Sự ổn định nghiệm bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân bằng

Mục lục trang Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Một số kiến thức giải tích lồi 1.1.1 Tập lồi, nón lồi hàm lồi 1.1.2 Bài toán tối ưu 11 1.1.3 Một số tính chất tốn quy hoạch lồi 12 1.2 Một số kiến thức sở lý thuyết xác suất 13 1.2.1 Định nghĩa 13 1.2.2 Các đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên 15 1.2.3 Các dạng hội tụ đại lượng ngẫu nhiên 16 1.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 18 1.3.1 Bài toán 18 1.3.2 Tính lồi tốn quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn 21 Chương Sự ổn định nghiệm tính dừng nghiệm tốn quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân 23 2.1 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân 23 2.1.1 Bài toán quy hoạch với ràng buộc cân 23 2.1.2 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân 24 2.1.3 Các giả thiết tồn nghiệm toán (SM P EC) 25 2.2 Sự ổn định nghiệm 26 2.2.1 Sự ổn định nghiệm tối ưu toàn cục 26 2.2.2 Tính dừng ổn định nghiệm 28 2.3 Một số trường hợp riêng biệt 33 2.3.1 Sự rủi ro hàm mục tiêu 33 2.3.2 Sự hội tụ sơ đồ giải rời rạc 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Mở đầu Trong điều khiển tối ưu, tốn quy hoạch có thơng tin liệu đầy đủ nói chung điều khiển được, với trạng thái ổn định Nhưng thông tin xuất ngẫu nhiên, kết trình điều khiển phụ thuộc vào đại lượng ngẫu nhiên Bài toán quy hoạch, điều khiển tối ưu tác động đại lượng ngẫu nhiên gọi toán quy hoạch ngẫu nhiên Trong điều kiện đó, trạng thái ổn định, mục tiêu đạt tới người ta nói nghiệm tốn điều khiển có tính ổn định Giả sử f (x) hàm mục tiêu, x(k) dãy phương án tối ưu (nghiệm) trình điều chỉnh ứng với trạng thái khác nhau, x∗ mục tiêu hệ thống (nghiệm hay phương án tối ưu hệ thống) Khi khái niệm tính ổn định nghiệm đánh giá theo cách: xét tới f (x(k) ) → f (x∗ ), k → ∞ x(k) → x∗ , k → ∞ Do vậy, việc xác định điều kiện để nghiệm toán quy hoạch ngẫu nhiên ổn định có ý nghĩa khoa học ý nghĩa thực tiễn cao Khi xét lớp toán quy hoạch với ràng buộc cân bằng, nhiều tác giả quan tâm đến vấn đề Để tập dượt nghiên cứu khoa học nâng cao hiểu biết mình, hồn thành luận văn tốt nghiệp cao học, quan tâm tới lớp toán quy hoạch với ràng buộc cân Hạn chế pham vi tính ổn định nghiệm, mạnh dạn lựa chọn đề tài "Tính ổn định nghiệm tốn quy hoạch ngẫu nhiên, với ràng buộc cân bằng" Tính ổn định trình bày luận văn đánh giá theo cách thứ hai x(k) → x∗ , k → ∞ Tài liệu chúng tơi tham khảo sử dụng luận văn báo "On the Robustness of Global Optima and Stationary Solutions to Stochastic Mathematical Programs with Equilibrium Constraints, Part 1: Theory" tác giả C Cromvik M Patriksson, đăng Journal Optim Theory Appl., năm 2010, 144, 461Ọ478 (xem [5]) Nội dung luận văn chia làm chương Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm giải tích lồi; số vấn đề lý thuyết xác suất Ngồi ra, chúng tơi trình bày thêm số khái niệm kiến thức liên quan toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhằm phục vụ việc nghiên cứu đề tài Chương Sự