ A, (iii) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A (1.1) (1.2) (1.3) Lớp F ⊆ P(Ω) gọi σ-đại số đại số thỏa mãn thêm điều kiện: ∞ (iv) An ∈ F, ∀n = 1, 2, suy An ∈ F (1.4) n=1 Nhận xét Trong điều kiện (i) Ω ∈ A thay ∅ ∈ A Trong điều kiện (ii) A ∈ A ⇒ A = Ω \ A ∈ A thay A, B ∈ A ⇒ A \ B ∈ A Trong điều kiện (iii) A ∪ B thay A ∩ B Trong điều kiện (iv) ∞ n=1 An thay ∞ n=1 An 1.1.1.2 Độ đo xác suất Giả sử A ⊂ P(Ω) đại số Hàm tập hợp P(·) xác định A gọi độ đo xác suất hữu hạn cộng tính (hay cộng tính hữu hạn) nếu: (i) P(A) ≥ 0, A ∈ A, (ii) P(Ω) = 1, (iii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) A, B ∈ A A ∩ B = ∅ (1.5) (1.6) (1.7) Hàm tập hợp P(·) xác định đại số A gọi độ đo xác suất σ-cộng tính thỏa mãn hai điều kiện (i) (ii) thỏa mãn: ∞ (iv) Nếu Ai ∈ A, i = 1, 2, ; Ai ∩ Aj = ∅, i = j; Ai ∈ A thì: i=1 ∞ ∞ Ai ) = P( i=1 P(Ai ) (1.8) i=1 Tính chất Từ điều kiện (iii), quy nạp ta suy Ai ∈ A, i = 1, 2, , n Ai ∩ Aj = ∅ với i = j thì: n n Ai ) = P( i=1 Ai (1.9) i=1 Cũng từ điều kiện (ii) (iii) suy P(A) = − P(A) Rõ ràng tính chất σ-cộng tính độ đo xác suất suy tính chất hữu hạn cộng tính Điều ngược lại nói chung khơng Tuy nhiên, phát biểu sau khẳng định điều kiện cần đủ để độ đo xác suất hữu hạn cộng tính trở thành σ-cộng tính: ”Giả sử P độ đo xác suất hữu hạn cộng tính đại số A Khi đó, bốn điều kiện sau tương đương: 1) P cộng tính đếm (σ-cộng tính); 2) P liên tục trên, tức An ∈ A, n = 1, 2, dãy không giảm (An ⊆ An+1 ) limn→∞ An = ∞ n=1 An ∈ A thì: ∞ An ) = lim P(An )” P( n→∞ n=1 (1.10) 3) P liên tục dưới, tức An ∈ A, n = 1, 2, dãy giảm (An ⊆ An−1 ) limn→∞ An = ∞ n=1 An ∈ A thì: ∞ An ) = lim P(An ) P( n→∞ n=1 (1.11) 4) P liên tục không, tức An ∈ A, An ⊇ An+1 , n = 1, 2, ∞ n=1 An = ∅ thì: lim P(An ) = (1.12) n→∞ Từ ∅ ∪ ∅ = ∅ từ điều kiện (ii) (iii) ta suy ra: P(∅) = (1.13) Suy từ A ⊆ B ⇒ B = A ∪ (B \ A), A ∩ (B \ A) = ∅ ⇒ P(B) = P(A) + P(B \ A) nên ta có tính chất đơn điệu P: A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B) (1.14) Suy từ tính chất A ⊆ Ω nên ta có: P(A) ≤ (1.15) Suy từ A ∪ B = A ∪ (B \ A) P(B \ A) = P(B) − P(A ∩ B) nên ta có: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (1.16) Tổng quát, phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được: n n P( k=1 (−1)k−1 Ak ) = P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik ) (1.17) 1≤i1 ma trận W tồn hệ vectơ cột tạo thành sở không gian vectơ Rm Khi đó, W ma trận hiệu chỉnh đầy đủ 38 Chứng minh Gọi W1 , W2 , , Wn vectơ cột ma trận W Khơng tính tổng qt, ta giả sử W1 , W2 , , Wm hệ cột sở tương ứng với r1 > 0, r2 > 0, , rm > Theo giả thiết thì: r1 W + r2 W + · · · + rn W n = (3.5) ⇔ r1 W1 + r2 W2 + · · · + rm Wm = −rm+1 Wm+1 − rm+2 Wm+2 − · · · − rn Wn (3.6) Với vectơ cột t cấp m × vectơ cột t biểu diễn qua sở {W1 , W2 , , Wm } là: t = t1 W1 + t2 W2 + · · · + tm Wm (3.7) (∗) Nếu tj ≥ 0, ∀j = 1, m ta chọn: wj = tj , ∀j = 1, m, wj = 0, ∀j = m + 1, n, (3.8) ⇒ t = w1 W1 + w2 W2 + · · · + wn Wn , hay Ww = t wj ≥ 0, ∀j = 1, n , điều phải chứng minh (∗) Nếu trái lại, ∃tj < Do giả thiết rj > 0, ∀j = 1, m nên tồn t min{ rjj | tj < 0, j = 1, m} Khơng tính tổng qt, ta giả sử: min{ Vì tm < 0, rm > nên tj tm | tj < 0, j = 1, m} = rj rm tm rm wj = tj − ⇔ wj = rj (3.9) < Ta đặt: tm rj , rm tj tm − rj rm , ∀j = 1, m , (3.10) ∀j = 1, m (3.11) +) Nếu tj < từ công thức (3.9) (3.11) suy ra: tm tj tm tj ≥ ⇔ − ≥ ⇒ wj ≥ rj rm rj rm +) Nếu tj > tm rm (3.12) < nên: wj = tj − tm rj ≥ rm (3.13) Tóm lại, theo cách đặt cơng thức (3.10) thì: wj ≥ 0, ∀j = 1, m (3.14) 39 Từ công thức (3.10) suy được: tm tj = wj + rj , ∀j = 1, m (3.15) rm Thay tj công thức (3.15) vào công thức (3.7) sử dụng công thức (3.6) ta có: m t= tj Wj j=1 m = wj + tm rj Wj rm wj + tm rj Wj + tm Wm rm j=1 m−1 = j=1 m−1 = m−1 tm tm rj Wj + rm Wm rm rm wj Wj + j=1 j=1 m−1 m = wj Wj + j=1 m−1 = j=1 m−1 = j=1 j=1 m tm wj Wj + rm tm wj Wj + rm m−1 = tm rj Wj rm rj Wj j=1 n − rj Wj j=m+1 n − wj Wj + j=1 j=m+1 tm rj Wj rm Bây ta đặt: tm rj , ∀j = m + 1, n rm Do tm < 0, rm > 0, rj ≥ nên ta suy ra: wj = − wj ≥ 0, ∀j = m + 1, n (3.16) (3.17) Do đó, với wj xác định cơng thức (3.10) công thức (3.16), đồng thời wm = nên ta có: n t= wj Wj wj ≥ 0, ∀j = 1, n , j=1 hay Ww = t, có nghĩa W ma trận hiệu chỉnh đầy đủ (3.18) 40 3.2.2 Ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ 3.2.2.1 Định lý Ma trận W cấp m × n ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ tồn vectơ cột r = [r1 r2 rn ]T cấp n × cho rj > 0, ∀j = 1, n Wr = Chứng minh ∗ Điều kiện cần: Giả sử W ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ Theo định nghĩa mục 1.3.2.1 suy với i = 1, n tập phương án toán (1.58) khác rỗng, nghĩa tồn vectơ cột (i) (i) (i) p(i) = [p1 p2 pn ]T thỏa mãn:  (i)  Wp = 0, (i) pi = 1, (3.19)  p(i) ≥ 0, ∀j = 1, n j Đặt vectơ cột r = p(1) + p(2) + · · · + p(n) Khi đó, thành phần thứ j vectơ cột r là: n (i) rj = pj (3.20) i=1 (j) (i) Từ hệ điều kiện (3.19) ta có pj = pj ≥ 0, ∀i = 1, n nên rj > Rõ ràng ta có Wr = Wp(1) + Wp(2) + · · · + Wp(n) = ∗ Điều kiện đủ: Giả sử tồn vectơ cột r = [r1 r2 rn ]T cấp n × cho rj > 0, ∀j = 1, n Wr = Khi đó, với i = 1, n ta đặt: r ri (3.21) ri rj (i) = 1, pj = > 0, ri ri (3.22) p(i) = Ta có: (i) pi = Wp(i) = nên tập phương án tốn (1.58) khác rỗng Do đó, theo định nghĩa mục 1.3.2.1 W ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ 3.2.2.2 Ví dụ Ma trận W ma trận khơng W ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ, với