ổn định nghiệm tính dừng nghiệm tốn quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân Trên sở đó, chúng tơi xét tới tính ổn định toàn cục nghiệm vài trường hợp riêng biệt toán Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, PGS.TS Trần Xuân Sinh Nhân dịp tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy cảm ơn thầy giáo tổ Xác suất thống kê giảng dạy, bảo cho suốt thời gian học tập nghiên cứu Cũng xin gửi lời cảm ơn thầy giáo, giáo khoa Tốn, khoa Sau Đại học, trường THPT Cờ Đỏ (Nghĩa Đàn) tạo điều kiện cho tơi q trình cơng tác, học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn bạn bè gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Chương Kiến thức sở 1.1 Một số kiến thức giải tích lồi 1.1.1 Tập lồi, nón lồi hàm lồi 1.1.1.1 Tập hợp lồi Tổ hợp lồi Cho k điểm x(1) , x(2) , , x(k) ∈ Rn , điểm k k (i) x= λi = 1, λi ≥ 0, i = 1, , k λi x , i=1 i=1 gọi tổ hợp lồi hệ điểm cho Đoạn thẳng Cho hai điểm x, y ∈ Rn , tập hợp xy = {x ∈ Rn : x = λx + (1 − λ)y, ≤ λ ≤ 1} gọi đoạn thẳng nối hai điểm cho Tập hợp xy = {z ∈ Rn : z = λx + (1 − λ)y, λ ≥ 0} gọi nửa đường thẳng hay tia xuất phát từ y Tập hợp xy = {z ∈ Rn : z = λx + (1 − λ)y, λ ∈ R} gọi đường thẳng nối hai điểm cho Tập hợp lồi Tập hợp M ∈ Rn gọi tập hợp lồi đoạn thẳng nối hai điểm thuộc M nằm trọn M Nghĩa với x, y ∈ M, z = λx + (1 − λ)y, ≤ λ ≤ 1, z ∈ M Điểm cực biên Cho tập lồi M ⊂ Rn Điểm z ∈ M gọi điểm cực biên M không tồn x, y ∈ M mà z = λx + (1 − λ)y, < λ < 1, nghĩa z điểm đoạn thẳng thuộc M Tập lồi đa diện Cho tập hợp M = x ∈ Rn : Ai , x ≤ bi , i = 1, , m, Ai = (aij ) ∈ Rn Có thể kiểm tra thấy tập hợp M cho tập lồi gọi tập lồi đa diện Như vậy, tập lồi đa diện giao nửa không gian Khi chứng minh rằng: Điểm x ∈ M tập lồi đa diện cực biên M x giao n siêu phẳng giới hạn nửa không gian tương ứng M 1.1.1.2 Nón lồi Tập K ⊂ Rn gọi nón có đỉnh x(0) ∈ K với ∀x ∈ K số thực α > 0, ta có x(0) + α(x − x(0) ) ∈ K, tức x ∈ K K chứa nửa đường thẳng nối x(0) với x Điểm gốc O thuộc khơng thuộc K Nếu K nón chứa gốc O, O đỉnh nó, ta nói K nón nhọn có mũi O Nếu nón K tập lồi ta nói K nón lồi Cho A tập lồi thuộc Rn , nón lồi mũi O nhỏ chứa A gọi nón lồi sinh A, ký hiệu KA Chúng ta chứng minh KA = {λx : x ∈ A, λ > 0} Cho M tập lồi thuộc Rn , vectơ z = gọi hướng lùi xa M với x ∈ M λ > 0, ta có x + λz ∈ M Từ định nghĩa, kiểm tra thấy rằng: Tập K tất hướng lùi xa tập hợp lồi M nón lồi Nón K xác định gọi nón lùi xa M ký hiệu recM Cho tập K thuộc Rn Khi thấy K nón lồi có đỉnh gốc O với x, y ∈ K số thực λ > ta có λx ∈ K x + y ∈ K Thật vậy, K nón lồi với x ∈ K, ta có λx ∈ K (theo định nghĩa nón đỉnh O) Hơn K tập lồi nên với x, y ∈ K (x + y) = x + y) ∈ K Khi chọn λ = x + y = 12 (x + y) ∈ K Ngược lại, lấy x, y ∈ K, theo điều kiện nêu với số thực λ, (0 ≤ λ ≤ 1), ta có λx ∈ K, (1 − λ)y ∈ K λx + (1 − λ)y ∈ K Điều chứng tỏ K nón lồi Ví dụ: Tập hợp K = {x ∈ Rn : , x ≤ 0, i = 1, , m}, ∈ Rn , nón nhọn có mũi O Cho tập hợp M lồi, đóng, khác rỗng, thuộc không gian Rn điểm y ∈ M Khi tập hợp sau nón lồi đỉnh y    G(y) ∈ Rn : G(y)T (y − y) ≤ , y ∈ M NM (y) :=   ∅, ngược lại Nón NM (y) gọi nón pháp tuyến y nón chuẩn đỉnh y Lúc với hàm F : M → Rn cho −F (y, y) ∈ NM (y) cho ta bất đẳng thức biến phân Do tập hợp NM (y) gọi nón bất đẳng thức biến phân Ký hiệu S tập hợp nghiệm bất đẳng thức biến phân −F (y, y) ∈ NM (y), nghĩa S := {y ∈ Rn : −F (y, y) ∈ NM (y)} 1.1.1.3 Hàm lồi Định nghĩa Hàm f (x) xác định tập lồi M gọi hàm lồi, với x, y ∈ M λ ∈ [0, 1] có bất đẳng thức f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) Ta gọi bất đẳng thức nêu bất đẳng thức lồi 10 Từ định nghĩa hàm lồi, mở rộng bất đẳng thức lồi sau đây: Bất đẳng thức Jensen Hàm f (x) xác định tập lồi M, lồi k k f λi x (i) i=1 k i=1 λi λi f (x(i) ) , ≤ (∗) i=1 = 1, λi ≥ 0, i = 1, , k Thật vậy, có (*) với k hữu hạn với k = Theo định nghĩa f hàm lồi Ngược lại, giả sử cho f hàm lồi Cho điểm x(1) , , x(k) ∈ M Khi k (i) i=1 λi x , λi x = ≥ 0, k i=1 λi = x ∈ M (do M lồi) Để chứng minh (*) ta quy nạp thep k Rõ ràng với k = 2, theo định nghĩa (*) Giả sử (*) với k, ta chứng minh cho k + Đặt z = Ta có k+1 (i) i=1 λi x , λi k i=1 λi ≥ 0, k+1 = z ∈ M k (i) λi f (x(i) ) + λk+1 f (x(k+1) ) λi f (x ) = i=1 i=1 Khơng tính tổng qt, giả sử < λk+1 < Khi k k+1 (i) λi f (x ) = (1 − λk+1 ) i=1 i=1 λi f (x(i) ) + λk+1 f (x(k+1) ) − λk+1 k = λk+1 f (x (k+1) βi f (x(i) ) ) + (1 − λk+1 ) i=1 Rõ ràng β = λi 1−λk+1 ≥ k i=1 βi = Do y = k (i) i=1 βi x ∈ M 11 Từ theo giả thiết quy nạp có k+1 k (i) βi f (x(i) ) + λk+1 f (x(k+1) ) λi f (x ) = (1 − λk+1 ) i=1 i=1 ≥ f [(1 − λk+1 )y + λk+1 x(k+1) ] k = f (1 − λk+1 ) i=1 λi x(i) + λk+1 x(k+1) − λk+1 k+1 λi x(i) ≥f i=1 Đó điều cần chứng minh 1.1.2 Bài toán tối ưu Cho toán quy hoạch min{f (x) : x ∈ M ⊂ Rn } Tập M gọi tập phương án, x ∈ M gọi phương án (có gọi nghiệm chấp nhận) Nếu f (x) hàm lồi M tập lồi tốn quy hoạch cho gọi toán quy hoạch lồi Một cách tổng quát, hàm f hàm bất kỳ, cần tính Tập hợp M khơng lồi Trong trường hợp vậy, chưa có phương pháp giải tổng quát Để giải toán vậy, ta thường gọi toán tối ưu tổng quát, cần tới phương pháp xấp xỉ Trong đáng ý phương pháp Monte Carlo Tuy nhiên, toán quy hoạch lồi hay toán quy hoạch tổng quát, cần nhắc tới số khái niệm thường dùng sau Tối ưu toàn cục Nếu điểm x(0) , tồn lân cận ωx(0) cho f (x(0) ) ≤ f (x), ∀x ∈ M ∩ ωx(0) ta nói x(0) điểm cực tiểu địa phương 12 Trong trường hợp M ∩ ωx(0) = M ta có x(0) điểm cực tiểu tồn cục tốn cho Nghiệm tối ưu, nghiệm xấp xỉ nghiệm dừng Điểm cực tiểu tồn cục x∗ tốn tối ưu nêu gọi phương án tối ưu hay nghiệm tối ưu Giả sử phương pháp tạo dãy phương án {x(k) }, cho f (x(k+1) ) ≤ f (x(k) ) ta nói {x(k) } dãy phương án tốt dần Nếu x(k) → x∗ ∈ M, k → ∞ ta nói dãy {x(k) } hội tụ điểm x∗ ∈ M Nếu x∗ nghiệm tối ưu q trình dừng lại k để có x∗ ≈ x(k) ta nói x(k) nghiệm xấp xỉ x∗ Lúc ta nói x(k) nghiệm dừng toán Bây giả sử tập phương án M xác định M := {x ∈ Rn : gi (x) ≤ 0, i = 1, , m} Khi với y = (yi ) ∈ Rm hàm m L(x, y) := f (x) + yi gi (x) i=1 gọi hàm Lagrange, yi , i = 1, , m, gọi nhân tử Lagrange Tập hợp domf := {x ∈ M : f (x) < +∞} gọi miền hữu hiệu hàm f Hàm f gọi hàm thường domf = ∅ f (x) > −∞, ∀x ∈ M 1.1.3 Một số tính chất toán quy hoạch lồi Xét toán quy hoạch lồi min{f (x) : x ∈ M }, f (x) hàm lồi, M tập lồi đóng 26 Giả thiết A (A1) ánh xạ S(x, ) đo x (A2) Tập X đóng ánh xạ x → S(x, ω) đóng với ω ∈ Ω (A3) Hàm f liên tục (x, y), đo ω, hội tụ x tập X X bị chặn (F, P)-hàm khả tích (A4) Tập S(x0 , ω) không trống với số x0 ∈ X hầu hết với ω ∈ Ω Định lý sau tồn nghiệm toán (SM P EC) thoả mãn giả thiết (A) 2.1.3.1 Định lý (Sự tồn phương án tối ưu toán (SM P EC) Giả sử giả thiết (A) thỏa mãn Khi tốn (SM P EC) tồn phương án tối ưu Việc chứng minh định lý 2.1.3.1 xem [7] 2.2 Sự ổn định nghiệm Chúng ta quan tâm đến ổn định nghiệm tối ưu toàn cục (SM P EC) tác động đại lượng ngẫu nhiên Như trình bày phần mở đầu, mục chúng tơi trình ổn định nghiệm theo đánh giá hội tụ nghiệm 2.2.1 Sự ổn định nghiệm tối ưu toàn cục Giả sử {Pk } dãy độ đo xác suất B(Ω) Xét dãy liên kết toán tối ưu (SM P ECΩ )k Eω [f (x, y(ω), ω)] := (x,y(.)) f (x, y(ω), ω)Pk (dω), Ω với điều kiện x ∈ X, −F (x, y, ω) ∈ NC (y), Pk − hầu chắn 27 Các toán (SM P ECΩ ) khác lựa chọn phân phối xác suất Pk Giả sử val(P ) biểu thị giá trị tối ưu toán (P ) Kết sau nói lên ổn định nghiệm tối ưu toàn cục 2.2.1.1 Định lý (ổn định nghiệm tối ưu toàn cục) Giả sử giả thiết (A) thoả mãn; ánh xạ F (x, , ω) hoàn toàn đơn điệu theo y x ∈ X ω ∈ Ω; dãy {Pk } độ đo xác suất hội tụ yếu đến P Ngoài giả sử với k, (xk , y k (.)) nghiệm toán (SM P ECΩ )k Khi điểm giới hạn (có một) của dãy {(xk , y k (.))} phương án tối ưu (SM P ECΩ ) Chứng minh Xét phương án tối ưu (x∗ , y ∗ (.)) (SM P ECΩ ) Do F hàm đơn điệu theo y, y liên tục x ω giả thiết (A3) nên dãy tập phương án bị chặn Do dãy tồn điểm giới hạn Phương án tối ưu toán (SM P ECΩ ) phương án tốt phương án lớp tốn (SM P ECΩ )k Điều val(SM P ECΩ ) ≥ lim sup val(SM P ECΩ )k (2.1) k→∞ Giả sử {(xk , y k (.))} dãy nghiệm tối ưu từ toán (SM P ECΩ )k Theo giả thiết (A3) dãy bị chặn, hội tụ tới điểm (x, y(.)) Điểm hội tụ thoả mãn ω thuộc (SM P ECΩ ) Sử dụng tính nửa liên tục hàm f Bổ đề Fatou’s, có val(SM P ECΩ ) ≤ f (x, y(ω), ω)p(ω)d(ω) Ω lim inf f (xk , y k (ω), ω)p(ω)dω ≤ Ω k→∞ f (xk , y k (ω), ω)p(ω)dω ≤ lim inf k→∞ Ω = lim inf val(SM P ECΩ )k k→∞ (2.2) 28 Theo (2.1) (2.2) ta có val(SM P ECΩ )k = val(SM P ECΩ ) Từ suy điều phải chứng minh 2.2.2 Tính dừng ổn định nghiệm Do tính chất khơng lồi (SM P EC) nên khó có thuật tốn tối ưu tồn cục Thực tế hạn chế ảnh hưởng định lý 2.2.1.1 Do vậy, ta cần thực tìm nghiệm xấp xỉ cách xác định k phù hợp Nói khác ta cần nghiên cứu tính dừng việc xây dựng dãy {xk , y k (ω)}, với k đủ lớn, nghiệm xấp xỉ có độ xác đủ bé Chúng ta cần đưa thêm giả thiết sau cho toán: Giả thiết B (B1) Hàm f liên tục Lipschitz (x, y) (B2) ánh xạ F ( , , ω) liên tục, khả vi C ứng với x ∈ X ω ∈ Ω, nghĩa (F (x, y1 , ω) − F (x, y2 , ω))T (y1 − y2 ) ≥ c||y1 − y2 ||2 , ∀y1 , y2 ∈ C, c > không phụ thuộc vào x, ω (B3) X xác định X := {x ∈ Rn : gi (x) ≤ 0, i = 1, , p}, hàm gi liên tục, khả vi (B4) Tiêu chuẩn ràng buộc (M F CQ) Mangasarian-Fromovitz cho x ∈ X Nếu giả thiết (B1) (B2) thoả mãn người ta