vectơ cột r = [r1 r2 rn ]T cấp n × cho rj > 0, ∀j = 1, n thoả mãn Wr = Tuy nhiên, W lại ma trận hiệu chỉnh đầy đủ, ta cần chọn vectơ cột t cấp m × khác vectơ cột khơng khơng xảy đẳng thức Ww = t, với cách chọn vectơ cột w Hai ma trận sau tác giả Chen cộng sử dụng mơ hình tính tốn minh hoạ cho xấp xỉ giải tốn tối ưu ngẫu nhiên (xem [9]), hai ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ 41 ma trận hiệu chỉnh đầy đủ (bạn đọc trực tiếp kiểm tra dựa vào định nghĩa mục 1.3.1.2 mục 1.3.2.2): W1 = 0 I I ; W2 = −1 1 −1 Tuy nhiên, ma trận W có cấu trúc phức tạp việc dùng định nghĩa mục 1.3.1.2 để kiểm tra W có phải ma trận hiệu chỉnh đầy đủ hay không, thiết lập ma trận hiệu chỉnh đầy đủ khó Những kết chúng tơi thu sau giải khó khăn Một trường hợp đặc biệt hiệu chỉnh đầy đủ hiệu chỉnh đơn, với W = [I, −I] 3.2.3 Mối quan hệ ma trận hiệu chỉnh đầy đủ ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ 3.2.3.1 Mệnh đề Một ma trận W thoả mãn điều kiện hiệu chỉnh đầy đủ ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ, có nghĩa I1 = I Chứng minh Từ định nghĩa hiệu chỉnh đầy đủ, với vectơ v mà vi ≥ với i ∈ I, tìm vectơ s mà si ≥ với i ∈ I cho Ws = - Wv Rõ ràng, ri = si + vi ≥ 1, i ∈ I Wr = Theo Định lý 3.2.2.1 suy W ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ 3.2.3.2 Định lý Ma trận W cấp m × n (m < n), có hạng m Khi đó, W ma trận hiệu chỉnh đầy đủ W ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ Chứng minh ∗ Điều kiện cần: Vì W ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ nên theo định nghĩa mục 1.3.1.2 suy ma trận W thoả mãn tất giả thiết Định lý 3.2.1.5 nên áp dụng Định lý 3.2.1.5 suy W ma trận hiệu chỉnh đầy đủ ∗ Điều kiện đủ : Suy trực tiếp từ Mệnh đề 3.2.3.1 Ví dụ Ma trận W = [I, -I] cấp n × 2n ma trận hiệu chỉnh đầy đủ (cũng ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ), I ma trận đơn vị cấp n Điều suy từ Định lý 3.2.1.3 Định lý 3.2.3.2 với vectơ cột r r = [1 1]T Hoặc kiểm tra trực tiếp dựa vào định nghĩa mục 1.3.1.2 Ma trận người ta gọi ma trận hiệu chỉnh đơn 3.2.3.3 Hệ Cho ma trận W cấp m × n ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ Khi đó, ma trận W ma trận hiệu chỉnh đầy đủ m < n ma trận W có hạng m 42 Chứng minh ∗ Điều kiện cần: Suy trực tiếp từ Định lý 3.2.3.2 ∗ Điều kiện đủ : Suy trực tiếp từ Định lý 3.2.1.3 3.2.4 Thiết lập ma trận hiệu chỉnh đầy đủ ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ 3.2.4.1 Định lý Cho trước hai số tự nhiên m, n Khi đó, ln tồn ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ W có cấp m × n Hơn nữa, n > với số tự nhiên k cho k ≤ min{m, n − 1}, tồn ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ W có cấp m × n có