tồn ánh xạ liên tục Lipschitz địa phương (x, ω) → σ(x, ω), với y = σ(x, ω), σ(x, ω) ∈ S(x, ω) 29 Từ tính chất đó, viết lại tốn (SM P ECΩ ) toán cấp sau: (SN LPΩ ) EΩ [f (x, σ(x, ω), ω)] := x f (x, σ(x, ω), ω)P(dω), Ω với điều kiện x ∈ X, tương ứng (SN LPω )k thu từ (SN LPω ) việc thay P Pk Trước nêu rõ điều kiện tối ưu, cần định nghĩa từ phân tích khơng trơn Định nghĩa Đạo hàm theo hướng hàm f : Rn → R x theo hướng h xác định f (z + th) − f (z) t z→x f (x, h) := lim sup t↓0; Do f liên tục Lipschitz (giả thiết (B1) nên người ta f (., h) hàm bán liên tục Định nghĩa Gradien suy rộng hàm f x xác định tập hợp ∂f (x) := {ξ ∈ Rn : (ξ, h) ≤ f (x, h)} Nếu f liên tục, khả vi x ∂f (x) = {∇f (x)} Nếu giả thiết (B1) (B2) thực hiện, tác giả Clarke định nghĩa: vectơ x∗ ∈ X nghiệm dừng Clarke tốn (SN LPΩ ) có vectơ µ = (µi ) ∈ Rp+ cho µi gi (x∗ ) = 0, với i, ta có 0n ∈ ∂Eω [f (x∗ , σ(x∗ , ω), ω)] + ∇g(x∗ )µ, µ = (µi ) vectơ nhân tử Lagrange Tương tự, vectơ x∗ ∈ X nghiệm dừng Clarke yếu 0n ∈ Eω [∂f (x∗ , σ(x∗ , ω), ω)] + ∇g(x∗ )µ 30 2.2.2.1 Định lý (Sự ổn định nghiệm dừng (SN LPΩ )) Giả sử giả thiết (A), (B) thoả mãn giả sử dãy {Pk } độ đo xác suất hội tụ yếu đến P bị chặn hàm đo được, k có (xk , y k (.)) nghiệm dừng Clarke (SN LPΩ )k Vậy điểm giới hạn (có một) dãy {(xk , y k (.))} nghiệm dừng Clarke yếu (SN LPΩ ) Chứng minh Theo giả thiết F (x, , ω) hàm đơn điệu tăng nên nghiệm ánh xạ S(x, ω) đơn trị liên tục Lipschitz Điều cho phép sử dụng toán cấp (SN LPΩ ) cấp k (SN LPΩ )k Do σ f liên tục Lipschitz nên tồn biến ngẫu nhiên k(ω) ≥ cho E[k(ω)] < ∞ với x1 , x2 ∈ X |f (x1 , σ(x1 , ω), ω) − f (x2 , σ(x2 , ω), ω)| ≤ k(ω)||x1 − x2 || (2.3) Giả sử xk nghiệm dừng Clarke từ toán k (SN LPΩ )k Xét dãy {xk } nghiệm dừng Vì f liên tục bị chặn nên dãy bị chặn Ký hiệu x∗ điểm giới hạn dãy Đặt Ekω [f (x)] := f (x, σ(x, ω)Pk (dω) Ω Điểm xk dừng 0k ∈ ∂Ekω [f (xk )] + ∇g(xk )µk 0p ≤ µk ⊥g(xk ) ≤ 0p (2.4) 31 Cố định hướng h ∈ Rn , có (Ekω [f ])0 (x; h) = Ekω [f (z + th)] − Ekω [f (z)] t t↓0; z→x (f (z + th, σ(z + th), ω), ω)Pk (dω) − Ω (f (z, σ(z), ω), ω)Pk (dω) = lim sup Ω t t↓0; z→x (f (z + th, σ(z + th), ω), ω) − (f (z, σ(z), ω), ω) Pk (dω) = lim sup t t↓0; z→x Ω = lim sup f (x, σ(x, ω), ω; h)Pk (dω) ≤ Ω = Ekω f (x, σ(x, ω), ω; h) , bất đẳng thức cuối suy từ (2.3) với x1 = z x2 = z+th Định lý hội tụ yếu Lebesgue Ngồi có lim sup(Ekω [f (xk ; h)] = lim sup k→∞ k→∞ f (xk , σ(xk , ω), ω; h)Pk (dω) Ω lim sup f (xk , σ(xk , ω), ω; h)Pk (dω) ≤ Ω k→∞ f (x∗ , σ(x∗ , ω), ω; h)Pk (dω) ≤ Ω = Eω [f (x∗ ; h)], (2.5) sử dụng Định lý hội tụ yếu Lebesgue đẳng thức thứ hai tính nửa hội tụ f bất đẳng thức thứ hai Do lim sup ∂Ekω [f (xk )] ⊂ Eω [∂f (x∗ )] k→∞ Đồng thời thấy lim sup ∇g(xk )µk = ∇g(x∗ )µ∗ k→∞ Đẳng thức khơng ||µk || → ∞ 32 Thật vậy, ta đặt λk := µk /||µk || giả sử λk → λ∗ λ∗ thoả mãn λ∗ ≥ 0p , ||λ∗ || = Ký hiệu I(x) := {i : gi (x) = 0} tập số điều kiện buộc x Theo xác định (M F CQ), với xk , tồn vectơ d ∈ Rn cho ∇gi (xk )T d < 0, i ∈ I(xk ), gi (xk )T < 0, i ∈ / I(xk ) (2.6) Với i ∈ I(x∗ ), phải có λki → Cố định d ∈ Rn cho điều kiện (2.6) x∗ Vậy theo (2.4) ta có ≤ lim sup k→∞ dT ∇g(xk )µk (Eωk [f ])0 (xk ; d) + ||µk || ||µk || = lim sup dT ∇g(xk )λk k→∞ λ∗i ∇gi (x∗ )T d = i∈I(x∗ ) Từ đẳng thức cuối (2.6) ta nhận λ∗i λ∗i ∇gi (x∗ )T d ≤ − 0≤ i∈I(x∗ ) i∈I(x∗ ) Và từ λ∗ ≥ 0p ta suy λ∗ = Điều mâu thuẫn với điều kiện ||λ∗ || = Vậy µ∗ phải bị chặn Tổng hợp lại, có ∈ lim sup ∂Ekω [f (xk )] + ∇g(xk )µk ⊂ Eω [∂f (x∗ )] + ∇g(x∗ )µ∗ k→∞ Từ kết luận x∗ nghiệm dừng Clarke yếu toán (SN LPΩ ) Định lý chứng minh xong Định lý 2.2.2.1 cho thấy dãy {xk } nghiệm dừng toán (SN LPω )k hội tụ tới nghiệm dừng Clarke toán (SN LPω ) 33 2.3 Một số trường hợp riêng biệt Bài toán (SM P ECΩ ) nêu mục 2.2 dạng tổng qt Trong mục này, chúng tơi trình bày thêm tốn dạng đặc biệt, tốn với tính rủi ro rơi vào hàm mục tiêu toán với hội tụ sơ đồ rời rạc 2.3.1 Sự rủi ro hàm mục tiêu Trong mục này, giả sử hàm mục tiêu f (x, y(ω), ω) không đo Giá trị rủi ro (V aR) xác suất mức β x, ký hiệu β − V aR(x), giá trị mà xác suất f không vượt giá trị β, tức β − V aR(x) := min{γ : P [f (x, y(ω), ω) ≤ γ] ≥ β} Ngoài ra, điều kiện giá trị rủi ro x, ký hiệu β − CV aR(x), điều kiện kỳ vọng mát cho việc khơng tồn lớn β − V aR, nghĩa β − CV aR(x) := 1−β f (x, y(ω), ω)P (dω), f (x,y(ω),ω)≥β−V aR tham số β xác định mức độ rủi ro Nếu β = 1, CV aR giá trị kỳ vọng Nếu β = 0, CV aR giá trị lớn f Hệ hình thức CV aR bao gồm hai thái cực nêu Rockafellar Uryasev (2000) đưa biểu thức thay cho β − CV aR việc sử dụng hàm sau đây: Gβ (x, y, γ) = γ + 1−β [f (x, y(ω), ω) − γ]+ P (dω), Ω ký hiệu [a]+ := max{0, a} với a ∈ R Điều kiện giá trị rủi ro giá trị cực tiểu Gβ theo y ∈ R, nghĩa β − CV aR(x) = Gβ (x, y, γ) γ∈R 34 Giá trị rủi ro cực tiểu Gβ Rockafellar Uryasev toán cực tiểu β − CV aR theo (x, y) tương đương với toán cực tiểu Gβ theo (x, y, γ) Chú ý Gβ lồi theo γ, CV aR bảo tồn tính lồi Bây xét tốn (SM P EC), giá trị kỳ vọng hàm mục tiêu thay biểu thức từ toán β − CV aR (SRP ECΩ ) γ+ (x,y(.),γ) 1−β f (x, y(ω), ω) − γ Ω P (dω), + với điều kiện x ∈ X, −F (x, y, ω) ∈ NC (y), P − hầu chắn Tiếp theo, cần kết tối ưu toàn cục nghiệm dừng xét với toán (SRP EC) Giả sử {Pk } dãy độ đo xác suất xác định B(Ω) xét tới dãy toán tối ưu (SRP ECΩ )k , nhận từ (SRP ECΩ ) việc thay P Pk 2.3.1.1 Định lý (ổn định nghiệm tối ưu toàn cục (SRP ECΩ )) Giả sử giả thiết (A) thoả mãn; ánh xạ F (x, , ω) hoàn toàn đơn điệu theo y x ∈ X ω ∈ Ω; dãy {Pk } độ đo xác suất hội tụ yếu đến P Ngoài giả sử với k, (xk , y k (.), γ k ) nghiệm toán (SRP ECΩ )k Khi điểm giới hạn (có một) của dãy {(xk , y k (.), γ)} phương án tối ưu (SRP ECΩ ) Chứng minh Việc chứng minh sử dụng Định lí 2.2.2.1 Hai bước quan trọng cần thực gồm: Bước thứ liên tục hàm mục tiêu Hàm dấu tích phân liên tục với x, y khai triển f [.]