rank(W) = k Chứng minh ∗ Nếu n = ta chọn ma trận W ma trận cột khơng (chính vectơ không không gian vectơ Rm ) Khi đó, ma trận W thoả mãn điều kiện ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ ∗ Nếu n > ta chọn tuỳ ý vectơ cột W1 , W2 , , Wn−1 ∈ Rm có hạng k số thực dương tuỳ ý rj > 0, ∀j = 1, n Ta đặt: r1 r2 rn−1 W1 − W2 − · · · − Wn−1 ∈ Rm rn rn rn ⇒ r1 W1 + r2 W2 + · · · + rn Wn = Wn = − (3.23) (3.24) Gọi W ma trận gồm cột W1 , W2 , , Wn Khi đó, cơng thức (3.24) cho ta Wr = Rõ ràng ma trận W có cấp m × n Do hệ vectơ cột W1 , W2 , , Wn−1 ∈ Rm có hạng k vectơ cột Wn biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ W1 , W2 , , Wn−1 nên suy rank(W) = k Như vậy, ma trận W xây dựng ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ có cấp m × n có hạng k 3.2.4.2 Nhận xét Từ Hệ 3.2.3.3, ta thiết lập ma trận hiệu chỉnh đầy đủ thông qua việc thiết lập ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ cách sử dụng Định lý 3.2.4.1 với việc chọn k = m 43 KẾT LUẬN 1) Luận văn giải số vấn đề sau: 1.1 Nghiên cứu, trình bày chi tiết phép xấp xỉ quy tắc định giải toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn xây dựng cho toán quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn ∗ Đầu tiên trình bày quy tắc định tuyến tính, sau chúng tơi tính khơng khả thi quy tắc định tuyến tính Từ đó, chúng tơi xây dựng quy tắc định cải tiến cho quy tắc định tuyến tính ∗ Xấp xỉ thứ quy tắc định tuyến tính lệch, phù hợp cho tốn quy hoạch ngẫu nhiên với hiệu chỉnh nửa đầy đủ Chúng chứng minh giá trị hàm mục tiêu bé so với quy tắc định tuyến tính ∗ Xấp xỉ thứ hai quy tắc định tuyến tính lập, phù hợp cho tốn quy hoạch với hiệu chỉnh tổng quát Chúng chứng minh giá trị hàm mục tiêu bé so với quy tắc định tuyến tính ∗ Điểm đặc biệt hai quy tắc kết hợp với tạo thành quy tắc định tuyến tính lệch-cơ lập cho giá trị hàm mục tiêu bé so với quy tắc định tuyến tính lệch ∗ Cuối phần này, chúng tơi xây dựng cho toán quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn tương tự mơ hình hai giai đoạn 1.2 Trong Chương tập trung nghiên cứu hiệu chỉnh đầy đủ, hiệu chỉnh nửa đầy đủ mối quan hệ chúng thu số kết thú vị Tất kết chúng tơi trình bày chương kết mà thu ∗ Chúng tơi tìm cho chứng minh chi tiết điều kiện tương đương hiệu chỉnh đầy đủ, hiệu chỉnh nửa đầy đủ (Định lý 3.2.1.1, Định lý 3.2.1.2 Định lý 3.2.2.1 ) ∗ Tiếp theo, điều kiện cần tốt hiệu chỉnh đầy đủ (Định lý 3.2.1.3) cho hệ (Hệ 3.2.1.4) 44 ∗ Đặc biệt, chúng tơi tìm điều kiện đủ tốt hiệu chỉnh đầy đủ (Định lý 3.2.1.5) sử dụng kết điều kiện cần đủ để ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ ma trận hiệu chỉnh đầy đủ (Định lý 3.2.3.2 Hệ 3.2.3.3) ∗ Cuối cùng, tìm cách để thiết