+ , từ F đơn điều ngặt, Gγ liên tục γ 35 Bước thứ hai, hàm mục tiêu cưỡng yếu (x, y, γ) Điều cho giả thiết (A3) điều thực |γ| → ∞, Gγ → ∞ Đó điều cần chứng minh Để thiết lập nghiệm dừng, xét toán (SRN LPΩ ) sau đây: (SRN LPΩ ) γ + (x,y) 1−β f (x, σ(x, ω), ω) − γ Ω P (dω), + với điều kiện x ∈ X Tương ứng (SRN LPΩ )k , nhận từ (SRN LPΩ ) việc thay P Pk 2.3.1.2 Định lý (Sự ổn định nghiệm dừng (SRN LPΩ )) Giả sử giả thiết (A), (B) thoả mãn giả sử dãy {Pk } độ đo xác suất hội tụ yếu đến P bị chặn hàm đo được, k có (xk , y k (.), γ k ) nghiệm dừng Clarke (SRN LPΩ )k Vậy điểm giới hạn (có một) dãy {(xk , y k (.), γ)} nghiệm dừng Clarke yếu (SRN LPΩ ) Chứng minh Từ chứng minh Định lý 2.2.2.1, Định lý 2.3.1.1 Gβ liên tục Lipschitz, ta có điều cần chứng minh 2.3.2 Sự hội tụ sơ đồ giải rời rạc Trong phần bàn tới số nghiệm tốn (M P EC), với hàm mục tiêu có dạng tích phân đa chiều, tính tốn trường hợp chung Nếu tiếp cận giải theo sơ đồ rời rạc (chẳng hạn trình thực nghiệm độc lập), cách tự nhiên cần tới việc phân tích hội tụ sơ đồ rời rạc Việc thiết lập ổn định nghiệm tối ưu hội tụ số sơ đồ đặt cho toán (SM P EC) 36 Một cách tiếp cận giải toán quy hoạch ngẫu nhiên phương pháp Monte Carlo, hay gọi phương pháp xấp xỉ trung bình mẫu (SAA) ý tưởng đơn giản phương pháp (SAA) là: Chọn số bước N đủ lớn, thực phép thử thống kê độc lập N lần theo biến ngẫu nhiên ω , ω , , ω N Giải toán (SN LPΩ ) thay cho (SM P ECΩ ) theo dãy toán cho sau N (SN LP ) fN := x N N f (x, σ(x, ω k ), ω k ), k=1 với điều kiện x ∈ X Để xét hội tụ, ta để ý tới N → ∞ Chúng ta cần bổ sung thêm giả thiết (C) sau đây: Giả thiết C (C1) Tập hợp X lồi bị chặn (C2) Hàm f (., σ(., ω), ω) quy x, hầu hết ω ∈ Ω, nghĩa f khả vi theo hướng dẫn xuất theo hướng trùng với hướng dẫn xuất Clarke Giả thiết (C2) thực f (., σ(., ω), ω) hàm lồi khả vi, liên tục Việc chứng minh kết nghiệm tối ưu toàn cục nghiệm dừng dựa theo Luật số lớn Sự khác biệt giả thiết cần thiết cho hội tụ nghiệm nghiệm dừng 2.3.2.1 Định lý (Sự hội tụ nghiệm tối ưu toán (SN LPΩ )) Giả sử giả thiết (A), (B1), (B2), (C1) thoả mãn Đối với N có (xN , yN (.)) phương án tối ưu tốn (SN LP )N Khi điểm giới hạn (có một) dãy {xN } nghiệm tối ưu toán (SN LPΩ ) 37 Chứng minh Tập phương án compact giả thiết (A2) (C1) Theo giả thiết (B1)-(B2) với ω ∈ Ω hàm mục tiêu f (., , ω) liên tục Theo giả thiết (B2) f bị chặn hàm (F, P )-khả tích Do vậy, theo kết biết tác giả Shapiro fN hội tụ tới f , với xác suất X Ngược lại, theo tác giả Shapiro V al((SN LP )N ) → V al((SN LP )Ω ), N → ∞ Định lý chứng minh xong 2.3.2.2 Định lý (Sự ổn định nghiệm dừng (SN LPΩ )) Giả sử giả thiết (A), (B), (C) thoả mãn Đối với N có (xN , yN (.)) nghiệm dừng tốn (SN LP )N Khi điểm giới hạn (có một) dãy {xN } nghiệm dừng toán (SN LPΩ ) Chứng minh Từ giả thiết (A3) (B2), hàm mục tiêu kiẻu hàm Carathéodery Theo giả thiết (C1), tập hợp X lồi compact Theo giả thiết (C2) hàm mục tiêu quy Do vậy, theo Định lý tác giả A Shapiro H Xu (2007) dãy nghiệm dừng {xN } hội tụ, với xác suất 1, tới nghiệm dừng toán (SN LPω ) Định lý chứng minh Bài toán (SN LPΩ ) mở rộng toán (SM P ECΩ ) Nhờ định lý 2.3.2.2 mà có hội tụ nghiệm tối ưu tồn cục nghiệm dừng cho tốn N (SM P EC) fN := x N N f (x, y k , ω k ), k=1 với điều kiện x ∈ X, −F (x, y k , ω k ) ∈ NC (y k ), y = 1, , N 38 Định lý 2.3.2.1 Định lý 2.3.2.2 cho phép tiếp cận hợp lý giải toán quy hoạch ngẫu nhiên đặt thơng qua tốn tất định 39 Kết luận Luận văn giải số vấn đề sau: Trình bày số khái niệm sở Giải tích lồi, Lý thuyết xác suất, khái niệm kiến thức tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên Trình bày tốn quy hoạch với ràng buộc cân bằng, làm rõ thêm mối liên hệ bất đẳng thức biến phân toán quy hoạch Từ đưa mơ hình tốn quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân Tìm mối liên hệ mơ hình Phát biểu chứng minh số tính chất, mệnh đề định lý liên quan đến mơ hình Trình bày nội dung liên quan tới ổn định nghiệm tối ưu nghiệm dừng chịu ảnh hưởng đại lượng ngẫu nhiên Xét riêng hai trường hợp đặc biệt tốn, toán quy hoạch ngẫu nhiên mục tiêu chịu rủi ro toán giải theo sơ đồ rời rạc Mơ hình tốn quy hoạch ngẫu nhiên có nghiệm tối ưu giải sơ đồ rời rạc ổn định có giá trị thực tiễn cao Mơ hình cho phép tốn đặt giải phương pháp Monte Carlo Đây xem kết quan trọng giải trọn vẹn tốn quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên với ràng buộc cân Khi có điều kiện cho phép, cố gắng thiết lập thuật tốn đưa ví dụ số giải lớp toán đặt 40 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Quảng (2007), Giáo trình xác suất, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội [2] Trần Xuân Sinh (2004), Các phương pháp ngẫu nhiên giải toán quy hoạch, Bài giảng dùng cho Sau Đại học, chuyên ngành XSTK Toán học, Đại học Vinh [3] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] Hoàng Tụy (2003), Lý thuyết tối ưu, Bài giảng Cao học, Viện Toán học [5] C Cromvik and M Patriksson (2010), On the Robustness of Global Optima and Stationary Solutions to Stochastic Mathematical Programs with Equilibrium Constraints, Part 1: Theory, J Optim Theory Appl., (2010) 144: 461-478 DOI 10.1007/s10957-009-9639-8 [6] C Cromvik and M Patriksson (2010), On the Robustness of Global Optima and Stationary Solutions to Stochastic Mathematical Programs with Equilibrium Constraints, Part 2: Applications, J Optim Theory Appl., (2010) 144: 479Ọ500 DOI 10.1007/s10957-009-9640-2 [7] A Evgrafov and M Patriksson (2004), On the Existence of Solutions to Stochastic Mathematical Programs with Equilibrium Constraints, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol.121, No1, 65Ọ76 [8] A Shapiro (2006), Stochastic Programming with Equilibrium Constraints, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 128, No 1, pp 223-243, January 2006 ... lớp tốn quy hoạch với ràng buộc cân Hạn chế pham vi tính ổn định nghiệm, chúng tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài "Tính ổn định nghiệm toán quy hoạch ngẫu nhiên, với ràng buộc cân bằng" Tính ổn định trình... sở toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân Trên sở đó, chúng tơi xét tới tính ổn định tồn cục nghiệm vài trường hợp riêng biệt toán nêu 2.1 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân. .. tới đại lượng ngẫu nhiên Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân dạng đặc biệt lớp toán quy hoạch ngẫu nhiên Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với ràng buộc cân (SM P EC) (Stochastic Mathematical