lập hiệu chỉnh nửa đầy đủ cách thiết lập hiệu chỉnh đầy đủ (Định lý 3.2.4.1 Nhận xét 3.2.4.2) 1.3 Kết thu trình bày Chương luận văn công bố Hội thảo khoa học: "Nửa kỷ Trường Đại học Vinh anh hùng", đăng Tạp chí Khoa học Trường Đại học Vinh số 38A/2009 (Vinh University Journal of Science) 2) Hướng mở luận văn: ∗ Sử dụng phương pháp xấp xỉ quy tắc định vào toán ứng dụng thực tiễn xây dựng tính tốn cho xấp xỉ với khối lượng lớn thông qua phần mềm tin học ∗ Tiếp tục nghiên cứu sâu kết phép xấp xỉ từ mơ hình hai giai đoạn lên mơ hình nhiều giai đoạn Bên cạnh đó, tìm số trường hợp riêng để đánh giá xấp xỉ: quy tắc định tuyến tính lệch với quy tắc định tuyến tính lập; quy tắc định tuyến tính lệch-cơ lập với quy tắc định tuyến tính lập 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình Xác suất, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [2] Trần Xuân Sinh (2004), Các phương pháp ngẫu nhiên giải tốn quy hoạch , Giáo trình Sau Đại học, Đại học Vinh [3] Trần Vũ Thiệu, Bùi Thế Tâm (1998), Các phương pháp tối ưu hoá, NXB Giao thông vận tải, Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết Xác suất, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [5] Hoàng Tụy (2003), Lý thuyết Tối ưu, Viện Toán học, Hà Nội [6] Birge, J R., F Louveaux (1997), Introduction to Stochastic Programming, Springer, New York [7] Ruszczynski, A Shapiro (2003), Stochastic Programming, Hand-book in Operations Research and Management Science, Elsevier Science, Amterdam, The Netherlands [8] Shapiro, A Nemirovski (2005), On complexity of stochastic programming problems, Springer, New York, pp 111-144 [9] Xin Chen, Melvyn Sim, Peng Sum and Jiawei Zhang (2006), A Tractable Approximation of Stochastic Programming via Robust Optimization, Working paper, University of Illinois at Urban-Champaign [10] Xin Chen, Melvyn Sim, Peng Sun and Jiawei Zhang (2008), A Linear Decision-Based Approximation - Approach to Stochastic Programming, Operations Research, Vol.56, No.2, March-April 2008, pp 344-357 ... hiệu chỉnh đầy đủ ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ cách tổng quát? Năm là, mối quan hệ triệt để hai loại hiệu chỉnh gì? Chính vậy, chọn đề tài: "Sự hiệu chỉnh đầy đủ nửa đầy đủ phương pháp xấp xỉ. .. xác suất 2) Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn 3) Một số khái niệm hiệu chỉnh đầy đủ hiệu chỉnh nửa đầy đủ Chương 2: Các phương pháp xấp xỉ giải toán quy hoạch ngẫu nhiên Chương với Chương... cần đủ để ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ không ma trận hiệu chỉnh đầy đủ 3.2 3.2.1 Một số tính chất ma trận hiệu chỉnh đầy đủ, ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ Ma trận hiệu chỉnh đầy đủ 3.2.1.1 Định